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UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA
Departamento de Matemática
Cuaderno Interactivo
La Derivada y su amiga · · ·
La Integral
© 2021 pedro.valenzuela@ufrontera.cl
Actualizado el: 1 de junio de 2021 Version 1.0
mailto:pedro.valenzuela@ufrontera.cl
Tabla de Contenido
1. Introducción
1.1. Derivada de una función en un punto
1.2. Reglas de cálculo de derivadas
1.3. Tabla de Derivadas
1.4. Derivada de una función compuesta
1.5. Funciones trigonométricas inversas
1.6. Derivadas laterales - Continuidad y Derivabilidad
2. Aplicaciones de la derivada
2.1. Estudio de funciones
3. Reglas de L ’Hôpital
4. Problemas de optimización
5. La integral Indefinida
5.1. Integrales Inmediatas
5.2. Propiedades de la integral
5.3. Dos Métodos Fundamentales
5.4. Método de sustitución
5.5. Integración por partes
6. Integral definida: área bajo una curva
Tabla de Contenido (cont.) 3
6.1. Sumas de Riemann
6.2. Integral definida
7. Propiedades de la integral definida
8. Área entre dos curvas
Soluciones a los Ejercicios
1. Introducción
Las derivadas surgieron por la necesidad de buscar respuesta a dos tipos
de problemas distintos:
problemas de carácter geométrico (cálculo de la recta tangente a la
curva en un punto)
problemas de carácter f́ısico (cálculo de la velocidad instantánea en
movimientos no uniformes)
ver 1.
(a) Recta tangente
ver 2.
(a) Velocidad instantánea
1.1. Derivada de una función en un punto
Definición 1.1 Dada una función y = f(x), se llama derivada de la
función f en un punto x = a al siguiente ĺımite si existe y es finito
f ′(a) = ĺım
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
Sección 1: Introducción 5
El śımbolo f ′(a) se lee “efe prima de a. Cuando este ĺımite existe (y es
finito) se dice que la función f es derivable en el punto x = a. A la cantidad
h se la llama “incremento de x”, y corresponde al paso del punto x al punto
x = a+h. Como a+h representa un punto cercano a a, entonces podemos
escribir la alternativa siguiente de derivada
f ′(a) = ĺım
x→a
f(x)− f(a)
x− a
Actividad 1. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = x2
en el punto de abscisa 2.
Conociendo un punto (2, 4) y la pendiente, la ecuación de la recta es:
y − f(a) = m(x− a) =⇒ y − 4 = m(x− 2)
Pero recién hemos visto que la pendiente m = f ′(2). Tenemos:
f ′(2) = ĺım
h→0
f(2 + h)− f(2)
h
= ĺım
h→0
(2 + h)2 − 4
h
= ĺım
h→0
4h+ h2
h
= 4
Sección 1: Introducción 6
En consecuencia, la ecuación de la recta tangente es
y − 4 = 2(x− 2)
Notaciones Para la función y = f(x) las siguientes notaciones son equi-
valentes:
y ′, f ′(x), fx, Dx,
dy
dx
,
df
dx
Actividad 2. Hallemos derivada de:
1. f(x) = 2 en cualquier punto x.
Hallar derivada de f en x = 2 es calcular f ′(2). Para ello usamos el
ĺımite que define la derivada
f ′(2) = ĺım
h→0
f(2 + h)− f(2)
h
= ĺım
h→0
2− 2
h
= 0
2. f(x) = x en un punto x
f ′(x) = ĺım
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= ĺım
h→0
x+ h− x
h
= 1
3. f(x) = x2 en un punto x
f ′(x) = ĺım
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= ĺım
h→0
(x+ h)2 − x2
h
= 2x
Sección 1: Introducción 7
4. f(x) = x3 en un punto x
f ′(x) = ĺım
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= ĺım
h→0
(x+ h)3 − x3
h
= 3x2
Creo que eres capaz de inferir el valor de la derivada, en cualquier punto
x, de f(x) = x11.
1.2. Reglas de cálculo de derivadas
Los hechos que a continuación se narran se pueden encontrar en cual-
quier libro de Cálculo.
Para dos funciones f y g que tengan derivada se satisface
Derivada de la suma
(f ± g) ′(x) = f ′(x)± g ′(x)
Derivada de un Producto
(f · g) ′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g ′(x)
Derivada de un Cociente
(
f
g
) ′(x) =
f ′(x) · g(x)− f(x) · g ′(x)
g2(x)
Sección 1: Introducción 8
1.3. Tabla de Derivadas
La tabla contiene las derivadas de las funciones, en la variable x.
Sección 1: Introducción 9
Actividad 3. Hallar la derivada de:
1. f(x) = x2 + x3 =⇒ f ′(x) = 2x+ 3x2
2. f(x) = x · sen x =⇒ f ′(x) = 1 · senx+ x cosx
3. f(x) =
sen x
x
=⇒ f ′(x) = (senx)
′ · x− senx · (x) ′
x2
Simplificando
f ′(x) =
cosx · x− senx · 1
x2
=
x cosx− senx
x2
1.4. Derivada de una función compuesta
Si las funciones f y g tienen derivada, entonces la función compuesta
de f con g, esto es, f(g(x)). tiene derivada y es tal que
[ f(g(x)) ] ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)
Lo principal aqúı es “saber leer” esta fórmula. Apréndela aśı:
La derivada de la f evaluada en g por la derivada de la g
Para derivar una función compuesta te puedes ayudar de la siguiente
tabla
Sección 1: Introducción 10
Sección 1: Introducción 11
Para derivar una función compuesta lo primero es determinar el tipo de
función que vamos a derivar. Vamos a partir con la idea de la cajita
Actividad 4. Hallar derivada de f(x) = (x+ cosx)2
Debieras ver una potencia, cualquier “cosa” de la forma (�)2 es una poten-
cia. Su derivada es
f(x) = (�)2 =⇒ f ′(x) = 2 · (�)2−1 · (�) ′
La derivada de la cajita es una suma
x+ cosx =⇒ (x) ′ + (cosx) ′ = 1− senx
Por tanto,
f(x) = (x+ cosx)2 =⇒ f ′(x) = 2 · (x+ cosx)1 · (1− senx)
Actividad 5. Hallemos derivada de f(x) = sen (x2)
Se observa que se va a derivar la función seno. De esta manera, � = x2.
Se tiene
f(x) = sen � =⇒ f ′(x) = cos � · (�) ′
La derivada final es
f(x) = sen � =⇒ f ′(x) = cos x2 · 2x = 2x cos x2
Sección 1: Introducción 12
Actividad 6. La derivada de f(x) = ln
(
x2 + 3
x− 2
)
Lo que se ve primero es el logaritmo, ln(�). La regla de derivada es
f(x) = ln(�) =⇒ f ′(x) = 1
�
· (�) ′
La cajita es una fracción
� =
x2 + 3
x− 2
=⇒ (�) ′ = (x
2 + 3) ′(x− 2)− (x2 + 3) · (x− 2) ′
(x− 2)2
Al simplificar
(�) ′ =
2x(x− 2)− (x2 + 3) · 1
(x− 2)2
=
x2 − 4x− 3
(x− 2)2
1.5. Funciones trigonométricas inversas
En esta sección trataremos las fórmulas de derivación de las funcio-
nes trigonométricas inversas que se muestran en la tabla. Puedes observar
algunas caracteŕısticas de las fórmulas de derivación de las funciones trigo-
nométricas inversas:
Sección 1: Introducción 13
Todas son una fracción cuyo numerador es la derivada del argumento.
Las cofunciones son iguales, diferenciadas solamente de un signo ne-
gativo, es decir, la fórmula del arco seno es igual a la del arco coseno,
solamente que ésta última es negativa; la fórmula de la arco tangente
es igual a la de la arco cotangente, siendo ésta última negativa. Y algo
semejante sucede con la arco secante y la arco cosecante.
Para entender mejor el funcionamiento de las reglas, se sugiere interpre-
tar, por ejemplo, la regla 12 como sigue
[arc tg(argumento)] ′ =
1
1 + (argumento)2
· (derivada de argumento)
Actividad 7. Derivada de y = arc sen(x3 − 1)
Lo primero que debes notar es que se trata de derivar una trigonométrica
inversa, el arcoseno, y que su argumento, la cajita es � = x3 − 1. Partimos
entonces por el arcoseno. Para ello sabemos que su derivada es
y ′ =
1√
1− (argumento)2
· derivada del argumento
Sección 1: Introducción 14
o que traducido a lenguaje matemático de nuestra función significa
y ′ =
1√
1− (x3 − 1)2
· 3x2
Actividad 8. Derivada de y = arc tg6(3x2 − 1) = [arc tg(3x2 + 1)]6
En este caso debieras reconocer que se trata de la derivada de una
POTENCIA, exactamente, eso es lo primero que resalta al ver la fórmula.
La derivada de una potencia tiene la forma:
exponente · (base)exponente -1 · derivada de la base
Por tanto,
y ′ = 6 arc tg5(3x2 − 1) · 1
1 + (3x2 − 1)2
· 6x
Actividad 9. La derivada de y = (x2 + 3)5
Te muestro otra forma de derivar, considerando a la derivada como una
máquina “aniquiladora” de funciones. En este caso tenemos una potencia,
por ello, hay que ir “matando” primero la potencia como tal y luego la
base, siendo la derivada el producto de ambas. A ver si se entiende:
Una potencia “genérica” tiene la forma
Sección 1: Introducción 15
y = (base)potencia
de modo que su proceso de derivación, paso a paso, seŕıa:
Paso 1: “matamos la potencia”: (base)��
��potencia
Por tanto, la primera parte de la derivada es
potencia · (base)potencia-1
Paso 2: Aniquilada lapotencia, nos queda la base.
base =���x2 + 3 =⇒ (base) ’ = 2x
En consecuencia:
y ′ = 5 · (x2 + 3)4 · 2x
El proceso mostrado, es mucho más dinámico en la pizarra y debiera
verse aśı
y ′ = potencia · (base)potencia -1 · (base) ′
Sección 1: Introducción 16
Pasas con 100 % correctas
1. Para la función y = ln[sen(x2 + 3)5], su derivada es:
10x(x2 + 3)4 cos(x2 + 3)5 10x(x2 + 3)4 cotg(x2 + 3)5
10x(x2 + 3)4 tg(x2 + 3)5 10x(x2 + 3)4 sen(x2 + 3)5
2. Para la función y = sen5(x2 + 3), su derivada es:
10x sen(x2 + 3) sen4(x2 + 3) 10x cos(x2 + 3) sen4(x2 + 3)
10x cos(x2 + 3) sen5(x2 + 3) 10x cos(x2 + 3)4 sen4(x2 + 3)
3. Para la función y = 2arc tg
2(x), su derivada es:
2arc tg
2(x)+1 ln 2 · arc tg x
x2 + 1
2arc tg
2(x)+1 · arc tg x
x2 + 1
2arc tg
2(x) ln 2 · arc tg x
x2 + 1
2arc tg
2(x)+1 ln 2 · arc tg x
.
Sección 1: Introducción 17
1.6. Derivadas laterales - Continuidad y Derivabilidad
Tienes que recordar que la derivada no es más que un ĺımite con una
forma “very special”. Si se pod́ıan sacar ĺımites por derecha y por izquierda
¿porqué no se puede hacer lo mismo con la derivada? Obvio, es posible,
ello da origen a las derivadas izquierda y derecha. No te asustes todo sigue
igual que antes, tanto la derivada por derecha como por la izquierda si-
guen representando la pendiente de la recta tangente cuando se acerca por
izquierda o por derecha al punto. Tenemos un resultado potente:
Teorema 1.2 Una función f es derivable en un punto x0 si, y sólo si
es derivable por la izquierda y por la derecha en x0, y además las dos
derivadas laterales tienen el mismo valor: f ′(x0).
Notaciones:
La derivada derecha se define como
f ′+(x0) = ĺım
x→x+0
f(x)− f(x0)
x− x0
= ĺım
h→0+
f(x+ h)− f(x)
h
La derivada izquierda está dada por
f ′−(x0) = ĺım
x→x−0
f(x)− f(x0)
x− x0
= ĺım
h→0−
f(x+ h)− f(x)
h
Sección 1: Introducción 18
Todo se aclara con un ejemplo
Actividad 10. Sea f(x) =
{
x2, x ≤ 1
2x− 1, x > 1
Veamos las derivadas a izquierda y derecha del x = 1 y la conclusión.
Hallemos primero la derivada derecha,
f ′+(1) = ĺım
h→0+
f(1 + h)− f(1)
h
=
2(1 + h)− 1− 1
h
= 2
La derivada izquierda es
f ′−(1) = ĺım
x→1−
f(1 + h)− f(1)
h
= 2
Ambas derivadas son iguales, por tanto, f ′(1) = 2 y la función es deri-
vable en x = 1.
Otra forma de resolver este problema, es hallar la derivada en intervalos
abiertos (no se considera la igualdad)
f(x) =
{
x2, x ≤ 1
2x− 1, x > 1 =⇒ f
′(x) =
{
2x , x<1
2 , x > 1
Sección 1: Introducción 19
Ahora tomas ĺımites laterales en x = 1 en esta expresión.
ĺım
x→1+
(2) = 2 y ĺım
x→1−
(2x) = 2
Se concluye que la derivada en x = 1 existe y vale 2.
Actividad 11. Continuidad y derivabilidad de f(x) =
{
1, x < 0
x, x ≥ 0
La continuidad se trabaja con ĺımites laterales
ĺım
x→0+
f(x) = 0
ĺım
x→0−
f(x) = 1
f(0) = 0
Como los ĺımites laterales son distintos, la función no es continua.
La derivabilidad la trabajamos con derivada en intervalo abierto
f(x) =
{
1, x < 0
x, x ≥ 0 =⇒ f
′(x) =
{
0 , x < 0
1 , x > 0
Al mirar esta última expresión, los ĺımites laterales son distintos (izquierdo
0 y derecho 1). Por tanto, la derivada en x = 0 NO existe. Mirar la gráfica
Sección 1: Introducción 20
siguiente
Actividad 12. Continuidad y derivabilidad de f(x) =
{
0, x < 0
x, x ≥ 0
La continuidad se trabaja con ĺımites laterales
ĺım
x→0+
f(x) = 0
ĺım
x→0−
f(x) = 0
f(0) = 0
Como los ĺımites laterales son iguales, y la función en el punto tiene el
mismo valor, la función es continua.
La derivabilidad la trabajamos con derivada en intervalo abierto
f(x) =
{
0, x < 0
x, x ≥ 0 =⇒ f
′(x) =
{
0 , x < 0
1 , x > 0
Sección 1: Introducción 21
Al mirar esta última expresión,
los ĺımites laterales son distintos
(izquierdo 0 y derecho 1). Por
tanto, la derivada en x = 0, NO
existe. Mirar la gráfica siguiente
Te cuento la relación que existe entre continuidad y derivabilidad.
Para estudiar la derivabilidad de una función en un punto primero
se debe comprobar la continuidad de la función en ese punto.
Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en
ese punto.
Si una función es continua en un punto, NO necesariamente es
derivable en ese punto.
22
2. Aplicaciones de la derivada
Utilizaremos la derivada en las siguientes tres situaciones:
Estudio de funciones y sus gráficos.
Estudio de ĺımites funciones con la regla de L’Hopital.
Problemas de optimización.
2.1. Estudio de funciones
Utilizando la derivada podremos realizar la gráfica de una función con
bastante exactitud. Los pasos para llegar a la gráfica son:
1. Dominio de la función.
2. Intersecciones con los ejes.
3. Intervalos de monotońıa.
4. Valores extremos (máximos y mı́nimos).
5. Intervalos de concavidad y puntos de inflexión.
6. Existencia de aśıntotas.
7. Gráfico de la función.
Sección 2: Aplicaciones de la derivada 23
El siguiente gráfico ilustra algunos de estos puntos
Sección 2: Aplicaciones de la derivada 24
Si quieres más información pincha el quiero ver
ver 3.
(a) Funciones crecientes y decrecientes
(b) Puntos cŕıticos
(c) Máximos y mı́nimos
(d) Concavidad y Convexidad
(e) Aśıntotas
Actividad 13. Sea f(x) =
x2 + 2x+ 1
x− 1
1. Anota el dominio de esta función. dom(f) = IR− {1}
2. Anota los puntos cŕıticos.
f ′(x) =
(x− 3)(x+ 1)
(x− 1)2
= 0 =⇒ x = 3, x = −1
3. Estudia el signo de la derivada a cada lado de los puntos cŕıticos.
Sección 2: Aplicaciones de la derivada 25
4. Anota los valores del máximo y del mı́nimo.
5. Escribe los intervalos de monotońıa. Mirando la figura, la función es
creciente en (−∞,−1) ∪ (3,∞), y es decreciente en (−1, 3)
6. Escribe los puntos que anulan la segunda derivada.
f ′′(x) =
8
(x− 1)3
= 0
No existen valores que anulen la segunda derivada
7. Anota los intervalos de concavidad y convexidad. Como la derivada
segunda no se anula, sólo colocamos en la recta numérica el punto
donde la función se indefine, a saber x = 1. Luego, evaluamos la
segunda derivada a izquierda y derecha de ese puntos
Sección 2: Aplicaciones de la derivada 26
8. Escribe los puntos de inflexión, si existen. No hay puntos de inflexión,
pues los candidatos a puntos de inflexión se obtienen a partir de f ′′ =
0, y tales puntos no existen
9. Calcula las aśıntotas.
Es claro que x = 1 es aśıntota vertical
La aśıntota horizontal se encuentra a partir de
ĺım
x→∞
x2 + 2x+ 1
x− 1
=∞
No existe aśıntota horizontal.
La aśıntota obĺıcua es de la forma y = mx+ n, donde
• m = ĺım
x→∞
f(x)
x
= ĺım
x→∞
x2 + 2x+ 1
x(x− 1)
= 1
• n = ĺım
x→∞
(f(x) − mx) = ĺım
x→∞
(
x2 + 2x+ 1
x− 1
− x
)
En este
último ĺımite sacamos común denominador
n = ĺım
x→∞
(
x2 + 2x+ 1
x− 1
− x
)
= ĺım
x→∞
(
3x+ 1
x− 1
)
= 3
Se concluye que la aśıntota obĺıcua es y = x+ 3
10. Con todos los datos obtenidos haces el gráfico de la función.
Sección 2: Aplicaciones de la derivada 27
Sección 2: Aplicaciones de la derivada 28
Pasas con 100 % correctas
1. Para la función f(x) =
{
3x− 2 , x ≤ 1
x2 , x > 1
es cierto que:
f es derivable en x = 1 f es continua en x = 1
f es acotada f tiene máximo en x = 1
2. Para la función f(x) =
{
x2 + 1 , x ≤ 0
2x , x > 0
es cierto que:
f es continua en x = 0 f es derivable en x = 0
f es acotada f no es continua en x = 0
3. Para que la función f(x) =

5− 73x ,−3 < x ≤ 1
4− x2 + ax , 1 < x ≤ 3
bx− 15
x− 1
, 3 < x < 6
sea continua,
los valores de a y b son:
Sección 2: Aplicaciones de la derivada 29
a = − 13 , b = −1 a =
1
3 , b = −1
a = − 13 , b = 1 a =
1
3 , b = 1
4. Dada la función f(x) =
{
x2 + ax+ b , x < 1
cx , x ≥ 1
, y sabiendo que f(0) =
f(4), los valores de a y b para que f sea derivable son:
a = − 74 , b = 1, c =
1
4
a = 74 , b = 1, c =
1
4
a = 74 , b = −1, c =
1
4
a = − 74 , b = 1, c = −
1
4
5. Sea f(x) =
x3
x2 − 1
. Hallar la alternativa incorrecta:
no existe aśıntota horizontal
x = 0, x = 1, x = −1 son puntos cŕıticos
x = 0 es punto deinflexión.
y = x es aśıntota obĺıcua.
.
30
3. Reglas de L ’Hôpital
El Marqués Guillaume Francois Antoine de L ’Hopital (1661-1704) Francés,
por supuesto, en un acto reñido con el “fair play”, copió, si leiste bien, co-
pió las enseñanzas de su maestro Johan Bernouilli y las publicó como si
fueran propias.
Pero lo principal es saber ¿para qué sirven estas reglas? Breve pero
conciso, para calcular ciertos ĺımites cuyas máscaras tienen formas tales
como:
0
0
,
∞
∞
, 1∞, 0 · ∞, ∞−∞, 00
Las primeras dos “máscaras” son las básicas, todas las demás, por opera-
ciones algebraicas o logaŕıtmicas se reducen a una de esas básicas.
Regla del
0
0
1. f y g son dos funciones derivables en una vecindad del punto x0
2. ĺım
x→x0
f(x) = 0 = ĺım
x→x0
g(x)
Sección 3: Reglas de L ’Hôpital 31
3. ĺım
x→x0
f ′(x)
g ′(x)
= L. Se concluye que
ĺım
x→x0
f(x)
g(x)
= ĺım
x→x0
f ′(x)
g ′(x)
= L
El L y el x0 pueden ser real o infinito.
A todo el mundo le encanta sacar ĺımites por las reglas de L ’ Hopital, te
puedo asegurar que no vas a ser la excepción
Actividad 14. Calcular, usando L ’Hopital ĺım
x→0
sen x
x
Sección 3: Reglas de L ’Hôpital 31
3. ĺım
x→x0
f ′(x)
g ′(x)
= L. Se concluye que
ĺım
x→x0
f(x)
g(x)
= ĺım
x→x0
f ′(x)
g ′(x)
= L
El L y el x0 pueden ser real o infinito.
A todo el mundo le encanta sacar ĺımites por las reglas de L ’ Hopital, te
puedo asegurar que no vas a ser la excepción
Actividad 14. Calcular, usando L ’Hopital ĺım
x→0
sen x
x
Como siempre, lo primero es la máscara. Es 00 . Estamos en las condi-
ciones de la regla de L ’Hopital
ĺım
x→0
sen x
x
= ĺım
x→0
(sen x) ′
(x) ′
= ĺım
x→0
cos x
1
= 1
Sección 3: Reglas de L ’Hôpital 32
Actividad 15. Calcular ĺım
x→1
x5 − x4 + x2 − 1
x− 1
La máscara es 00 . La regla de L ’Hopital nos dice que
ĺım
x→1
x5 − x4 + x2 − 1
x− 1
= ĺım
x→1
5x4 − 4x3 + 2x
1
= 3
Regla del
∞
∞
1. f y g son dos funciones derivables en una vecindad del punto x0
2. ĺım
x→x0
f(x) =∞ = ĺım
x→x0
g(x)
3. ĺım
x→x0
f ′(x)
g ′(x)
= L. Se concluye que
ĺım
x→x0
f(x)
g(x)
= ĺım
x→x0
f ′(x)
g ′(x)
= L
Si escribimos
∞
∞
=
1/0
1/0
=
0
0
, estamos en el caso anterior.
El L y el x0 pueden ser real o infinito.
Sección 3: Reglas de L ’Hôpital 33
Actividad 16. Calcula ĺım
x→∞
ln x
x10
La máscara es ∞∞ . La regla de L ’Hopital se aplica
ĺım
x→∞
ln x
x10
= ĺım
x→∞
1
x
10x9
= ĺım
x→∞
1
10x10
= 0
Actividad 17. Calcular ĺım
x→0
(1 + x)1/x
La máscara es 1∞. Una máscara ya conocida. Puedes resolver este pro-
blema a la antigua (con la cajita), pero te muestro con L ’Hopital
En primer lugar, se debe transformar la máscara a una de las dos básicas;
0
0 o bien
∞
∞ .
z = (1 + x)1/x =⇒ ln(z) = ln(1 + x)1/x =⇒ ln(z) = 1
x
ln(1 + x)
Tomamos ĺımite en ambos lados de la última igualdad
ln(z) =
1
x
ln(1 + x) =⇒ ĺım
x→0
(ln(z)) = ĺım
x→0
1
x
ln(1 + x)
Cambiamos escritura
ĺım
x→0
(ln(z)) = ĺım
x→0
ln(1 + x)
x
∼ 0
0
máscara
Sección 3: Reglas de L ’Hôpital 34
Tenemos la máscara de L ’Hopital
ĺım
x→0
(ln(z)) = ĺım
x→0
1
1+x
1
= 1
No hemos terminado, podemos permutar el ln con el ĺımite
ln( ĺım
x→0
(z)) = 1 =⇒ ĺım
x→0
(z) = e1
se tomó exponencial en ambos lados de la igualdad.
Se concluye que
ĺım
x→0
(1 + x)1/x = e
Actividad 18. Calcular ĺım
x→1
(
1
ln x
− 1
x− 1
)
Esta máscara es ∞−∞. No se ve L ’Hopital por ninguna parte. Veamos
que sucede buscando un denominador común
ĺım
x→1
(
1
ln x
− 1
x− 1
)
= ĺım
x→1
(
x− 1− ln x
(x− 1) lnx
)
∼ 0
0
35
Nuestro amigo L ’Hopital se hace presente
ĺım
x→1
(
x− 1− ln x
(x− 1) lnx
)
= ĺım
x→1
(
1− 1x
lnx+ x−1x
)
∼ 0
0
reducimos
ĺım
x→1
(
1− 1x
lnx+ x−1x
)
= ĺım
x→1
(
x− 1
x lnx+ x− 1
)
Como de nuevo aparece la máscara 00 , se usa L ’Hopital.
ĺım
x→1
(
1
lnx+ 2
)
=
1
2
4. Problemas de optimización
Con frecuencia es importante determinar el valor máximo o mı́nimo de
una cantidad. Por ejemplo, la mı́nima cantidad de combustible para un
veh́ıculo, la máxima capacidad de un contenedor, el menor tiempo en las
colas de los bancos, etc. Todos estos problemas pertenecen al ámbito de
la optimización. La derivada proporciona métodos eficientes para resolver
muchos de esos y otros problemas.
Sección 4: Problemas de optimización 36
Actividad 19. Determinar dos números cuya suma sea 24 y tales que el
producto de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo.
Se supone que uno de los números es x y el otro es y. Deben cumplir
que x+ y = 24. Se debe hallar el máximo del producto de uno de ellos, x,
por el cubo del otro y3. Esto es, maximizar
M = xy3 =⇒M = x(24− x)3
Usaremos la derivada para dar respuesta al problema
M = x(24− x)3 =⇒M ′ = (24− x)3 − 3x(24− x)2 = 0
Que reducimos a
M ′ = (24− x)2[24− x− 3x] = (24− x)2(24− 4x) = 0
Se deduce que los posibles máximos ó mı́nimos de la función están en x = 24
o en x = 6. La recta real nos proporciona la respuesta
Si x = 6, entonces y = 18. Esos son los números.
Sección 4: Problemas de optimización 37
Actividad 20. Las páginas de un libro deben medir cada una 600 cm2 de
área. Sus márgenes laterales y el inferior miden 2 cm. y el superior mide 3
cm. Calcular las dimensiones de la página que permitan obtener la mayor
área impresa posible.
Un esquema gráfico, siempre ayuda.
Establecemos los siguientes hechos:
Alto de la página impresa: y − 5
Ancho de la página impresa: x− 4
Área impresa: (x− 4) · (y − 5)
Sección 4: Problemas de optimización 38
Debemos maximizar el área impresa de la página
A = (x− 4)(y − 5)
Hay dos variables, se debe buscar y en función de x para reemplazar. Se
sabe que el área es
xy = 600 =⇒ y = 600
x
Por tanto, debemos maximizar
A = (x− 4)(600
x
− 5)
Derivamos e igualamos a cero para determinar puntos cŕıticos
A ′ = (
600
x
− 5) + (x− 4) · (−1)600
x2
= 0
Al multiplicar por x2
A ′ = 600x− 5x2 − 600(x− 4) = 0 =⇒ A ′ = −5x2 + 2400 = 0
Se halla que x =
√
480 ∼ 21, 91. ( el negativo no corre)
Sección 4: Problemas de optimización 39
Finalmente, las dimensiones son: x = 21, 91 e y = 60021,91 = 27, 38
Pasas con 100 % correctas
1. El valor de k que satisface ĺım
x→∞
(
√
4x2 −
√
4x2 + kx− 1) = 4 es:
k = −16 k = 16 k = 8 k = −8
2. El valor de ĺım
x→1+
(
1
lnx
− 2
x2 − 1
)
0 1 −1 2
3. El valor de a para que ĺım
x→0
(
sen(3x)
x2
+
a
x
+ 3x
)
= 0 es:
a = 3 a = 1 a = −1 a = −3
4. La abscisa del punto de la gráfica de la función f(x) =
√
x− 1 que
está a menor distancia del punto (5, 0) es:
Sección 4: Problemas de optimización 40
x = 92 x =
23
5 x =
21
5 x =
22
5
5. Sea f(x) =
2x2
(x+ 1)(x− 2)
. Hallar la alternativa incorrecta:
IR− {−1, 2} es el dominio.
x = 0, x = −4 son puntos cŕıticos.
x = 0 mı́nimo relativo.
y = 2 es aśıntota horizontal.
.
41
5. La integral Indefinida
En la sección anterior hemos resuelto el problema:
dada una función, hallar su derivada
El caso más simple fue
y = x2 =⇒ y ′ = 2x
Ahora, interesa resolver el problema inverso
dada la derivada de una función, hallar la
función
Damos vuelta el ejemplo anterior
y ′ = 2x =⇒ y =?
Si la respuesta es y = x2, se ha encontrado una primitiva de la función.
Si se halla y = x2 + 1, esta es otra primitiva.
Si hallas que la respuesta es
y = x2 + C
Sección 5: La integral Indefinida 42
siendo C una constante, entonces hallaste la primitiva más general, y en
este caso se usa el nombre de Integral Indefinida. Se anota∫
2x dx = x2 + C
El proceso de hallar f ′(x) a partir de f(x) se conoce con el nombre de
derivación. La integración consiste en que dada una función f(x) se deben
buscar las funciones F (x) tales que F ′(x) = f(x). Este es el problema que
pasamos a estudiar.
Definición 5.1 Una función F se llama primitiva o antiderivada de la
función f , si F ′(x) = f(x)
Una función con derivada x2 es F (x) =
x3
3
. Es claro que una función
primitiva no es única, ya que por ejemplo
F (x) =
x3
3
+ 1, F (x) =x3
3
− 7, F (x) = x
3
3
+
1
2
también son primitivas de f(x) = x2. Este hecho conduce a un primer
resultado interesante
Sección 5: La integral Indefinida 43
Definición 5.2 Si F es primitiva de la función f , entonces F (x) + c se
llama integral indefinida de f . Se anota
F (x) + c =
∫
f(x) dx
f(x) se denomina integrando, f(x) ·dx elemento de integración y
∫
es
el signo de integración.
Sección 5: La integral Indefinida 44
5.1. Integrales Inmediatas
Presentamos alguna integrales básicas y también su generalización.∫
1 dx = x+ c
∫
k dx = kx+ c
Actividad 21.
∫
5x dx = 5
∫
x dx = 5 · x
2
2
+ c
∫
xn dx =
xn+1
n+ 1
+ c, n 6= −1∫
fn(x) f ′(x) dx =
fn+1(x)
n+ 1
+ c, n 6= −1
Actividad 22.∫
3x11 dx = 3 · x
12
12
+ c
∫
(x2+11)100 ·2x dx = x
101
101
+c
Se observa que f(x) = (x2 + 11) y que la derivada f ′(x) = 2x
Sección 5: La integral Indefinida 45∫
1
x
dx = ln x+ c
∫
f ′(x)
f(x)
dx = ln x+ c
Actividad 23. Hallar
∫
2x
x2 + 1
dx = ln(x2 + 1) + c
En este caso f(x) = x2 + 1 y la derivada f ′(x) = 2x∫
senxdx = − cosx+ c
∫
f ′(x) sen f(x)dx = − cos f(x) + c
Actividad 24. Hallar
∫
sen 5x dx
Si f(x) = 5x, la derivada f ′(x) = 5. Multiplicamos por 55∫
sen 5x dx =
1
5
∫
5 sen 5x dx = −1
5
cos 5x+ c∫
e x dx = e x + c
∫
ef(x)f ′(x) dx = ef(x) + c
Sección 5: La integral Indefinida 46
Actividad 25.
∫
e2x dx
Aqúı, f(x) = 2x la derivada es f ′(x) = 2. No está el 2 en la integral, lo
agregamos ∫
e2x dx =
1
2
∫
2 e2x dx =
1
2
e2x
∫
cos x dx = sen x+ c
∫
f ′(x) cos f(x)dx = sen f(x) + c
Actividad 26.
∫
x2 cos(x3 + 1) dx
Si f(x) = x3 + 1, entonces f ′(x) = 3x2. Casi casi, falta el 3. Se agrega∫
x2 cos(x3 + 1) dx =
1
3
∫
3x2 cos(x3 + 1)x dx =
1
3
sen(x3 + 1)
Otras integrales
Sección 5: La integral Indefinida 47∫
a x dx =
a x
ln a
+ c∫
tg x dx = − ln(cosx) + c∫
sec2 x dx = tg x+ c∫
dx
1 + x2
= arc tg x+ c
∫
dx
a2 + x2
=
1
a
· arc tg x
a
+ c
∫
csc2 x dx = − cotg x+ c
∫
dx√
a2 − x2
= arc sen
x
a
+ c
∫
secx dx = ln(secx+ tg x) + c
∫
cscx dx = − ln(cscx+ cotg x) + c
5.2. Propiedades de la integral
La siguiente proposición da a conocer como se relacionan la integral
indefinida con la diferencial.
Proposición 5.3 Sea F función primitiva de f , entonces
1.
d
dx
(∫
f(x) dx
)
= f(x) 2.
∫
k · f(x) dx = k ·
∫
f(x) dx
3.
∫
(f(x) + g(x)) dx =
∫
f(x) dx+
∫
g(x) dx
Sección 5: La integral Indefinida 48
5.3. Dos Métodos Fundamentales
Los métodos de sustitución e integración por partes son la base de todos
los demás métodos, ya que el resto son una combinación de uno de estos
dos, o ambos, más algún truco algebraico.
5.4. Método de sustitución
Este método de cálculo sirve para “simplificar” integrandos, en el sentido
de que una sustitución de variable haga la integral que se está calculando
semejante a una integral básica. En la práctica este método opera facil-
mente. Sólo se debe tener presente que el integrando corresponda a una
función compuesta, y que al tomar una sustitución, la diferencial de ella
esté presente en el integrando, salvo el producto por una constante.
Actividad 27. Hallar
∫
dx
3x+ 5
.
Si hacemos z = 3x+ 5, dz = 3dx, de lo cual dx = dz3 . Se tiene:∫
dx
3x+ 5
=
1
3
∫
dz
z
=
1
3
ln z =
1
3
ln (3x+ 5) + c
Sección 5: La integral Indefinida 49
Pasas con 100 % correctas
1. El valor de
∫
(2x− 3)1/2 dx es:
3
2
(2x− 3)3/2 + c 1
3
(2x− 3)3/2 + c
2
3
(2x− 3)3/2 + c 1
2
(2x− 3)3/2 + c
2. El valor de
∫
dx
(2x− 1)2
es:
1
2
· 1
2x− 1
+ c
3
2
· 1
2x− 1
+ c
−3
2
· 1
2x− 1
+ c −1
2
· 1
2x− 1
+ c
Sección 5: La integral Indefinida 50
3. El valor de
∫
x dx√
5 + 2x2
es:
3
2
√
5 + 2x2 + c
1
8
√
5 + 2x2 + c
1
2
√
5 + 2x2 + c
1
4
√
5 + 2x2 + c
4. El valor de
∫
cos 5x dx es:
2
5
sen(5x) + c
1
5
sen(5x) + c 5 sen(5x) + c
1
5
cos(5x) + c
5. El valor de
∫
sen3 x · cos x dx es:
sen4(x)
4
+ c
sen4(x)
2
+ c
sen3(x)
3
+ c 4 sen4(x) + c
6. El valor de
∫
dx
3x
es:
3 lnx+ c
1
3
lnx+ c
1
2
lnx+ c
1
2
lnx+ c
Sección 5: La integral Indefinida 51
7. El valor de
∫
x sen (5x2) dx es:
− 1
10
cos(5x2) + c −10 cos(5x2) + c
10 cos(5x2) + c −1
5
cos(5x2) + c
.
Sección 5: La integral Indefinida 52
5.5. Integración por partes
Este método funciona cuando se tiene un integrando que es el producto
de dos o más funciones reales de clase ζ1 (derivada continua). Tiene su
origen en la diferencial de un producto de funciones.
d(u · v) = u · dv + v · du =⇒ u · dv = d(u · v) − v · du
de donde se obtiene
Esta expresión es la que ilustra el método. El trabajo consiste ahora en
la elección de la función u adecuada, la que se puede hacer de acuerdo a
la sigla LIATE. Esto es, el mejor orden es elegir en primer lugar, funcio-
nes Logaritmo, luego funciones Inversas trigonométricas, después funciones
Sección 5: La integral Indefinida 53
Algebraicas, posteriormente funciones Trigonométricas, y finalmente, fun-
ciones Exponenciales. Esto, en la medida en que ellas aparezcan como parte
del integrando. Se muestran algunos ejemplos para ilustrar la forma en que
se eligen las funciones u y dv.
Actividad 28. El integrando de
∫
x cos dx es un producto entre una fun-
ción algebraica y otra trigonométrica. Por ello, y de acuerdo con la sigla
LIATE, consideramos u = x, du = dx, dv = cosx dx, v = senx, para tener∫
x cos x dx = x sen x −
∫
sen x dx
= x sen x + cos x + c
Actividad 29. El integrando de
∫
x ex dx es un producto entre una función
algebraica y otra exponencial. De acuerdo con la sigla LIATE, considera-
mos u = x, du = dx, dv = ex dx, v = ex, para tener∫
x ex dx = x ex −
∫
ex dx
= x ex − ex + c
Sección 5: La integral Indefinida 54
Pasas con 100 % correctas
1. El valor de
∫
lnx dx es:
x lnx+ x+ c x lnx− x+ c x2 lnx− x+ c x lnx− x
2
+ c
2. El valor de
∫
x3 lnx dx es:
x4
4
lnx
x4
16
+ c
x4
4
lnx
x4
8
+ c
x4
8
lnx
x4
16
+ c
x4
2
lnx
x4
16
+ c
3. El valor de
∫
(2x− 5 senx) dx es:
(5 + 2x) cosx+ 2 senx+ c (5− 2x) cosx+ 2 senx+ c
(5− 2x) cosx− 2 senx+ c (5 + 2x) cosx− 2 senx+ c
.
55
6. Integral definida: área bajo una curva
La integral definida permite cal-
cular el área del recinto limitado,
en su parte superior por la gráfi-
ca de una función y = f(x), con-
tinua y no negativa, en su parte
inferior por el eje x, y en los late-
rales por las rectas x = a y x = b.
Es decir, el área del recinto colo-
reado que muestra la figura.
6.1. Sumas de Riemann
Las sumas de Riemann son un método para aproximar el área total bajo
la gráfica de una curva. Esta aproximación se realiza utilizando rectángulos.
Llevadas al ĺımite se obtiene la integral de Riemann.
Actividad 30. Usar rectángulos para estimar el área bajo la parábola y =
x2, desde x = 0 hasta x = 1
La figura 1 muestra la región a la cual hallaremos su área.
Sección 6: Integral definida: área bajo una curva 56
Un primer rectángulo que podemos construir es el cuadrado de lado
1 (figura 2). Como éste tiene área 1, entonces el área de la región pedi-
da es menor a 1. Una mejor aproximación es dividir el intervalo [0, 1] en
subintervalos
[0, 14 ], [
1
4 ,
1
2 ], [
1
2 ,
3
4 ], [
3
4 , 1]
y levantar perpendiculares hasta la curva (figura 3). Ahora podemos formar
rectángulos de base 14 y altura igual a los valores de la función f(x) = x
2
en los puntos extremos de la derecha de los subintervalos (figura 4). Cada
rectángulo tiene un ancho de 14 , y las alturas son
1
16 ,
1
4 ,
9
16 y 1.
Sección 6: Integral definida: área bajo una curva 57
Al sumar estas áreas (suma superior) tenemos la aproximación:
A ∼ 1
4
(
1
16
+
1
4
+
9
16
+ 1
)
=
15
32
Observando la figura 4 notamos que esta área es mayor a la que andamos
buscando. En lugar de usar los rectángulos de la figura 4, vamos a utilizar
los rectángulos de la figura 5, cuyas alturas son los valores de f en los
Sección 6: Integral definida: área bajo una curva 58
puntos extremos de la izquierda de los subintervalos. La sumade las áreas
de estos rectángulos de aproximación (suma inferior) es:
A ∼ 1
4
(
0 +
1
16
+
1
4
+
9
16
)
=
7
32
Tenemos que el área pedida está acotada
7
32
≤ A ≤ 15
32
ver 4. Usando sumas de Riemann calcular el área acotada por y = x2, el
eje x y las rectas x = 0 y x = 1.
6.2. Integral definida
Generalizamos las ideas anteriores.
Sea y = f(x) función con-
tinua en el intervalo [a, b].
Se considera la región R li-
mitada por el eje x, la cur-
va de ecuación y = f(x) y
las rectas verticales x = a
y x = b.
Sección 6: Integral definida: área bajo una curva 59
Se divide el intervalo [a, b] tal como se ve en las figuras.
El conjunto finito de puntos {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} se llama
partición del intervalo [a, b].
En cada uno de los n subintervalos mi representa el mı́nimo de la
función y Mi el valor máximo.
La expresión ∆xi = xi−xi−1, la longitud de la base de cada rectángu-
lo.
Sección 6: Integral definida: área bajo una curva 60
s(f, P ) =
n∑
i=1
mi ∆xi es la suma inferior de f correspondiente a la
partición P .
S(f, P ) =
n∑
i=1
Mi ∆xi es la suma superior de f correspondiente a
la partición P .
En estas condiciones, el área A(R) que andamos buscando satisface que:
n∑
i=1
mi ∆xi ≤ A(R) ≤
n∑
i=1
Mi ∆xi
Si ahora consideramos un proceso de ĺımite (n → ∞ o bien ∆xi → 0),
entonces
ĺım
n→∞
n∑
i=1
mi ∆xi ≤ A(R) = ĺım
n→∞
n∑
i=1
Mi ∆xi = A(R)
Este valor de igualdad de ĺımites se anota∫ b
a
f(x) dx
Sección 6: Integral definida: área bajo una curva 61
y se denomina “integral definida” de la función en el intervalo [a, b].
Definición 6.1 El área de la región acotada por el eje x, las rectas
x = a y x = b y la curva y = f(x) es
A(R) =
∫ b
a
f(x) dx
El cálculo de esta integral se realiza de acuerdo al siguiente resultado:
Teorema 6.2 (Regla de Barrow) Si f es una función continua en el
intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva cualquiera de f , entonces:∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a)
La importancia de esta regla es fundamental, ya que pone en relación las
integrales con las derivadas. Sin embargo hay que advertir que solamente
es aplicable a funciones continuas definidas en intervalos cerrados.
Actividad 31. Hallar
∫ 2
0
x2 dx
La función a integrar es f(x) = x2, los ĺımites de integración son; 0
Sección 6: Integral definida: área bajo una curva 62
el inferior y 2 el superior. El área que estamos calculando es la que se
encuentra bajo la función, sobre el eje x y entre x = 0 y x = 2, tal como lo
muestra la figura siguiente:
Debemos hallar una antiderivada para f(x) = x2. La más simple es
F (x) = x
3
3 . Luego∫ 2
0
x2 dx = F (2)− F (0) =
(
x3
3
)2
0
=
8
3
Sección 6: Integral definida: área bajo una curva 63
Actividad 32. Halla
∫ 4
1
(x− 2) dx
Una primitiva de f(x) = x− 2 es F (x) = x2 − 2x. Luego,∫ 4
1
(x− 2) dx =
[x
2
− 2x
]4
0
su valor es ∫ 4
1
(x− 2) dx = 2
Actividad 33. Hallar a si se sabe que
∫ 1
−1
(ax2 + (a+ 1)x+ 4) dx =
28
3
.
Calculemos la integral∫ 1
−1
(ax2 + (a+ 1)x+ 4) dx =
(
a
x3
3
+ (a+ 1)
x2
2
+ 4x
)1
−1
Al evaluar∫ 1
−1
(ax2 + (a+ 1)x+ 4) dx = a(
1
3
+
1
3
) + (a+ 1)(
1
2
− 1
2
) + 4(1 + 1)
Sección 6: Integral definida: área bajo una curva 64
Al reducir ∫ 1
−1
(ax2 + (a+ 1)x+ 4) dx =
2
3
a+ 8 =
28
3
Luego, el valor de a = 2.
Observación 6.3 Destacamos los siguientes hechos:
Si la función f es positiva sobre el intervalo cerrado [a, b], la integral
definida de la función f sobre dicho intervalo representa el área de
la región limitada por la curva, el eje x y las perpendiculares por los
puntos a y b.
Sección 6: Integral definida: área bajo una curva 65
Si la función f es negativa sobre el intervalo cerrado [a, b], la integral
definida de la función f sobre dicho intervalo representa el área de
la región limitada por la curva, el eje x, y las perpendiculares por los
puntos a y b, pero con signo negativo.
Si la función toma valores positivos y negativos sobre el intervalo
cerrado [a, b], entonces, la integral definida de la función f sobre dicho
intervalo representa la suma de las áreas de las regiones comprendidas
entre la función, el eje de las x, y las perpendiculares por a y b, pero
asignándole a cada una de ellas el signo + o − según que esté por
encima o por debajo del eje x.
66
7. Propiedades de la integral definida
Seguimos conectados con el área de una región y su correspondiente
cálculo por integral definida. Lo que hacemos es hallar propiedades intere-
santes que cumple la integral definida, deducidas, varias de ellas, del hecho
de corresponder al concepto de área. Se considera que las funciones f y g
son integrables sobre el intervalo [a, b]
Si c ∈ [a, b] entonces
∫ c
c
f(x) dx = 0
El área de un rectángulo de base cero y altura f(x) es cero
Si f(x) ≥ 0, entonces
∫ b
a
f(x) dx ≥ 0
El área de una región sobre el eje x es un número positivo
Si k es una constante, entonces las funciones f+g, k·f son integrables
Sección 7: Propiedades de la integral definida 67
sobre [a, b], y se tiene∫ b
a
(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx∫ b
a
k · f(x) dx = k ·
∫ b
a
f(x) dx
El área de una suma es la suma de las áreas
Si f(x) ≤ g(x),∀x ∈ [a, b], entonces∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
g(x) dx
El área bajo la curva f es menor que el área bajo g
Si c ∈ [a, b], entonces∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx
El área del todo es la suma de las áreas de las partes
68∫ b
a
f(x) dx+
∫ a
b
f(x) dx = 0
De esto se deduce que∫ b
a
f(x) dx = −
∫ a
b
f(x) dx
Al restar el todo de un área no queda nada
8. Área entre dos curvas
Por lo visto, se sabe que, si una región R está acotada por una función
real positiva f , el eje x, y las rectas x = a, x = b, el área viene dada por la
integral definida
A(R) =
∫ b
a
f(x) dx
Extendemos este proceso al cálculo del área de un recinto R acotado por
dos o más curvas.
Sección 8: Área entre dos curvas 69
Integración en recintos Rx
Se denomina recinto Rx a áquel en que la variable x vaŕıa entre cons-
tantes y la variable y no lo hace. Esto es,
Rx = {(x, y)/ a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)}
Sección 8: Área entre dos curvas 70
Si f y g son dos funciones continuas en [a, b] y g(x) ≤ f(x) para todo
x ∈ [a, b] (recinto Rx), entonces el área A de la región R limitada por
las gráficas de f y g y las rectas verticales x = a y x = b es
A(Rx) =
∫ b
a
[f(x)− g(x)] dx
En este caso la variable de integración es x, por tanto, un rectángulo genéri-
co dibujado en la región R tiene altura f(x) − g(x) y base ∆x = dx. Su
“diferencial de área” es entonces, dA = (f(x)− g(x)) dx. Se observa que al
sumar todas estas diferenciales se obtiene el área de R. Esto es,
dA = (f(x)− g(x)) dx =⇒ A =
∫ b
a
(f(x)− g(x)) dx
Una forma fácil de recordar es la siguiente:
Área =
∫ b
a
[ curva de arriba - curva de abajo]
Sección 8: Área entre dos curvas 71
Actividad 34. Hallar el área de la región encerrada por las parábolas y =
x2 e y = 2x− x2
Paso 1: Hallar los puntos de intersección entre las dos funciones, resolvien-
do sus ecuaciones simultáneamente. Se hallan que los puntos de intersección
son (0, 0) y (1, 1).
Paso 2: Gráficamos:
Paso 3: Como se observa en la figura, la función que está por encima es
f(x) = 2x − x2 y la que está por debajo es g(x) = x2. Esto es sencillo,
Sección 8: Área entre dos curvas 72
traza una recta vertical y muévela sobre el recinto de integración, si ella
corta SIEMPRE la misma curva superior e inferior, entonces necesitas sólo
UNA integral para calcular el área (lo mismo, con recta horizontal, es válido
para la otra clase de recintos). Esta recta puede jugar el rol del rectángulo
genérico. Luego, el área del recinto es:
A =
∫ 1
0
[
(2x− x2)− x2
]
dx =
1
3
Integración en recintos Ry
Sección 8: Área entre dos curvas 73
Si algunas regiones están acotadas por curvas que son funciones de y
o bien se pueden trabajar mejor considerando x como funciónde y los
rectángulos representativos para la aproximación se consideran horizontales
en lugar de verticales. De esta manera,
Si una región está limitada por curvas de ecuaciones x = f(y), x = g(y)
y las rectas horizontales y = c e y = d, donde f y g son continuas y
f(y) ≥ g(y) para cada y ∈ [c, d] (estamos sobre un recinto Ry), entonces
su área es
A(Ry) =
∫ d
c
[f(y)− g(y)] dy
Que es sencillo de recordar si anotamos:
Área =
∫ d
c
[ curva derecha - curva izquierda]
En algunos problemas es necesario usar una mezcla de diferenciales debido
a que una curva f puede ser mayor que otra curva g en una parte del
intervalo de integración y menor en otra parte de dicho intervalo. Aśı que
ojo con esto.
Sección 8: Área entre dos curvas 74
Actividad 35. Usar rectángulos genéricos horizontales para calcular el
área encerrada entre las curvas f(x) = x y g(x) = x2 en el intervalo [0, 1].
Lo primero es realizar un esque-
ma de la región.
Al trazar el genérico horizontal,
vemos que la curva y = x2 acota
por derecha y que la recta y = x
lo hace por izquierda, de modo
que el área del genérico es
A[genérico) = [
√
y − y] dy
Por tanto, el área total es dada por
A =
∫ 1
0
[
√
y − y] dy =
(
2
3
(y)3/2 − y
2
2
)1
0
=
2
3
− 1
2
=
1
6
Sección 8: Área entre dos curvas 75
Actividad 36. Calcular el área limitada por las curvas f(x) = 4 − (x −
2)2 + 4 y g(x) = x2 en el intervalo [0, 3].
La figura acotada por estas curvas es la siguiente
Se observan dos recintos; R1 para x ∈ [0, 2] y R2 para x ∈ [2, 3].
Genéricos verticales
Se necesita un genérico para cada recinto.
Para el recinto R1, x ∈ [0, 2] el área del genérico es
A(genérico) = [4− (x− 2)2 − x2] dx
Sección 8: Área entre dos curvas 76
Luego, el área del recinto R1 es
A =
∫ 2
0
[4− (x− 2)2 − x2] dx =
∫ 2
0
[4x− 2x2] dx =
(
2x2 − 2
3
x3
)2
0
=
8
3
Para el recinto R2, x ∈ [2, 3] el área del genérico es
A(genérico) = [x2 − (4− (x− 2)2)] dx
Luego, el área del recinto R1 es
A =
∫ 3
2
[x2−(4−(x−2)2)] dx =
∫ 3
2
[x2−4+(x−2)2] dx =
∫ 3
2
[2x2−4x] dx
Para esta última integral se tiene∫ 3
2
[2x2 − 4x] dx =
(
2
3
x3 − 2x2
)3
2
=
8
3
Al sumar las áreas de estos dos recintos tenemos el área total
A = A(R1) +A(R2) =
8
3
+
8
3
=
16
3
Sección 8: Área entre dos curvas 77
Genéricos verticales
Ponemos atención a la figura (b). El recinto R1 necesita solo un genérico,
mientras que el recinto 2 necesita dos genéricos.
Para el recinto R1, el área del genérico es
A(genérico) = [x2 − (4− (x− 2)2)] dx
que debemos cambiar en términos de y
A(genérico) = [
√
y − (2±
√
4− y)] dy
El signo que se debe tomar es menos. Luego,
A(genérico) = [
√
y − (2−
√
4− y)] dy
Aśı, el área total del recinto R1 es
A(R1) =
∫ 4
0
[
√
y − (2−
√
4− y)] dy =
(
2
3
y3/2 − 2y − 2
3
(4− y)3/2
)4
0
Al evaluar
A(R1) = (
16
3
− 8− 0)− (0− 0− 16
3
) =
8
3
Sección 8: Área entre dos curvas 78
Para el recinto R2, necesitamos dos rectángulos genéricos:
Uno para y ∈ [3, 4], y otro para y ∈ [4, 9]
De esta manera, el recinto R2 es una suma de los dos genéricos:
A(genéricos) = [3− (4− (x− 2)2)] dx+ [3− x2] dx
que debemos cambiar en términos de y
A(genéricos) = [3− (2 +
√
4− y)] dy + [3−√y] dy
El signo que se debe tomar es más. Luego, el área total del recinto R2 es
A(R2) =
∫ 4
3
[3− (2 +
√
4− y)] dy +
∫ 9
4
[3−√y] dy
Al calcular
A(R2) =
(
y +
2
3
(4− y)3/2
)4
3
+
(
3y − 2
3
y3/29
)9
4
Al evaluar
A(R2) = (1−
2
3
) + 9− (12− 16
3
) =
8
3
Finalmente, el área total, por genéricos verticales es
A = A(R1) +A(R2) =
8
3
+
8
3
Sección 8: Área entre dos curvas 79
Pasas con 100 % correctas
1. El valor de
∫ 2
1
2x+ 1
x2 + x
dx es:
ln 2 ln
1
2
ln 4 ln 3
2. El valor de
∫ 3
2
1√
x− 1
dx es:
√
2
√
2− 2
√
2 + 2 2
√
2
3. El valor del área acotada por y = x2, y = 2− x y el eje x es:
1
6
3
6
5
6
7
6
.
Sección 8: Área entre dos curvas 80
Pasas con 100 % correctas
1. La parte achurada de la figura 1 tiene área:
13
6
11
6
9
6
7
6
2. La parte achurada de la figura 2 tiene área:
3
√
2
√
2 4
√
2 2
√
2
.
81
Soluciones a los Ejercicios
ver 1(a) En geometŕıa, la ĺınea tangente (o simplemente la tangente) a
una curva en un determinado punto es la ĺınea recta que “sólo toca” la
curva en ese punto.
Sea f una función definida en un cierto intervalo abierto que contiene x = a
y sea P [a, f(a)] un punto fijo en la gráfica de f .
Soluciones a los vers 82
Si tomamos cualquier otro punto Q[b, f(b)] sobre la gráfica de la función,
la recta secante s que pasa por P y Q corta a la gráfica de la función al
menos en estos dos puntos, por lo que no parece sensato pensar en ella como
la tangente, pero en cambio śı parece lógico pensar que si Q estuviese cerca
de P , entonces la recta secante s se aproximaŕıa a la tangente buscada y
podŕıamos entonces pensar en definir la pendiente mt de la recta tangente
en P como el ĺımite de la pendiente de la recta secante s, cuando el punto
Q tendiese al punto P .
La pendiente de la recta secante es
ms =
f(b)− f(a)
b− a
Si hacemos b = a+ h, entonces la figura muestra los cambios
Soluciones a los vers 83
Y la pendiente de la secante toma la forma
ms =
f(a+ h)− f(a)
h
Ahora, si hacemos que h → 0, que equivale a decir que Q → P , sospe-
chamos que debe existir una única recta que sea la posición ĺımite de las
rectas secantes.
Soluciones a los vers 84
La pendiente de la recta secante es
ms = tgα =
f(a+ h)− f(a)
h
Soluciones a los vers 85
al tomar ĺımite cuando h→ 0 se tiene que la pendiente de la tangente es
mt = f
′(a) = ĺım
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
Definición 8.1 Se denomina recta tangente a la curva y = f(x) en el
punto P [a, f(a)] a aquella recta que pasa por P y que tiene pendiente
mt = ĺım
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= f ′(a)
La recta tangente tiene ecuación
y − f(a) = f ′(a)(x− a)
�
Soluciones a los vers 86
ver 2(a) Cuando dos magnitudes x e y están relacionadas mediante la
función y = f(x), entonces la derivada determina el ritmo de cambio de y
respecto a x, es decir, como de rápido crece o decrece y cuando x vaŕıa. Sea
y el espacio que recorre un móvil, y sea x el tiempo transcurrido. Si y(x)
es la posición de un móvil en un instante determinado, la velocidad media
en un intervalo [x, x+ h] es
vm =
distancia recorrida
tiempo del recorrido
=
f(x+ h)− f(x)
h
Ejemplo 8.2 Un auto recorre 20 km en 10 minutos. ¿Cual es la velocidad
media?
En este caso
vm =
20 km
10min
= 2km/min = 120km/hora
Es obvio que el auto no partió ni anduvo siempre a 120 km/h.
Velocidad instantánea La velocidad instantánea, v(t), es la velocidad en
un instante preciso. Para lograr esto, hacemos que el intervalo de tiem-
po transcurrido sea prácticamente cero (t → 0) y miramos cual seria la
Soluciones a los vers 87
distancia recorrida.
v(t) = ĺım
t→0
f(t+ h)− f(x)
h
Aśı, La función velocidad es la función derivada de la función posición (o
espacio).
Ejemplo 8.3 La distancia, en metros, que recorre una persona en función
del tiempo transcurrido es:
f(t) = t2 − t+ 2
Calcularemos la velocidad media en los primeros 5 segundos de mo-
vimiento.
La distancia recorrida en los primeros 5 seg. es
f(5)− f(0) = 22− 2 = 20m/seg.
Por tanto, la velocidad media es
vm =
20
5
= 4m/seg.
Calcular ahora la velocidad instantánea en t = 2 segundos.
Soluciones a los vers 88
La velocidad instantánea a los dos segundos de recorrido es la derivada de
la distancia en el punto
v ′(2) = ĺım
∆t→0
d(∆t+ 2)− d(2)
∆t
= ĺım
∆t→0
(∆t+ 2)2 − (∆t+ 2) + 2− 4
∆t
= ĺım
∆t→0
∆2t+ 4∆t+ 4−∆t− 2 + 2− 4
∆t
= ĺım
∆t→0
∆2t+ 3∆t
∆t
= ĺım
∆t→0
(∆t+ 3)
= 3m/seg
�
Soluciones a los vers 89
ver 3(a)
Proposición 8.4 Sea f una función continua en un intervalo I y derivable
en todos los puntos interiores del intervalo. Se tiene:
1. f es creciente en I si, y sólo si, f ′(x) ≥ 0 para cada x ∈ I.
2. f es decreciente en I si, y sólo si, f ′(x) ≤ 0 para cada x ∈ I.3. Si f ′(x) > 0 para cada x ∈ I, entonces f es estrictamente creciente.
4. Si f ′(x) < 0 para cada x ∈ I, entonces f es estrictamente decreciente.
�
Soluciones a los vers 90
ver 3(b) Aquellos valores que anulan la derivada se denominan puntos
cŕıticos. Estos puntos son los candidatos a máximo y/o mı́nimo �
Soluciones a los vers 91
ver 3(c)
La función f tiene un valor máximo en el punto de abscisa x0 si la
derivada a izquierda de x0 es positiva y a derecha de x0 es negativa
La función f tiene un valor mı́nimo en el punto de abscisa x1 si la
derivada a izquierda de x1 es negativa y a derecha de x1 es positiva
�
Soluciones a los vers 92
ver 3(d) En términos gráficos, una caracterización medianamente acepta-
ble es la siguiente:
Una función f es convexa si al unir dos puntos cualesquiera de la
gráfica, el segmento trazado queda por encima de la gráfica.
Una función es cóncava si al unir dos puntos cualesquiera de la
gráfica, el segmento trazado queda por debajo de la gráfica.
Usando la derivada, la concavidad y convexidad es como sigue:
f convexa ⇐⇒ f ′′ ≥ 0
f cóncava ⇐⇒ f ′′ ≤ 0
�
Soluciones a los vers 93
ver 3(e) Como ya sabemos, existe una triloǵıa de aśıntotas: verticales, ho-
rizontales y obĺıcuas. Ahora usaremos la derivada como elemento de apoyo
para identificarlas.
aśıntota horizontal: La recta y = c es aśıntota horizontal al gráfico
de y = f(x) si y sólo si ĺım
x→±∞
f(x) = c
aśıntota vertical: La recta x = k es aśıntota vertical al gráfico de
y = f(x) si y sólo si ĺım
x→k
f(x) = ±∞
aśıntota obĺıcua: La recta y = mx+n es aśıntota obĺıcua al gráfico
de y = f(x) si y sólo si
• m = ĺım
x→±∞
f(x)
x
• n = ĺım
x→±∞
(f(x)−mx)
Soluciones a los vers 94
�
Soluciones a los vers 95
ver 4 paso 1: Se divide el intervalo [0, 1] en n partes iguales. Esto significa
que cada una de estas partes tiene longitud 1n . Si llamamos xi a los puntos
de la división, se tiene que:
xi =
i
n
De este modo se ha dividido el intervalo [0, 1] en n sub-intervalos Ii =
[xi−1, xi] de longitud
1
n cada uno.
paso 2: En cada intervalo Ii se levanta el rectángulo inscrito al sector
parabólico de mayor altura posible. Este i-ésimo rectángulo inscrito posee
las siguientes propiedades:
base =
1
n
, altura = f(xi−1) =
(
i− 1
n
)2
=⇒ A = 1
n
·
(
i− 1
n
)2
paso 3: De igual forma en cada intervalo Ii se levanta el rectángulo circuns-
crito al sector parabólico de menor altura posible. Este i-ésimo rectángulo
circunscrito posee las siguientes propiedades:
base =
1
n
, altura = f(xi) =
(
i
n
)2
=⇒ A = 1
n
·
(
i
n
)2
paso 4: De los pasos previos, se obtiene que el ?área A que se desea calcular
Soluciones a los vers 96
está acotada como sigue
n∑
i=1
(
1
n
)3
(i− 1)2 ≤ A ≤
n∑
i=1
(
1
n
)3
· i2
Las sumatorias anteriores tienen los valores:
n∑
i=1
i2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
n∑
i=1
(i− 1)2 =
n−1∑
k=0
k2 =
n−1∑
k=1
k2 =
n(n− 1)(2n− 1)
6
Soluciones a los vers 97
Por tanto, el área satisface
1
n3
· n(n− 1)(2n− 1)
6
≤ A ≤ 1
n3
· n(n+ 1)(2n+ 1)
6
que se puede simplificar a
1
n2
· (n− 1)(2n− 1)
6
≤ A ≤ 1
n2
· (n+ 1)(2n+ 1)
6
Al tomar el ĺımite cuando n→∞
1
3
≤ A ≤ 1
3
Se concluye que el área que andabamos buscando es
A =
1
3
�
	Tabla de Contenido
	1 Introducción
	1.1 Derivada de una función en un punto
	1.2 Reglas de cálculo de derivadas
	1.3 Tabla de Derivadas
	1.4 Derivada de una función compuesta
	1.5 Funciones trigonométricas inversas
	1.6 Derivadas laterales - Continuidad y Derivabilidad
	2 Aplicaciones de la derivada
	2.1 Estudio de funciones
	3 Reglas de L'Hpital
	4 Problemas de optimización
	5 La integral Indefinida
	5.1 Integrales Inmediatas
	5.2 Propiedades de la integral
	5.3 Dos Métodos Fundamentales
	5.4 Método de sustitución
	5.5 Integración por partes
	6 Integral definida: área bajo una curva
	6.1 Sumas de Riemann
	6.2 Integral definida
	7 Propiedades de la integral definida
	8 Área entre dos curvas
	 Soluciones a los Ejercicios
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