Cambio de Variable en Integrales Dobles

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Se considera un cambio de variable como una 
TRANSFORMACION “T” del plano uv al plano xy: T(u,v) = (x,y). 
 
Donde x y y se relacionan con u y v mediante las ecuaciones: 
 x = g(u,v) y=h(u,v) 
O, como algunas veces también se escribe: 
 x=x(u,v) y=y(u,v) 
EJEMPLO 
Una transformación está definida por las ecuaciones: 
 x= 𝒖𝟐 − 𝒗𝟐 y = 2uv 
Encuentre la imagen de : 
S={(u, v)/ 0≤ 𝒖 ≤ 𝟏; 𝟎 ≤ 𝒗 ≤ 𝟏} 
Teniendo la frontera de S vamos a definir 
La frontera de R; 
 
1) Camino 1: v=0 0 ≤ u≤ 1 
 Luego: x= 𝒖𝟐 y = 0 
 Como 0 ≤ u≤ 1 → 0 ≤ 𝒖𝟐 ≤ 1 → 0 ≤ x ≤ 1 
 Luego y = 0 si 0 ≤ x ≤ 1 
 
2) Camino 2: u = 1 si 0 ≤ v ≤ 1 
 Luego : x= 𝟏 − 𝒗𝟐 ; y = 2v → v = y/2 
 Reemplazando: x = 1 - 
𝒚𝟐
𝟐
 → 𝒚𝟐 = -2(x-1) 
 Como 0 ≤ v ≤ 1 → 0 ≤ 2v ≤ 2 entonces 0 ≤ y ≤ 2 
 v 
 
 
 
 1 C3 (1, 1) 
 
 S 
 C4 C2 
 
 0 C1 1 u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Camino 3: v = 1 si 0 ≤ u ≤ 1 
 x= 𝒖𝟐 − 𝟏 y = 2u → u = y/2 
 Reemplazando: x = 
𝒚𝟐
𝟐
− 𝟏 → 𝒚𝟐 = 2(x+1) 
 Como 0 ≤ u ≤ 1 → 0 ≤ 2u ≤ 2 entonces 0 ≤ y ≤ 2 
4) Camino 4: u = 0 si 0 ≤ v ≤ 1 
 x= −𝒗𝟐 y = 0 
 Como 0 ≤ v ≤ 1 → 0 ≤ 𝒗𝟐 ≤ 1 → -1 ≤ −𝒗𝟐 ≤ 0 
 Luego: y = 0 si -1 ≤ 𝒙 ≤ 0 
 
 Graficando lo calculado: 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 
 2 
 
 
𝒚𝟐 = 2(x+1) 𝒚𝟐 = -2(x-1) 
 R 
 
 
 -1 0 1 x 
 
 
 
 
 
Si T(u,v) = (x,y), entonces el punto (xi,yi) se llama 
imagen del punto (ui,vi). 
 
Si no hay dos puntos que tengan la misma imagen, T 
se llama uno a uno o biunívoca. 
 
“T” transforma a una región S (en el plano uv) en 
una región R (en el plano xy) llamada Imagen de S, 
que consta de las imágenes de los puntos en S. 
 
Si T es una transformación uno a uno, entonces 
tiene una transformación inversa T-1 del plano xy al 
plano uv (OJO CON ESTE PUNTO). 
Escogemos un diferencial de área, tanto en el plano uv 
como en el plano xy, con la intención de hallar una 
relación entre ambos. 
Por tanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 























 

 

R SS
SS
n
i
m
j
jiji
v
u
n
i
m
j
ji
R y
x
dudv
vu
yx
vufdudv
vu
yx
vuhvugfdAyxf
toPor
dudv
vu
yx
vufdudv
vu
yx
vuhvugf
vu
yx
vuvuhvugf
AyxfdAyxf
vu
yx
vuA
),(
),(
),(
),(
),(
)),(),,((),(
:tan
),(
),(
),(
),(
),(
)),(),,((
),(
),(
)),(),,((lim
),(lim),(
),(
),(
1 10
0
1 10
0
EJEMPLO 
Evaluar la siguiente integral donde R es la 
región trapezoidal de vértices (1,0), (2,0), (0,-2) y (0,-1) 
 
 
Graficando la región: 
 
Haciendo el cambio de variables: 
 
 
 
 
Determinamos la frontera de S: 
 
 
 











210
21
2
u
vu
vuyvyxuy
x
C
C1 
C2 
 
C3 
 
C4 
 





yxv
yxu
dAe
R
yx
yx



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Graficando tenemos S: 
S={(u, v)/ 1 ≤ v ≤ 2; -v ≤ u ≤ v } 
Jacobiano: 
 
 
 
 
























11
1
1101
1211
212121
0
3
4
u
v
uy
uyvyx
C
u
uv
uy
uvx
C
v
y
u
y
v
x
u
x
vu
yx











),(
),(












22
2
2222
20
1
u
v
xuyvyx
x
C
Cálculo de las derivadas parciales: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S={(u, v)/ 1 ≤ v ≤ 2; -v ≤ u ≤ v } 
 
 
 
2
11
11
),(
),(
1;1;1;1






















vu
yx
v
y
u
y
v
x
u
x
yxv
yxu
  





R SS
dudv
vu
yx
vufdudv
vu
yx
vuhvugfdAyxf
),(
),(
),(
),(
),(
)),(),,((),(
Haciendo el cambio de variables: 
 
 
 
 
Como S = {(u, v)/ 1 ≤ v ≤ 2; -v ≤ u ≤ v } 
Jacobiano: J = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
dudv
vu
yx
edAe
S
v
u
R
yx
yx
),(
),(


 


    
  4ln
ln222
2
),(
),(
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1






















 
eeI
vee
v
dv
eedv
v
e
I
dudvedudv
vu
yx
eI
v
v
v
u
v
v
v
u
S
v
u