control PID para un motor dc controlado por armadura

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Teoría de Control 
 
 
 
 
CONTROL PID PARA UN MOTOR DC 
CONTROLADO POR ARMADURA 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ramón Guerrero Alumnos: 
Richarson Ochoa C.I: 16.713.540 Esc: 43 
Alexander Pérez C.I: 10.093.167 Esc: 43 
 
 
Agosto 2016 
Introducción 
 
 El control de procesos, en sus inicios estaba restringido a máquinas sofisticadas 
y procesos muy complejos y costosos, está hoy en día en prácticamente todas las 
actividades humanas. Entre estas actividades se encuentra la rama de ingeniería 
eléctrica, por decir una de ellas tienen una importancia primordial, pues estas se 
aplican a cualquier control eléctrico o cualquier equipo por más simple que parezca 
como por ejemplo el panel de control de un grupo electrógeno. 
 En este informe se presenta el control de velocidad de un motor dc con armadura 
mediante el uso de un controlador PID, don se demuestra que podemos controlar 
la velocidad del mismo mas no la posición del motor en determinado valor de 
tiempo, para el análisis se utilizó el software Matlab donde se obtuvo la función de 
transferencia para el circuito y se realizó la simulación por medio de simulink 
obteniendo las gráficas de velocidad rad/s y posición del motor respecto a tiempo. 
 Previo a esto se define y se explica los diferentes conceptos que implica la teoría 
de control para que el lector pueda aclarar y entender mejor el circuito. 
 
1. Marco Teórico: 
Teoría de Control: Es un campo interdisciplinario de la ingeniería y las 
matemáticas, que trata con el comportamiento de sistemas dinámicos. A la 
entrada de un sistema se le llama referencia. Cuando una o más variables de 
salida de un sistema necesitan cierta referencia sobre el tiempo, un controlador 
manipula la entrada al sistema para obtener el efecto deseado en la salida del 
sistema (realimentación). La realimentación puede ser negativa (regulación 
autocompensatoria) o positiva (efecto “bola de nieve” o “circulo vicioso”). 
Sistema de Control: Los controles automáticos o sistemas de control constituyen 
una parte muy importante en los procesos industriales modernos, donde se les usa 
principalmente para regular variables tales como la presión, temperatura, nivel, 
flujo, viscosidad, densidad etc. 
 Un sistema de control puede ser “un arreglo de componentes físicos conectados 
de tal manera, que el arreglo pueda comandar, dirigir o regular a sí mismo o a otro 
sistema”. 
Ventajas de un Control Automático: Las ventajas de un control automático 
son principalmente económicas, ya que permite: 
 Mejorar la calidad de los productos. 
 Disminuir los tiempos de operación. 
 Reducir la dependencia de operarios para manejar procesos. 
 Reducir costos de producción. 
Definición de Términos Básicos: 
 Planta: Es un equipo o conjunto de equipos que permiten realizar una 
operación determinada. Cuando se tiene un conjunto de equipos 
interactuando para generar un producto se tiene una planta industrial. 
 Proceso: Está constituido por una serie de operaciones coordinadas 
sistemáticamente para producir un resultado final que puede ser un 
producto. 
 Sistema: Es una combinación de componentes físicos que actúan 
conjuntamente para cumplir un determinado objetivo. 
Elementos de Un Sistema de Control: 
 Proceso a Controlar: Es como su nombre lo indica el proceso que se 
quiere controlar o regular. 
 Variable Controlada: Es aquella que se mantiene en una condición 
especifica deseada, es la que se quiere controlar. 
 Variable Manipulada: Es la señal sobre la cual se actúa o se modifica con 
el fin de mantener la variables controlada en su valor. Esta cambia 
continuamente para hacer que la variable controlada vuelva al valor 
deseado. 
 Señal de Referencia: (set point). Es el valor en el cual se quiere 
mantener la variable controlada. 
 Error o Señal Actuadora: Es la diferencia entre la señal de referencia y la 
variable controlada. 
 Perturbación: Es un agente indeseable que tiende a afectar adversamente 
el valor de la variable controlada. 
 Elemento de Medición: Es el encargado de determinar el valor de la 
variable controlada. 
 Controlador: Es el encargado de determinar el error y determinar qué tipo 
de acción tomar. 
 Elemento Final de Control: Es el encargado de realizar la acción de 
control modificando la variable manipulada. 
 Entrada: Es el estímulo o excitación que se aplica a un sistema desde una 
fuente de energía externa, generalmente con el fin de producir, de parte del 
sistema, una repuesta especifica. 
 Salida: Es la respuesta obtenida de parte del sistema. 
Clases de Sistemas de Control: Existen diversas formas de clasificar un sistema 
de control entre las cuales están: sistema de control pasivo, sistema de control de 
lazo abierto y sistema de control retroalimentado. 
 Sistema de Control Pasivo: Es cuando la variable el sistema se diseña 
para obtener una determinada respuesta ante entradas conocidas, una vez 
diseñado el elemento no existe ningún elemento que realice o modifique la 
acción de control. No existe un sistema de que modifique la acción de 
control en función de las variables del sistema. Un ejemplo de este tipo de 
sistema es los sistemas de suspensión de vehículos, en este caso se diseña 
un sistema de resorte y amortiguador que permite absorber el efecto de los 
defectos de la vía. 
 Sistema de Control de Lazo Abierto: Es cuando el sistema de control 
utiliza la información de la entrada para realizar una acción de control, sin 
tomar en cuenta el valor de la variable controlada. Esto se puede 
esquematizar en el siguiente diagrama de bloques: 
 
 
 
 
Fig. 1 Diagrama de bloques típico de un sistema de control de lazo abierto 
 
 Sistema de Control Retroalimentado o Lazo Cerrado (activo): Es 
cuando la variable controlada se compara continuamente con la señal de 
referencia y cualquier diferencia produce una acción que tiene a reducir la 
desviación existente. En otras palabras la acción de control realizada por el 
sistema de control depende del valor de las variables controlada en todo 
instante, por lo tanto también toma el nombre de control dinámico. Esto se 
puede representar en forma de un diagrama de bloques que muestra la 
interacción lógica de los elementos que conforman un sistema de control 
retroalimentado. 
 
 
Fig. 2 Diagrama de bloques típico de un sistema de control de lazo cerrado 
 
Tipos de Controladores y Modelos Matemáticos: 
 Controlador de Acción Proporcional (P): En estos controladores la 
señal de accionamiento es proporcional a la señal de error del sistema. La 
señal de erros es la obtenida en la salida del comparador entre la señal de 
referencia y la señal realimentada. Es el más sencillo de los distintos tipos 
de control y consiste en amplificar la señal de error antes de aplicarla a la 
planta o proceso. La función de transferencia de este tipo de reguladores es 
una variable real denominada KP (constante de proporcionalidad) que 
determinara el grado de amplificación del elemento de control. Si y (t) es la 
señal de salida (salida del controlador) y e (t) la señal de error (entrada al 
controlador), en un sistema de control proporcional tendremos: 
Que el dominio de Laplace es: 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑝 ∗ 𝑒(𝑡) 
 Y(𝑠) = 𝐾𝑝 ∗ 𝐸(𝑠) 
Por lo que su función de transferencia será: 𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑝 
 Donde Y(s) es la salida del regulador o controlador, E(s) la señal de error y 
Kp, la ganancia del bloque de control. 
 Teóricamente, en este tipo de controlador si la señal de error es cero, 
también lo será la salida del controlador. La respuesta, en teoría es 
instantánea con lo cual el tiempo no intervendría en el control. En la 
práctica no ocurre esto, si la variación de la señal de entrada es muy rápida. 
El controlador no puede seguir dicha variación y presentara una trayectoriaexponencial hasta alcanzar la salida deseada. En general los reguladores 
proporcionales (P) siempre presentan una respuesta con un cierto error 
remanente, que el sistema es incapaz de compensar. 
 Controlador de Acción Integral (I): En los reguladores el valor de la 
acción de control es proporcional a la integral de la señal de error, por lo 
que en este tipo de control la acción varía en función de la desviación de la 
salida y del tiempo en el que se mantiene esta desviación. Al considerar: 
 y(t)= Salida integral. 
 e(t)= Error (diferencia entre el valor medio, medición y el punto de 
consigna PC). 
 Ti= Tiempo integral. 
La salida de este regulador es: 𝑦(𝑡) =
1
𝑇1
∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 
Que en el dominio de Laplace es: 𝑌(𝑠) =
1
𝑇1∗𝑠
∗ 𝐸(𝑠) 
La función de transferencia es: 𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝐸(𝑠)
=
1
𝑇1∗𝑠
 
 
 
Fig. 3 Respuesta temporal de un regulador integral 
 La velocidad de respuesta del sistema de control dependerá del valor de Ki que 
es la pendiente de la rampa de acción integral. El inconveniente del controlador 
integral es que la respuesta inicial es muy lenta, y el controlador no empieza a ser 
efectivo hasta haber transcurrido un cierto tiempo. En cambio anula el error 
remanente que presenta el controlador proporcional. 
 Controlador de Acción Proporcional e Integral (PI): En realidad no 
existen controladores que actúen únicamente con acción integral, siempre 
actúan en combinación con reguladores de una acción proporcional, 
complementándose los dos tipos de reguladores, primero está en acción el 
regulador proporcional (instantáneamente) mientras que el integral actúa 
durante un intervalo de tiempo. (Ti= tiempo integral). La función de 
transferencia del bloque de control PI responde a la ecuación: 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑝 ∗ (
1
𝑇1 ∗ 𝑠
+ 1) 
Donde Kp y Ti son parámetros que se pueden modificar según las 
necesidades del sistema, si Ti es grande la pendiente de la rampa, 
correspondiente al efecto integral será pequeña y su efecto será atenuado, 
y viceversa. Respuesta temporal de un regulador PI. 
 Por lo tanto la respuesta de un regulador Pi será la suma de las respuestas 
debidas a un control proporcional IP, que será instantánea de detección de 
la señal de error, y con un cierto retardo entrara en acción el control 
integral I, que será el encargado de anular totalmente la señal de error. 
 Control de Acción Proporcional y Derivativa (PD): El controlador 
derivativo se opone a desviaciones de la señal de entrada, con una 
respuesta que es proporcional a la rapidez con que se producen estas si 
consideramos que: 
 y(t)= Salida diferencial. 
 e(t) = Error (diferencia entre medición y punto de consigna [PC]. El 
PC no es otra cosa que el nivel deseado al que queremos que vuelva 
el sistema). 
 Td= Tiempo diferencial, se usa para dar mayor o menor 
transcendencia a la acción derivativa. 
La salida de este regulador es: 𝑦(𝑡) = 𝑡𝑑 ∗
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
 
Que en el dominio de Laplace, será: 𝑌(𝑠) = 𝑇𝑑 ∗ 𝑠 ∗ 𝐸(𝑠). 
 
 Si la variable de entrada es constante, no da lugar a respuesta del regulador 
diferencial, cuando las modificaciones de la entrada son instantáneas, la velocidad 
de la variación será muy elevada, por lo que la respuesta del regulador diferencial 
será muy brusca, lo que haría desaconsejable su empleo. 
 La salida del bloque de control responde a la siguiente ecuación: 
𝑦(𝑡) = 𝐾𝑝 ∗ 𝑡𝑑 ∗
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑝 ∗ 𝑒(𝑡) 
𝑌(𝑠) = 𝐾𝑝 ∗ 𝑇𝑑 ∗ 𝑠 ∗ 𝐸(𝑠) + 𝐾𝑝 ∗ 𝐸(𝑠) 
 Que en el dominio de Laplace, será: 
 Y por tanto la función de transferencia del bloque de control PD es: 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑝 ∗ (𝑇𝑑 ∗ 𝑑 + 1) 
 En los controladores diferenciales, al ser la derivada de una constante igual a 
cero, el control derivativo no ejerce ningún efecto, siendo únicamente práctico en 
aquellos casos en los que la señal de error varía en el tiempo de forma continua. 
Por lo que, el análisis de este controlador ante una señal de error tipo escalón no 
tiene sentido, por ello, al representar la salida del controlador en respuesta a una 
señal de entrada en forma de rampa unitaria. 
 Es un sistema de regulación que trata de aprovechar las ventajas de cada uno de 
los controladores de acciones básicas de manera que si la señal de error varía 
lentamente en el tiempo, predomina la acción proporcional e integral y, mientras 
que si la señal de error varía rápidamente, predomina la acción derivativa. Tiene la 
ventaja de ofrecer una respuesta muy rápida y una compensación de la señal de 
error inmediata en el caso de perturbaciones. Presenta el inconveniente de que 
este sistema es mu propenso a oscilar y los ajustes de los parámetros son mucho 
más difíciles de realizar. 
 La salida del regulador viene dada por la siguiente ecuación: 
𝑦(𝑡) = 𝐾𝑝 ∗ 𝑒(𝑡) + 𝐾𝑝 ∗ 𝑡𝑑 ∗
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑝 ∗
1
𝑡𝑖
∗ ∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 
 En el dominio de Laplace será: 
𝑌(𝑠) = 𝐾𝑝 ∗ 𝐸(𝑠) + 𝐾𝑝 ∗ 𝑇𝑑 ∗ 𝑠 ∗ 𝐸(𝑠) + 𝐾𝑝 ∗
1
𝑇𝑡 ∗ 𝑠
∗ 𝐸(𝑠) 
 La función de transferencia del bloque de control PID será: 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑝 ∗ (𝑎 + 𝑇𝑑 ∗ 𝑠 +
1
𝑇𝑡 ∗ 𝑠
) 
 
 Donde Kp, Ti y Td son parámetros ajustables del sistema. La respuesta de un 
regulador PID sería la mostrada en la figura siguiente: 
 
Fig. 4 Respuesta temporal de un regulador PID 
 
 
2. Desarrollo: Se desea controlar un motor dc cuyo circuito eléctrico se muestra 
a continuación: 
 
Fig. 5 Circuito eléctrico del motor dc 
 
 Los parámetros físicos a considerar son los siguientes: 
Momento de inercia del rotor J=0.1kg.m2 
Fricción del sistema mecánico b=0.1Nms 
Constante de la fuerza electro-motriz K=0.01Nm/A 
Resistencia eléctrica R=1W 
Inductancia L=0.5H 
 
 
 Desarrollando las ecuaciones para obtener la matriz se tiene: 
𝑒𝑖𝑛(𝑡) = 𝐾𝑏 ∗ 𝑊𝑛(𝑡) 
𝑇𝑛(𝑡) = 𝐾𝑡 ∗ 𝑖𝑎(𝑡) 
 
𝑉𝑎(𝑡) = 𝑅𝑎 ∗ 𝑖𝑎)𝑡) + 𝐿𝑎
𝑑𝑖𝑎(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑒𝑖𝑛(𝑡) 
Transformada por Laplace. 
𝐸𝑖𝑛(𝑠) = 𝐾𝑏 ∗ 𝑊𝑛(𝑠) 
𝑇𝑚(𝑠) = 𝐾𝑡 ∗ 𝐼𝑎(𝑠) 
𝑉𝑎(𝑠) = 𝑅𝑎 ∗ 𝐼𝑎(𝑠) + 𝑆𝐿𝑎 ∗ 𝐼𝑎(𝑠) + 𝐸𝑖𝑛(𝑠) 
𝑇𝑚(𝑠) = 𝑆𝐼𝑒𝑞1 𝑊𝑛(𝑠) + 𝑓𝑒𝑞𝑤𝑛(𝑠) + 𝜂𝑇𝐿(𝑠) 
 
 𝐾𝑡 𝐼𝑎(𝑠) = 𝑆𝐼𝑒𝑞 ∗ 𝑊𝑛 + 𝐹𝑒𝑞 ∗ 𝑊𝑛(𝑠) + 𝜂𝑇𝐿(𝑠) 
 𝑉𝑎(𝑠) = 𝑅𝑎 ∗ 𝐼𝑎 (𝑠) + 𝑆𝐿𝑎 ∗ 𝐼𝑎 + 𝐾𝑏𝑊𝑛(𝑠) 
 𝑆 ∗ 𝜃(𝑠) = 𝑤𝑛(𝑠) 
 A B 
𝑆 ∗ 𝐼𝑎
𝑆 ∗ 𝑤𝑛
𝑆 ∗ 𝜃
 =[
−
𝑅𝑎
𝐿𝑎
−
𝐾𝑏
𝐿𝑎
0
𝐾𝑇
𝐼𝑒𝑞
−
𝐼𝑒𝑞
𝐼𝑒𝑞
0
0 1 0
] [
𝐼𝑎
𝑊𝑛
𝜃
]+[
1
𝐿𝑎
𝐷
] 
𝐶 = [0 0 1] ; 𝐷 = [0] 
 
Diagrama de bloques del motor DC controlado por armadura 
 
Función de transferencia de la entrada respecto a la posición: 
𝐾
𝐿𝑎𝐽𝑚𝑠
3 + (𝑅𝑎𝐽𝑚 + 𝐵𝑚𝐿𝑎)𝑠
2 + (𝐾2 + 𝑅𝑎𝐵𝑚)𝑆
 
Gráfico de la Posición del motor: 
 
Gráfico de la Velocidad del motor: 
 
Comparacion entre la entrada y la posicion del motor: 
 
Comparacion entre la entrada y la Velocidad del motor: 
 
 
 
 
Diagrama de bloques del motor DC controlado por armadura con el 
controlador PID: 
 
Velocidad del motor DC controlado por armadura con el controlador PID: 
 
 
 
 
 
 
Posición del motor DC controlado por armadura con el controlador PID: 
 
 
CONCLUSIÓN 
 Con el control PID, como se observa en la gráficas se puede controlar la 
velocidad el sistema es estable en el escalón 1, pero la posición del motor no se 
vuelve inestable el sistema, cabe destacar que este tipo de control PID para el 
caso del control del motor, es inestable a la perturbaciones.