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CLASE #10 y #11
Métodos de integración: fracciones parciales
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto gúıa Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
Integración de funciones racionales mediante fracciones
parciales
El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función
racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla de la derivada
del cociente. Por otra parte, la integración de funciones racionales puede conducir a funciones
que no sean racionales. Por ejemplo, se tiene:∫
1
x
dx = ln |x|+ C y
∫
1
1 + x2
dx = tan−1 x+ C
Se dará a continuación un método para calcular la integral de una función racional cualquiera
y se verá que el resultado puede expresarse siempre por medio de. polinomios, funciones
racionales, arco tangentes y logaritmos.
La idea básica del método consiste en descomponer una fracción en suma de fracciones
simples que pueden integrarse por las técnicas dadas anteriormente. Este procedimiento se
llama método de las fracciones simples o parciales.
Descomposición de
P (x)
Q(x)
en fracciones simples Para ver cómo funciona en general el
método de fracciones parciales, consideremos la función racional
f(x) =
P (x)
Q(x)
1. Dividir en caso impropio: si
P (x)
Q(x)
es una fracción impropia (es decir, si el grado
del numerador es mayor o igual al grado del denominador), dividir el denominador en
el numerador para obtener
P (x)
Q(x)
= S(x) +
R(x)
Q(x)
1
https://wlh.es/v2/1690385316969/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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donde el grado de R(x) es menor del grado de Q(x).
2. Factorizar el denominador: Factorizar completamente el denominador Q(x) en fac-
tores de los tipos
(ax+ b)m y (ax2 + bx+ c)n
donde ax2 + bx+ c es irreducible.
3. Factores lineales: Para cada factor lineal (ax+ b)m, la descomposición en fracciones
parciales debe incluir la suma siguiente de m fracciones.
A1
ax+ b
+
A2
(ax+ b)2
+ · · ·+ Am
(ax+ b)m
4. Factores cuadráticos: Para cada factor cuadrático (ax2+bx+c)n, la descomposición
en fracciones parciales debe incluir la suma siguiente de n fracciones.
A1x+B1
ax2 + bx+ c
+
A2x+B2
(ax2 + bx+ c)2
+ · · ·+ Anx+Bn
(ax2 + bx+ c)n
Ejemplo 1. Evaluar
∫
5x+ 3
x2 + 2x− 3
dx
Solución Note que x2 + 2x− 3 = (x+ 3)(x− 1). Luego,
5x+ 3
x2 + 2x− 3
=
5x+ 3
(x+ 3)(x− 1)
=
A
x+ 3
+
B
x− 1
Multiplicamos ambos lados por el factor (x+ 3)(x− 1) y obtenemos
5x+ 3 = A(x− 1) +B(x+ 3)
= Ax− A+Bx+ 3B
= (A+B)x+ (−A+ 3B)
Ahora, igualando término a término, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales{
A+B = 5 (e1)
−A+ 3B = 3 (e2)
Sumando la (e1) y (e2) tenemos
4B = 8 ⇒ B = 2
De modo que,
A+B = 5 ⇔ A = 5−B
⇔ A = 5− 2 = 3
2
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Ya que hemos encontrado el valor de las constantes A y B, tenemos que
5x+ 3
x2 + 2x− 3
=
A
x+ 3
+
B
x− 1
=
3
x+ 3
+
2
x− 1
Por lo tanto, ∫
5x+ 3
x2 + 2x− 3
dx =
∫ (
3
x+ 3
+
2
x− 1
)
dx
=
∫
3
x+ 3
dx+
∫
2
x− 1
dx
= 3 ln |x+ 3|+ 2 ln |x− 1|+ C
Ejemplo 2. Evaluar
∫
5x2 + 3
x4 + 2x2
dx
Solución Note que x4 + 2x2 = x2(x2 + 2). Luego,
5x2 + 3
x4 + 2x2
=
5x2 + 3
x2(x2 + 2)
=
A
x
+
B
x2
+
Cx+D
x2 + 2
Multiplicando ambos lados por el factor x2(x2 + 2) obtenemos
5x2 + 3 = Ax(x2 + 2) +B(x2 + 2) + (Cx+D)x2
= Ax3 + 2Ax+Bx2 + 2B + Cx3 +Dx2
= (A+ C)x3 + (B +D)x2 + 2Ax+ 2B
Ahora, igualando término a término obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
A+ C = 0 (e1)
B +D = 5 (e2)
2A = 0 (e3) ⇒ A = 0
2B = 3 (e4) ⇒ B = 3
2
De la (e1) tenemos que C = 0 y de (e2) tenemos que D = 7/2
Procedemos a reemplazar los valores encontrados para cada constante
5x2 + 3
x4 + 2x2
=
A
x
+
B
x2
+
Cx+D
x2 + 2
=
0
x
+
3/2
x2
+
0 + 7/2
x2 + 2
=
3/2
x2
+
7/2
x2 + 2
3
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Por lo tanto,
5x2 + 3
x4 + 2x2
dx =
∫ (
3/2
x2
+
7/2
x2 + 2
)
dx
=
3
2
∫
1
x2
dx+
7
2
∫
1
x2 + 2
dx
=
3
2
(
−1
x
)
+
7
2
(
1√
2
tan−1
(
x√
2
))
+ C
= − 3
2x
+
7
2
√
2
tan−1
(
x√
2
)
+ C
Ejemplo 3. Evaluar
∫
2x6 − 3x5 + 7x4 − 9x3 − 4x2 + 15x− 5
x5 − x4 + 3x3 − 3x2 − 4x+ 4
dxSolución Primero vamos a dividir ya que lo podemos hacer porque el grado del polinomio
en el numerador es mayor que el grado del polinomio en el denominador
2x− 1
x5 − x4 + 3x3 − 3x2 − 4x+ 4
)
2x6 − 3x5 + 7x4 − 9x3 − 4x2 + 15x− 5
− 2x6 + 2x5 − 6x4 + 6x3 + 8x2 − 8x
− x5 + x4 − 3x3 + 4x2 + 7x− 5
x5 − x4 + 3x3 − 3x2 − 4x + 4
x2 + 3x− 1
Aśı
2x6 − 3x5 + 7x4 − 9x3 − 4x2 + 15x− 5
x5 − x4 + 3x3 − 3x2 − 4x+ 4
= 2x− 1 + x
2 + 3x− 1
x5 − x4 + 3x3 − 3x2 − 4x+ 4
Luego,∫
2x6 − 3x5 + 7x4 − 9x3 − 4x2 + 15x− 5
x5 − x4 + 3x3 − 3x2 − 4x+ 4
dx =
∫
2x− 1 dx+
∫
x2 + 3x− 1
x5 − x4 + 3x3 − 3x2 − 4x+ 4
dx
Note que
x5 − x4 + 3x3 − 3x2 − 4x+ 4 = (x− 1)2(x+ 1)(x2 + 4)
La descomposición en fracciones parciales queda como sigue
x2 + 3x− 1
x5 − x4 + 3x3 − 3x2 − 4x+ 4
=
x2 + 3x− 1
(x+ 1)(x− 1)2(x2 + 4)
=
A
x+ 1
+
B
x− 1
+
C
(x+ 1)2
+
Dx+ E
x2 + 4
Con un procedimiento similar a los ejemplos anteriores se tiene que los valores de las cons-
tantes son A = −3/20, B = 23/100, C = 3/20, D = −2/25 y E = −17/25. Reemplazando
x2 + 3x− 1
(x+ 1)(x− 1)2(x2 + 4)
=
−3/20
x+ 1
+
23/100
x− 1
+
3/20
(x+ 1)2
+
−1/25(2x+ 17)
x2 + 4
4
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Por lo tanto, la integral∫
2x6 − 3x5 + 7x4 − 9x3 − 4x2 + 15x− 5
x5 − x4 + 3x3 − 3x2 − 4x+ 4
dx
la resolvemos reemplazando∫
2x− 1 dx+
∫
x2 + 3x− 1
x5 − x4 + 3x3 − 3x2 − 4x+ 4
dx
= x2 − x+
∫ (
−3/20
x+ 1
+
23/100
x− 1
+
3/20
(x+ 1)2
+
−1/25(2x+ 17)
x2 + 4
)
dx
= x2 − x− 3
20
ln |x+ 1|+ 23
100
ln |x− 11| − 3
10(x− 1)
− 1
25
ln(x2 + 4)− 17
50
tan−1
(x
2
)
+ C
Ejemplo 5. Calcular las siguientes integrales
a)
∫
x3 + 1
x− 1
dx
b)
∫
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2x
dx
c)
∫
dx√
x2 − a2
d)
∫
x4 + 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
dx
e)
∫
2x2 − x+ 4
x3 + 4x
dx
f)
∫
4x2 − 3x+ 2
4x2 − 4x+ 3
dx
f)
∫
1− x+ 2x2 − x3
x(x2 + 1)2
dx
Solución Ver Stewart 7maed páginas 485 a la 491.
Ejemplo 5. Calcular las siguientes integrales
a)
∫
7x− 1
x2 − x− 6
dx ¿ b)
∫ 3
2
x2 − x− 5
(x− 1)(x2 + x+ 2)
Solución Ver Leithold 7maed páginas 573 y 581.
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Referencias
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McGraw-Hill Education.
[2] Leithold, L. (1995).El cálculo (7.a ed., Vol. 1). Harpercollins College Division.
[3] Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7.a ed., Vol. 1). Cengage Learning Editores.
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