Taller semana 14

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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
TALLER - CÁLCULO I (DIFERENCIAL)
Semana: 14
INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller,repase un poco la teoŕıa, ejemplos y videos
propuestos en la plataforma y vistos en los encuentros virtuales correspondientes a esta semana.
1. Responda si el enunciado es verdadero o falso. Si es ver-
dadero, explique por qué, y si es falso escriba el enunciado
correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado dado
no se cumpla.
a) ( ) Si f no es continua en [a, b], entonces no tiene
extremos absolutos en ese intervalo.
b) ( ) Si f tiene un máximo relativo en x = a en-
tonces f ′(a) = 0.
c) ( ) Si f no tiene un máximo absoluto en [a, b],
entonces debe haber un x ∈ [a, b] donde f no es
continua.
d) ( ) Si f es diferenciable en [a, b], entonces f ′ se
hace cero en todos los mı́nimos relativos de f.
e) ( ) Si f es diferenciable en [a, b], entonces f tiene
un mı́nimo absoluto en ese intervalo, además f ′ se
hace cero en el mı́nimo absoluto.
f ) ( ) Si f(b) > f(a) y f es diferenciable en [a, b],
entonces f es creciente en algún x ∈ [a, b].
g) ( ) Todo extremo absoluto de una función es un
extremo relativo.
h) ( ) Si f ′(x) > 0 para todo x > c, y f ′(x) < 0 para
todo x < c, entonces f tiene un mı́nimo relativo en
x = c.
i) ( ) Si f ′′(c) = 0, entonces la gráfica de f tiene un
punto de inflexión en x = c.
j ) ( ) Si f es diferenciable en [a, b] y f(a) = f(b)
entonces f tiene al menos un número cŕıtico.
k) ( ) Si f ′′(c) = 0, entonces f no puede tener un
extremo relativo en x = c.
l) ( ) La función constante no tiene extremos rela-
tivos.
m) ( ) Si f ′(a) = 0, entonces f tiene un extremo re-
lativo en x = a.
n) ( ) Entre Medelĺın y Bógota hay 360Km. Si un
bus tarda 10 horas en realizar la ruta entre esas dos
ciudades, entonces en algún momento del viaje, el
tacómetro de bus marcó 36Km/h.
ñ) ( ) Una epidemia duró 200 d́ıas, y en ese intervalo
murieron un total de 1000 personas. Entonces hubo
al menos un d́ıa en el cual murieron aproximada-
mente 5 personas.
2. Encuentre la linealización L(x) de cada una de las si-
guientes funciones en x = a:
a) f(x) = x4+3x2, a = 1
b) f(x) = senx, a =
π
6
c) f(x) =
√
x, a = 4
d) f(x) = x3/4, a = 16.
3. Use una aproximación lineal para aproximar el va-
lor de los siguientes números si usar calculadora:
√
99, log2(5), tan(1,1π), sen
−1
(
11
20
)
,
1
1002
. Use su cal-
culadora para calcular el error en la aproximación.
4. La cantidad S de sangre en mm3 por segundo que puede
pasar por una arteria de radio r es modelada mediante la
ecuación S = kr4, donde k es una constante positiva. Si
debido a la acumulación de grasa, el radio de una arteria
se disminuye en un 10 %, calcule el cambio porcentual en
la cantidad de sangre que puede circular por la arteria.
5. El diámetro interior de un tanque ciĺındrico de altura 10
metros se mide con un error porcentual de 1 %.
a) ¿Cuál es el error porcentual máximo correspondien-
te al cálculo del volumen del tanque?
b) ¿Con qué precisión se debe realizar la medición del
radio interno, si se desea un error relativo de menos
del 0,1 % en el volumen del tanque.
6. Responda las siguientes preguntas:
a) ¿Qué son los extremos absolutos y relativos de una
función?
b) ¿Qué dice el teorema del valor extremo?
c) ¿Qué dice el teorema de Fermat? ¿Cómo se usa?
d) ¿Qué dice el método del intervalo cerrado?
7. Sea f la función cuya gráfica se muestra a continuación:
Responda si los siguientes enunciados son verdaderos o
falsos:
a) ( ) En x = −7, f tiene un mı́nimo local.
b) ( ) Todo x ∈ [4, 5) es un mı́nimo relativo de f.
c) ( ) Todo x ∈ (4, 5), es un máximo relativo de f.
d) ( ) f tiene un máximo local en x = −5.
e) ( ) f(3) es un máximo absoluto de f.
f ) ( ) x = −5 es un máximo absoluto de f en
(−6, 2).
g) ( ) El único mı́nimo absoluto de f es x = −1.
h) ( ) En x = −8, f tiene un máximo absoluto, pero
no un máximo relativo.
i) ( ) En x = 7, f tiene un máximo absoluto, pero
no un máximo relativo.
j ) ( ) En x = −7, f tiene un mı́nimo relativo, pe-
ro en el intervalo [−8, 1), x = −7 no es un mı́nimo
absoluto de f.
8. Para cada una de las siguientes funciones encuentre los
numeros cŕıticos si los tiene.
a) f(x) = x3 − 3x2
b) g(t) = |t− 2|
c) f(x) = x3 + x2 + x
d) s(t) = 3t4 + 4t3 − 6t2
e) g(t) = t
√
4− 7, t < 3
f ) h(x) = sen2 x+ cosx, 0 < x < 2π
g) F (x) = x4/5(x− 4)2
h) h(t) = 3t− arc sen t
i) g(x) = x−2 lnx
j ) f(x) =
x− 1
x2 − x+ 1
9. Para cada una de las siguientes funciones halle los núme-
ros cŕıticos, y extremos globales en el intervalo indicado.
a) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 1, [−2, 3],
b) f(t) = t
√
4− t2, [−1, 2],
c) f(x) =
x2 − 4
x+ 4
, (−∞,∞)
d) g(r) = r − 2 tan−1(r), (0, 4]
e) h(t) = 2 cos t+ sen(2t), [π,+∞)
f ) f(x) = xe−x
2/8, [−1, 4]
g) f(x) = ln(x2 + x+ 1), [−1, 1]
h)
f(x) =
cosx; si 0 ≤ x ≤ π,senx; si π < x ≤ 3π, [0, 3π]
10. Para cada numeral, trace la gráfica de una función que
satisfagan todas las condiciones.
a) Una función que tenga un máximo local en x = 2,
y que sea continua pero no derivable en x = 2.
b) Una función en [−1, 2] que tenga más de un mı́nimo
absoluto, pero que no tenga máximo absoluto.
c) Una función sobre el intervalo [−1, 2] que tenga un
máximo local pero que no tenga un máximo abso-
luto.
d) Una función que tenga dos máximos locales, un
mı́nimo local y que no tenga mı́nimo absoluto.
e) Una función que tenga tres mı́nimos locales, dos
máximos locales y siete números cŕıticos.