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Sucesiones y lı́mite de sucesiones
Curso: Cálculo Integral
24 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
1. Sucesiones
Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en un orden defini-
do:
a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . .
El número a1 recibe el nombre de primer término, a2 es el segundo término y, en general,
an es el n-ésimo término. Aquı́ tratamos exclusivamente con sucesiones infinitas, por lo
que cada término an tiene un sucesor an+1.
Definición . [Función sucesión] Una función sucesión es una función cuyo dominio es
el conjunto {1, 2, 3, 4, . . . , n, . . .} de enteros positivos.
Los números del rango de una sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste
de los elementos de una función sucesión listados en orden. .
Usualmente escribimos an en lugar de la notación de función f (n) para el valor de la
función en el número n.
Notación La sucesión {a1, a2, a3, . . .} también se denota mediante
{an} o {an}∞n=1
Ejemplo 1. Algunas sucesiones se pueden definir dando una fórmula para el n-ésimo
término.
a)
{
n
n + 1
}∞
n=1
; an =
n
n + 1
;
{
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
, . . . ,
n
n + 1
, . . .
}
b)
{
(−1)n(n + 1)
3n
}∞
n=1
; an =
(−1)n(n + 1)
3n
;
{
−2
3
,
3
9
,− 4
27
,
5
81
, . . . ,
(−1)n(n + 1)
3n
, . . .
}
c)
{√
n − 3
}∞
n=3
; an =
√
n − 3;
{
0, 1,
√
2,
√
3, . . . ,
√
n − 3, . . .
}
1
https://wlh.es/v2/1690385523120/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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d)
{
cos
(nπ
6
)}∞
n=0
; an = cos
(nπ
6
)
; n ≥ 0
{
1,
√
3
2
,
1
2
, 0,
4
5
, . . . , cos
(nπ
6
)
, . . .
}
Ejemplo 2. Encuentre una fórmula para el término general an de la sucesión{
3
5
,− 4
25
,
5
125
,− 6
625
,
7
3125
, . . .
}
y suponga que el patrón de los primeros términos continúa.
Solución Sabemos que
a1 =
3
5
, a2 = −
4
25
, a3 =
5
125
, a4 = −
6
625
, a5 =
7
3125
Primeo notemos que los numeradores de estas fracciones empiezan con 3 y se incremen-
tan una unidad al pasar al siguiente término. El segundo término tiene numerador 4, el
siguiente numerador es 5; en general, el n-ésimo término tendrá como numerador
n + 2
Ahora, analizando el denominador vemos que los denominadores son las potencias de 5,
de modo que an tiene por denominador
5n
El signo de los términos es alternadamente positivo y negativo, por lo que es necesario
multiplicar por una potencia de −1. Como aquı́ se busca iniciar con un término positivo,
usamos
(−1)n+1
Por tanto, el n-’esimo término es
an =
(−1)n+1(n + 2)
5n
Hay algunas sucesiones que no tienen una ecuación que las defina en forma simple.
Ejemplo 3. Considere la sucesión definida en forma recursiva
f1 = 1
f2 = 1
fn = fn−1 + fn−2 n ≥ 3
Cada uno de los términos es la suma de los dos anteriores.
2
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Solución Los primeros términos son
f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2
f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3
f5 = f4 + f3 = 3 + 2 = 5
f6 = f5 + f4 = 5 + 3 = 8
f7 = f6 + f5 = 8 + 5 = 13
f8 = f7 + f6 = 13 + 8 = 21
Ası́, tenemos
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .}
Esta sucesión es de gran importancia y recibe el nombre de sucesión de Fibonacci { fn},
la cual surgió cuando el matemático Fibonacci, resolvió un problema que se relacionaba
con la crı́a de conejos.
Definición . [Lı́mite de una sucesión] Una sucesión {an} tiene el lı́mite L y lo expresa-
mos como
lı́m
n→∞
an = L o an → L cuando n → ∞
si el lı́mite existe se dice que la sucesión converge (o que es convergente). De lo contrario,
se dice que la sucesión diverge (o es divergente).
Las leyes de los lı́mites también se cumplen para los lı́mites de sucesiones
Leyes de los lı́mites Si {an} y {bn} son sucesiones convergentes y c es una constante,
entonces
i) lı́m
n→∞
[an + bn] = lı́mn→∞ an + lı́mn→∞ bn
ii) lı́m
n→∞
[an − bn] = lı́mn→∞ an − lı́mn→∞ bn
iii) lı́m
n→∞
[can] = c lı́mn→∞ an
iv) lı́m
n→∞
[anbn] = lı́mn→∞ an · lı́mn→∞ bn
v) lı́m
n→∞
c = c
vi) lı́m
n→∞
[
an
bn
]
=
lı́m
n→∞
an
lı́m
n→∞
bn
y lı́m
n→∞
bn ̸= 0
vii) lı́m
n→∞
apn =
[
lı́m
n→∞
an
]p
Ejemplo 4. Determine lı́m
n→∞
n
n + 1
Solución
lı́m
n→∞
n
n + 1
= lı́m
x→∞
n
n
n + 1
n
= lı́m
n→∞
1
1 +
1
n
=
1
1 + 0
= 1
3
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n√
n + 10
es convergente o divergente
Solución Veamos que sucede con el lı́mite
lı́m
n→∞
n√
n + 10
= lı́m
n→∞
n
n√
n + 10√
n2
= lı́m
n→∞
1√
n + 10
n2
= lı́m
n→∞
1√
1
n
+
10
n2
= lı́m
n→∞
1√
0
= lı́m
n→∞
1
0
= ∞
Como el lı́mite no existe, entonces {an} es divergente.
Teorema . lı́m
x→∞
f (x) = L y f (n) = an cuando n es un entero, entonces lı́mn→∞ an = L
Ejemplo 6. Determine lı́m
n→∞
ln(n)
n
Solución Note que lı́m
x→∞
ln(n) = ∞ y lı́m
x→∞
n = ∞, Sin embargo, No se puede aplicar direc-
tamente la regla de L’Hospital porque no se aplica a sucesiones, sino a funciones de una
variable real. De modo que si definimos la función f (x) =
ln(x)
x
, donde x ∈ R, entonces
lı́m
x→∞
ln(x)
x
= lı́m
x→∞
d
dx
[ln(n)]
d
dx
(n)
= lı́m
x→∞
1
x
1
= lı́m
x→∞
1
x
= 0
Por tanto, de acuerdo con el teorema, ya que f (n) =
ln(n)
n
= an, entonces
lı́m
n→∞
ln(n)
n
= 0
Ejemplo 7. Determine si la sucesión an = (−1)n es convergente o divergente.
Solución Si escribimos algunos términos de la sucesión obtenemos
{−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . .}
Como los términos oscilan entre 1 y −1 en forma infinita, an no se aproxima a ningún
número. Por tanto,
lı́m
n→∞
(−1)n no existe.
De modo que la sucesión {(−1)n} es divergente.
4
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Teorema . SI lı́m
n→∞
|an| = 0, entonces lı́mn→∞ an = 0
Ejemplo 8. Evalúe lı́m
n→∞
(−1)n
n
si éste existe.
Solución Note que si n = 1, entonces (−1)1 = −1 y |(−1)1| = | − 1| = 1 y si n = 2,
entonces (−1)2 = 1 y |(−1)2| = |1| = 1, de modo que para cualquier entero positivo n ,
tenemos que
|(−1)n| = |1| = 1
Ahora, calculamos el lı́mite del valor absoluto:
lı́m
n→∞
∣∣∣∣ (−1)nn
∣∣∣∣ = lı́mn→∞ |(−1)n||n|
= lı́m
n→∞
1
n
= 0.
Por tanto, de acuerdo con uno de los teoremas enunciado antes, tenemos
lı́m
n→∞
(−1)n
n
= 0.
Teorema . lı́m
n→∞
an = L y la función f es continua en L, entonces
lı́m
n→∞
f (an) = f (L)
Ejemplo 8. Encuentre lı́m
n→∞
sin
(π
n
)
Solución Note primero que si an =
π
n
, entonces lı́m
n→∞
π
n
= 0 y como la función seno es
continua en 0, el teorema nos permite escribir
lı́m
n→∞
sin
(π
n
)
= sin
(
lı́m
n→∞
π
n
)
= sin(0) = 0.
Teorema . [Teorema de compresión] Si an ≤ bn ≤ cn, para n ≥ n0 y lı́mn→∞ an = lı́mn→∞ cn = L,
entonces
lı́m
n→∞
bn = L
Ejemplo 9. Analice la convergencia de la sucesión
{
n!
nn
}
, donde n! = 1 · 2 · 3 · · · (n− 1) ·
n
Solución Tanto numerador como denominador se aproximan al infinito cuando n → ∞,
pero no cabe utilizar la regla de l’Hospital (x! no está definida cuando x no es un número
entero). Escribamos algunos términos para ver si es posible intuir qué pasa con an cuando
n es muy grande:
5
https://wlh.es/v2/1690385523144/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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Veamos algunos términos
a1 =
1!
(1)1
=
1
1
= 1
a2 =
2!
(2)2
=
1 · 2
2 · 2 < 1
a3 =
3!
(3)3
=
1 · 2 · 3
3 · 3 · 3 < 1
...
an =
n!
(n)n
=
1 · 2 · 3 · · · n
n · n · n · · · n
Esta expresión sugieren que los términos están decreciendo y parecen aproximarse a cero.
Para confirmar esto, observe de la siguiente ecuación que
an =
1
n
(
2 · 3 · · · n
n · n · · · n
)
Observe que la expresión entre paréntesis es a lo más 1 porque el numerador es menor
que (o igual) al denominador
Note que
0 <
1 · 2 · 3 · · · n
n · n · n · · · n ≤ 1(
1
n
)
· 0 < 1
n
(
1 · 2 · 3 · · · n
n · n · n · · · n
)
≤
(
1
n
)
· 1
0 <
1
n
(
1 · 2 · 3 · · · n
n · n · n · · · n
)
≤ 1
n
Ası́ que
0 < an ≤
1
n
0 <
n!
nn
≤ 1
n
Como lı́m
n→∞
0 y lı́m
n→∞
1
n
= 0, entonce por el teorema de comparación tenemos que
lı́m
n→∞
n!
nn
= 0
Por lo tanto, la sucesión es convergente.
Teorema . La sucesión {rn} es convergente si −1 < r ≤ 1 y es divergente para cualquier
otro valor de r. Además,
lı́m
n→∞
rn =

0 si −1 < r < 1
1 si r = 1
6
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i) creciente si para todo n ≥ 1
an < an+1
es decir, a1 < a2 < a3 < · · ·
i) decreciente si para todo n ≥ 1
an > an+1
es decir, a1 > a2 > a3 > · · ·
Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente.
Ejemplo 10. Determine si la sucesión
{
3
n + 5
}
es creciente o decreciente.
Solución Sea an =
3
n + 5
, entonces
an+1 =
3
(n + 1) + 5
=
3
n + (1 + 5)
=
3
n + 6
Además, note que para n ≥ 1, tenemos que
n + 6 > n + 5
1
n + 5
>
1
n + 6
3
n + 5
>
3
n + 6
Ası́, que an > an+1 para todo n ≥ 1. Por lo tanto la sucesión es decreciente.
Ejemplo 11. Demuestre que la sucesión
{
n
n2 + 1
}
es decreciente.
Solución Sea an =
n
n2 + 1
, entonces
an+1 =
n + 1
(n + 1)2 + 1
=
n + 1
n2 + 2n + 1 + 1
=
n + 1
n2 + 2n + 2
Debemos mostrar que an > an+1 o equivalentemente an+1 < an, es decir
n + 1
n2 + 2n + 2
<
n
n2 + 1
⇔ (n + 1)(n2 + 1) < n(n2 + 2n + 2)
⇔ n3 + n2 + n + 1 < n3 + 2n2 + 2n
⇔ 1 < n3 + 2n2 + 2n − (n3 + n2 + n)
⇔ 1 < n3 + 2n2 + 2n − n3 − n2 − n
⇔ 1 < n2 + n
7
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Si n ≥ 1, entonces n2 ≥ 1, ası́, tenemos que
n2 + n ≥ 1 + 1
n2 + n ≥ 2 > 1
lo que implica que la desigualdad n2 + n > 1 es verdadera y por lo tanto an > an+1, esto
es, la sucesión es decreciente.
Definición . Una sucesión {an} está
i) acotada por arriba si existe un número M tal que para todo n ≥ 1
an ≤ M
ii) acotada por abajo si existe un número m tal que para todo n ≥ 1
m ≤ an
Si está acotada por arriba y por abajo, entonces {an} es una sucesión acotada.
Teorema . [Teorema de la sucesión monótona] Toda sucesión acotada y monótona es
convergente.
Ejemplo 12. Investigue la sucesión {an} definida por la relación recursiva{
a1 = 2
an+1 =
1
2
(an + 6)
Para n = 1, 2, 3, . . .
Solución Para empezar se calculan los primeros términos:
a1 = 2
a2 =
1
2
(a1 + 6) =
1
2
(2 + 6) = 4
a3 =
1
2
(a2 + 6) =
1
2
(4 + 6) = 5
a4 =
1
2
(a3 + 6) =
1
2
(5 + 6) = 5, 5
a5 =
1
2
(a4 + 6) =
1
2
(5, 5 + 6) = 5, 75
a6 =
1
2
(a5 + 6) =
1
2
(5, 75 + 6) = 5, 875
a7 =
1
2
(a6 + 6) =
1
2
(5, 875 + 6) = 5, 9375
a8 =
1
2
(a7 + 6) =
1
2
(5, 9375 + 6) = 5, 96875
a9 =
1
2
(a7 + 6) =
1
2
(5, 96875 + 6) = 5, 984375
8
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Estos términos iniciales hacen pensar que la sucesión es creciente y que los términos se
aproximan a 6. Para confirmar que la sucesión es creciente, utilizamos inducción ma-
temática para demostrar que an < an+1 para toda n ≥ 1. Esto es cierto para n = 1 porque
a2 = 4 > a1 = 2. Si suponemos que se cumple para n = k, entonces tenemos
ak < ak+1
Entonces,
ak + 6 < ak+1 + 6
1
2
(ak + 6) <
1
2
(ak+1 + 6)
ak+1 < ak+2
Ya se dedujo que ak < ak+1 es cierta para n = k + 1. Por tanto, la desigualdad se cumple
para toda n por inducción.
Luego de verificar que {an} está acotada demostrando que an ≤ 6 para toda n. (Puesto
que la sucesión es creciente, sabemos que tiene una cota inferior: an ≥ a1 = 2 para toda
n.) Sabemos que a1 ≤ 6, de modo que la aseveración es cierta para n ≥ 1. Supongamos
que se cumple para n = k. Entonces
ak < 6
ak + 6 < 6 + 6 = 12
1
2
(ak + 6) <
1
2
(12) = 6
ak+1 < 6
Esto demuestra, por inducción matemática, que an < 6 para toda n.
Como la sucesión {an} es creciente y acotada, el teorema de la sucesión monótona
garantiza que es convergente, es decir, que tiene un lı́mite.
Note que el teorema no dice cuál es el valor del lı́mite, pero ahora que sabemos que
lı́m
n→∞
an = L existe, podemos aplicar la relación recursiva para escribir
lı́m
n→∞
an+1 = lı́mn→∞
[
1
2
(an + 6)
]
=
1
2
[
lı́m
n→∞
(an + 6)
]
=
1
2
[
lı́m
n→∞
an + lı́mn→∞ 6
]
=
1
2
[L + 6]
Como an → L, se infiere igualmente que an+1 → L (también cuando n → ∞, n + 1 → ∞).
De este modo tenemos
L =
1
2
(L + 6) =
1
2
L + 3
L − 1
2
L = 3
1
2
L = 3
L = 6
Al resolver esta ecuación para L, determinamos que L = 6, tal como se habı́a predicho.
9
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1. Determine si la sucesión converge o diverge. Si converge, encuentre el lı́mite.
a) an = tan
(
2nπ
1 + 8n
)
b) an =
√
n + 1
9n + 1
c) an =
n2√
n3 + 4n
d) an = e
2n
(n+2)
e) an =
(−1)n
2
√
n
f) an =
(−1)n+1n
n +
√
n
g) an = cos
(n
2
)
h) an = cos
(
2
n
)
i) an =
(2n − 1)!
(2n + 1)!
i) an =
en + e−n
e2n − 1
2. Encuentre el lı́mite de la sucesión
{
√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
}
3. Demuestre que la sucesión definida por a1 = 1an+1 = 3 − 1an
es creciente y que an < 3 para todo n. Deduzca que {an} es convergente y encuentre
su lı́mite.
10
https://wlh.es/v2/1690385523169/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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