Solución_Control_N_5_-_Sección_C

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TIPO A 
1. Dadas las siguientes proposiciones. Diga V o F. Justifique las proposiciones falsas: 
 
I. (F) Puede admitir solo a la solución trivial (vector 0). 
II. (F) El espacio NulA es cero. 
III. (F) El espacio NulA es cero. 
IV. (F) Todo H = Gen es un sub-espacio lineal. 
 (1 punto c/u) 
 
2. Dada la siguiente matriz 𝐴 = [
−3 6 −1 1 −7
1 −2 2 3 −1
2 −4 5 8 −4
] 
 
𝐴
= [
−3 6 −1 1 −7
1 −2 2 3 −1
2 −4 5 8 −4
]𝐻21 [
1 −2 2 3 −1
−3 6 −1 1 −7
2 −4 5 8 −4
]
𝐻21(3)
𝐻31(−2)
[
1 −2 2 3 −1
0 0 5 10 −10
0 0 1 2 −2
] 
 
𝐻32 [
1 −2 2 3 −1
0 0 1 2 −2
0 0 5 10 −10
]𝐻32(−5) [
1 −2 2 3 −1
0 0 1 2 −2
0 0 0 0 0
]𝐻12(−2) 
 
[
1 −2 0 −1 3
0 0 1 2 −2
0 0 0 0 0
] 
 
𝑋1 = 2𝑠 + 𝑡 − 3𝑤 
𝑋2 = 𝑠 
𝑋3 = −2𝑡 + 2𝑤 
𝑋4 = 𝑡 
𝑋5 = 𝑤 
 
a. Encuentre el espacio Nulo de A. (2 puntos) 
𝑁𝑢𝑙𝐴 =
{
 
 
 
 
[
 
 
 
 
2
1
0
0
0
 
]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
1
0
−2
1
0 ]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
−3
0
2
0
1 ]
 
 
 
 
}
 
 
 
 
 
 
b. Encuentre una base para el espacio nulo de A. (1 punto) 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 (𝑁𝑢𝑙𝐴) =
{
 
 
 
 
[
 
 
 
 
2
1
0
0
0
 
]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
1
0
−2
1
0 ]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
−3
0
2
0
1 ]
 
 
 
 
}
 
 
 
 
 
 
c. Encuentre el espacio de columnas de A. (2 puntos) 
 
𝐶𝑜𝑙𝐴 = {[
−3
1
2
] [
6
−2
−4
] [
−1
2
5
] [
1
3
8
] [
−7
−1
4
]} 
 
d. Encuentre una base para el espacio de columnas de A. (1 punto) 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 (𝐶𝑜𝑙𝐴) = {[
−3
1
2
] [
−1
2
5
] } 
 
3. Desarrolle: 
a) Averiguar si el conjunto H = {[
x
𝑦] ∈ R
2 𝑦 ≥ 𝑥⁄ } es un subespacio lineal de R2. 
 
 
 
 
No cumple la tercera condición. No es cerrado bajo multiplicación por un escalar. Por 
lo tanto: NO ES UN SUB-ESPACIO LINEAL. 
 
b) Averiguar si el plano x + 2y + z = 0 es un subespacio lineal de R3. 
 
𝑥
𝑦
−𝑥 − 2𝑦
= 𝑥 [
1
0
−1
] + 𝑦 [
0
1
−2
] = 𝐺𝑒𝑛 {[
1
0
−1
] , [
0
1
−2
]} 
 
Puesto que es un conjunto H=Gen, SI ES UN SUB-ESPACIO LINEAL. 
(5 Puntos c/u) 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIPO B 
1. Responda las siguientes preguntas: 
a) Escriba las 3 condiciones que debe tener un conjunto H para considerarse un sub-
espacio lineal. 
 
El sub-espacio incluye al vector 0. 
El sub-espacio es cerrado bajo suma. 
El sub-espacio es cerrado bajo multiplicación por un escalar. 
 
b) ¿Cómo son los espacios fundamentales de una matriz Amxn invertible? Descríbalos. 
 
El espacio NulA es igual a 0. 
El espacio ColA es igual a Rm 
 
 (2 puntos c/u) 
 
2. Desarrolle: 
a) Averiguar si el conjunto H = {(x, y, z) ∈ R3 x = 2y; z = 0⁄ } es un subespacio 
lineal de R3. 
 
2𝑦
𝑦
0
= 𝑦 [
2
1
0
] = 𝐺𝑒𝑛 {[
2
1
0
]} 
 
Puesto que es un conjunto H=Gen, SI ES UN SUB-ESPACIO LINEAL. 
 
b) Averiguar si el conjunto H = {[
x
𝑦] ∈ R
2 𝑥 ≥ 𝑦⁄ } es un subespacio lineal de R2. 
 
 
 
No cumple la tercera condición. No es cerrado bajo multiplicación por un escalar. Por 
lo tanto: NO ES UN SUB-ESPACIO LINEAL. 
 
(5 Puntos c/u) 
 
3. Dada la siguiente matriz 𝐴 =
[
 
 
 
 
1
4
2
0
1
1
3 2
1 0
 
3
12
6
0
5
5
9 5
3 4]
 
 
 
 
 
𝐴
=
[
 
 
 
 
1
4
2
0
1
1
3 2
1 0
 
3
12
6
0
5
5
9 5
3 4]
 
 
 
 
 
𝐻21(−4)
𝐻31(−2)
𝐻41(−3)
𝐻51(−1) [
 
 
 
 
1
0
0
0
1
1
0 2
0 0
 
3
0
0
0
5
5
0 5
0 4]
 
 
 
 
 
𝐻32(−1)
𝐻42(−2)
[
 
 
 
 
1
0
0
0
1
0
0 0
0 0
 
3
0
0
0
5
0
0 −10
0 4 ]
 
 
 
 
H5(
1
4
) 
[
 
 
 
 
1
0
0
0
1
0
0 0
0 0
 
3
0
0
0
5
0
0 −10
0 1 ]
 
 
 
 
 
 
H35 
[
 
 
 
 
1
0
0
0
1
0
0 0
0 0
 
3
0
0
0
5
1
0 −10
0 0 ]
 
 
 
 
H43(10)
[
 
 
 
 
1
0
0
0
1
0
0 0
0 0
 
3
0
0
0
5
1
0 0
0 0]
 
 
 
 
H23(−5) 
[
 
 
 
 
1
0
0
0
1
0
0 0
0 0
 
3
0
0
0
0
1
0 0
0 0]
 
 
 
 
 
𝑋1 = −3𝑠 
𝑋2 = 0 
𝑋3 = 𝑠 
𝑋4 = 0 
 
a. Encuentre el espacio Nulo de A. (2 puntos) 
 
𝑁𝑢𝑙𝐴 = {[
−3
0
1
0
 ]} 
 
b. Encuentre una base para el espacio nulo de A. (1 punto) 
𝐵𝑎𝑠𝑒(𝑁𝑢𝑙𝐴) = {[
−3
0
1
0
 ]} 
 
c. Encuentre el espacio de columnas de A. (2 puntos) 
 
𝐶𝑜𝑙𝐴 =
{
 
 
 
 
[
 
 
 
 
1
4
2
3
1]
 
 
 
 
,
[
 
 
 
 
0
1
1
2
0]
 
 
 
 
,
[
 
 
 
 
3
12
6
9
3 ]
 
 
 
 
,
[
 
 
 
 
0
5
5
5
4]
 
 
 
 
}
 
 
 
 
 
 
d. Encuentre una base para el espacio de columnas de A. (1 punto) 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒(𝐶𝑜𝑙𝐴) =
{
 
 
 
 
[
 
 
 
 
1
4
2
3
1]
 
 
 
 
,
[
 
 
 
 
0
1
1
2
0]
 
 
 
 
,
[
 
 
 
 
0
5
5
5
4]
 
 
 
 
}