Sesión 5

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SESIÓN 05:
Semestre Académico
2022-1
Ingeniería Industrial
Pregrado
Ingeniería Industrial
Pregrado
INGENIERIA ECONÓMICA Y
FINANZAS
“GRADIENTES”
Ingeniería Industrial
Pregrado
GRADIENTE
Se conoce como series variables o gradiente es
un flujo de caja (ingresos o egresos) que varía cada periodo disminuyendo o aumentando una cantidad de dinero o porcentaje.
• Gradientes Aritméticos o Lineales : Los flujos 
son en dinero.
• Gradientes Geométricos : Los flujos son en 
porcentaje.
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SÍMBOLOS
VP = Valor presente del gradiente.
•
•
VF = Valor futuro del gradiente.
•
G =
Cantidad en que se incrementa o disminuye el pago
periódico.
•
i= Tasa de interés.
•
n= Número de períodos: diferencia entre el periodo que termina y
el periodo
donde esta localizado su cero.
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CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE
PAGOS SEA UN GRADIENTE
DE
•
Los flujos de caja deben tener una ley de formación.
•
Los flujos de caja deben ser periódicos
•
Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equivalente.
•
La cantidad de periodos deben ser iguales a la cantidad de flujos de caja.
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inal del segundo periodo. presentado por la letra “A” qu
iene constante en los “n” per
ales que varia en “n” periodos
f
t i
GRADIENTE Aritmético
En el gradiente aritmético cada flujo es igual al anterior (A) incrementado o disminuido en una cantidad constante en dinero (G) y se le denomina variación constante. Cuando la variación constante es positiva, se genera el gradiente aritmético creciente. Cuando la variación constante es negativa, se genera el gradiente aritmético decreciente.
Se compone de 2 factores :
• Gradiente uniforme representado
por
la
letra
(G)
la cual es la cantidad de
dinero en montos igu
gradiente aparece al
de tiempo. El primer
• La base de la serie re
e es igual al monto del
odos de tiempo.
“periodo 1”
y se man
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del mes de febrero, iniciando con $200.000 y 
mes aumentará la consignación del mes
or en $200.000. La entidad financiera ofrece 
una tasa del 1,3% mensual. ¿Qué valor podr
a fin de año?
EJERCICIO N° 1
•
El Gerente de la empresa requiere renovar los
equipos de cómputo al finalizar el año. Para ello
decide
partir 
cada 
anteri 
pagar
retirar
realizar
consignaciones
cada
fin
de
mes,
a
á
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Para hallar el valor final de
la
serie de pagos, usaríamos
la
siguiente
formula:
1 +
) − 1 −
( )
=
1 + 0.13) − 1 − 12(0.013)
= 200,000
0.013
0.012
= 200,000
0.0002
= 200,000(68.94)
= 13,789.08
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Tipos de
gradiente
Aritmético
•
Gradiente aritmético
creciente
Cuando se tiene una serie de “n” pagos ,
donde cada pago es Igual al del 
periodo inmediatamente anterior 
aumentado en una cantidad positiva 
y con una tasa
porcentual por periodo.
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Tipos de
gradiente
Aritmético
• Gradiente aritmético
decreciente :
Cuando se tiene una serie de “n” pagos ,
donde cada pago es igual al del periodo inmediatamente anterior decreciendo con una tasa porcentual por periodo.
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EJERCICIO N° 1
• Se realiza la compra de un edificio acordando la siguiente forma de pago: cuota inicial
$1.000.000.000 y el resto mediante 50 pagos mensuales el primero de 30.000.000 y 
decrecientes a razón de 500.000 mensuales. El tipo de interés de la operación se fija en el 6
% anual. Se pide calcular la duración de la operación y el valor al contado del edificio.
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Solución:
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Remplazamos:
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TIPOS DE GRADIENTE ARITMETICA
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GRADIENTE GEOMETRICO
EXPONENCIAL
•
Un gradiente geométrico es una serie de pagos periódicos tales que
cada uno es igual al anterior incrementado en un porcentaje fijo.
•
En el gradiente geométrico cada flujo es igual al anterior incrementado
o disminuido (A) en una cantidad constante porcentaje (G) y se le denomina variación constante. Cuando la variación constante es positiva, se genera el gradiente geométrico creciente. Cuando la variación constante es negativa, se genera el gradiente geométrico decreciente.
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Ejercicio gradiente geométrico exponencial
• Un ingeniero desea adquirir un lote para construcción que tiene 
un valor de $57,000,000 la forma de pago seria la siguiente: una 
cuota inicial del 25%, 28 pagos mensuales que aumentan cada 
mes en un 1% y una cuota extraordinaria pagadera en el 28 mes 
por valor de $5,000,000. Si la tasa de financiación que se cobra es 
del 1,4% mensual, calcular el valor de la primera cuota.
Cuota inicial = 57,000,000*0.25
Cuota inicial = $14,250,000
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A
)
)
1 +
− (1 +
$57,000,000
=
+
(
) +
)
)
1( −
− (1 +
)
I=1,4% MENSUAL
1 +
28 MESES
3
1
2
0
Valor presente= $57,000,000
i=1.4% j=1% N=28
Cuaota inicial = $14,250,000
Cuota extra = $ 5,000,000
A
A(I+J)
$14,250,000
28-1
2
A(I+J)
A(I+J)
$5,000,000
)
)
.
(
.
) + , , 	
57,000,000= 14,250,000 +
(
)
)
)
( .
.
∗(
.
,
57,000,000= 14,250,000 + 26.19193384A +3,387,718.10
26.19193384A= 57,000,000 − 14,250,000 +3,387,718.10
 , , .
A=
A= $ 1,502839.85
.
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L
CUOTA INICIAL =
$14,250,000.00
n=
28
i=
1.40%
J=
1.00%
A1=
$ 1,502,839.85
cuota extra
$ 5,000,000.00
p
$ 57,000,000.00
N° MES
CUOTA
INTERES
ABONO A CAPITA
SALDO
0
$14,250,000
$42,750,000
1
$1,502,840
$598,500
$904,340
$41,845,660
2
$1,517,868
$585,839
$932,029
$40,913,631
3
$1,533,047
$572,791
$960,256
$39,953,375
4
$1,548,377
$559,347
$989,030
$38,964,345
5
$1,563,861
$545,501
$1,018,360
$37,945,985
6
$1,579,500
$531,244
$1,048,256
$36,897,729
7
$1,595,295
$516,568
$1,078,727
$35,819,002
8
$1,611,248
$501,466
$1,109,782
$34,709,220
9
$1,627,360
$485,929
$1,141,431
$33,567,789
10
$1,643,634
$469,949
$1,173,685
$32,394,104
11
$1,660,070
$453,517
$1,206,553
$31,187,552
12
$1,676,671
$436,626
$1,240,045
$29,947,507
13
$1,693,438
$419,265
$1,274,172
$28,673,334
14
$1,710,372
$401,427
$1,308,945
$27,364,389
15
$1,727,476
$383,101
$1,344,374
$26,020,015
16
$1,744,750
$364,280
$1,380,470
$24,639,544
17
$1,762,198
$344,954
$1,417,244
$23,222,300
18
$1,779,820
$325,112
$1,454,708
$21,767,592
19
$1,797,618
$304,746
$1,492,872
$20,274,721
20
$1,815,594
$283,846
$1,531,748
$18,742,972
21
$1,833,750
$262,402
$1,571,349
$17,171,624
22
$1,852,088
$240,403
$1,611,685
$15,559,939
23
$1,870,609
$217,839
$1,652,769
$13,907,169
24
$1,889,315
$194,700
$1,694,614
$12,212,555
25
$1,908,208
$170,976
$1,737,232
$10,475,323
26
$1,927,290
$146,655
$1,780,635
$8,694,688
27
$1,946,563
$121,726
$1,824,837
$6,869,851
28
$6,966,028
$96,178
$6,869,851
$0
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Pregrado
Ingeniería Industrial
Pregrado
GRADIENTE GEOMETRICA
CRECIENTE
•
Gradiente geometrico
creciente :
Es el valor equivalente a 
una serie de flujosde caja 
periódicos que aumenta 
cada uno, con respecto al 
anterior, en un porcentaje 
fijo (G)
•
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GRADIENTE GEOMETRICA
DECRECIENTE
• Gradiente geométrico
decreciente:
• Lo conforma una serie de flujos de caja que decrecen periódicamente en un porcentaje constante.
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Ejercicio 1
Una obligación se esta cancelando mediante un pago de una cuota 
inicial de $5.000.000 y 24 cuotas mensuales que aumentan un 5% cada 
mes. Si el valor de la primera cuota es de $ 1.500.000 y se cobra una 
tasa de interés del 4% mensual calcular: El valor de la obligacion
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La tasa de interés de la negociación es diferente a la tasa 
de crecimiento de las cuotas en consecuencia se aplica 
para el cálculo del presente de la obligación.
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Referencias bibliográficas
Aponte, Eduardo. 2017. Gradiente aritemetico . Lima : Finansas 69, 2017.

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

AYRES, Frank. Matemáticas financieras. Primera edición. México D.F.: Mc
BACA CURREA. Guillermo. Matemática financiera. Tercera edición. Bogotá CANOVAS, Roberto. Matemáticas financieras: fundamentos y aplicaciones. CECSA, 1999. (Texto guía).
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CERCHIARO, LIXARDO BALLESTEROS. 2017. Gradiente Geométrico o Exponencial. Mexico : LBALLESTEROSG, 2017.
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

CISSELL, Robert. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.:
D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto 
guía). Graw Hill, 2001.
Medellín: Propia, CMM.
Morales, C. M. (2012). Matemáticas financieras, Gradientes. Primera edición. Mexico: Trillas, 2004
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