PRÁCTICA 7

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 
 
 
1 
PRÁCTICA No. 7 
“LA DERIVADA Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA” 
 
COMPETENCIA 
Calcula la pendiente de la recta tangente y la recta normal a una función utilizando el concepto de derivada y las 
herramientas geométricas de GeoGebra. 
MARCO TEÓRICO 
 
Cualquier recta que corte en dos puntos a una curva se denomina recta secante, en la figura 1 se ejemplifica una recta 
secante que pasa por los puntos definidos ( , ( ))P x f x y ( , ( ))Q x h f x h+ + sobre la curva. 
 
 
 
 
Figura 1. Recta secante 
La diferencia de las abscisas se denota como el incremento “ h ” el cual es asignado al segundo punto. Considerando la 
recta secante establecida, su pendiente está determinada por la ecuación (1): 
 (1) 
 
Si se considera al punto P como fijo y al punto Q como un punto que se mueve a lo largo de la curva hacia P , el valor 
de h disminuye y tiende a cero a medida que Q se aproxima a P . La pendiente de la recta secante va a ir cambiando a 
medida que Q se aproxima a P , hasta llegar a una posición límite. Cuando Q llega a P la recta secante se convierte en 
recta tangente y se denomina recta tangente a la gráfica de ( )f x en el punto P . 
 
 
( ) ( )
s
f x h f x
m
h
+ −
=
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2 
Definición de recta tangente a la gráfica de una función 
Supóngase que la función ( )f x es continua en x . La recta tangente a la gráfica de ( )f x en el punto ( , ( ))P x f x es la 
recta que pasa por P y tiene pendiente sm dada por la ecuación (2) 
( ) ( )
0
líms
h
f x h f x
m
h→
+ −
=
 (2)
 
Si ese límite existe 
Definición de la derivada de una función 
La derivada de una función ( )f x es aquella función, denotada por ( )'f x , tal que su valor en un número x del dominio 
de ( )f x está dado por la ecuación (3) 
( )
( ) ( )
0
' lim
x
f x x f x
f x
x →
+  −
=
 (3)
 
Si ese límite existe. 
Comparando las ecuaciones (2) y (3), se observa que la pendiente de la recta tangente a la curva dada por la función 
( )f x en el punto ( )( ),P x f x es precisamente la derivada de ( )f x evaluada en x . 
En general para una curva la pendiente no es constante, ya que varía de un punto a otro. Para hallar la pendiente de una 
curva en algún punto, se hace uso de la recta tangente a la curva en el punto en cuestión. 
En la figura 2 se observa que la recta tangente a la curva ( )y f x= en P , es la recta que mejor se aproxima a la gráfica 
de ( )f x en tal punto. El problema de hallar la pendiente a una curva en un punto se convierte así, en el de calcular la 
pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. De un modo informal, cuando nos referimos a la recta tangente 
a una curva, entendemos una tangente local a la curva en un punto concreto, sin que nos interese el que la recta y la curva 
se corten en algún otro punto. 
 
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3 
 
Figura 2. Recta tangente 
Es posible hallar la recta tangente en un punto de la forma siguiente. Considérese la recta secante que pasa por los puntos 
P y Q de la gráfica de la función ( )y f x= como se observa en la figura 3. Supóngase que el punto Q se mueve hacia el 
punto P sobre la curva, definiendo rectas secantes desde P hasta Q , como son: la recta secante que pasa por P y Q , la 
recta secante que pasa por P y 1Q , la recta secante que pasa por P y 2Q y así sucesivamente. Conforme Q queda más y 
más cerca de P se observa que estas rectas secantes tienden a una posición límite. Esta posición límite de las rectas 
secantes es denominada recta tangente a la curva en el punto P . 
 
Figura 3. Recta tangente a la curva en el punto P . 
Dado que la recta tangente es la posición límite de las rectas secantes, su pendiente tm es el valor límite de las pendientes 
sm de las rectas secantes al aproximarse Q a P , 
 𝑚𝑡 = lim
𝑄→𝑃
𝑚𝑠 (4) 
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4 
 
Figura 4. Pendiente de la recta secante que pasa por P y Q 
 
En la figura 4 se observa que con los puntos ( , ( ))P x f x y ( , ( ))Q x x f x x+  +  la pendiente de la recta secante que 
pasa por P y Q está dada por la ecuación (5): 
( ) ( )
s
y f x x f x
m
x x
 +  −
= =
 
 (5) 
Cuando Q P→ tenemos que 0x → . Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en P esta dada por la ecuación 
(6): 
0 0
( ) ( )
lim limt
x x
y f x x f x
m
x x →  →
 +  −
= =
 
 (6) 
Ahora se puede definir la pendiente a una curva en uno de sus puntos. 
Definición. En el punto ( , ( ))P x f x la pendiente m de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) es igual a la pendiente de su recta tangente en
( , ( ))P x f x y queda determinada por la ecuación (7): 
0 0
( ) ( )
lim lim
x x
y f x x f x
m
x x →  →
 +  −
= =
 
 (7) 
Si el límite existe. 
 
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5 
DESARROLLO 
MATERIAL O EQUIPO: Computadora con software 
requerido instalado 
SOFTWARE: GeoGebra 
 
INSTRUCCIONES: 
1. Ingresar en la barra la función a estudiar. Por ejemplo . Coloree de azul. 
2. Crear un deslizador de número en el intervalo de -10 a 10 con incremento de 0.1. Nombrar como “c”. 
3. Crear el punto A ingresando en la barra de entrada A=(c,f(c)). Este punto se moverá al mover el deslizador. 
4. Con la herramienta tangentes , trazar una recta tangente a la gráfica de la función en el punto A. 
5. Trazar una recta normal a la recta tangente en el punto A. Emplear la herramienta perpendicular . 
6. Con la herramienta pendiente medir las pendientes de la recta tangente y la normal. Nombre la 
pendiente de la recta tangente como tm y la pendiente de la recta normal como nm . 
7. Colore la recta tangente de rojo y la recta normal de verde con trazo discontinuo. 
8. Obtenga la primera derivada de la función ( )f x , ingrese en la barra de entrada 
Geogebra la nombrará '( )f x . 
9. Evalué la primera derivada en c, ingresando en la barra de entrada '( )f c y nombre como cf . 
 
Obtendrá un gráfico como el mostrado en la figura 5. 
 
 
Figura 5. Ejemplo de gráfica obtenida en GeoGebra 
 
 
REPORTE 
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6 
NOMBRE DE LA PRÁCTICA: 
PRÁCTICA No. 7 
La Derivada y su interpretación geométrica 
 
DATOS GENERALES: 
NOMBRE: 
GRUPO/ESPECIALIDAD: FECHA DE ENTREGA: 
PERIODO: Septiembre 2020 – Enero 2021 CALIFICACIÓN: 
 
LISTA DE VALORES PARA EL REPORTE DE LA PRÁCTICA 
NOTA: 
Para que el reporte sea revisado y se otorgue la puntuación convenida, es necesario que cumpla con las siguientes 
características: 
El reporte debe ser entregado engrapado o en folder (no entregar hojas sueltas). Cumple No cumple 
Demuestra compromiso ético en la realización del reporte (en caso que los ejercicios 
resulten fotocopiados o con los mismos errores cometidos por otros compañeros 
serán anulados). 
Cumple No Cumple 
 
ASPECTOS A EVALUAR PUNTUACIÓN 
MÁXIMA 
PUNTUACIÓN 
OBTENIDA 
OBSERVACIONES 
Entrega el reporte en tiempo y forma. 
 
5 
 
Cumple con las indicaciones respecto al 
orden, limpieza (sin manchones o 
tachaduras) y letra legible para el reporte. 
 
5 
 
Hace uso correcto del programa Geogebra de 
forma que la presentación y visualización de 
sus gráficos es fácil de entender. 
 
10 
 
Identifica y aplica los conceptos revisados en 
clase para dar respuesta a los ejercicios 
propuestos, utilizando la simbología 
matemática correcta. 
 
30 
 
Resuelve los problemas planteados de forma 
correcta y contesta las preguntas de estos 
segúnsu contexto. 
 
30 
 
Identifica los conceptos propuestos en la 
práctica, contestando correctamente la guía 
de preguntas. 
20 
 
 
TOTAL 
100 
 
 
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7 
EJERCICIO No. 1 
Siga los pasos del 1 al 9 indicados en el apartado de desarrollo para la función para la función 𝑓(𝑥) =
𝑥4
3
− 𝑥2 
a) Pegue el gráfico obtenido: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Mueva el deslizador c y complete la siguiente tabla: 
 
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 
( )tm c 
 
 
'( )m f c= 
Dibuje la 
inclinación de la 
recta tangente 
 
La función es 
creciente o 
decreciente 
 
 
c) Complete: 
Si la pendiente de la recta tangente a un punto de la gráfica de 𝑓(𝑥) =
𝑥4
3
− 𝑥2es _____________ entonces la 
pendiente de la función es ___________________ y la función es creciente. 
 
Si la pendiente de la recta tangente a un punto de la gráfica de 𝑓(𝑥) =
𝑥4
3
− 𝑥2________________ entonces la 
pendiente de la función es ___________________ y la función es decreciente. 
 
Alrededor del punto donde la pendiente de la recta tangente es cero la función 𝑓(𝑥) =
𝑥4
3
− 𝑥2 cambia de 
creciente a ___________________ o de ______________________ a ________________________ 
 
 
 
 
 
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8 
d) Determine analíticamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto A(-2,2). 
Compruebe su resultado con Geogebra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Determine analíticamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el punto A(-2,2). 
Compruebe su resultado con Geogebra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO No. 2 
a) Siga los pasos del 1 al 9 indicados en el apartado de desarrollo para la función para la función 𝑓(𝑥) = 𝑥5 Pegue el 
gráfico obtenido: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Mueva el deslizador c y complete la siguiente tabla: 
 
x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 
( )tm c 
 
 
'( )m f c= 
Dibuje la 
inclinación de la 
recta tangente 
 
La función es 
creciente o 
decreciente 
 
 
c) Complete: 
 
Alrededor del punto (0,0) donde la pendiente de la recta tangente es __________ la grafica de la función 
𝑓(𝑥) = 𝑥5 cambia de creciente a ___________________ . 
Si la pendiente de la recta tangente es cero la pendiente de la recta normal es _____________________. 
El producto de las pendientes en (0,0) es ________________________. 
 
 
 
 
 
 
 
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10 
d) Determine analíticamente la ecuación de la recta tangente en (0,0) a la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥5. Compruebe su 
resultado con GeoGebra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Determine analíticamente la ecuación de la recta normal en (0,0) a la gráfica de 
𝑓(𝑥) = 𝑥5 Compruebe su resultado con GeoGebra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO No. 3 
a) Siga los pasos del 1 al 9 indicados en el apartado de desarrollo para la función para la función 
1/3( ) (1 )f x x= −
Pegue el gráfico obtenido: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Mueva el deslizador c y complete la siguiente tabla: 
 
x -0.5 0 0.5 1 1.5 2.0 2.5 
( )tm c 
 
 
'( )m f c= 
Dibuje la 
inclinación de la 
recta tangente 
 
La función es 
creciente o 
decreciente 
 
 
c) Complete: 
 
Alrededor del punto (1,0) donde la pendiente de la recta tangente es __________ la gráfica de la función 
1/3( ) (1 )f x x= − cambia de ____________________a decreciente . 
Si la pendiente de la recta tangente es _______________ la pendiente de la recta normal debe ser 
_____________________. 
 
 
 
 
 
 
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12 
 
d) Determine analíticamente la ecuación de la recta normal en (0,0) a la gráfica de
1/3( ) (1 )f x x= − . Compruebe su 
resultado con GeoGebra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Determine analíticamente la ecuación de la recta tangente en (0,0) a la gráfica de
1/3( ) (1 )f x x= − . Compruebe su 
resultado con GeoGebra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Explique por que GeoGebra no muestra las gráficas de la recta normal y la tangente ni sus ecuaciones en (0,0) a 
la gráfica de
1/3( ) (1 )f x x= − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA No. 1 
Un auto está moviéndose de noche a lo largo de una carretera en forma de parábola ( ) 2f x kx= . El auto arranca en 
un punto 50 m al oeste y 50 m al norte del origen y se desplaza en dirección al este. Hay una estatua situada a 30 m al 
este y 10 m al norte del origen. ¿En qué punto de la carretera las luces del auto iluminarán la estatua? 
 
 
a) Escriba la función ( )f x de forma completa, calculando el valor de la constante k . (Usa las coordenadas del auto en 
su punto de partida). 
 
 
 
 
 
b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto para el cual la recta tangente pasa por la ubicación de la estatua? 
 
_________________________________________________________________________ 
 
c) ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la trayectoria del auto en el instante en que prende las luces? 
______________________________________________________________________________________________ 
d) Dibuje la gráfica en Geogebra y pégala para respaldar tus respuestas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA No. 2 
Un cohete que se tiene emplazado al pie de una colina cuya pendiente es 
1
5
 se dispara hacia la loma y sigue una 
trayectoria dada por 
20.016 1.6y x x= − + . 
 
a) ¿Cuál es el valor de la pendiente, de la trayectoria del cohete, en el momento del disparo? 
_____________________________________________________________________________________________ 
 
b) Bajo el contexto señalado, ¿se espera que la pendiente de la trayectoria del cohete cuando choca contra la colina 
sea la misma que al momento del disparo?, ¿cuál es su valor? 
_____________________________________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
c) ¿Para qué valor de la pendiente (en la trayectoria parabólica), el cohete alcanza la máxima altura? 
_____________________________________________________________________________________________ 
 
d) ¿Cuál fue la altura máxima del cohete? ___________________________________________________________ 
 
e) Respalda tus respuestas pegando la figura relativa a estas situaciones, usa Geogebra para comprobar el valor de las 
pendientes y la ubicación del punto más alto alcanzado por el cohete. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 
GUÍA DE PREGUNTAS 
 
1. La recta tangente de la gráfica de una función puede representarse matemáticamente a través del siguiente 
límite : 
 
 
 
 
2. Si la derivada de una función es negativa en algún intervalo abierto, entonces ¿se concluye que la función es 
creciente o decreciente en ese intervalo? 
 
 
 
 
 
3. Si la derivada de una función es positiva en algún intervalo abierto, entonces ¿se concluye que la función es 
creciente o decreciente en ese intervalo? 
 
 
 
 
4. Si la derivada de una función es cero enun punto de su gráfica, entonces la recta tangente a esa gráfica en 
dicho punto tiene una orientación: 
 
 
 
5. Si la derivada de una función no existe en un punto de su gráfica, entonces la recta tangente a esa gráfica 
en dicho punto tiene una orientación: