Fase2

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Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de 
Monterrey Campus Toluca​ 
 
 
Segundo Entregable : Situación Problema 
Reporte Final 
 
Modelación Matemática Intermedia 
 
 
 
Lourdes Monserrat Rodríguez Crespo - A01769281 
Noemí Guadalupe Policarpo Torres - A01658739 
 
 
 
01 de agosto de 2020 
 
Verano 2020 
 
Definición del Problema 
 
El problema consiste en la creación del dieseño de la carcasa exterior (el casco) de un 
submarino de la clase de Ohio a escala para una competencia de robótica subácuática. Las 
especificaciones de la convocatoria de participación indican que el submarino debe tener 
un volumen de 0.500 m​3 y una longitud máxima de 1.50 m (las especificaciones de un 
submarino de la clase Ohio son: 16,000 m​3 de volumen y 170 metros de longitud). Por lo 
tanto, la superficie del casco debe ser una unión de un elipsoide y un paraboloide elíptico. 
Al mismo tiempo, el casco debe tener una superficie lisa (las partes elipsoidales y 
parabólicas se deben pegar suavemente entre sí de manera que siempre se pueda calcular 
un plano tangente a la superficie de cualquier punto del casco). 
 
El objetivo está enfocado en aplicar los conocimiento sy términos matemáticos vistos en el 
curso para así poder calcular áreas, volúmenes, ecuaciones en el plano tangente, 
integrales, etc., para poder llegar a una solución sólida y coherente. 
 
 
 
Estrategia para resolver el problema 
Metodología 
Sí, ya que existen paraboloides elípticos y elipsoides que satisfacen estas condiciones. Para 
determinar que estos sean únicos se necesita de los siguientes aspectos: 
● Elipsoide 
o r ​debe ser mayor que ​s ​y ​t ​para que el semieje más largo se encuentre en el 
eje ​x​. 
o t ​debe ser mayor que ​s ​para que se obtenga la forma que se requiere, 
donde el eje ​z ​es mayor que el eje ​y ​(cuerpo más alto que ancho). 
 
● Paraboloide elíptico 
o Se debe restar el número donde se desea que esté el vértice a la variable 
lineal. En este caso a ​x ​se le resta ​-a​. 
 
Las ecuaciones generales del elipsoide y del paraboloide con sus respectivas gráficas son 
las siguientes: 
 
 
Dentro de estas ecuaciones, a, b y c son los valores de las longitudes de los semiejes del 
elipsoide con respecto a x, y y z, siendo estos números reales positivos. Para obtener las 
curvas de corte en el plano x = b se asigna un valor constante a la variable x dentro de la 
fórmula con los que solo se modificarán las otras variables, con esto al modificar el valor 
de y y z podemos encontrar la curva de corte en esas coordenadas en el plano x = b. 
 
 
Para el paraboloide elíptico, a y b representan los radios del paraboloide. Para obtener las 
curvas de corte en el plano x = b se asigna un valor constante a la variable x dentro de la 
fórmula con los que solo se modificarán las otras variables, con esto al modificar el valor 
de y y z podemos encontrar la curva de corte en esas coordenadas en el plano x = b. 
 
Pasos 
 
1. Obtener las trazas en cada plano (xy, xz, yz), para así poder obtener las medidas 
exactas y sus dimensiones en cada eje del submarino. 
2. Encontrar el punto de intersección del eilpsoide y del paraboloide en la curba del 
corte propuetso en el proyecto. 
3. Se siguieron las restricciones que en este caso es solo la altura puesto que solo se 
indica que debe ser mayor que el ancho en el párrafo que indica la mayor 
estabilidad. 
4. Se obtuvo la ecuación del plano tangente sobre ambas superficies. 
5. Graficamos cada ecuación de acuerdo a la recta. 
 
Proceso para resolver el problema 
Debido a que no se tiene una restricción con la altura y el ancho, se escogieron valores 
aleatorios, sin embargo, la única condición que cumple es la altura, ya que es mayor que el 
ancho, obteniendo una mejor estabilidad. 
 
 
 
El plano de color verde representa al plano de unión x= b. Los puntos amarillos están 
situados en (-.75,0,0)(.75,0,0), y vemos que hasta ahí llega el submarino, por lo que 
garantizamos que mida 1.5 m como máximo de largo. También se puede observar que la 
altura es mayor que el ancho para la estabilidad del submarino. 
Solución del problema 
1. De acuerdo a las ecuaciones del paraboloide y del elipsoide, y que la altura 
siempre debe er mayo que el ancho del submarino, tomamos las ecuaciones de las 
trazas y las igualamos para obtener las soluciones de el plano correspondiente x=b. 
2. De ahí obtuvimos las condiciones correspondientes para los planos tangentes en 
ese mismo plano, e igualamos ambas ecuaciones para obtener las ecuaciones para 
el volumen. 
3. Los límites de tal integral los establecimos en los valores iniciales y finales de z. al 
obtener los resultados, obtuvimos los límites para y después para x, haciendo lo 
mismo que lo hicimos en z. 
4. Sustituimos valores para obtener resultados adecuados a las condiciones ya 
establecidas. 
 
Experiencia personal 
 
Monserrat Rodríguez – A01769281 
 
El aprendizaje que me deja este proyecto no solo se basa en la obtención de conocimiento 
matématicaos nuevos y en su importancia, sino que también aprendí a usar la tecnología 
de manera práctica y óptima para la obtención del modelado 2D y 3D, y así lograr obtener 
las dimensiones del diseño señalado. Es cierto que se me hizo muy difícil abordar el tema 
d emanera correcta y coherente, pero al final entedí la importancia del uso de derivadas 
parciales o de las integrales múltiples para obtener volúmenes. 
Noemí Guadalupe Policarpo Torres-A01658739 
Mi experiencia se inclinó más hacia el proceso analítico implicado en la resolución de este 
problema puesto que fue necesario el uso del cálculo para poder resolverlo. Además 
practique el uso de herramientas tecnológicas que si bien no abarcan todo el resultado, 
son de gran importancia para el manejo y organización de los datos proporcionados por la 
situación problema. 
 
Solución 
 
Volumen paraboloide: 
wh(a )2
π + b 2 
 
Volumen elipsoide: 
wh( c )π 3
2 − b + b
3
3c2 
 
Volumen total: 
wh( c (a ) )π 3
2 − b + b
3
3c2 + 2
1 + b 2 
 
Posibles valores: 
 
● a = 0.5 
● b = -0.1 
● c = 0.45 
● h= 0.5 (altura) 
● w = 0.4 (ancho) 
Paraboloide: 
.05x + 1 = y
2
0.12 +
z2
0.28 
 
Elipsoide: 
1 = x20.2 +
y2
0.12 +
z2
0.28 
Bibliografía 
 
● [1] "Clase Ohio", Es.wikipedia.org, 2020. [Online]. Available: 
https://es.wikipedia.org/wiki/Clase_Ohio. 
● [2] E. Hurtado, "Superficies Cuadráticas", Sistemas.fciencias.unam.mx, 2018. 
[Online]. Available: 
http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/geometria_analitica_2018 
1/plano_tangente_cu adrica.pdf. 
● Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco, 
"Presión hidrostática. El principio de Arquímedes - hiru", Hiru.eus, 2019. [Online]. 
Available: ​https://www.hiru.eus/es/fisica/presion-hidrostatica-el-principio-de- 
arquimedes.