Para ti, ¿cuál es la interpretación del concepto de derivada de una función?

Esta es una joya de pregunta para el mundo de las matemáticas… Así que daré mi interpretación, a medida que vaya avanzando el post la respuesta se complicará más para los apasionados, pero empezaré sencillo.

Introducción - La pendiente de una recta:

Antes de hablar de derivadas, tenemos que entender qué es la "pendiente de una recta", mira, si te mostrar esta imagen:

Puedes ver que esta recta es más "inclinada" que esta otra recta:

Pero… ¿Cómo hacer esta idea rigurosa? Bueno, si te fijas claramente, y tomas el punto x=1x=1 buscando su pareja en la recta (recordemos que todos los puntos en una recta no son más que puntos relacionados por medio de una ecuación de la forma Ax+By+C=0Ax+By+C=0, donde (x,y)(x,y) es un punto en la recta). En esta última recta verás que su pareja es y=1y=1.

Puedes ver como la pareja (1,1)(1,1) está en la recta. Al igual que la pareja (0,0)(0,0).

Pero NO la pareja, por ejemplo, (1,2)(1,2):

Esta pareja, sin embargo, si está en la primera recta que te mostré:

En ese sentido es que esta recta es más inclinada que la otra, porque la pareja del mismo punto x=1x=1 es más grande en esta recta que en la anterior… pero no es solamente eso, pues, por ejemplo, en la siguiente recta la pareja es más grande que en la anterior, pero no parece más inclinada:

Claramente Y2>Y1Y2>Y1, pero pareciera que la recta gris esta exactamente igual de inclinada que la recta verde, simplemente, movida un poco hacia arriba… Así que ¿Cómo hacemos más formal la idea de que una recta es más o menos inclinada que la otra? Bueno, ahora usaré un teorema simple de la geometría:

Dados dos puntos, una única recta pasa por ambos.

Si lo piensas, esto ocurre porque, con un punto, la recta deja de tener tanta libertad, por ejemplo, las primeras 2 rectas estaban restringidas a pasar por (0,0)(0,0) a diferencia de la última, que pasó por (0,1)(0,1). Y con dos puntos ya puedes "clavar" la recta, porque no hay 2 rectas distintas que pasen por los mismos puntos.

Así que tomemos dos de estos puntos, por ejemplo, (x,y1)(x,y1), (0,0)(0,0). Recordemos que x=1x=1, y1=1y1=1, así que tenemos los puntos (1,1)(1,1), (0,0)(0,0). Tal y como dije antes, una de las ecuaciones que relaciona estas parejas de puntos es:

Ax+By+C=0Ax+By+C=0. Pero esta no es la ecuación que usaré, usaré una más convencional: y=mx+by=mx+b, pero puedes ver que en realidad, ambas sirven para hablar de rectas:

Ax+By+C=0Ax+By+C=0, Ax+By=−CAx+By=−C, By=−Ax−CBy=−Ax−C, y=−ABx−CBy=−ABx−CB, haciendo m=−ABm=−AB, b=−CBb=−CB, llegas a que, para describir una recta, también puedes usar la ecuación:

y=mx+by=mx+b, es decir, una recta son todas las parejas de números (x,y)(x,y) tales que y=mx+by=mx+b, donde m,bm,b son números reales.

En los casos que te mostré arriba, nosotros tenemos que (0,0)(0,0) y (1,1)(1,1) pasan por una de las rectas, así que estos deben cumplir que 0=m0+b0=m0+b y 1=1m+b1=1m+b, para algunos m,bm,b números reales, vamos a calcularlos:

0=m0+b0=m0+b

0=0+b0=0+b

0=b0=b

1=m1+b1=m1+b

1=m+01=m+0

1=m1=m

Así que la recta verde era y=1×x+0y=1×x+0, y=xy=x, y sip básicamente a cada número xx se le asigna como pareja él mismo número.

Bueno ese número y=mx+by=mx+b, la mm es la pendiente de la recta, entre más grande sea dicho número, más inclinada será la recta de forma vertical. Entre más pequeño, más "acostada" será la recta. Mira te muestro a lo que me refiero:

Pendiente 2, es decir, y=2x+by=2x+b. Te dejaré a ti averiguar el bb.

Pendiente 10, esta es claramente más inclinada que la anterior.

Pendiente 0.25, o 1/4, nota como la pareja (4,1)(4,1) está en la recta con pendiente 1/41/4, eso es como mínimo interesante, ¿no?

De hecho, dados dos puntos en la recta, hay una fórmula para calcular la pendiente siempre, dados (x1,y1)(x1,y1), (x2,y2)(x2,y2), la pendiente mm se calcula como:

m=y2−y1x2−x1m=y2−y1x2−x1, puedes comprobar esto para todas las rectas que te he mostrado. Ahora por fin, podemos responder:

RESPUESTAS PRE-CÁLCULO:

• La derivada como "pendiente de la recta tangente":

Dada una gráfica cualquiera, digamos esta:

Decimos que una recta cualquiera es tangente a esta curva en un punto AA en la curva cuando la recta pasa por el punto AA y no vuelve a tocar a la curva.

Se suele decir que la derivada es la pendiente de esta recta tangente, pero por ¿Qué es eso? Bueno, el propósito de la derivada es medir como cambia algo cerca de un punto, como puedes ver, esa recta no se parece mucho a la curva… pero si nos acercamos:

Puedes ver que la curva es prácticamente igual a la recta cuando estamos así de cerca, es decir, que la forma en que la curva cambia es igual a como la recta cambia para valores cercanos al punto AA, así que ahí lo tienes.

La derivada de una curva en un punto AA es la pendiente a la recta tangente en dicho punto.

• La derivada como un acercamiento "infinitesimal":

Toma una gráfica cualquiera, digamos y=x3y=x3.

Y toma un punto en esa gráfica, por ejemplo, (1,1)(1,1).

Si esta gráfica fuera, por ejemplo, tu posición en el tiempo, diríamos que a un segundo t=1t=1 has recorrido un metro s=1s=1, y en general, tu posición dependiendo del tiempo es la ecuación de la gráfica con la que empezamos, s(t)=t3s(t)=t3. Pregunta, ¿Cómo le hace el velocímetro para marcar tu velocidad en cada momento?, bueno, todo el mundo sabe que, dados dos momentos en el tiempo t1t1, t2t2, la velocidad es simplemente:

v=s(t2)−s(t1)t2−t1v=s(t2)−s(t1)t2−t1, el cambio en posición sobre el cambio en el tiempo, como cambia la posición cada segundo. Pensemos en cómo marcar lo que marcaría un velocímetro en el punto t=1t=1, s=1s=1.

Tomemos un punto cerca a t=1t=1, quizá t=1.5t=1.5, puedes calcular que la posición pasados 1.51.5 segundos es 1.53=3.3751.53=3.375.

Tenemos dos puntos, (1,1)(1,1) y (1.5,3.375)(1.5,3.375). Por lo que dije anteriormente, solo hay una recta que pasa por estos dos puntos:

Y la pendiente de esta recta es:

m=s(t2)−s(t1)t2−t1=vm=s(t2)−s(t1)t2−t1=v, la pendiente de esta recta es igual a la velocidad que pasó de este punto al otro… Pero no tan rápido, nota que esa sería la velocidad de no ser por el trozo en verde debajo de la recta, en realidad, la velocidad que marca el velocímetro en ese momento es un poco menor a la de esta recta, pero eso es porque 1.51.5 está muy lejos de 11, así que acerquémonos más:

t=1.1t=1.1, esto es más cercano a la realidad.

t=1.01t=1.01, esta recta está prácticamente pegada a la gráfica.

t=1.001t=1.001, mira lo cerca que están entre sí. Si volvemos a las escalas originales, la recta se ve así:

Puedes notar como pareciera que solamente pasa por el punto (1,1)(1,1), aunque en realidad sabemos que no, si dieramos un paso muy pequeño, algo como εε, algo muy pequeño como 0.00000010.0000001 o algo más pequeño aún. El valor de la pendiente de la recta se acercaría a el valor real de la velocidad que marcaría el velocímetro. A esta velocidad la llamamos velocidad instantánea.

Así que, para terminar esta respuesta, la derivada de la gráfica f(x)f(x) en un punto xx es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x,f(x))(x,f(x)) y (x+ε,f(x+ε))(x+ε,f(x+ε)) donde εε es un valor infinitesimal, es decir, algo infinitamente pequeño pero aún así no es 00.

La derivada de una gráfica f(x)f(x) en el punto x es el resultado del siguiente cálculo:

f′(x)=f(x+ε)−f(x)x+ε−x=f(x+ε)−f(x)εf′(x)=f(x+ε)−f(x)x+ε−x=f(x+ε)−f(x)ε.

Donde εε es un valor infinitesimal (infinitamente pequeño).

• La derivada como un límite:

Pero quizás no quedes satisfecho con la respuesta anterior, pues entre dos números reales (como 00 y 0.00010.0001) siempre habrá un número en el medio (como 0.000010.00001), así que como podemos hablar de esta idea de un valor infinitamente pequeño, pero aún así no es 00, queremos que sea más pequeño que cualquier número mayor a 00. Por esta razón algunos matemáticos tomaban esta idea con pinzas, hasta que Newton y Leibniz la clavaron. Resulta que tu puedes hablar de "a qué se acerca" un valor, sin nunca tocar el valor en sí, me explico: En la derivada que vimos antes:

f′(x)=f(x+ε)−f(x)εf′(x)=f(x+ε)−f(x)ε, si ε=0ε=0, entonces estaríamos dividiendo entre 00, y si ε≠0ε≠0, por más pequeño que fuera, este cálculo solamente sería una aproximación al número real. Así que que hacer… Bueno una posibilidad es generar una secuencia de valores cercanos:

Vamos a tomar, como antes, la derivada de la gráfica s(t)=t3s(t)=t3 en t=1t=1, así que generemos una lista de valores cercanos para algunas elecciones de εε.

Escribiré como f′ε(x)fε′(x) a la aproximación de la derivada al usar un valor en específico de εε.

{f′0.5(1)=4.75,f′0.1(1)=3.31,f′0.01(1)=3.0301,f′0.001(1)=3.0030010000001,...}{f0.5′(1)=4.75,f0.1′(1)=3.31,f0.01′(1)=3.0301,f0.001′(1)=3.0030010000001,...}

Parece que entre más pequeño es este valor de εε, esta secuencia de valores parece acercarse al número 33, será que la velocidad que marca el velocímetro en el momento t=1t=1 es 33, de hecho, déjame cambiar el símbolo de εε por δδ, porque ahora se viene lo bueno:

Imagina una distancia del número 3, puede ser tan pequeña como quieras, algo como εε, bueno, si tomas una elección lo suficientemente pequeña para δδ, verás que, para todo número hh tan pequeño como te puedas imaginar, si

0<|h−0|<δ0<|h−0|<δ entonces |s(1+h)−s(1)h−3|<ε|s(1+h)−s(1)h−3|<ε, pero nota que esta parte de s(1+h)−s(h)hs(1+h)−s(h)h es lo que llamamos la aproximación a la derivada real. Pero nota la aparición del número 33, ese número 33 es la derivada real, porque las aproximaciones pueden estar tan cerca como queramos del número 33. De hecho vamos a demostrarlo:

Tomemos una distancia ε>0ε>0, puede ser tan pequeña como quieras, y tomaremos δδ a ser el mínimo entre el número 11 y ε4ε4 y vemos que si

|h|<ε4≤1|h|<ε4≤1 entonces

|(1+h)3−13h−3|=|1+3h+3h2+h3−1h−3|=|(3+3h+h2)−3|=|3h+h2|=|h||3+h|≤|h|(|3|+|h|)|(1+h)3−13h−3|=|1+3h+3h2+h3−1h−3|=|(3+3h+h2)−3|=|3h+h2|=|h||3+h|≤|h|(|3|+|h|), recordando que |h|<1|h|<1, |h|(|3|+|h|)<|h|(3+|1|)<4|h|<ε|h|(|3|+|h|)<|h|(3+|1|)<4|h|<ε. Luego, con esta secuencia de igualdades, acabamos de probar que efectivamente, sin importar cómo te acerques al punto t=1t=1, siendo tu posición en cada momento tt igual a s(t)=t3s(t)=t3, siempre la velocidad que marca tu velocímetro será 33. A esta velocidad que acabamos de ver se le llama velocidad instantánea. Y visualmente, corresponde a que, la pendiente de la recta a la cual todas esas rectas se acercaban es 33:

Nota como las rectas azules se acercan a ser la verde… Así que la pendiente de la recta verde es tu velocidad instantánea en el momento t=1t=1. Formalmente esto se escribiría como que:

limh→0s(1+h)−s(h)h=3limh→0s(1+h)−s(h)h=3.

Y en general, la derivada de una gráfica f(x)f(x) en el punto tt corresponde con el límite cuando hh tiende a 00 de la pendiente de la recta que pasa por los puntos tt y t+ht+h. Nota como ya no estamos usando valores infinitesimalmente pequeños para esta definición, simplemente estamos viendo a qué se acercan estos valores, puedes interpretar la derivada como la pendiente de la recta tangente al punto tt, con tangente me refiero a que está "besando" la gráfica en ese punto, no la interseca en lugares cercanos. En caso de que la gráfica corresponda a tu posición a lo largo del tiempo, esta pendiente corresponderá con tu velocidad a lo largo del tiempo.

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(h)hf′(x)=limh→0f(x+h)−f(h)h.

A veces escucharás que se refieren a la derivada como la taza de cambio instantánea por que es efectivamente, una excelente aproximación a como cambia la gráfica cerca del punto que elijes.

La derivada de una gráfica f(x)f(x) en un punto xx es el límite cuando hh tiende a 00 del siguiente cálculo:

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(h)hf′(x)=limh→0f(x+h)−f(h)h

Solo cuando el límite existe.

Toqué este tema más en esta otra respuesta, te la recomiendo

Desde aquí las cosas se pondrán interesantes:

RESPUESTAS PRE-CÁLCULO VECTORIAL

• La derivada como el opuesto de la integral:

Solo necesitas saber 2 cosas, toma una gráfica cualquiera, como v(t)=t23v(t)=t23, quizá quieras pensar en esta gráfica como la gráfica de velocidades instantáneas durante un recorrido. Resulta que el área entre esta gráfica y la línea recta corresponde con la distancia recorrida hasta el momento tt, por ejemplo:

El área naranja entre el tiempo t=0t=0 y el tiempo t=2t=2 (la línea gris a la derecha) corresponde a la distancia recorrida en 2 segundos si tus velocidades instantáneas a cada momento fueron v(t)=t23v(t)=t23, no explicaré esto en detalle, por ahora solo quedémonos con el qué sin el por qué.

La integral es una función nueva la cuál nos calculará esta área entre el tiempo t=0t=0 y t=2t=2, la escribiremos así:

V(t)=∫t0v(t)dt=∫t0t23dtV(t)=∫0tv(t)dt=∫0tt23dt

No te preocupes por los símbolos raros por ahora… Simplemente es una función que nos dará esta área naranja desde 00 hasta tt.

Ahora, pensemos en cómo sería un pequeño cambio en esta área cuando cambiamos ligeramente el tt, digamos, le sumamos una cantidad dtdt

¿Cómo cambia el área naranja? Bueno, vemos que se añadió un rectángulo, (y un trocito pequeño que parece un triángulo, pero eso será básicamente nada comparado al rectángulo, además recordemos que queremos ver este cambio para valores de dtdt pequeños). Bueno, si llamamos a la vieja área naranja V(t)V(t), tenemos que la nueva área naranja es igual a:

V(t+dt)=V(t)+ArectanguloV(t+dt)=V(t)+Arectangulo, es decir la nueva área naranja es igual a la vieja área más el área del rectángulo… ¿Y cuál es el área del rectángulo? Es base por altura, la base es dtdt, y ¿la altura? Bueno, mira a la gráfica:

La altura del rectángulo es simplemente la velocidad instantánea en el punto tt, así que tenemos que

V(t+dt)=V(t)+dt∗v(t)V(t+dt)=V(t)+dt∗v(t) cuando dt→0dt→0, O reordenando:

V(t+dt)−V(t)dt=v(t)V(t+dt)−V(t)dt=v(t), es decir, la derivada de esta función que calcula el área debajo de la gráfica v(t)v(t) en el punto tt es exactamente igual a v(t)v(t). Al aplicarle la derivada a la integral, recuperamos la función en sí, esto es obvio cuando te digo que el área debajo de esa curva representa la distancia recorrida, y distancia partida tiempo es exactamente la velocidad… Pero no es tan obvio cuando estás mirando una gráfica cualquiera. Luego,

La derivada es el opuesto de la integral.

Combinando esta respuesta con lo que hemos visto antes, podrías decir que:

La pendiente de la recta tangente a un punto es opuesta a el área desde 0 hasta ese punto.