Acumulación de tolerancias

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ACUMULACION DE 
TOLERANCIAS 
METROLOGIA AVANZADA 
 
 
ACUMULACION DE TOLERANCIAS 
2 
 
1- Introducción y descripción. 
La acumulación de tolerancias y sus métodos del análisis se describen en varios textos, por 
ejemplo a Gilson (1951), Mansoor (1963), Fortini (1967), Evans (1975), Cox (1986), Greenwood 
y Chase (1987), Kirschling (1988), Bjørke (1989), Henzold (1995), y Nigam y Turner (1995). 
Desafortunadamente, la notación no es a menudo estándar y no uniforme, haciendo la 
comprensión del material ocasionalmente difícil. 
La discusión incluye los métodos aritméticos y estadísticos. Estos dos métodos 
proporcionan pruebas, patrones conservadores y optimistas, respectivamente. En el esquema 
de tolerancias estadístico básico se asume que la dimensión de la parte varía aleatoriamente 
según una distribución normal, centrada en el punto mediano del intervalo de la tolerancia y 
con su ±3σ para cubrir el intervalo de la tolerancia. Para las tolerancias dadas de la dimensión 
de la parte esta clase de análisis conduce típicamente a tolerancias de mayor ajuste en el 
ensamble, o para la tolerancia dada del ensamble requiere tolerancias considerablemente 
menos rigurosas. Puesto que la práctica ha demostrado que los resultados no son 
generalmente tan buenos como se dice, uno ha intentado relajar las suposiciones 
distribucionales antedichas en una variedad de distintas maneras. 
Una de las formas es permitir, con excepción de las distribuciones normales que 
esencialmente cubren el intervalo de la tolerancia con una extensión más amplia, pero que 
todavía se centran en el punto mediano del intervalo de la tolerancia. Esto da lugar a aumentos 
menos optimistas que ésos generalmente obtenidos bajo parámetros de la normalidad, pero 
mucho mejor que ésos dados por toleración aritmética, especialmente para cadenas más 
largas de la tolerancia. Otra relajación se refiere a centro de la distribución en el punto mediano 
del intervalo de la tolerancia. 
Es difícil centrar cualquier proceso exactamente donde uno quisiera que estuviera 
dentro de cierta inmediación del punto mediano del intervalo de la tolerancia, pero a ella 
todavía se asume generalmente que la distribución es normal y su extensión de ±3σ todavía 
está dentro de los límites de tolerancia. Esto significa que mientras permitimos un cierto cambio 
en el medio requerimos una reducción simultánea en variabilidad. La variación correspondiente 
reducida de las distribuciones cambiadas de puesto se acumula de manera estadístico. La 
tolerancia total del ensamble entonces se convierte en una suma de dos porciones, 
consistiendo en una contribución perjudicial aritmética acumulado de un cambio y un término 
que reflejan las distribuciones estadísticas acumulado que describen la variación de las piezas. 
 Resulta que las piedras angulares de toleración aritmética y estadística son 
ramificaciones de este modelo más general, que se ha demandado para unificar materias. Sin 
embargo, hay otra manera de ocuparse de los cambios negativos, en la forma que aquí se 
presenta. Se aprovecha apilar estadísticas de cambios negativos y de apilar eso de manera 
estadísticas de variación reducida en las distribuciones de la dimensión de la pieza. 
 Un precursor a esto se puede encontrar en la discusión de Desmond de 1963 papeles de 
Mansoor. Sin embargo, allí fue precisado que conduce a los resultados optimistas. La razón de 
esto era un defecto en la manipulación de la reducción de la variación de la dimensión de la 
pieza causada por los cambios malos al azar. Cuando el ocuparse de la acumulación de 
tolerancias bajo alteraciones se tiene que tomar cuidado especial en los dos cambios posibles 
peores del medio de la asamblea. Por esta razón el método de cálculos del riesgo se discute 
detalladamente, cuando sea apropiado. 
 
 
 
 
1.1- Los stackups de la tolerancia sirven para: 
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• Los ingenieros y los diseñadores de ayuda que estudian relaciones dimensionales 
dentro de un ensamble. 
• Proporcionar a los diseñadores medios de calcular tolerancias de una pieza. 
• Los ingenieros de ayuda para comparan ofertas de diseño. 
• Los diseñadores de ayuda que producen dibujos completos. 
1.2- Las preocupaciones con los stackups de la tolerancia. 
Un factor de seguridad se incluye a menudo en diseños debido a: 
• Temperatura operacional de las piezas o del ensamble. 
• Desgaste. 
• Desviación de componentes después del ensamble. 
• La posibilidad o la probabilidad de que las piezas estén levemente fuera de 
especificación (solamente de inspección pasajera). 
• La sensibilidad o la importancia de la acumulación (sucede si las condiciones del 
diseño no se cumplen). 
 
2. Notación y convenciones 
La acumulación de tolerancias es un problema que se presenta debido a la inhabilidad de 
producir piezas exactamente de la medida nominal. Así hay la posibilidad que el ensamble de 
tales piezas que deben funcionar recíprocamente no lo hagan como estaba previsto. Esto se 
puede juzgar generalmente por unos o más criterios del ensamble, digamos A1, A2.... 
 Refiriéndose a un criterio del ensamble, decimos que A, se puede ver en función de las 
dimensiones de la pieza X1. . ., Xn, es decir: 
A = f (X1. . ., Xn). 
Aquí n puede ser el número de las piezas implicadas en el ensamble, pero también 
puede ser más grande que ésta, a saber que algunas piezas contribuyen con más de una 
dimensión al criterio A. del ensamble. 
Idealmente las dimensiones de la pieza deben ser iguales a sus valores nominales 
respectivos √1..., √n. Conociendo que es inevitable la variación de la dimensión nominal, se 
permite que la dimensión Xi de la pieza varíe sobre un intervalo alrededor de √i. Típicamente 
uno especifica un intervalo simétrico alrededor del valor nominal, es decir, I i = [√I-Ti, √i+ Ti]. Sin 
embargo, los intervalos asimétricos de la tolerancia ocurren, y en la forma más extrema se 
convierten en los intervalos unilaterales de la tolerancia, Ii = [√i-Ti, √i] o Ii = [√i, √i + Ti]. Por lo 
general, uno especificaría un intervalo de tolerancia Ii = [ci, di] con ci ≤ √i ≤ di 
Al ocuparse de un intervalo simétrico o unilateral de la tolerancia, Ti se le denomina 
valor de la tolerancia. Para el intervalo bilateral más general de la tolerancia, Ii = [ci, di], uno 
tendría dos tolerancias, a saber T1i =√i ci y T2i = di − √i. Aunque ocurren los intervalos 
asimétricos de la tolerancia en la práctica, generalmente no se discuten mucho en la literatura. 
Nos centraremos así nuestra revisión en el caso simétrico. 
 A veces uno también encuentra la gama de la tolerancia del término que refiere a 
integral del intervalo de la tolerancia, es decir, T΄ i = di − ci. Cuando la lectura de la literatura o 
usar cualquier clase del análisis uno de la tolerancia debe siempre estar claro en el uso de la 
tolerancia del término. 
 
La función f que demuestra cómo A se relaciona con X1. . ., Xn se asume para ser liso, 
es decir, para las perturbaciones pequeñas Xi−√i de XI del √i nominal que asumimos esa f (X1. . 
., Xn) es aproximadamente linear en esas perturbaciones, es decir: 
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A = f (X1. . . , Xn) ≈ f (√1. . . , √n) + a1 (X1 − √1) +. . . an( Xn - √n) 
Donde ai = αf (√1... √n)/α √i. Aquí uno trataría generalmente el √A = f (√1... √n) como la 
dimensión nominal deseada de la ensamble. 
 A menudo f (X1. . ., Xn) es naturalmente linear, a saber: 
A = f (X1. . ., Xn) = a0 + a1X1 +. . . + anXn 
Con los coeficientes sabidos a1. . . .an La dimensión nominal correspondiente al 
ensamble es entonces: 
√A = a0 + a1√1 +. . . + an√n. 
 Observe que podemos emparejar esta representación linear con la aproximación 
anterior identificando: 
a0 = f (√1... √n) –a1√1-…-an√n 
En la forma más simple los coeficientes de ai son todos igual a uno, es decir: 
A = X1 +. . . Xn, 
O es toda la forma ai = ±1. Esto ocurre naturalmente en las cadenas de la trayectoria 
de la tolerancia, dondelas dimensiones se miden positivamente en una dirección y 
negativamente en la dirección opuesta. En ese caso tendríamos: 
A = ±X1. . . ± Xn 
 Asumiremos de ahora en adelante que A está de la forma: 
A = a0 + a1X1 +. . . + an Xn 
Con los coeficientes sabidos a0, a1. . . .an Para el tratamiento del análisis de la 
tolerancia que usa aproximaciones cuadráticas a f referimos a Cox (1986). Aunque este 
acercamiento es refinado y se apropia para una curvatura más fuerte sobre las gamas de la 
variación del XI, también es más complejo y no rutinario. También no ha entrado lejos en 
cambios malos serviciales. Esta parte de la teoría no será cubierta aquí. 
 Observamos aquí que no todas las funciones f son naturalmente lisas: 
f (X1, X2) = √𝑥1
2 + 𝑥2
2 
Se puede ver como la distancia de un centro del agujero del origen nominal (0, 0). Esta 
función no tiene derivados en (0, 0), su gráfico en 3 parecer del espacio un cono con su 
extremidad hacia arriba en (0, 0, 0). No puede haber plano de la tangente en la extremidad de 
ese cono y así de ninguna dimerización. Aunque hemos encontrado estas clases de problemas 
para aparecer en la práctica al realizar análisis de la tolerancia en el contexto de emparejar de 
centro del agujero y también en análisis de la tolerancia de la bisagra (Altschul y Scholz, 1994) 
se parece haber poco reconocimiento en la literatura de tales situaciones. 
Déjenos de vuelta otra vez a nuestra asunción de un criterio linear del ensamble. El 
punto entero de los análisis de una acumulación de tolerancia es descubrir en qué medida la 
dimensión A del ensamble diferenciará del √A del valor nominal mientras que el XI se restringe 
para variar sobre Ii. Este análisis delantero se puede entonces dar vuelta alrededor para 
solucionar el problema dual. Para ese problema especificamos la cantidad de variación que se 
puede tolerar para A y la tarea es la de especificar las tolerancias de la dimensión de la pieza, 
Ti, de modo que la tolerancia deseada del ensamble para A sea conocido. 
 Aunque esto es un papel de revisión, está lejos de completo, como debe estar claro de 
las observaciones antedichas. Sin embargo, se parece ser la revisión más comprensiva del 
tema que estamos enterados de. Sigue habiendo muchas preguntas abiertas. 
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3. El apilado aritmético de la tolerancia (a lo peor) 
Este tipo de análisis asume que todas las dimensiones de la parte XI están limitadas a Ii. Uno 
entonces analiza qué gama de la variación se puede inducir en A variando todas las piezas n 
de dimensiones X1,. . ., Xn independientemente (en el sentido no estadístico) sobre los 
intervalos respectivos de la tolerancia. Claramente, el valor más grande de: 
 
Tomando el valor más grande (más pequeño) de XI € Ii = [ci, di] siempre que ai > 0 (ai 
< 0). Por ejemplo, si a1 < 0, entonces el término a1 (X1 − √1) se convierte en el positivo más 
grande cuando tomamos X1 < √1 y así en el ci más bajo de la punto final de Ii. Así el valor 
posible máximo de A es: 
 
En la manera similar una obtiene el valor mínimo de A como: 
 
Si los intervalos de la tolerancia Ii son simétricos alrededor del √i nominal, es decir, 
 
Encontramos: 
 
Y: 
 
 
Donde: 
(1) 
La acumulación simétrica de la tolerancia en el ensamble. Aparte de los coeficientes 
|ai|, que son a menudo uno de todos modos, (1) es una suma recta del T i, de dónde el nombre 
aritmético conocido de acumulación de tolerancia. 
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El valor calculado 𝑇𝐴
𝑎𝑟𝑖𝑡 se debe entonces comparar contra QA, el requisito para el 
ensamble satisfactorio. Si todas las dimensiones de la parte satisfacen sus requisitos 
individuales de la tolerancia, es decir, XI € Ii, y if 𝑇𝐴
𝑎𝑟𝑖𝑡 si computado de (1) satisface el 𝑇𝐴
𝑎𝑟𝑖𝑡 ≤ 
QA, después cada ensamble que implica estas piezas cabrá con certeza matemática. Ésta es la 
fuerza principal de este tipo de cálculo de la tolerancia. 
 En el caso especial donde |ai| = 1 y Ti = T para i = 1. . . , n conseguimos 𝑇𝐴
𝑎𝑟𝑖𝑡 = n T, es 
decir, la tolerancia del ensamble crece lineal con el número n de las dimensiones de la parte. Si 
el ensamble apropiado requiere ese 𝑇𝐴
𝑎𝑟𝑖𝑡 ≤ QA = .004”, entonces las tolerancias comunes de la 
parte tienen que estar T = 𝑇𝐴
𝑎𝑟𝑖𝑡/n ≤ .004”/n. Para n grande esto puede dar lugar a los requisitos 
excesivamente apretados de la tolerancia de la parte, que no son a menudo económicos. Ésta 
es la característica que detrae principal de esta forma de análisis de la acumulación de la 
tolerancia. Resulta del acercamiento excesivamente conservador de la acumulación de las 
desviaciones lo peor del nominal para todas las piezas. En realidad, tal acumulación negativa 
debe ser extremadamente rara y ocurre generalmente cuando se observa deliberadamente. La 
asunción que todas las piezas satisfacen sus requisitos respectivos de la tolerancia, Xi € Ii, no 
debe ser descuidada. Sin esto no hay garantía del 100% en el ensamble. En efecto esta 
asunción requiere una inspección de todas las piezas, típicamente a través de indicadores 
simples en el chequeo. Esta forma de inspección es mucho más simple que lo requerida para 
tolerancia estadística. Para el último las medidas XI ellos mismos requieren, por lo menos una 
pieza para las muestras, para demostrar estabilidad de proceso. Las muestras de las medidas 
de la parte son más fácilmente favorables a la extrapolación y a la inferencia sobre el 
comportamiento de la población entera. Para las muestras de los datos del pasa/no pasa esto 
sería mucho más difícil. Puede haber una compensación del costo aquí, a saber que por 
calibración se comprueba el 100% de la pieza contra el muestreo de la parte (menos de 100%) 
con medir costos es más barato. 
 Otro más para el esquema tolerancia aritmético es que los ensambles subyacentes son 
muy mínimas. 
 
 
4. Toleración estadístico (método de RSS) 
La sección anterior empleó una forma de tolerancia que apilaba que los protectores contra 
todas las contingencias permitidas de la variación de la acumulación de tolerancias de la pieza 
de la peor manera posible. Fue precisado que éste puede suceder solamente cuando está 
hecha deliberadamente, es decir, eligiendo las peores piezas posibles para un ensamble. Si 
uno fuera a elegir partes en una manera al azar, un ensamble a lo peor sería extremadamente 
inverosímil. Típicamente las desviaciones de la pieza nominal tenderían a hacer un promedio 
hacia fuera hasta cierto punto y la acumulación de la tolerancia no debe ser tan extrema como 
retratada bajo tolerancia aritmética que acumula el esquema. La toleración estadística explota 
este tipo de cancelación de la variación en una manera sistemática. 
Primero si se asume que una distribución normal que describe la variación de la pieza, 
después relajando esto a otras distribuciones invalidando al teorema de límite central (CLT), y 
nosotros finalmente tratamos la aplicación la determinación del riesgo de no ensamblaje. 
5. Toleración estadístico con la variación normal 
Los ensambles estándares siguientes se hace a menudo al introducir el método de toleración 
estadístico. Éstos no se deben aceptar necesariamente en el valor de cara. 
 
 
 
 5.1- Aleatoriedad: 
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Más bien que si se asume que el XI puede bajar dondequiera en el intervalo Ii de la tolerancia, 
incluso al punto que alguien malintencionadamente y deliberadamente selecciona las piezas 
para el ensamble de peor manera, nosotros asumimos aquí que el XI varía aleatoriamente 
según algunas distribuciones con las densidades fi (x), i = 1. . . , n, y funciones de distribución 
acumulativas 
 
La idea es que la mayor parte de las ocurrencias de XI bajarán dentro de Ii, es decir, la 
mayor parte del área bajo densidad fi (x) baja entre las puntos finales de Ii. Pues una salida de 
peor tolerancia nosotros aceptamos cierta fracción pequeña de las dimensiones de la parte que 
bajarán fuerade Ii. Esto nos libera de tener que examinar cada dimensión de la parte para 
saber si hay conformidad con el intervalo Ii. De la tolerancia. Instantáneamente nosotros 
preguntamos/asumimos que los procesos que producen las dimensiones de la pieza son 
estables (en control estadístico) y que estas dimensiones de la parte bajan sobre todo dentro 
de los límites de tolerancia. Esto es comprobada muestreando solamente cierta parte de las 
piezas y midiendo el XI' S. 
 5.2- Independencia: 
La asunción de la independencia es probablemente la piedra de la esquina más esencial de 
toleración estadística. Permite una cierta cancelación de la variación del nominal. 
Tratando el XI como variables al azar, también exigimos que estas variables al azar 
sean independientes. Esto significa áspero que la desviación XI - √i no tiene nada que ver con 
Xj - √j para i ≠ J. Particularmente, las desviaciones no serán predominante positivo o 
predominante negativa. Bajo independencia esperamos conseguir un bolso mezclado de 
desviaciones negativas y positivas que esencialmente permite una cierta cancelación de la 
variación. La aleatoriedad solamente no garantiza tal cancelación, especialmente no cuando 
toda la variación al azar de la demostración de la dimensión de la parte en la misma dirección. 
Este último fenómeno es exactamente lo que se prepone la asunción de la independencia 
excluir. 
La asunción de la independencia es típicamente razonable cuando las dimensiones de 
la parte pertenecen a diversa fabricación/procesos de trabajo a máquina. Sin embargo, las 
situaciones pueden presentarse donde está cuestionable esta asunción. Por ejemplo, varios 
similares/las mismas piezas se podrían utilizar en la mismo ensamble. La extensión termal 
también tiende a afectar diversas piezas semejantemente. 
5.3- Distribución: 
Sería agradable tener datos sobre la variación de la dimensión de la pieza, pero ése está 
careciendo típicamente en la etapa del diseño. Por esa razón uno asume a menudo que el f i es 
una densidad normal o Gaussiana sobre el intervalo Ii. Desde entonces qué este último es un 
intervalo finito y la densidad Gaussiana se extiende sobre la línea verdadera del conjunto R = 
(−∞, ∞), uno necesita pulsar un compromiso. Consiste en preguntar que el área bajo densidad f i 
sobre el intervalo Ii debe representar la mayor parte del área total bajo fi, es decir: 
 
 
 
 
 
 
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6. Cuadro 1: Intervalo excesivo de la tolerancia de la distribución normal 
 
(http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf) 
De hecho, la mayoría de las ofertas piden 
 
Esta probabilidad que mira algo impar (≈ 1) resulta de elegir el fi para ser una densidad 
Gaussiana con μi malo = _i en el centro del intervalo de la tolerancia y con _i de la desviación 
de estándar = Ti/3, es decir: 
 
Es la densidad normal estándar. Tenemos así: 
 
 
 
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Y: 
 
Donde: 
 
Es la función de distribución acumulativa normal estándar. Así la probabilidad que mira 
impar .9973 es el resultado de tres asunciones, a saber i) una densidad Gaussiana fi, ii) √i = μi, 
es decir, el proceso de la dimensión de la pieza se centra en el valor nominal, e iii) Ti = 3σi. Las 
primeras dos asunciones hacen posible que el factor simple y redondo 3 en 3σi produce la 
probabilidad .9973. Esto es una opción extensamente aceptada aunque otras son posibles. Por 
ejemplo, Mansoor (1963) aparece preferir el factor 3.09 dando por resultado una probabilidad 
de .999 para la conformidad de la tolerancia de la dimensión de la parte. 
Una razón que se avanza a menudo para si se asume que una distribución normal es 
que las desviaciones del nominal son a menudo el resultado de muchos contribuidores aditivos 
que sean al azar en naturaleza, y cada uno de efecto relativamente pequeño. El teorema de 
límite central entonces se utiliza para demandar normalidad para la suma de muchos tales 
contribuidores. Se asume que la persona que produce la pieza apuntará para la dimensión 
nominal de la parte, pero por varias razones habrá las desviaciones del nominal que acumulan 
a una desviación total del nominal, que entonces se demanda para ser normal. Así los valores 
XI se aproximaran típicamente con más frecuencia alrededor del √i nominal y menos darán 
lugar a los valores lejanos. Esta vista de la distribución de XI representa una piedra de la 
esquina importante en el método de toleración estadístico. 
Bajo asunciones antedichas podemos tratar el criterio del ensamble. 
 
Como variable al azar, de hecho como variable al azar Gaussiana con medio: 
 
Con variables: 
 
La primera ecuación indica que el μA malo de A coincide con el √A del valor nominal de 
A. Esto resulta de la dependencia linear de A de las dimensiones de la pieza XI y del hecho de 
que las medas de todas las dimensiones de la parte coinciden con sus valores nominales 
respectivos. La fórmula antedicha para la variación se puede reescribir como sigue: 
 
 
 
Si llamamos 3σA = 𝑇𝐴
𝑅𝑆𝑆, conseguimos el RSS-fórmula bien conocido para acumulación 
estadística de la tolerancia: 
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Aquí RSS refiere a la raíz/ suma/ operación cuadrada que tiene que ser realizada para 
calcular 𝑇𝐴
𝑅𝑆𝑆. Puesto que A es Gaussiana, podemos contar en 99.73% de todos los valores A 
del criterio del ensamble para caernos dentro ±3σA = el ± 𝑇𝐴
𝑅𝑆𝑆de su √A nominal, o solamente 
.27% de todas las asambleas fallarán. 
¿Qué hemos ganado por el precio de tolerar una fracción pequeña de las faltas del 
ensamble? La respuesta llega a ser otra vez la más transparente cuando todas las 
contribuciones de la tolerancia de la parte |ai| Ti es igual, es decir, |ai| Ti = T. Entonces tenemos: 
 
En comparación con Tarit = Tn en toleración aritmético. El factor √𝑛 crece mucho más 
lento que el n. Incluso para n = 2 encontramos que √2 = 1.41 es el 29% más pequeño de 2 y 
para n = 4 nosotros tienen que √4 es el 50% más pequeño de 4. 
Si es apropiado la asamblea requiere que 𝑇𝐴
𝑅𝑆𝑆 ≤ QA = .004”, entonces las contribuciones 
comunes de la tolerancia de la parte tengan que estar T = 𝑇𝐴
𝑅𝑆𝑆/√𝑛≤.004”/ √𝑛. Debido al divisor 
√𝑛, estas tolerancias de la parte son mucho más liberales que ésas obtenidas bajo toleración 
aritmética. 
7. Toleración estadístico que usa la asunción de CLT 
 Una suposición usada generalmente en la sección anterior es el de una distribución Gaussiana 
para todas las dimensiones de la parte XI. Esta sección se ha desafiado a menudo, basado en 
parte en los datos de la parte que contradicen la normalidad, basado en parte en las cambios 
malos que dan lugar a una mezcla total de las distribuciones normales, es decir, manchadas 
hacia fuera, y pasado pero basado no lo más menos posible en la experiencia que la tarifa del 
polvillo radiactivo del ensamble era más alta que predicha por toleración estadístico. Aquí 
relajaremos que la suposición de la normalidad no prohíbe las distribuciones más generales 
para las variaciones de la pieza XI. Sin embargo, insistiremos que el μi malo XI del alambique 
coincide con el √i nominal. Relajando este último constreñimiento será discutido en secciones 
subsecuentes. 
Para relajar la suposición de la normalidad para las dimensiones de la pieza XI que 
invalidamos al teorema de límite central de la teoría de las probabilidades (CLT). De hecho, 
ahora utilizaremos las suposiciones siguientes: 
1. El XI, i = 1. . . , n, es estadístico independiente. 
 2. La densidad fi que gobierna la distribución de XI tiene μi = √i y σi de la desviación 
estándar. 
 3. Las contribuciones de la variabilidad de todos los términos en la combinación lineal A 
llegan a ser insignificantes para n, es decir, 
 
 
 
 
Debajo de estos tres condiciones 1 el Lindeberg-Feller CLT indica que es lineal: 
Combinación: 
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Tiene una distribución aproximadamente normal con medio:Y con variables: 
 
La suposición 3 elimina las situaciones donde una pequeña cantidad de términos en la 
combinación lineal tienen tanta variación que hundan totalmente la variación de los términos 
restantes. Si estos pocos términos dominantes tienen distribuciones anormales, puede esperar 
apenas que la combinación linear tenga una distribución aproximadamente normal. A pesar de 
las suposiciones distribucionales reflejadas para las dimensiones de la pieza tenemos que el 
criterio A de la asamblea está distribuido otra vez aproximadamente normalmente y su μA 
coincide con el √A deseado del valor nominal. De la normalidad aproximada de A podemos 
contar en cerca de 99.73% de todos los criterios de la asamblea para caernos dentro [√A− 3σA, 
√A + 3σA]. 
 Éste casi es el mismo resultado que antes, a excepción de un punto de “menor” 
importancia. En la sección anterior habíamos supuesto una relación particular entre el σi de la 
dimensión de la pieza y el Ti de la tolerancia, a saber estipulamos ese Ti = 3σi. Esto fue 
motivada principalmente por el hecho que bajo asunción de la normalidad casi todas las 
(99.73%) dimensiones de la parte bajarían dentro de ±3σi del √i = μi nominales. Sin la 
suposición de la normalidad para las piezas no hay tal aseguramiento de la probabilidad para 
tales escalas de ±3σi. Sin embargo, la desigualdad del Campo-Meidell (enciclopedia de las 
ciencias estadísticas, vol. I, 1982), estados que para las densidades simétricas y única fi con la 
variación finita 𝜎1
2 tenemos. 
 
Aquí la simetría significa ese fi (√i + y) = fi (√i− y) para toda y, y así μi = √i. significa fi (√i 
+y) ≥ fi (√i +y ́) para todo 0 ≤|y| ≤|y|̕, es decir, la densidad se cae mientras que nos movemos 
lejos de su centro, o por lo menos no aumenta. Aunque esto cubre una familia ancha de 
distribuciones razonables, el número .9506 no lleva con él el mismo grado de la certeza que 
0.9973. 
Todavía no tenemos así un acoplamiento natural entre el σi de la desviación de 
estándar y el Ti de la tolerancia de la dimensión de la pieza. Si la distribución de XI tiene una 
gama finita, entonces una podría comparar esa gama finita con la gama de la tolerancia del ±Ti 
alrededor de √i. Esto es qué se ha hecho comúnmente. En el caso de un fi Gaussiana esto no 
era posible (debido a la gama infinita) y eso fue resuelta optando por gama de ±3σi = ±Ti. 
Emparejando la escala finita de una distribución con la escala de la tolerancia [√i - Ti, √i + Ti] 
obtenemos el acoplamiento entre el σi y el Ti, y así en última instancia el acoplamiento entre TA 
y el Ti. Puesto que la extensión 2Ti de una tal distribución finita de la gama se puede manipular 
por un cambio simple de la escala que también afecte la desviación de estándar de la 
distribución por el mismo factor que nos sigue que el σi y el Ti será proporcional el uno al otro, 
es decir, puede estipular eso: 
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Donde está un factor c que es específico al tipo de distribución. La opción de ligar esta 
proporcionalidad de nuevo a 3σi facilita la comparación con la distribución normal, para la cual 
tendríamos c = cN = 1. 
 El asumir que el tipo de distribución (pero no necesariamente de su localización y 
escala) es igual para todas las dimensiones de la parte conseguimos: 
 
Esto conduce a la tolerancia que acumula las fórmulas con las cuales esencialmente 
convenga (2), salvo que se ha agregado un factor de la inflación, c. Si el tipo de la distribución 
también cambia de parte a la parte (esperanzadamente con la buena justificación), es decir, 
tenemos diversos factores c1... cn, necesitamos utilizar la tolerancia más complicada siguiente 
que apila fórmula: 
(3) 
Donde c = (c1... cn). En la tabla que 1 nosotros da algunos factores que se han considerado 
en la literatura, vea a Gilson (1951), Mansoor (1963), Fortini (1967), Kirschling (1988), Bjørke 
(1989), y Henzold (1995). 
8. Las distribuciones correspondientes ilustradas en la figura 2: 
 
(http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf) 
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(http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf) 
9. Distribuciones y factores del intervalo de la tolerancia en la figura 2. 
 Para una derivación de estos factores vea el apéndice A. Para la densidad beta los parámetros 
a > 0 y b > 0 son los parámetros generalmente de la forma, a en la densidad trapezoidal 
indica el punto de desempate del plano a la parte inclinada de la densidad, y p y f caracterizan 
la densidad del histograma (véase la densidad pasada en el cuadro 2), a saber la barra media 
de las cubiertas de esa densidad el √i ± f Ti de la porción central del intervalo de la tolerancia y 
su área abarca el 100p% de la densidad total. 
Algunos factores tienen poca justificación y motivación explícitas y se presentan sin 
referencia apropiada. Por ejemplo, el factor c = 1.6 de Gilson (1951) deriva de su fórmula 
empírico crucial (2) por los cuales sea introducido “sin entrar profundamente un análisis 
matemático. . .” Evans (1975) se parece dar la bienvenida a tal carencia del detalle matemático 
diciendo: No se deriva “ningunos de los resultados, en el sentido especializado de esta palabra, 
de modo que sean legibles por virtualmente cualquier persona que estaría interesado en el 
problema toleración.” 
Bender (1962) da el factor 1.5 basado principalmente en el hecho de que los operadores de 
la producción generalmente le darán 2/3 de la extensión verdadera (gama de ±3σ bajo 
distribución normal) cuando están preguntados qué límites de tolerancia pueden llevar a cabo y 
“gente del control de calidad reconoce que esta extensión de 2/3 total incluye el cerca de 95% 
de los pedazos.” Para compensar estas tolerancias optimista indicadas, el doblador sugiere el 
factor 3/2 = 1.5. 
10. Evaluación del riesgo estadístico de la acumulación de tolerancias 
En esta sección discutimos el riesgo de la asamblea, es decir, la ocasión que un criterio A de la 
asamblea no satisfará su requisito. Como en la sección anterior se asume que todas las 
dimensiones de la parte XI tienen distribuciones simétricas centradas en sus nominales, es 
decir, con μi = √i de los medios, y las variaciones 𝜎𝑖
2, respectivamente. El requisito para el 
ensamble se asume para ser | A −√A| ≤ K0, donde está un cierto número K0 predeterminado 
basado en consideraciones del diseño. Entonces estamos interesados en la determinación de 
P (|A−√A| > K0). Según el CLT podemos tratar (A−√A) /σA = (A−μA) /σA como variable al azar 
normal aproximadamente estándar. Así el riesgo del ensamble es: 
 
 
 
ACUMULACION DE TOLERANCIAS 
14 
 
Cuando el requisito K0 es igual a: 
𝑐𝑇𝐴
𝑅𝑆𝑆=c√𝑎1
2𝑇1
2 + ⋯ + 𝑎𝑛
2𝑇𝑛
2 
 
Entonces el riesgo de la falla en el ensamble: 
 
El complemento de nuestro 0.9973 familiar. El factor c afecta en qué medida podremos 
caber el c𝑇𝐴
𝑅𝑆𝑆 en K0. Si c𝑇𝐴
𝑅𝑆𝑆 > K0 tenemos que reducir c o𝑇𝐴
𝑅𝑆𝑆. Puesto que c depende de la 
distribución que le da lugar y que retrata nuestro conocimiento vago de la variación de la 
fabricación, nos dejan con la reducción de 𝑇𝐴
𝑅𝑆𝑆, es decir, las tolerancias individuales de la 
parte. Si no hacemos ni unos ni otros tenemos que aceptar la falla de ensamble y un riesgo 
más alto que se pueda computar vía el fórmula (4). 
Cuando invocamos el CLT tratamos a menudo las aproximaciones que resultan como si él 
es exacto. Sin embargo, debe ser tenido presente de que en realidad ocupamos de 
aproximaciones (aunque las típicamente buenas) y que llega a ser algo limitada la exactitud 
cuando hacemos tales cálculos que implican las colas extremas de las distribuciones normales. 
Por ejemplo, una aproximación normal puede sugerir una probabilidad de 0.9973, pero en 
realidad que la probabilidad pueda ser solamente 0.98. Al hacer las correcciones para tales 
probabilidades extremas de la cola, se parecería que una parte a menudo los pelos dado que 
estas probabilidades son solamente aproximadasde todos modos. Sin embargo, lo que la 
probabilidad correcta pudo ser, si la aproximación sugiere una degradación en el nivel del 
aseguramiento de la tolerancia y si hacemos un ajuste basado en la misma aproximación, él se 
parecería que hemos tenido cierto efecto. El único problema es que la medida contraria puede 
no ser bastante (encajone) a) o puede ser más que necesitado (caso) b). Si en cualquiera de 
estas situaciones no hubiéramos hecho nada, después seríamos mucho peores apagado en 
caso de que a) o estamos contando en optimismo a ultranza en caso de que b). 
11. Cambios negativos 
 Hemos hecho hasta ahora la suposición excesivamente simple la parte dimensiona XI debe 
estar centrada respecto a los nominales de √i. Esto en la práctica es difícil de alcanzar y a 
menudo no económico. Tales cambios del medio pueden ocasionalmente ser absolutamente 
deliberadas (apuntando para la condición máxima del material, porque una prefiere reiniciar la 
operación y seguido de esto empezar con el desecho), en otras ocasiones es causada por 
desgaste de la herramienta, y a menudo uno no puede hacer un promedio hacia fuera del 
proceso de fabricación de la pieza exactamente en el centro nominal de √i, tan difícil como uno 
puede intentar. Una cambio de la distribución de el XI lejos de los centros nominales 
respectivos causará una cambio, también en el criterio A. del ensamble. Esto alternadamente 
aumentará el riesgo del no ensamble, puesto que cambiará de posición la curva normal más 
hacia un final del requisito del diseño en el ensamble [−K0, K0]. 
Algunos autores, como, Bender (1962) y Gilson (1951), han respondido a este 
problema introduciendo los factores de la inflación, c, como les discutieron en la sección 
anterior, solamente mantener una distribución para XI que sigue siendo simétrica alrededor de 
√i. En efecto, esto negocia un efecto perjudicial, a saber el cambio negativo, contra otro si se 
asume que una variación más alta, pero todavía obligando a XI al intervalo de la tolerancia Ii = 
[√i - Ti, √i + Ti]. El remedio (factor c de la inflación) que explica una variación más alta dentro de 
Ii, como efecto secundario, también será beneficioso para ocuparse de los cambios negativos, 
puesto que causa un ajuste de tolerancias en dicha parte de un diseño más conservador. Tal 
diseño entonces naturalmente también compensará algunas cantidades de cambio perjudicial. 
Greenwood and Chase (1987) refiere a este tratamiento del problema negativo del cambio 
como usar una “banda-Ayuda”, puesto que esta práctica no es específica al problema de un 
cambio negativo. 
Un cambio negativo representa una cantidad persistente de cambio y es así 
absolutamente esencial en su efecto, mientras que una variación inflada expresa la variación 
ACUMULACION DE TOLERANCIAS 
15 
 
que cambia de sección en sección, y permite así la corrección del error. En defensa de este 
último acercamiento uno debe mencionar que a veces uno reacciona a los medios excéntricos 
“recientes” en el proceso de fabricación. Eso producirá desde entonces probablemente otro 
medio excéntrico, el esta información “reciente” apenas agregará a la variabilidad total del 
proceso, es decir, los cambios del medio entonces se transforman de hecho físicamente en 
variabilidad. Si esto es una buena estrategia, es cuestionable. Un cambio producirá típicamente 
partes rechazadas solamente en un lado del intervalo de la tolerancia, mientras que la 
variabilidad creciente debido al “cambio reciente” dará lugar a rechazos en ambos. 
 Ahora discutiremos algunas maneras de tratar explícitamente los cambios negativos 
de ∆i = μi - √i. Aunque tenemos en cuenta la posibilidad de cambios perjudiciales mantendremos 
la idea de un intervalo de la tolerancia, es decir, la dimensión XI de la pieza del ith todavía será 
obligada al intervalo Ii. De la tolerancia. Si la distribución de XI se asume para ser normal, 
después su gama de ±3σi caída inmóvil dentro de Ii, (figura 3). Esto significa que el σi tiene 
que conseguir un rango más pequeño como |∆i| consigue el rango más grande. Para los 
intervalos fijos de la tolerancia esto significa que cambios negativos más grandes son posibles 
solamente con una variación más ajustada. Exagerando esto significa que la distribución de XI 
está cambiada de posición para √i −Ti o √i +Ti, sin variación. Este último panorama es apenas 
realista2, pero vale el observar puesto que conduce de nuevo a una toleración peor. 
En la práctica no es tan fácil ajustar la variación de un proceso de producción de la 
pieza. Es más práctico ensanchar el intervalo Ii de la tolerancia de la dimensión de la pieza o 
aumentar el Ti. La acumulación de tolerancia para un mejor análisis se realiza entonces en 
términos de Ti creciente. El efecto, desde un punto de vista del método del análisis, es igual. 
Con Ti creciente el σi sin cambios parecerá reducido referente a Ti. 
Es solamente una cuestión de quién paga el precio. Los cambios negativos no se 
saben típicamente a prioridad y, según lo precisado anteriormente, en el caso extremo son 
poco realistas y nos conducen a la derecha de nuevo a peor tolerancia. Para evitar esto, la 
cantidad de los cambios perjudiciales se toman en cuenta con un rango del límite de tolerancia. 
Tales límites tomados en cuenta para el error en la fabricación se deben llegar en la 
consulta con los representantes apropiados de la producción. Que la discusión siguiente es útil 
referente a |∆i| como ŋi de la fracción de Ti, es decir, |∆i| = ŋi Ti con 0 ≤ ŋi ≤ 1. Los límites 
comprendía a |∆i ahora equivalente se expresa como los límites en ŋi, a saber ŋi ≤ ŋ0i o: 
 
|∆i| ≤ ŋoiTi 
 
12. Cuadro 3: Distribuciones normales cambiadas de puesto sobre intervalo de la 
tolerancia 
 
 
(http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf) 
 
ACUMULACION DE TOLERANCIAS 
16 
 
 
Generalmente es más razonable indicar los límites comprendiendo |∆i| en proporcionalidad a Ti. 
Una razón de esto es que el Ti captura hasta cierto punto la variabilidad de la dimensión de la 
pieza del proceso, uno está inclinado a asumir de la misma forma. La variabilidad es hasta 
cierto punto también responsable de la variación del μi negativo, es decir, que hay una cierta 
proporcionalidad entre los dos fenómenos de la variación. También, una vez que tales límites 
negativos de los cambios se expresen en términos de tal proporcionalidad a Ti, uno está 
entonces más dispuesto a asumir un límite común para estos factores de la proporcionalidad, a 
saber ŋ01 =. . . = ŋ0n = ŋ0. Teniendo un límite común ŋ0 para todas las dimensiones de la parte 
XI no es necesario, sino simplifica grandemente la exposición y la práctica del ajuste según 
cambios perjudiciales. 
 Podemos ahora ver la dimensión XI de la pieza como la suma de dos (o tres) 
contribuciones: 
 
 
 
 Donde está el μi alrededor del cual la pieza individual del ith dimensional y el Єi es la 
cantidad por la cual XI se desvía del μi cada vez que la parte producida. El término Єi de la 
variación asume variar según una cierta distribución con el medio cero y la variación 𝜎𝑖
2. 
Podemos pensar en los dos términos en ∆i + Єi como la desviación total de XI del √i nominal. A 
saber, el μi diferencia de √i por el ∆i negativo en el cambio de una manera persistente entonces 
cada dimensión de la parte tendrá su propio Єi de la desviación del μi. Sin embargo, esta última 
desviación será diferente a partir de una realización de la dimensión XI de la siguiente. Por lo 
tanto el ensamble que resulta experimentará diversas desviaciones de esa dimensión de la 
parte, cada vez que hacen un nuevo ensamble. Sin embargo, el ∆i de la contribución será igual 
de ensamble a ensamble. 
 La representación antedicha entonces conduce a una representación correspondiente 
para el criterio del ensamble: 
 
 
 
Donde: 
 
 
Aquí el μA es el medio de A, √A es el ensamble nominal, ∆A es son los cambios 
negativos en el ensamble, y ЄA captura la variación de A de ensamblea ensamble, teniendo el 
medio cero y variación: 
 
13. Acumulación aritmética de cambios negativos 
La variación de A alrededor del montaje √A nominal es el compuesto de dos contribuciones, 
sabiendo que un ensamble mal realizado es ∆A = μA - √A y la variación del ensamble, que es la 
suma de contribuciones al azar de n y así favorable a acumulación estadística de la tolerancia. 
 
ACUMULACION DE TOLERANCIAS 
17 
 
 
 
La cantidad por la cual el μA puede diferenciar de √A puede ser limitada como sigue: 
 (5) 
Donde la última suma recuerda acumular el peor caso de la tolerancia aritmética. De 
hecho, es exactamente lo qué está sucediendo aquí con los cambios negativos, en donde 
asumimos que todos estos cambios entran en la dirección más desfavorable. La desigualdad 
adentro (5) de hecho puede ser una igualdad proporcionada para todo ai ∆i tiene la misma 
muestra. 
El CLT se puede invocar otra vez para tratar el ЄA como aproximación normal con el 
medio cero y variación 𝜎Є𝐴
2 , de modo asi poder esperar un 99.73% de ЄA de las variaciones del 
ensamble y así bajen dentro de ±3σЄA de cero. Así 99.73% de toda el ensamble de 
dimensiones A dentro de la caída: 
μA ±3σЄA 
 Puesto que (5) limita la cantidad por la cual el μA puede diferenciar de √A, nosotros 
podemos juntar este aditamento (en la peor manera) con el límite anterior de 99.73% intervalos 
para A y puede demandar que por lo menos bajarán 99.73% de toda el ensamble de 
dimensiones A dentro: 
 (6) 
Debido al peor caso de adición en los cambios negativos, generalmente se da por 
bueno con menos de .27% de los criterios del ensamble A que bajan fuera del intervalo (6). Ese 
porcentaje está correcto cuando el cambio por medio que el ensamble es cero. Pues el μA del 
medio ensamble cambia de puesto a la derecha o a la izquierda de √A, sólo una de las colas de 
la distribución normal contribuirá perceptiblemente al ensamble fuera de la tarifa de tolerancia. 
Esa tarifa debe de ser la mitad de justa de .27% o .135%, o levemente arriba. Las densidades 
normales cambiadas de puesto y escaladas en la figura 3 ilustran ese punto también. 
 No hemos descompuesto en factores hasta ahora nuestra estimación anterior que σi 
debe disminuir como |∆i| aumenta, para mantener el requisito XI Є Ii. Si asumimos una 
distribución normal para XI, ésta significa que requerimos que el ±3σi se extienda alrededor de 
μi todavía esté contenido dentro de Ii. Al mismo tiempo esto significa que la tarifa del polvillo 
radiactivo se contraerá a partir de la .27% (para cero alteraciones) a .135% como el cambio 
negativo es más grande, puesto que solamente una cola de la distribución contribuirá. Puesto 
que con cero alteraciones una permite .27% polvillo radiactivo, uno habría podido permitir un 
aumento en σi de modo que el solo polvillo radiactivo de la cola fuera otra vez .27%. No 
entraremos en esta complicación y en lugar de otro, permaneceremos con nuestra 
interpretación original, a saber requerimos que el índice Cpk de la capacidad satisface: 
 
ACUMULACION DE TOLERANCIAS 
18 
 
Si se asume que la cantidad más alta de variabilidad dentro de estas precipitaciones, 
es decir, Cpk = 1, tenemos: 
3σi = (1 – ŋi) Ti (7) 
 Debido a nuestra identificación inicial de 3σi = Ti (sin alteraciones) esta ecuación se 
pueden interpretar de dos maneras. Que las cuales serian σi necesita ser reducido por el factor 
(1−ŋi), o el Ti necesita ser aumentado en el factor 1 (1−ŋi) para acomodar un cambio de ± ŋi Ti. 
donde cualquier ecuación de la manera (7) se observa, entonces tenemos: 
 
Con esta representación de 3σЄA por lo menos 99.73% de todas las dimensiones A del 
ensamble bajará dentro: 
 (8) 
Según lo precisado anteriormente, esta proporción de la conformidad es generalmente 
más alta, es decir 99.865%. 
 En la fórmula (8) el ith cambia de puesto ŋi la fracción aparece en dos lugares, primero 
en la suma (que aumenta ŋi) y bajo raíz (disminuye en ŋi). No es así obvio que el ŋi de aumento 
siempre hacia materias peores. Entonces: 
 
Seguido de este aumento ŋi ensanchará el intervalo (8). Si todas las fracciones de ŋj el 
cambio es limitado por el ŋ0, podemos limitar así la variación del criterio A del ensamble a: 
 
Por lo menos (mejorado a 99.865%) el aseguramiento 99.73% de contener A. 
Resumiendo a: 
 
Es una combinación cargada (con los pesos ŋ0 y 1 − ŋ0) de acumulación aritmética y 
estadístico de la tolerancia del Ti de las tolerancias de la pieza. Como tales él se pueden ver 
como un acercamiento unificado, según lo sugerido por Greenwood and Chase (1987), desde 
ŋ0 = 0 en tolerancia estadística puro y ŋ0 = 1 en tolerancing aritmético puro. 
 
 
ACUMULACION DE TOLERANCIAS 
19 
 
Comparando los dos componentes de esta combinación cargada se ve fácilmente 
(ajustando ambos lados y observando que todos los términos |ai| Ti no es negativo) eso 
 
Donde está generalmente perceptiblemente más grande el lado izquierdo que la 
derecha. Esta desigualdad, que pone en contraste la diferencia entre acumulación aritmética y 
RSS acumulado, es una ilustración simple del teorema de Pitágoras. Pensando en una caja 
rectangular en n-espacio, con los lados |ai|Ti, i = 1. . . , ŋ. Para partir de una esquina de esta 
caja a la esquina diametralmente opuesta podemos proceder cualquiera yendo a lo largo de los 
bordes, atravesando una distancia 𝛴1
𝑛=1 |ai| Ti, o ir directamente en la diagonal que conecta las 
esquinas diametralmente opuestas. En el último caso atravesamos la distancia mucho más 
corta de √𝛴1
𝑛 = 1 |ai|x2 Ti𝑥2 según Pitágoras. La conexión de Pitágoras también fue referida 
por Harry y a Stewart (1988), aunque en forma algo diversa, a saber en el contexto de explicar 
la variación de una suma de variables al azar independientes. 
Mientras ŋ0 > 0, es decir, una cierta alteración, encontramos que este tipo de 
acumulación Ti de las tolerancias esté en orden ŋ. Esto se ve lo más claramente posible 
cuando |ai|Ti = T y |ai| = 1 para todo el I. Entonces: 
 
En orden n, aunque es reducido por el factor ŋ0. Así el aumento posible previamente 
conocido en la tarifa de la conformidad, a saber 99.73% ↗ 99.865%, es típicamente más que 
compensó por el crecimiento de la orden n en la acumulación de la tolerancia cuando las 
cambios del medio están presentes. 
 Este incremento en el ensamble se podría convertir de nuevo a 99.73% poniendo el 
factor 2.782/3 = .927 delante de la raíz cuadrada en el fórmula (9). El valor 2.782 representa los 
99.73% puntos de la distribución normal estándar. Si, debido una alteración permitida, tenemos 
que preocuparnos solamente cerca de una distribución normal que excede los límites de la 
acumulación de tolerancias, entonces podemos reducir nuestro factor acostumbrado 3 en 3σЄA 
a 2.782. A un grado pequeño. La acumulación de tolerancias que resulta del intervalo entonces 
será: 
 
Hemos asumido hasta ahora que la variación de los términos Єi es normal, con el 
medio cero y la variación 𝜎𝑖
2. Esta estimación de la normalidad se puede relajar como antes si 
se asume que una distribución simétrica sobre un intervalo finito, J i, centrado en cero. Este 
intervalo finito, después de centrarlo en μi, inmóvil dentro del intervalo Ii. De la tolerancia. Así Ji 
será más pequeño de Ii. Esta reducción en variabilidad es las contrapartes de reducir σi en el 
modelo normal, como |∆i| incrementa. Véase la figura 4 para las versiones cambiadas de 
puesto de la distribución de la figura 2 con la reducción de acompañamiento en variabilidad. 
Alternativamente, podríamos en lugar de otro ensanchar los intervalos de la tolerancia I i 
mientras que guardar la extensión de las distribuciones fijó. 
Si Ii tiene la mitad de Ti y si su cambio perjudicial es |∆i|, entonces el intervalo reducido 
Ji sería: 
 
 
ACUMULACION DE TOLERANCIAS 
20 
 
La distribución fi, describiendo la distribución del Єi sobre el intervalo Ji, tiene variación 
𝜎𝑖
2 y como antesde que tengamos la siguiente relación: 
 
Donde un factor c que depende del tipo de la distribución, vea la tabla 1. 
Usando la formula (6) y: 
 
La fórmula (8) cambia simplemente a: 
 
Es decir, hay una penalidad adicional con el factor C de la inflación. Si los intervalos de la 
tolerancia de la dimensión de la pieza implican diversas distribuciones, entonces una puede 
acomodar esto en una manera similar como adentro (3). 
 
14. Cuadro 4: Distribuciones y factores cambiados de puesto del intervalo de la 
tolerancia 
 
 
(http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf) 
ACUMULACION DE TOLERANCIAS 
21 
 
 
 
Aquí no está claramente si ŋi aumento el intervalo (11) o no. derivando como 
anteriormente: 
 
Si y solo si: 
 
Éste generalmente será el caso mientras c no sea demasiado grande de 1 y mientras 
 (1 − ŋj)2𝑎𝑗
2𝑇𝑗
2 no sea la contribución opresora a: 
 
Si ŋi ≤ ŋ0 entonces: 
 
Aquí el lado correcto derecho está bien cercano a uno, a menos que 𝑎𝑗
2𝑇𝑗
2 j sea mucho 
más grande que el efecto combinado por 𝑎𝑗
2𝑇𝑗
2, i ≠ J. Esta situación no se presenta 
generalmente. 
Como ejemplo donde c es demasiado grande considere n = 2, (1 − ŋ1)|a1|T1 = (1 − 
ŋ2)|a2|T2, y f1 = f2 = uniforme. Entonces c = √3 = 1.732 de la tabla 1 y: 
 
El caso anterior de derivación es negativo, significa que el intervalo (11) es más ancho 
cuando no hay alteraciones. Este comportamiento extraño no llega a n = 3 distribuciones 
uniformes. También, debe ser precisado que para n = 2 y variación uniforme de la dimensión 
de la parte CLT todavía no proporciona una buena aproximación a la distribución de A, que en 
ese caso es triangular. 
En la mayoría de los casos encontraremos que los derivados antedichos no son 
negativos y que la anchura máxima del intervalo conforme a ŋi ≤ ŋ0 está alcanzada de hecho en 
ŋi = ŋ0 para i = 1. . . , n. Entonces tendríamos que baja A teniendo: 
 
 
Por lo menos con 99.73% (o 99.865%) asegurando. Este último porcentaje se deriva 
otra vez de CLT aplicado a ЄA. Aprovechando el 99.865% podríamos introducir otra vez el 
factor 0.927 de la reducción adentro (12) 
 
 
Con un menos del 99.73% de aseguramiento. 
 
 
ACUMULACION DE TOLERANCIAS 
22 
 
 
 
 
 
 
 
15. Conclusión 
 
 
Dando a conocer los temas tratados con anterioridad, es así, como se debe de encontrar sus 
aplicaciones y llevar un control de la calidad en múltiples aéreas de trabajo. 
 
La acumulación de tolerancias es de suma importancia para la elaboración, fabricación, 
diseño, etc. Por que por medio de esta se tiene la seguridad de que el proceso de producción 
está bien diseñado y así no tener que llegar al re maquinado o a la eliminación de nuestras 
piezas producidas, como también a la devolución de las mismas. 
 
 La información presentada anteriormente sirve de herramienta para corregir o evitar 
imperfecciones presentadas en el diseño. Aplicándolas correctamente es como se evitara dicha 
aparición de alteraciones e imperfecciones.