Parametrizacion Natural

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Reparametrización
natural
MSc Daniel G.
Camacho
Reparametrización
natural
Reparametrización natural
MSc Daniel G. Camacho
Universidad de Piura
Abril 2010
Reparametrización
natural
MSc Daniel G.
Camacho
Reparametrización
natural
Contenido:
1 Reparametrización natural
Reparametrización
natural
MSc Daniel G.
Camacho
Reparametrización
natural
Consideremos un camino regular f : [a, b]→<n y sea
p = f(t0) ∈ <n un punto de la curva que genera f .
Podemos calcular, para cada t ∈ [a, b] la longitud de f
entre t = t0 y t . Es evidente que tenemos una función de t
que denominaremos ψ(t):
ψ(t) =
∫ t
t0
‖f ′(u)‖ du
Aceptamos que si t < t0, y f(t) está antes que f(t0), la
longitud de camino es negativa.
Reparametrización
natural
MSc Daniel G.
Camacho
Reparametrización
natural
Consideremos un camino regular f : [a, b]→<n y sea
p = f(t0) ∈ <n un punto de la curva que genera f .
Podemos calcular, para cada t ∈ [a, b] la longitud de f
entre t = t0 y t . Es evidente que tenemos una función de t
que denominaremos ψ(t):
ψ(t) =
∫ t
t0
‖f ′(u)‖ du
Aceptamos que si t < t0, y f(t) está antes que f(t0), la
longitud de camino es negativa.
Reparametrización
natural
MSc Daniel G.
Camacho
Reparametrización
natural
Consideremos un camino regular f : [a, b]→<n y sea
p = f(t0) ∈ <n un punto de la curva que genera f .
Podemos calcular, para cada t ∈ [a, b] la longitud de f
entre t = t0 y t . Es evidente que tenemos una función de t
que denominaremos ψ(t):
ψ(t) =
∫ t
t0
‖f ′(u)‖ du
Aceptamos que si t < t0, y f(t) está antes que f(t0), la
longitud de camino es negativa.
Reparametrización
natural
MSc Daniel G.
Camacho
Reparametrización
natural
Por el teorema fundamental del cálculo podemos escribir:
ψ′(t) = ‖f ′(t)‖, t ∈ [a, b]
Como f es un camino regular, entonces
ψ′(t) = ‖f ′(t)‖ , 0∀t ∈ [a, b].
Se cumple ψ′(t) = ‖f ′(t)‖ > 0∀t ∈ [a, b].
Además, ψ es una función de clase C 1 ya que su derivada
ψ′(t) = ‖f ′(t)‖ es continua.
Reparametrización
natural
MSc Daniel G.
Camacho
Reparametrización
natural
Por el teorema fundamental del cálculo podemos escribir:
ψ′(t) = ‖f ′(t)‖, t ∈ [a, b]
Como f es un camino regular, entonces
ψ′(t) = ‖f ′(t)‖ , 0∀t ∈ [a, b].
Se cumple ψ′(t) = ‖f ′(t)‖ > 0∀t ∈ [a, b].
Además, ψ es una función de clase C 1 ya que su derivada
ψ′(t) = ‖f ′(t)‖ es continua.
Reparametrización
natural
MSc Daniel G.
Camacho
Reparametrización
natural
Por el teorema fundamental del cálculo podemos escribir:
ψ′(t) = ‖f ′(t)‖, t ∈ [a, b]
Como f es un camino regular, entonces
ψ′(t) = ‖f ′(t)‖ , 0∀t ∈ [a, b].
Se cumple ψ′(t) = ‖f ′(t)‖ > 0∀t ∈ [a, b].
Además, ψ es una función de clase C 1 ya que su derivada
ψ′(t) = ‖f ′(t)‖ es continua.
Reparametrización
natural
MSc Daniel G.
Camacho
Reparametrización
natural
Por el teorema fundamental del cálculo podemos escribir:
ψ′(t) = ‖f ′(t)‖, t ∈ [a, b]
Como f es un camino regular, entonces
ψ′(t) = ‖f ′(t)‖ , 0∀t ∈ [a, b].
Se cumple ψ′(t) = ‖f ′(t)‖ > 0∀t ∈ [a, b].
Además, ψ es una función de clase C 1 ya que su derivada
ψ′(t) = ‖f ′(t)‖ es continua.
Reparametrización
natural
MSc Daniel G.
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Reparametrización
natural
Si tomamos p = f(a), entonces la función ψ : [a, b]→<:
ψ(t) =
∫ t
a
‖f ′(u)‖ du
transforma el intervalo [a, b] en el intervalo [0, `(f)],
siendo `(f) la longitud de f entre t = a y t = b.
De cursos anteriores sabemos que siendo
ψ : [a, b]→ [c, d] una función de clase C 1 tal que
ψ′(t) , 0∀t ∈ [a, b], existe la función inversa
ψ−1 : [c, d]→ [a, b] la cual es también de clase C 1.
Además, (ψ−1)′(ψ(t))ψ′(t) = 1∀t ∈ [a, b], se cumple
también que ψ−1(s) , 0∀s ∈ [c, d].
También, como ψ′(t) > 0∀t ∈ [a, b] también se cumple
ψ−1(s) > 0∀s ∈ [c, d].
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natural
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Camacho
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Si tomamos p = f(a), entonces la función ψ : [a, b]→<:
ψ(t) =
∫ t
a
‖f ′(u)‖ du
transforma el intervalo [a, b] en el intervalo [0, `(f)],
siendo `(f) la longitud de f entre t = a y t = b.
De cursos anteriores sabemos que siendo
ψ : [a, b]→ [c, d] una función de clase C 1 tal que
ψ′(t) , 0∀t ∈ [a, b], existe la función inversa
ψ−1 : [c, d]→ [a, b] la cual es también de clase C 1.
Además, (ψ−1)′(ψ(t))ψ′(t) = 1∀t ∈ [a, b], se cumple
también que ψ−1(s) , 0∀s ∈ [c, d].
También, como ψ′(t) > 0∀t ∈ [a, b] también se cumple
ψ−1(s) > 0∀s ∈ [c, d].
Reparametrización
natural
MSc Daniel G.
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Reparametrización
natural
Si tomamos p = f(a), entonces la función ψ : [a, b]→<:
ψ(t) =
∫ t
a
‖f ′(u)‖ du
transforma el intervalo [a, b] en el intervalo [0, `(f)],
siendo `(f) la longitud de f entre t = a y t = b.
De cursos anteriores sabemos que siendo
ψ : [a, b]→ [c, d] una función de clase C 1 tal que
ψ′(t) , 0∀t ∈ [a, b], existe la función inversa
ψ−1 : [c, d]→ [a, b] la cual es también de clase C 1.
Además, (ψ−1)′(ψ(t))ψ′(t) = 1∀t ∈ [a, b], se cumple
también que ψ−1(s) , 0∀s ∈ [c, d].
También, como ψ′(t) > 0∀t ∈ [a, b] también se cumple
ψ−1(s) > 0∀s ∈ [c, d].
Reparametrización
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Camacho
Reparametrización
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Si tomamos p = f(a), entonces la función ψ : [a, b]→<:
ψ(t) =
∫ t
a
‖f ′(u)‖ du
transforma el intervalo [a, b] en el intervalo [0, `(f)],
siendo `(f) la longitud de f entre t = a y t = b.
De cursos anteriores sabemos que siendo
ψ : [a, b]→ [c, d] una función de clase C 1 tal que
ψ′(t) , 0∀t ∈ [a, b], existe la función inversa
ψ−1 : [c, d]→ [a, b] la cual es también de clase C 1.
Además, (ψ−1)′(ψ(t))ψ′(t) = 1∀t ∈ [a, b], se cumple
también que ψ−1(s) , 0∀s ∈ [c, d].
También, como ψ′(t) > 0∀t ∈ [a, b] también se cumple
ψ−1(s) > 0∀s ∈ [c, d].
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natural
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Reparametrización
natural
Podemos observar que ϕ = ψ−1 : [c, d]→ [a, b] tiene
todas las caracterı́sticas que se necesitan para construir
una reparametrización de f .
Construimos la reparametrización de f(t) como
h(s) = (f ◦ ϕ)(s) = f(ϕ(s))
Obsérvese que el vector derivada h′(s) es igual a
h′(s) = ϕ′(s)f ′(ϕ(s))
pero
ϕ′(s) = (ψ−1)′(s) = (ψ−1)′(ψ(t)) =
1
ψ′(t)
=
1
‖f ′(t)‖
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Podemos observar que ϕ = ψ−1 : [c, d]→ [a, b] tiene
todas las caracterı́sticas que se necesitan para construir
una reparametrización de f .
Construimos la reparametrización de f(t) como
h(s) = (f ◦ ϕ)(s) = f(ϕ(s))
Obsérvese que el vector derivada h′(s) es igual a
h′(s) = ϕ′(s)f ′(ϕ(s))
pero
ϕ′(s) = (ψ−1)′(s) = (ψ−1)′(ψ(t)) =
1
ψ′(t)
=
1
‖f ′(t)‖
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Podemos observar que ϕ = ψ−1 : [c, d]→ [a, b] tiene
todas las caracterı́sticas que se necesitan para construir
una reparametrización de f .
Construimos la reparametrización de f(t) como
h(s) = (f ◦ ϕ)(s) = f(ϕ(s))
Obsérvese que el vector derivada h′(s) es igual a
h′(s) = ϕ′(s)f ′(ϕ(s))
pero
ϕ′(s) = (ψ−1)′(s) = (ψ−1)′(ψ(t)) =
1
ψ′(t)
=
1
‖f ′(t)‖
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Entonces
‖h′(s)‖ =
1
‖f ′(t)‖
‖t ′(t)‖ = 1.
En consecuencia, h(s) es una reparametrización de f que
tiene la propiedad de recorrer la curva con una rapidez
constante e igual a la unidad.
Diremos que h(s) es una reparametrización de f por
longitud de arco puesto que la nueva variable s, de h, es
justamente la longitud del camino entre t0 y t :
s = ψ(t) =
∫ t
a
‖f ′(u)‖ du
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natural
Ejemplo:
Sea f : [0, 2π]→<2 el camino f(t) = (r cos t , r sin t). Obtener
la parametrización natural.
Solución:
La longitud de arco desde f(0) hasta f(t) está dada por:
s = ψ(t) =
∫ t
0
‖f ′(u)′‖ du =
∫ t
0
r du = rt .
t = ϕ(s) = ψ−1(s) =
s
r
.
La reparametrización natural es la función g : [0, 2πr]→<2
definida como:
g(s) = (f ◦ ϕ)(s) =
(
r cos
s
r
, r sin
s
r
)
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Ejemplo:
Sea f : <→ <3 elcamino f(t) = (α cos t , α sin t , βt). Obtener
la parametrización natural midiendo la longitud de arco desde
f(0).
Solución:
s = ψ(t) =
∫ t
0
‖f ′(u)′‖ du =
∫ t
0
√
α2 + β2 du =
√
α2 + β2t .
t = ϕ(s) = ψ−1(s) =
1√
α2 + β2
.
La reparametrización natural es:
g(s) = (f◦ϕ)(s) =
α cos s√
α2 + β2
, α sin
s√
α2 + β2
,
βs√
α2 + β2

	Reparametrización natural