Taller semana 13

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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
TALLER - CÁLCULO I (DIFERENCIAL)
Semana: 13
1. Responda F si la afirmación es falsa y V si es correcta. Justifique.
a) ( ) La regla de L’Hospital sirve para calcular cualquier tipo de ĺımites.
b) ( ) Si la posición de una part́ıcula está dada por la función s = f(t), entonces la velocidad de ésta en un instante
t es
ds
dt
.
c) ( ) La regla de L’Hospital se usa en ĺımites que originan la forma indeterminada 00 .
d) ( ) La derivada f ′(a) es la razón de cambio instantanea de y = f(x) respecto a x cuando x = a.
e) ( ) ĺım
x→0+
xx = 1
f ) ( ) La regla de L’Hospital se usa en ĺımites que originan la forma indeterminada ∞∞ .
g) ( ) La regla de L’Hospital se aplica directamente a ĺımites que originan la forma indeterminada 0.∞.
h) ( ) 0∞ es una forma indeterminada.
i) ( ) La regla de L’Hospital se aplica directamente a ĺımites que originan la forma indeterminada 1∞.
j ) ( ) ∞+∞ es una forma indeterminada.
2. En cada uno de los siguientes casos determine si el ĺımite dado existe, en caso de que exista calcule su valor:
a) ĺım
x→0+
x3 ln (x)
b) ĺım
x→1
x27 − 1
x5 − 1
.
c) ĺım
x→2
x3 − x2 − x− 2
x3 − 2x2 − 4x + 8
.
d) ĺım
x→∞
(
1
x
− 1
)x
.
e) ĺım
x→0
6x2 − 5x
ln (3x2 + 4x + 1)
.
f ) ĺım
x→0+
(1− x)csc(x).
g) ĺım
x→0+
1
1 + 5xx
.
h) ĺım
x→∞
x
[ln (x)]3
.
i) ĺım
x→0+
4x
8x − 2x
.
j ) ĺım
x→1
x
1
1−x .
k) ĺım
x→π2 −
(sen(x)− cos(x))tan (x).
l) ĺım
x→0+
1
x3
− cot2(x).
m) ĺım
x→0+
(
x2 sen(x)
) 1
x .
n) ĺım
x→∞
x + 3 ln(x)
5x + 2 ln(x)
.
ñ) ĺım
x→π2 −
ln(tan(x))
ln(cos(x))
.
o) ĺım
t→0+
et + e−t
et − e−t
− 1
t
.
p) ĺım
x→0
cos(3x)− e4x
cos(x)− ex
.
q) ĺım
t→0
1− cos(2t) cos(4t)
1− cos(t) cos(3t)
.
r) ĺım
x→0
sen(x)− x
arc sen(tan(x))− arctan(sen(x))
.
3. Un punto se mueve sobre la curva y = x4 de tal modo que su abscisa x aumenta a una velocidad constante de 4 cm/s.
Calcular la velocidad a la que vaŕıa la ordenada y de este punto cuando pasa por (1, 1).
4. Se infla un globo esférico y su radio crece a razón de 4 mm/s, ¿qué tan rápido se incrementa el volumen del globo cuando
el diámetro de éste es de 80 mm?
5. Dos automóviles parten desde el mismo punto. Uno se dirige hacia el norte a 100 km/h y el otro hacia el este a 45 km/h.
¿Con qué rapidez se incrementa la distancia entre los dos automóviles dos horas después?
6. Una escalera de 6 m de largo está apoyada contra un muro vertical. Si la parte inferior de la escalera se desliza alejándose
de la pared a razón de 20 cm/s, ¿qué tan rápido resbala la parte superior de la escalera por la pared cuando la parte
inferior de la escalera está a 2 m del muro?
7. Un depósito está lleno de agua y tiene la forma de un cono circular invertido; el radio de la base es de 2 m y la altura es
de 4 m. Si el agua se bombea hacia afuera del depósito a razón de 1 m3/min, determine la rapidez a la cual baja el nivel
del agua cuando ésta tiene 3 m de profundidad.
8. La alberca de la casa de Nairo tiene la forma de cilindro circular recto, con el diámetro interno de 3 m, y la altura interior
es de 2, 5 m. Si el agua se bombea hacia la alberca a razón de 1000 cm3/min, determine la rapidez a la cual sube el nivel
del agua cuando el agua tiene 2 m de profundidad.
9. Un avión que vuela horizontalmente a una altitud de 450 km y a una rapidez de 300 km/h pasa directamente sobre una
estación de radar. Calcule la rapidez con la que se incrementa la distancia desde el avión a la estación cuando éste se
encuentra a 5 km de la estación.
10. Un hombre de 1, 70 m está parado debajo de una farola que se encuentra en la cima de un poste de 3 m de altura. El
hombre comienza a caminar alejandose del poste a lo largo de una trayectoria rectiĺınea a una velocidad de 0, 4 m/s.
Calcular la velocidad a la que crece la sombra del hombre proyectada sobre el piso.
11. Una mujer jala un bote desde un muelle con una cuerda, sus manos estan a 1, 5 m por encima del amarre del bote. Si la
mujer jala el bote a una velocidad de 0, 4 m/s cuando el bote está a 2 m del muelle, ¿a qué velocidad se aproxima el bote
al muelle?
12. La Ley de Boyle establece que, cuando una muestra de gas se comprime a una temperatura constante, la presión (P ) y
el volumen (V ) satisfacen la ecuación PV = C, donde C es una constante. Suponga que en cierto instante el volumen es
0, 6 m3, la presión es de 200Pa y la razón se incrementa a razón de 30Pa/min (Pascales por minuto) ¿con qué rapidez
disminuye el volumen en ese instante?. (Recuerde que 1Pa = 1N/m2)