PRACTICA-3

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1 
PRÁCTICA No. 3 
“PROPIEDADES Y OPERACIONES CON FUNCIÓNES” 
 
COMPETENCIA 
 
Realiza operaciones con funciones y determina sus propiedades a partir de análisis matemático y gráfico empleando 
GeoGebra 
MARCO TEÓRICO 
 
FUNCIÓN. 
Sean A y B dos conjuntos, y f una regla de correspondencia que asigna a cada x A un único elemento ( )f x del 
conjunto B , se dice que f es una función que va del conjunto A al B , y se representa de la forma: :f A B , 
donde al conjunto A se le llama dominio y al conjunto B contradominio o codominio. 
En términos del plano cartesiano, el dominio corresponde al conjunto formado por los valores posibles para x mientras 
que el contradominio corresponde a los valores posibles para y . El rango es el conjunto de valores del contradominio 
para los cuales ( )y f x , siendo ( )f x la imagen de x , ver figura 1. 
 
 
 Figura 1. Una representación gráfica del dominio y contradominio de una función. 
 
FUNCIÓN PAR. 
Una función es par si    f x f x  para todo fx D . La gráfica de una función par presenta siempre como eje de 
simetría al eje y . Geométricamente una gráfica es simétrica respecto al eje y si la porción de la curva situada a la 
izquierda del eje y es la imagen especular de la curva situada a la derecha de dicho eje. 
Un ejemplo de esta simetría se ilustra en la figura 2, en donde se observa que el punto  ,A x y es un punto en la 
gráfica a la derecha del eje y y entonces necesariamente  ' ,A x y  también está en la gráfica pero a la izquierda 
del eje de las ordenadas. 
 
 
 
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2 
 
Figura 2. Representación gráfica de una función par. 
 
A manera de resumen podemos escribir, que el criterio para que una función sea par es 
 
 
 
 
EJEMPLO 
Determinar si la función   4f x x  es una función par o no lo es. 
 
Solución. 
 
Si aplicamos la definición de forma numérica, evaluando la función   4f x x  en 1x  y 1x   se tiene que 
 
4(1) (1) 1f     
(1, 1)A   
 4( 1) ( 1) (1) 1f         
 ' ( 1, 1)A    
Observar la simetría de los puntos y 'A A . 
Si ahora realizamos la comprobación algebraica, para hacer la validación en todos los puntos se tiene 
4( )f x x  
 4 4( ) ( ) ( )f x x x      
 4( )f x x   
Por lo tanto se verifica la igualdad ( ) ( )f x f x  , con lo cual podemos concluir que la función es par. En la figura 3 se 
muestra la gráfica de la función   4f x x  , en la cual es posible ver cómo una parte de ésta se encuentra en la región 
derecha del eje y y la parte a la izquierda del eje y pareciera simplemente estar “reflejada”. 
 
 
 
 ( )f x es PAR [ : ( ) ( )]fx x D f x f x    
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3 
 
Figura 3. Gráfica de la función par   4f x x  . 
 
FUNCIÓN IMPAR. 
Una función es impar si    f x f x   para todo fx D . La gráfica de la función impar presentan siempre 
simetría central respeto al origen. Geométricamente una gráfica es simétrica respecto al origen si la gráfica permanece 
inalterada si se efectúa una rotación de 180° respecto al origen. 
Un ejemplo de esta simetría se ilustra en la figura 4, donde se observa que el punto ( , )A x y es un punto en la gráfica, 
el cual si se refleja primero respecto al eje y y después respecto al eje x , se tiene que se llega al puno ´ ( , )A x y   
que también está en la gráfica. 
 
 
Figura 4. Representación gráfica de una función impar. 
 
A manera de resumen podemos escribir, que el criterio para que una función sea impar es 
 
 
 
 
 
 
es IMPAR [ : ( ) ( )]fx x D f x f x     ( )f x
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4 
EJEMPLO. 
Determina si la función   5 33g x x x  es una función impar o no lo es. 
 
Solución. 
Si aplicamos la definición de forma numérica, evaluando la función   5 33g x x x  en 1x  y 1x   se tiene que 
 5 3(1) (1) 3(1) 1 3 2f       
(1, 2)A   
5 3( 1) ( 1) 3( 1) 1 3( 1) 1 3 2f              
' ( 1,2)A   
Observar la doble simetría de los puntos y 'A A . 
Si ahora realizamos la comprobación algebraica, para hacer la validación en todos los puntos se tiene 
 
 
     
   
5 3
5 3
5 3
3
3
3 ( )
f x x x
x x
f x x x f x
    
  
      
 
Por lo tanto se verifica la igualdad ( ) ( )f x f x   , con lo cual podemos concluir que la función es impar. En la figura 5 
se muestra la gráfica de la función   5 33g x x x  , en la cual es posible ver cómo una parte de ésta se encuentra en la 
región derecha del eje y y la parte a la izquierda del eje y pareciera simplemente estar “doblemente reflejada”. 
 
 
Figura 5. Gráfica de la función impar   5 33g x x x  . 
 
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES PARES E IMPARES. 
 La única función que es tanto par e impar es la función cero ( ) 0f x  para todo x . 
 La suma de una función par y una función impar no es ni par ni impar, a menos de que una de las funciones sea 
el cero. 
 La suma de dos funciones pares es una función par, y todo múltiplo de una función par es una función par. 
 La suma de dos funciones impares es una función impar, y todo múltiplo constante de una función impar es una 
función impar. 
 
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5 
ANALISIS DE PARIDAD DE FUNCIONES. 
 
 El producto o cociente de dos funciones pares, resulta en otra función par. 
( ) es par ( ) ( )
Si 
( ) es par ( ) ( )
f x f x f x
g x g x g x
  

  
 y si se tiene que: 
 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 ( ) ( ) 
h x f x g x
h x f x g x f x g x h x
h x h x PAR

     
  
 
 
 El producto o cociente de dos funciones impares, resulta en una función par. 
 
( ) es impar ( ) ( )
Si 
( ) es impar ( ) ( )
f x f x f x
g x g x g x
   

   
 y si se tiene que: 
  
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 ( ) ( ) 
h x f x g x
h x f x g x f x g x h x
h x h x PAR

       
  
 
 
 El producto o cociente entre una función par y una impar, da una función impar. 
 
( ) es par ( ) ( )
Si 
( ) es impar ( ) ( )
f x f x f x
g x g x g x
  

   
 y si se tiene que: 
  
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 ( ) ( ) 
h x f x g x
h x f x g x f x g x h x
h x h x IMPAR

       
   
 
 
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6 
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO Y MONOTONÍA. 
 
FUNCIÓN CRECIENTE. 
 
Una función se dice que es creciente si a medida que los valores de x aumentan, los valores de ( )f x también 
aumentan. En otras palabras, una función es creciente en un intervalo  , si para cualquier par de valores 1x , 2x   , 
donde 
1 2x x se tiene que 1 2( ) ( )f x f x , tal como se muestra en la figura 6. 
 
Figura 6. Gráfica de una función creciente. 
 
FUNCIÓN DECRECIENTE. 
Una función se dice que es decreciente si a medida que los valores de x aumentan, los valores de ( )f x disminuyen, es 
decir, unafunción es decreciente en un intervalo  , si para cualquier par de valores 1x , 2x   donde 1 2x x , se tiene 
que 1 2( ) ( )f x f x , tal como se muestra en la figura 7. 
 
Figura 7. Gráfica de una función decreciente. 
 
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7 
MONOTONÍA. 
Se dice que f es monótona en  si y solo si cumple una de las dos propiedades anteriores. 
 
OPERACIONES CON FUNCIONES. 
 
SUMA 
Sean f y g dos funciones donde fD y gD denotan los dominios de f y g respectivamente, la función f g está 
definida por:   ( ) ( ) ( )f g x f x g x   . El dominio de f g es f gD D . 
 
RESTA 
Sean f y g dos funciones donde fD y gD denotan los dominios de f y g respectivamente, la función f g está 
definida por:   ( ) ( ) ( )f g x f x g x   . El dominio de f g es f gD D . 
 
MULTIPLICACIÓN 
Sean f y g dos funciones donde fD y gD denotan los dominios de f y g respectivamente, la función f g está 
definida por:   ( ) ( ) ( )f g x f x g x   . El dominio de f g es f gD D . 
 
DIVISIÓN 
Sean f y g dos funciones donde fD y gD denotan los dominios de f y g respectivamente, la función /f g está 
definida por: 
 
 
 ( ) con 0
f xf
x g x
g g x
 
  
 
. El dominio de /f g es f gD D , excluyendo los valores de x para 
los cuales ( ) 0.g x  
 
COMPOSICIÓN 
Si f es una función de X en Y y g es una función de Y a Z , entonces la función compuesta f g es la función de 
X a Z dada por       f g x f g x para cada x en X , el dominio de f g es 
  | yf g g fD x x D g x D   tal como se muestra en la figura 8. 
 
 
Figura 8. Diagrama de flujo de la función compuesta f g . 
 
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8 
DESARROLLO 
INTERSECCIÓN CON EJES Y SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN 
MATERIAL O EQUIPO: Computadora con software 
instalado 
SOFTWARE: GeoGebra 
 
INSTRUCCIONES: 
A continuación se muestra el desarrollo para identificar las intersecciones de una función con los ejes coordenados, así 
como un procedimiento para visualizar la diferencia entre una función par y una función impar a través del trazado de 
dos puntos sobre la curva. 
Intersectos: 
 
1) Introducir la función 2 ( ) 1f x x  en la barra de entrada de GeoGebra. 
2) Para saber la intersección de una función ( )f x y el eje x , utilizamos el ícono intersección , enseguida 
seleccionamos la función y después el eje x , ya que cuando la función intersecta con el eje x , significa que 
( )f x toma el valor des cero, y así se obtendrán las intersecciones, ver figura 9. 
 
Figura 9. Intersectos de una función con el eje x. 
3) Ahora para saber la intersección de una función y el eje y , utilizamos el mismo ícono intersección , 
enseguida seleccionamos la función y después el eje y , ya que cuando la función intersecta con el eje y 
quiere decir que el valor de x es cero, y así se obtendrá las intersecciones. 
 
Figura 10. Intersectos de una función con el eje y . 
 
 
Simetría: 
 
4) Para encontrar la simetría primero tenemos que introducir en la barra de entrada la función analizar, en este 
caso será: 2 ( )f x x . 
 
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9 
5) Para dibujar los puntos, nos vamos a auxiliar de un deslizador, utilizamos la herramienta deslizador . Da 
clic en el icono deslizador y a continuación presiona el cursor sobre el área de la vista gráfica donde quieres 
que se ubique tu deslizador. Se recomienda que sea en un punto alejado de la gráfica a fin de que no se 
perjudique la visualización de la gráfica de la función. Apreciarás un cuadro de diálogo como el que se muestra 
en la figura 10. 
 
Figura 10. Creación del deslizador a. 
Selecciona: Número, nombra al deslizador: a , asigna como valor mínimo: 0 (cero) y como valor máximo: 10 
(diez) y da clic en: Aplica. 
En la vista grafica aparecerá una barra con un punto rotulado como a , seleccionas el punto y arrástralo, 
podrás ver como los valores de a cambian. 
 
Los valores de a corresponderán a la variable x en el análisis de la simetría de la función. 
6) Crea el punto A introduciendo en la barra de entrada: observa que el punto tiene como 
abscisa el valor de a y como ordenada el valor de la función evaluada en a , con lo que el punto lo puedes 
observar sobre la gráfica de ( )f x y también en la Vista Algebraica. 
Crea el punto B ahora con el inverso aditivo de a , esto es : . 
7) Une los puntos A y B mediante un Segmento que encontraras en el icono de herramientas . Selecciona 
la herramienta y posteriormente da clic en el punto A y después en el punto B. Personaliza los objetos con 
colores y estilos de línea como se explicó en las prácticas anteriores. 
 
8) Selecciona el punto sobre el deslizador y arrástralo sobre su recta, observa cómo se comporta la recta entre A y 
B, así como los valores de las ordenadas de A y B que se presentan en la vista gráfica. Debido a que 
(a) ( a)f f  se observa la simetría respecto al eje y y por lo tanto la función es par, ver figura 11. 
 
 
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10 
 
Figura 11. Prueba de la simetría de una función par. 
 
9) Para facilitar el análisis de otras funciones sin necesidad de repetir los pasos anteriores selecciona la función 
2( )f x x en el área de Vista Algebraica y reescribe la nueva función 3 ( )f x x x  , podrás observar que la 
gráfica se ajusta a la nueva función, como se observa en la figura 12. 
 
Figura 12. Prueba de la simetría de una función impar. 
 
 
Sugerencias para introducir una función por partes: 
1. Se debe identificar el número de reglas de correspondencia en la cual se encuentra dividida la función, ya que 
en GeoGebra se introducirá mediante el comando Si[ <Condición>, <Entonces>, <Si no> ] para dos reglas de 
correspondencia y anidado para tres o más. 
Ejemplo 1. 
a) Grafica la función definida a trozos 
 
1
 ( )
 1
x x
f x
sen x x

 

 
 
Solución. 
Esta función está definida por dos reglas de correspondencia por lo que el comando: Si, se muestra en GeoGebra de la 
siguiente manera: Si[ <Condición>, <Entonces>, <Si no> ], para el problema que deseamos resolver tendremos 
 f(x)=Si[x<1, x, sen( x )] 
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11 
Lo anterior significa: si x<1, entonces gráfica ( )f x x , de lo contrario grafica ( ) sin( )f x x . 
Una vez realizada esta acción presiona: enter y obtendrás la gráfica que se muestra en la figura 13. 
 
Figura 13. Grafica de la función definida a trozos: 
1
 ( )
 1
x x
f x
sen x x

 

 
Para graficar funciones con 3 reglas de correspondencia será necesario anidar el comando: Si[ <Condición>, 
<Entonces>, <Si no> ]. 
 
b) Grafica la siguiente función definida en tres trozos 
1 0
 ( ) 1 0 5
3 5
x
f x x x
x


   
  
 
Solución. 
Se introduce en la barra de herramientas de GeoGebra de la siguiente forma 
 
Se llama anidado ya que en el tercer argumento de la condición: Si[ <Condición>, <Entonces>, <Si no> ], se emplea 
nuevamente el comando: Si[ <Condición>, <Entonces>, <Si no> ] para poder cumplir con las tres condiciones. En la 
figura 14 se muestra la función a trozos que se obtiene. 
 
 
Figura 14. Grafica de la función definida a trozos: 
1 0
 ( ) 1 0 5
3 5
x
f x x x
x


   
  
 
 
 
 
 
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12 
Sugerencia para tener un punto móvil en la gráfica de la función. 
Para introducir un punto en la gráfica de tu función y que este pueda ir desplazándose de izquierda a derechay 
viceversa, se siguen los siguientes pasos: 
 
1. Introduce en la barra de entrada la función. 
2. Después crea un deslizador con la herramienta deslizador , el cual será nombrado como a , introduce 
las características de tu deslizador introduciendo el valor Max, el valor Min y los incrementos, estos valores 
van a depender de donde a donde realizaras el análisis de la gráfica de tu función. 
3. En Entrada vamos a definir un punto, por lo tanto pondremos (a, (a))A f y aparecerá sobre la gráfica de la 
función el punto A, si movemos el deslizador veremos que el punto se ira moviendo por toda la gráfica de la 
función, por lo que podremos determinar en donde la función crece y en donde decrece. 
Recordemos que una función es creciente dentro de un intervalo, si recorremos la gráfica de la función en el 
intervalo de izquierda a derecha y esta aumenta. Y será función decreciente, si recorremos la gráfica de la 
función en el intervalo de izquierda a derecha y esta disminuye. 
 
 
OPERACIONES CON FUNCIONES: 
A continuación se muestran dos ejemplos de operaciones con funciones, primero se hace la suma de dos funciones y 
posteriormente la composición de las mismas dos funciones. 
Suma de funciones. 
1. En la barra de entrada de GeoGebra se introducen las funciones: 
 
 
2. También escribimos en la barra de entrada la operación de la suma de las dos funciones anteriores : 
 y damos Enter; en la vista algebraica aparecerá la regla de correspondencia de la nueva 
función y en la vista gráfica se mostrará la gráfica de la función que representa a la suma, tal como se puede 
apreciar en la figura 15. 
 
Figura 15. Suma de dos funciones. 
3. En la figura 16 se puede observar la vista algebraica, con la operación que realizamos en el programa GeoGebra 
en donde se nombra a la nueva función con una letra diferente h(x), y también podemos observar que la regla 
de correspondencia de esta función no está simplificada. Para simplificarla, en la barra de entrada 
introducimos y damos enter, se obtendrá la regla de correspondencia de la función 
simplificada en una nueva variable p(x). 
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13 
 
Figura 16. Vista algebraica de la suma de dos funciones. 
 
4. Para graficar la función compuesta únicamente necesitamos introducir en y obtendremos la 
función composición f g , como se muestra en la figura 17, por otra parte si queremos calcular la función 
composición g f , introducimos ( ( ))g f x . 
 
Figura 17. Composición de dos funciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14 
REPORTE 
NOMBRE DE LA PRÁCTICA: 
PRÁCTICA No. 3 
Propiedades y operaciones con funciones 
 
 DATOS GENERALES: 
NOMBRE: 
 
GRUPO/ESPECIALIDAD: FECHA DE ENTREGA: 
 
PERIODO: 
AGOSTO-DICIEMBRE 2016 
CALIFICACIÓN: 
 
LISTA DE VALORES PARA EL REPORTE DE LA PRÁCTICA 
NOTA: 
Para que el reporte sea revisado y se otorgue la puntuación convenida, es necesario que cumpla con las siguientes características: 
El reporte debe ser entregado engrapado o en folder (no entregar hojas sueltas). Cumple No cumple 
Demuestra compromiso ético en la realización del reporte (en caso que los ejercicios 
resulten fotocopiados o con los mismos errores cometidos por otros compañeros 
serán anulados). 
Cumple No Cumple 
 
ASPECTOS A EVALUAR PUNTUACIÓN 
MÁXIMA 
PUNTUACIÓN 
OBTENIDA 
OBSERVACIONES 
Entrega el reporte en tiempo y forma. 
 
5 
 
Cumple con las indicaciones respecto al 
orden, limpieza (sin manchones o 
tachaduras) y letra legible para el reporte. 
 
5 
 
Hace uso correcto del software de forma 
que la presentación y visualización de sus 
gráficos es fácil de entender. 
 
10 
 
Identifica y aplica los conceptos revisados 
en clase para dar respuesta a los ejercicios 
propuestos, utilizando la simbología 
matemática correcta. 
30 
 
Resuelve los problemas planteados de 
forma correcta y contesta las preguntas de 
estos según su contexto. 
 
30 
 
Identifica los conceptos propuestos en la 
práctica, contestando correctamente la guía 
de preguntas. 
20 
 
 
TOTAL 
100 
 
 
 
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15 
EJERCICIO No. 1 
a) En el programa GeoGebra gráfica la función ( ) csc ( )f   realiza un análisis gráfico de la simetría de la 
función como se indica en el apartado de desarrollo y pega aquí la gráfica obtenida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analiza la gráfica de la función y completa la siguiente información. 
 
i. Variable independiente:_______________ 
ii. Variable dependiente:________________ 
iii. Dominio de la función:________________ 
iv. Rango de la función:__________________ 
v. Intervalo donde la función crece en  0,2 : ___________ 
vi. Intervalo donde la función decrece en  0,2 : ___________ 
 
b) Tomando como referencia la gráfica de la función, realiza un análisis en dos puntos( A y B) de la función y 
determina la simetría de la función: 
 
  f  COORDENADA 
 
 
 
 
 
 
 
La función ( ) csc ( )f   es par, impar o ninguna de las dos:_________________________________________ 
 
Por lo tanto la función es simétrica a: ____________________________________________________________ 
 
 
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16 
c) Aplica el criterio de paridad y determina si la función 2( ) csc g   es par o impar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Verifica la simetría de la función realizando un análisis en dos puntos de la función  g  . 
 
  g  COORDENADA 
 
 
 
 
 
 
 
La función 
2( ) cscg   es par, impar o ninguna de las dos:_________________________________________ 
 
Por lo tanto la función es simétrica a: ____________________________________________________________ 
 
 
e) Con el programa GeoGebra, gráfica la función ( )g  y pégala en la parte de abajo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17 
EJERCICIO No. 2 
Para las funciones  f x x y 2( ) 9g x x  , realiza lo que se te indica. 
 
a) Determina el fD y el gD : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Realiza la operación 
 
 
( )
f x
h x
g x
 , y determina su dominio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determina si la función ( )h x es creciente o decreciente en el intervalo (3, )I   . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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18 
d) Con el programa GeoGebra grafica la función ( ), ( ) y ( )f x g x h x , identifica cada una de las funciones 
poniéndoles colores o texturas diferentes y su regla de correspondencia a cada una de las funciones, por 
último gráfica el dominio de la función ( )h x , (el que obtuviste en el inciso b). Pega la gráfica en la parte de 
abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Ahora realiza la operación    f g x y encuentra su dominio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19 
 
f) A la función compuesta aplícale el criterio de simetría y determina si la función compuesta es par, impar o 
ninguna de las dos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) Con el programa GeoGebra grafica la función compuesta y determina el intervalo donde la función crece y 
decrece. Pega la gráfica de la función en la parte de abajo. 
 
La función es creciente en el intervalo de:_________________________________ 
 
La función es decreciente en el intervalo de: ______________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20 
EJERCICIO No. 3 
Si   1f x x  y ( ) 1g x x  : 
 
a) Determina el fD y el gD : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Realiza la operación    ( )h x f xg x  , y determina su dominio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Aplica el criterio de simetría y determina si la función ( )h x es una función par, impar o ninguna de las dos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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d) Ahora realiza la operación ( ) ( ) ( )k x f x g x  y encuentra su dominio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) A la función ( )k x aplícale el criterio de simetría y determina si la función compuesta es par, impar o ninguna 
de las dos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Con el programa GeoGebra grafica la función ( ) y ( )h x k x , identifica cada una de las funciones poniéndoles 
colores diferentes y su regla de correspondencia a cada una de las funciones, por último gráfica el dominio de 
la función ( ) y ( )h x k x . Pega la gráfica en la parte de abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA No. 1 
Un aeroplano vuela a una rapidez de 350 millas/h a una altitud de 1 milla. El aeroplano pasa directamente por encima 
de una estación de radar en el tiempo 0t  . 
 
 
a) Exprese la distancia s entre el aeroplano y la estación de radar como una función de d . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Aplique el criterio de simetría a la función obtenida en el inciso a, y determine si la función es par, impar o 
ninguna de las dos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que ha volado el aeroplano como una función de t (en horas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
d) Utilice la composición para expresar s en función de t . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) ¿Qué significado tiene la función compuesta según el contexto del problema? 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) ¿Cuál será la distancia que ha volado el aeroplano como t es igual a 10 h? Obtén tu resultado analíticamente y 
con el programa GeoGebra verifícalo gráficamente, pega la gráfica obtenida en la parte de abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA No. 2 
Un estudio ambiental en cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario promedio de monóxido de carbono 
 CO en el aire será de   0.4 1C p p  partes por millón  ppm cuando la población será de p miles . Se 
estima que en t años la población de la comunidad será   28 0.2p t t  miles. 
 
a) Exprese el nivel de monóxido de carbono  CO en el aire como una función del tiempo. 
 
 
 
 
 
 
b) Con el programa GeoGebra, grafica la función obtenida en el inciso a), pega la gráfica en el espacio de abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Analiza la gráfica de la función obtenida y contesta lo siguiente: 
 
i. Variable independiente:___________________________ 
ii. Variable dependiente:_____________________________ 
iii. Dominio de la función:_____________________________ 
iv. Rango de la función:_______________________________ 
v. Intervalo donde la función crece: ____________________ 
vi. Intervalo donde la función decrece: __________________ 
vii. Tipo de simetría que presenta la función: __________________________ 
 
 
 
 
 
 
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d) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono en 2 años? Obtén tu resultado analíticamente y con el programa 
GeoGebra verifícalo gráficamente, pega la gráfica obtenida en la parte de abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Cuando alcanzará el nivel de monóxido de carbono  CO los 6.2 ppm. Obtén tu resultado analíticamente y 
con el programa GeoGebra verifícalo gráficamente, pega la gráfica obtenida en la parte de abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GUÍA DE PREGUNTAS 
 
1. Si ( )f x es una función polinomial cuyos exponentes son solo enteros pares, entonces la función es 
simétrica: 
_________________________________________________________________________________________ 
 
2. Las funciones impares son simétricas al: ________________________________________________________ 
 
3. Grafica la función 
1
( )
x
f x
x

 , ¿es una función par, impar o ninguna de las dos? Grafícala. 
 
 
 
4. Si 
( )
( )
( )
f x
h x
g x
 es una función racional donde ( )f x es una función par y ( ) 0g x  es una función impar, 
entonces ( )h x presenta simetría: 
_______________________________________________________________________ 
 
5. Si ( ) tan( )f x x es una función impar, entonces    2tang x x es par, impar o ni par ni impar : 
____________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
MANUAL DE PRÁCTICAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
Elaborado por: Ing. Ana María Palma Tirado y M.C. Gloria Reyna Gómez Páez 
Revisado por: Dra. María Teresa Villalón Guzmán, M.C. Ma. Guadalupe Medina Torres, M.C. Ma. Del Carmen 
Cornejo Serrano y M.C. Eloisa Bernardette Villalobos Oliver.