Taller semana 10

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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
TALLER - CÁLCULO I (DIFERENCIAL)
Semana: 10
INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller,repase un poco la teoŕıa, ejemplos y videos
propuestos en la plataforma y vistos en los encuentros virtuales correspondientes a esta semana.
1. Responda si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué, y si es falso escriba el enunciado correcto
o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla.
a) ( ) Si f y g son derivables, entonces
d
dx
[f(x) + g(x)] = f ′(x) + g′(x).
b) ( ) Si f y g son derivables, entonces
d
dx
[f(x) · g(x)] = f ′(x)g′(x).
c) ( ) Si f y g son derivables, entonces
d
dx
[
f(x)
g(x)
]
=
f(x)g′(x)− g(x)f ′(x)
[g(x)]2
.
d) ( ) Si y = e2, entonces y′ = 2e.
e) ( )
d
dx
[10x] = x10x−1.
f ) ( )
d
dx
[ln(10)] =
1
10
.
g) ( )
d
dx
∣∣x2 + x∣∣ = |2x+ 1| .
h) ( ) La derivada de una función polinomial es una función polinomial.
i) ( ) La derivada de una función racional es una función racional.
j ) ( ) La ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en (−2, 4) es y − 4 = 2x(x+ 2).
k) ( ) La ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en (−2, 4) es y = 2(−2)(x+ 1).
l) ( ) Si g(x) = x5, entonces ĺım
x→ 2
g(x)− g(2)
x− 2
= 80.
m) ( ) Si f(x) = xex, entonces fn = (x+ n)ex.
n) ( ) Si f(x) = (x− a)(x− b)(x− c), entonces f
′(x)
f(x)
=
1
x− a
+
1
x− b
+
1
x− c
.
2. Derivar y simplificar el resultado.
a) f(x) = 5
√
3
b) y =
3
4
x8
c) Y = t4 − 3t2 + 5t− π
d) f(x) =
1
3
x6 − 2x4 + 8x
e) A(s) = −12
s5
f ) f(θ) = cθ−5 + 8
g) h(x) = (2x− 5)3
h) y =
3
x3
− 2
x−3/2
+
1√
x
i) y = 4
√
t− 3
√
4t
j ) f(x) = (x3 − 4x)ex
k) y =
x2
ex
l) y =
2u
4 + u2
m) F (y) =
(
1
y2
− 3
y4
)
(y + 5y3)
n) y = (t+ et)(3−
√
t)
ñ) y =
v3 − 2v
√
v
v
o) f(x) =
Ax
B + Cxex
p) y =
3x
x− 4x
q) y =
√
x senx
r) Y = ex senx cosx
s) y = secx cotx
t) y =
x
2− tanx
u) y = xex cscx
v) y = cscx− secx
w) y =
1− secx
tanx
x ) f(x) =
1− ex senx
senx+ ex
y) y = eθ(θ + θ
√
θ)
z ) v =
(√
t+
1
3
√
t
)2
3. Encuentre la segunda, tercera y la onceava derivada de:
a) f(x) = 4x5 − x3 + 4x− 5 b) f(θ) = cos θ c) y = x senx
4. Encuentre los puntos sobre la curva y = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 donde la tangente es horizontal(basta con mencionar sus
coordenadas en x).
5. Para que valores de x la gráfica de f(x) = ex − 2x tiene tangente horizontal?
6. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y = x 4
√
x que sea paralela a la recta y = 1 + 3x.
7. Encuentre una ecuación de la recta normal a la parábola y = x2 − 5x+ 4 que sea paralela a la recta x− 3y = 5
8. Halle las ecuaciones de las rectas que pasan por (2,−3 y que son tangentes a la curva y = x2 + x.
9. ¿En qué punto la recta normal a la parábola y = x−x2 en el punto (1, 0) intersecta a la parábola una segunda vez? Haga
un dibujo de esta situación.
10. La ecuación de movimiento de una part́ıcula es s = t3 − 3t, donde s está en metros y t en segundos hallar:
a) La velocidad y aceleración como funciones de t.
b) La aceleración después de 2s, y
c) La aceleración cuando la velocidad es 0.
11. Demuestre que la curva y = 6x3 + 5x− 3 no tiene recta tangente con pendiente 4.
12. Encuentre ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la curva y =
2x
x2 + 1
en el punto (1, 1).
13. Suponga que f(2) = −3, g(2) = 4, f ′(2) = −2 y g′(2) = 7. Encuentre h′(2) si:
a) h(x) = 5f(x)− 4g(x) b) h(x) = f(x)(gx) c) h(x) = f(x)
g(x)
d) h(x) =
g(x)
1 + f(x)
.
14. Hallar un polinomio de segundo grado P que satisfaga las condiciones siguientes: P (2) = 5, P ′(2) = 3 y P ′′(2) = 2.
15. Hallar una parábola con ecuación y = ax2 + bx + c que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente −8 en x = −1 y pasa a
través del punto (2,15).
16. Halle una función cubica y = ax3 + bx2 + cx+ d cuya gráfica posea tangentes horizontales en (−2, 6) y (2, 0).
17. Hallar el valor de c para el que la recta y = 32x+ 6 es tangente a la curva y = c
√
x.
18. Si f(x) =
ex
2x2 + x+ 1
, encuentre f ′ y f ′′.
19. Si g(x) =
x
ex
, encuentre gn(x).
20. Encuentre R′(0), donde
R(x) =
5x5 − 3x3 + x
9x9 + 6x6 + 3x3 + 1
Ayuda: En lugar de encotrar primero R′(x), tome f(x) como el numerador, g(x) como el denominador y calcule R′(0)
de: f(0), f ′(0), g(0) y g′(0).
21. Demuestre que si g(x) es una función derivable y distinta de cero, entonces
d
d(x)
= − 1
g2
dg
dx
.
22. A manufacturer produces bolts of a fabric with a fixed width. The quantity q of this fabric (measured in yards) that is
sold is a function of the selling price p (in dollars per yard), so we can write q = f(p). Then the total revenue earned
with selling price p is R(p) = pf(p).
a) What does it mean to say tha f(20) = 10000 and f ′(20) = −350?.
b) Assuming the values in part (a), find R′(20) and interpret your answer.
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Lápiz
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