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Clase #13
Integrales Impropias
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
1. Integrales impropias
1.1. Tipo 1: intervalos infinitos
Definición . [ integral impropia de tipo 1] Entenderemos el concepto de integral defini-
da impropia al caso donde el intervalo es infinito o la función f tiene una discontinuidad
infinita en el intervalo [a, b].
Definición . [Integrales tipo 1: Intervalos infinitos]
1. Si
∫ t
a
f (x) dx existe para todo número t ≥ a, entonces
∫ ∞
a
f (x) dx = lı́m
t−→∞
∫ t
a
f (x) dx
siempre que el lı́mite exista (como un número finito).
2. Si
∫ b
t
f (x) dx existe para todo número t ≤ b, entonces
∫ b
−∞
f (x) dx = lı́m
t−→−∞
∫ b
t
f (x) dx
siempre que el lı́mite exista (como un número finito).
3. Si ambas
∫ t
a
f (x) dx y
∫ b
t
f (x) dx son convergentes, entonces definimos
∫ ∞
−∞
f (x) dx =
∫ a
−∞
f (x) dx +
∫ ∞
a
f (x) dx
1
https://wlh.es/v2/1690385293389/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690385293389/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Ejemplo 1. Encuentre el área de la región S que está bajo la curva y =
1
x2
, por encima
del eje x y a la derecha de la recta x = 1.
Solución Primero hagamos la gráfica de la función para identificar el área que debemos
calcular
Remplazando directamente tenemos que
A =
∫ b
1
1
x2
dx = −1
x
∣∣∣∣b
1
= 1 − 1
b
Note que A < 1 sin importar qué tan grande se elija b.. También observamos que
lı́m
x→∞
A(= lı́m
b→∞
(
1 − 1
b
)
= 1
Ası́, el área de la región sombreada se aproxima a 1 cuando t → ∞. Por tanto∫ ∞
1
1
x2
dx = lı́m
b→∞
∫ b
1
1
x2
dx = 1.
Como el lı́mite existe, podemos concluir que
∫ ∞
1
1
x2
= 1 es convergente.
Ejemplo 2. Determine si la integral
∫ ∞
1
1
x
dx es convergente o divergente.
2
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Solución Note que f (x) = 1/x es continua en el intervalo [1, ∞) y
∫ t
1
1
x
dx = ln t existe
para todo t ≥ 1. Entonces ∫ ∞
1
1
x
dx = lı́m
t→∞
(∫ t
1
1
x
dx
)
= lı́m
t→∞
(
ln x]t1
)
= lı́m
t→∞
(
ln t −���*
0
ln 1
)
= lı́m
t→∞
ln t → ∞
Como el lı́mite no existe, entonces
∫ ∞
1
1
x
dx es divergente. Gráficamente se puede ver que
el área es infinita
Ejemplo 3. Determine si la integral
∫ 2
−∞
dx
(x − 4)2 es convergente o divergente.
3
https://wlh.es/v2/1690385293397/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Solución Como
∫ 2
−∞
dx
(x − 4)2 existe en (−∞, 2]. Entonces∫ 2
−∞
dx
(x − 4)2 = lı́ms→−∞
(∫ 2
s
dx
(x − 4)2
)
= lı́m
s→−∞
[
1
4 − x
]x=2
x=s
= lı́m
s→−∞
(
1
2
− 1
4 − s
)
= lı́m
s→−∞
1
2
− lı́m
s→−∞
1
4 − s
=
1
2
− 0
=
1
2
Por lo tanto,
∫ 2
−∞
dx
(x − 4)2 =
1
2
es convergente.
Ejemplo 4. Evalúe
∫ ∞
−∞
ex
1 + e2x
dx
Solución La integral se resuelve por sustitución, tomando u = ex, entonces du = ex dx.
Ası́, ∫ ex
1 + e2x
dx =
∫ du
1 + u2
du
= tan−1 u + C
= tan−1(ex) + C
Notar que el integrando es continuo en (−∞, ∞). Para evaluar la integral, se puede des-
4
https://wlh.es/v2/1690385293405/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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−∞
ex
1 + e2x
dx =
∫ 0
−∞
ex
1 + e2x
dx +
∫ ∞
0
ex
1 + e2x
dx
= lı́m
t→−∞
(∫ 0
t
ex
1 + e2x
dx
)
+ lı́m
t→∞
(∫ t
0
ex
1 + e2x
dx
= lı́m
t→−∞
[
tan−1(ex)
]0
t
+ lı́m
t→∞
[
tan−1(ex)
]t
0
= lı́m
t→−∞
(tan−1(e0)− tan−1(et) + lı́m
t→∞
(tan−1(et)− tan−1(e0)
= lı́m
t→−∞
(tan−1(1)− tan−1(et) + lı́m
t→∞
(tan−1(et)− tan−1(1) =
=
π
4
− tan−1( lı́m
t→−∞
et) + tan−1( lı́m
t→∞
et)− π
4
=
�
��
π
4
− tan−1
�
��
�
��
�*0(
lı́m
t→−∞
et
)
+ tan−1
��
�
��
�*∞(
lı́m
t→∞
et
)
−
�
��
π
4
= − tan−1(0) + tan−1(∞)
= 0 +
π
2
=
π
2
Ejemplo 5. Evaúe
a)
∫ 0
−∞
xex dx b)
∫ ∞
−∞
1
1 + x2
dx
Solución Ver Stewart 7maed páginas 521 y 522.
Ejemplo 6. ¿Para qué valores de p, la integral
∫ ∞
1
1
xp
dx converge?
Solución Ver Stewart 7maed páginas 522.
1.2. Tipo 2: integrandos discontinuos
Definición . [ integral impropia de tipo 2]
1. Si f es continua sobre [a, b) y es discontinua en b, entonces∫ b
a
f (x) dx = lı́m
t−→b−
∫ t
a
f (x) dx
siempre que el lı́mite exista (como un número finito).
5
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2. Si f es continua sobre (a, b] y es discontinua en a, entonces∫ b
a
f (x) dx = lı́m
t−→a+
∫ b
t
f (x) dx
siempre que el lı́mite exista (como un número finito).
La integral impropia
∫ b
a
f (x) dx se llama convergente si existe el lı́mite correspon-
diente, y divergente si el lı́mite no existe.
3. Si f tiene una discontinuidad en c, donde a < c < b y
∫ c
a
f (x) dx y
∫ b
c
f (x) dx son
convergentes, entonces∫ b
a
f (x) dx =
∫ c
a
f (x) dx +
∫ b
c
f (x) dx
Ejemplo . Encuentre
∫ 3
2
1√
x − 2
dx
Solución Ver texto guı́a página 524.
Ejemplo . Determine si
∫ π/2
0
sec x dx
Solución er texto guı́a página 524.
Ejemplo . Evalúe
∫ 3
0
1
x − 1 dx
Solución Ver texto guı́a página 524.
Ejemplo . Evalúe
∫ 1
0
ln x dx
Solución Ver texto guı́a página 525.
Prueba de comparación para integrales impropias
Teorema . [Teorema de comparación] Suponga que f y g son funciones continuas con
f (x) ≥ g(x) ≥ 0 para x ≥ a.
1. Si
∫ ∞
a f (x) dx es convergente, entonces
∫ ∞
a g(x) dx es convergente
2. Si
∫ ∞
a g(x) dx es divergente, entonces
∫ ∞
a f (x) dx es divergente.
Ejemplo . Demuestre que
∫ ∞
0
e−x
2
dx es convergente.
Solución Ver texto guı́a página 526.
Ejercicios . Determine la convergencia o divergencia de las siguientes integrales
6
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1.
∫ ∞
0
senx dx
2.
∫ ∞
0
(1 − x)e−x dx
3.
∫ ∞
−∞
e−|x| dx
4.
∫ ∞
0
e−x cos x dx
5.
∫ 1
0
x ln x dx
6.
∫ 0
−2
1√
4 − x2
dx
7.
∫ 2
0
1
1 − x dx
8.
∫ 2
0
1
(x − 1)2 dx
9.
∫ 2
0
1
(x − 1)2/3
dx
7
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Referencias
[1] Larson, R., and Edwards, B. H. (2010). Cálculo I de una variable (9.a ed., Vol. 1).
McGraw-Hill Education.
[2] Leithold, L. (1995).El cálculo (7.a ed., Vol. 1). Harpercollins College Division.
[3] Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7.a ed., Vol. 1). Cengage Learning Editores.
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