ma1010-10

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Ĺıneas y Planos en el Espacio
Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM
12 de enero de 2011
Índice
10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
10.2. Ecuación paramétrica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
10.3. Ecuación de un plano: Forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
10.4. Ecuación Estándar de un Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
10.1. Introducción
Los conjuntos solución a un sistema de ecuaciones lineales cuando tienen soluciones infinitas tienen
una versión geométrica interesante y conocida. En el caso de sistemas con dos variables, los conjuntos solución
infinitos son ĺıneas rectas. En el caso de sistemas con tres variables, los conjuntos solución infinitos son rectas
o planos en el espacio. En esta sección veremos las rectas y los planos en el espacio por su relación que tienen
con los sistemas de ecuaciones lineales. Un objetivo secundario es agregarlos al conocimiento propio de las
áreas de Ingenieŕıa.
10.2. Ecuación paramétrica de la recta
La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto P (xo, yo, zo) y que es paralela al vector de
dirección n =< a, b, c > es:
x = p+ tn (1)
donde t es el parámetro de la ecuación. Esta ecuación también puede escribirse en función de sus componentes
x = xo + t a
y = yo + t b
z = zo + t c
(2)
Ejemplo 10.1
Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1, 2,−3) y que tiene dirección n =< 5, 7,−4 >.
Solución
Utilizando en forma directa la fórmula anterior, la ecuación paramétrica queda:
x =< x, y, z >=< 1, 2,−3 > +t < 5, 7,−4 > (3)
De donde la ecuación paramétrica en función de las componentes queda:
x = 1 + t (5) = 1 + 5 t
y = 2 + t (7) = 2 + 7 t
z = −3 + t (−4) = −3− 4 t
00
0
5
10
NL
t*NP
5
P+t*N
Figura 1: Ĺınea en el Espacio
Si intentamos despejar de cada una de las igualdades anteriores el parámetro t obtenemos:
t =
x− 1
5
t =
y − 2
7
t =
z + 3
−4
Como el valor de t es el mismo, obtenemos:
x− 1
5
=
y − 2
7
=
z + 3
−4
a esta forma se le conoce como las ecuaciones simétricas de la recta �
Ejemplo 10.2
Determine la recta que pasa por los puntos P (1, 2,−3) y Q(3, 2, 3).
Solución
En este caso no se proporciona el vector de dirección, pero lo podemos calcular fácilmente debido a que la
recta debe tener dirección ~PQ, aśı la dirección de la recta es:
n = Q− P =< 3− 1, 2− 2, 3− (−3) >=< 2, 0, 6 > .
Y por consiguiente, la ecuación paramétrica queda:
x =< x, y, z >=< 1, 2,−3 > +t < 2, 0, 6 >
x = 1 + t (2) = 1 + 2 t
y = 2 + t (0) = 2
z = −3 + t (6) = −3 + 6 t
2
Para obtener las ecuaciones simétricas, observamos que no es posible despejar t de la segunda ecuación que-
dando solamente:
t =
x− 1
2
y = 2
t =
z + 3
6
De donde las ecuaciones simétricas se describen como:
x− 1
2
=
z + 3
6
, y = 2�
Ejemplo 10.3
Diga si el punto P (13,−14, 13) pertenece a la recta:
x = −2 + 3 t, y = 1− 3 t, z = 3 + 2 t
Solución
Este tipo de problema puede resolverse de diferentes maneras. Una forma de resolverlo es mediante el uso de
las ecuaciones simétricas de la ĺınea reacta, que en este caso queda:
x+ 2
3
=
y − 1
−3
=
z − 3
2
Recordamos que un punto del espacio pertenece a la ĺınea si y sólo si satisface sus ecuaciones. Hacemos la
sustitución de las coordenadas del punto:
13 + 2
3
= 5,
−14− 1
−3
= 5,
13− 3
2
= 5
como las tres cantidades son iguales, el punto pertenece a la recta.
Otra alternativa de solución consiste en determinar si existe un valor de t que cumpla las ecuaciones de la
recta si el punto se sustituye:
13 = −2 + 3 t → 3 t = 15 → t = 5
−14 = 1− 3 t → −3 t = −15 → t = 5
13 = 3 + 2 t → 2 t = 10 → t = 5
como el valor de t es el mismo, el punto pertenece a la recta �
Ejemplo 10.4
Indique si se intersectan las rectas
L1 : x = 1− 2 t, y = −3 t, z = −2 + 3 t
L2 : x = −1 + 5 t, y = −3 + 4 t, z = 1 + 5 t
En caso de intersección en un sólo punto, determı́nelo.
Solución
Este problema puede ser resuelto al menos de dos maneras. En una primera solución trabajemos con el sistema
formado por las ecuaciones simétricas:
L1 :
x− 1
−2
=
y − 0
−3
=
z + 2
3
3
L2 :
x+ 1
5
=
y + 3
4
=
z − 1
5
Para cada ĺınea, convertimos sus ecuaciones simétricas en dos ecuaciones:
L1 :
x− 1
−2
=
y − 0
−3
y
y − 0
−3
=
z + 2
3
L2 :
x+ 1
5
=
y + 3
4
y
y + 3
4
=
z − 1
5
Ahora resolvamos el sistema formado por estas 4 ecuaciones lineales. Para ello, escribimos cada una en su
forma canónica:
x−1
−2
= y−0
−3
→ −
1
2
x+ 1
3
y = −1
2
y−0
−3
= z+2
3
→ −
1
3
y − 1
3
z = 2
3
x+1
5
= y+3
4
→
1
5
x− 1
4
y = −11
20
y+3
4
= z−1
5
→
1
4
y − 1
5
z = −19
20
Formando la aumentado y reduciendo obtenemos:




0 −1/3 −1/3 2/3
−1/2 1/3 0 −1/2
1/5 −1/4 0 11/20
0 1/4 −1/5 −19/20




→




1 0 0 −1
0 1 0 −3
0 0 1 1
0 0 0 0




Como el sistema es consistente, las rectas se intersectan. Como tiene solución única, la intersección consta
exactamente de un punto, el cual es P (−1,−3, 1).
Otra forma de hacer el problema es la siguiente. Utilizamos la forma vectorial paramétrica en cada recta y
diferenciamos los parámetros de las ĺıneas para tener:
L1 : < x, y, z >= < 1, 0,−2 > +t1 < −2,−3, 3 >
L2 : < x, y, z >= < −1,−3, 1 > +t2 < 5, 4, 5 >
Para encontrar la intersección igualamos los vectores < x, y, z > y buscamos determinar consistencia para t1
y t2:
< 1, 0,−2 > +t1 < −2,−3, 3 >=< −1,−3, 1 > +t2 < 5, 4, 5 >
de donde
t1 < −2,−3, 3 > +t2 < −5,−4,−5 >=< −2,−3, 3 >
Formando la aumentada y reduciendo tenemos:


−2 −5 −2
−3 −4 −3
3 −5 3

 →


1 0 1
0 1 0
0 0 0


Como el sistema es consistente, las rectas se intersectan. Como tiene solución única t1 = 1 y t2 = 0 las rectas
se intersectan en un punto, el cual es
< x, y, z > = < 1, 0,−2 > +t1 < −2,−3, 3 >
= < 1, 0,−2 > +1 < −2,−3, 3 >
= < −1,−3, 1 > �
4
Ejemplo 10.5
Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x− 2 y + 3 z = 7
4x− 4 y + 5 z = 11
6x− 6 y + 9 z = 21
¿Qué se puede decir?
Solución
Formando la matriz aumentada y reduciéndola obtenemos:


2 −2 3 7
4 −4 5 11
6 −6 9 21

 →


1 −1 0 −1
0 0 1 3
0 0 0 0


Si convertimos cada renglón no cero en ecuación y despejamos las variables delanteras obtenemos:
x = −1 + y
z = 3
Que en forma vectorial queda:


x
y
z

 =


−1
0
3

+ y


1
1
0


La cual es la ecuación de una ĺınea en forma paramétrica con vector de dirección < 1, 1, 0 > �
Ejemplo 10.6
Encuentre el coseno del ángulo que forman las ĺıneas
L1 : < x, y, z >= < 3, 1, 4 > +t < 0, 1,−3 >
L2 : < x, y, z >= < 3,−1, 10 > +t2 < 0, 5, 2 >
Acciones
Aunque no se usa en la determinación ángulo, compruebe que las ĺıneas se intersectan. El concepto del
ángulo entre las ĺıneas sólo aplica a ĺıneas que se intersectan.
El ángulo de intersección de dos rectas es el ángulo entre los vectores de dirección. Utilice la fórmula que
da directamente el coseno del ángulo entre vectores que hace referencia al producto punto.
Ejemplo 10.7
Indique si los puntos P (1, 1,−2), Q(2,−3, 1) y R(1, 3,−2) son colineales.
Acciones
Determine la ĺınea que pasa por los dos primeros. La forma conveniente en este caso son las ecuaciones
simétricas.
Tome el tercer punto y vea si satisface la ecuación encontrada: son colineales si el tercer punto satisface
la ecuación de la ĺınea que pasa por los dos primeros. La definición precisa para que un conjunto de
puntos sea colineal es que exista una recta que los contiene.
5
x 0.5 00
y
z
PN
Figura 2: Plano en el Espacio
10.3. Ecuación de un plano: Forma paramétrica
Considere un punto en el espacio Po(x0, y0, z0) y dos vectores de dirección v1 =< a1, b1, c1 > y v2 =<
a2, b2, c2 >; un punto cualquiera P (x, y, z) pertenece al plano que pasa por Po y que tiene direccióndada por
los vectores v1 y v2 si existen escalares t y s tales que
P = Po + tv1 + sv2
Esta relación se transforma en:
x = xo + a1t+ a2s
y = yo + b1t+ b2s
z = zo + c1t+ c2s
(4)
Estas ecuaciones se conocen como las ecuaciones paramétricas del plano. Es importante señalar que en caso
que los vectores v1 y v2 tengan la misma dirección entonces lo que se tiene es una ĺınea recta. Por otro lado,
si t = s la ecuaciones también representan una ĺınea.
10.4. Ecuación Estándar de un Plano
La ecuación estándar de un plano en R3 es de la forma:
a (x− x0) + b (y − y0) + c (z − z0) = 0 (5)
Los datos necesarios para determinar un plano son un punto P (xo, yo, zo) que pertenezca al mismo y un vector
perpendicular, o también conocido como vector normal al plano n =< a, b, c >.
Ejemplo 10.8
Determine el plano que pasa por el punto P (1, 1,−3) y que tiene como vector normal n =< 1,−2, 3 >
Solución
Sustituyendo en la ecuación del plano:
(1)(x− 1) + (−2)(y − 1) + 3(z − (−3)) = 0
o simplificando:
x− 2 y + 3 z = −10�
6
De las ecuaciones paramétricas se puede obtener la forma estándar del plano eliminando los parámetros t y s
para ello se forma el sistema:
a1t+ a2s = x− xo
b1t+ b2s = y − yo
c1t+ c2s = z − zo
se reduce y se aplica la condición de consistencia.
Ejemplo 10.9
Determine el plano que pasa por los puntos P (1, 1,−3), Q(1, 2,−1) y R(0, 1, 2).
Solución
En nuestro caso tomaremos v1 = PQ =< 1 − 1, 2 − 1,−1 − (−3) >=< 0, 1, 2 > y v2 = PR =< 0 − 1, 1 −
1, 2− (−3) >=< −1, 0, 1 > y por tanto las ecuaciones paramétricas quedan:
x = +1 + (0)t+ (−1)s
y = +1 + (1)t+ (0)s
z = −3 + (2)t+ (1)s
Encontrando la ecuación estándar:


0 −1 x− 1
1 0 y − 1
2 1 z + 3

 →


1 0 y − 1
0 −1 x− 1
0 0 z + 4− 2 y + x


El sistema es consistente si y solamente si
x− 2y + z + 4 = 0
Esta última relación es la ecuación estándar del plano. Otra alternativa para hacer el ejercicio anterior es
calcular el vector normal al plano
n = ~PQ× ~PR
n =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
0 1 2
−1 0 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 1 i− 2 j+ 1k
Por tanto
n =< 1,−2, 1 >
Y la ecuación del plano queda:
1(x− 1)− 2(y − 1) + 1(z − (−3)) = 0�
Ejemplo 10.10
Indique si los siguientes planos se intersectan:
P1 : −4x+ 4 y − z = 4
P2 : −x− 2 y + z = 16
Acciones
Forme un sistema con las dos ecuaciones de los planos.
7
Resuelva el sistema formado: Los planos se intersectan si y sólo si el sistema es consistente. (No importa
si hay solución única o infinitas, sólo importa la consistencia).
Ejemplo 10.11
Determine la ecuación del plano que consiste de todos los puntos que son equidistantes a los puntos R(1, 2,−1)
y a S(0, 3, 1).
Acciones
Tome un punto cualquiera del plano P (x, y, z).
Encuentre la fórmula de la distancia d1 de P a R y la fórmula de la distancia d2 de P a S.
Iguale las distancias (éste es el concepto de equidistantes).
Eleve al cuadrado ambos miembros de la igualdad; esto cancelará ráıces cuadradas.
Desarrolle los cuadrados en ambos miembros. Al pasar las variables al lado derecho deberán cancelarse
los cuadrados de ellas y quedará una ecuación lineal en x y y z que corresponde a la ecuación del plano.
Ejemplo 10.12
Indique si los puntos P (1, 1,−2), Q(2,−3, 1), R(1, 3,−2) y S(1,−2, 3) son coplanares.
Acciones
Determine plano que pasa por los tres primeros. La forma conveniente en este caso es la forma estándar.
Tome el cuarto punto y vea si satisface la ecuación encontrada: son coplanares si y sólo si el cuarto punto
satisface la ecuación del plano que pasa por los tres primeros. La definición precisa para que un conjunto
de puntos sea coplanar es que exista un plano que los contiene.
Ejemplo 10.13
Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x+ 3 y − z = −1
−x− 3 y + z = 1
2x+ 6 y − 2 z = −2
3x+ 9 y − 3 z = −3
¿Qué se puede decir?
Solución
Formando la matriz aumentada y reduciéndola obtenemos:




1 3 −1 −1
−1 −3 1 1
2 6 −2 −2
3 9 −3 −3




→




1 3 −1 −1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0




La renglón que no es cero representa la ecuación de un plano en el espacio:
1x+ 3y +−1z = −1
Para obtener ecuaciones paramétricas del mismo, despejamos la variable delantera:
x = −1− 3y + z
8
Que en forma vectorial queda:


x
y
z

 =


−1
0
0

+ y


−3
1
0

+ z


1
0
1


Cambiando de nombre las variables:


x
y
z

 =


−1
0
0

+ t


−3
1
0

+ s


1
0
1

 �
9
	Introducción
	Ecuación paramétrica de la recta
	Ecuación de un plano: Forma paramétrica
	Ecuación Estándar de un Plano