Me cuesta entender la noción de "derivada" e "integral" ¿Alguien podría explicarme esto de la manera más sencilla posible?

Para entender mejor las nociones de la derivada y la integral de una función, necesitamos saber en qué contexto fueron creadas, y para qué las crearon. Así que aquí vamos:

Supongamos que tuvieras la gráfica de Distancia vs Tiempo de un auto, y esta se viera algo así:

Tu sabes que la distancia del auto cambia con el tiempo, y solamente tienes 2 datos, que la distancia en el momento inicial (es decir, en t=0st=0s) fue de 0m0m, y que, la distancia recorrida por el auto después de tt segundos es:

s(t)=t2s(t)=t2, si te preguntas por qué uso ss para representar la distancia recorrida en lugar de usar dd, es porque la dd tiene un papel muy especial en cálculo, pero no nos adelantemos.

Bueno, si sabemos cuál es la distancia del auto en todo momento, como hallaríamos su velocidad, porque podemos hallarla, ¿no? Tenemos distancia y tiempo. Bueno, antes de ponernos a proponer a buscar velocidades como locos, tenemos que tener claro que es la velocidad en realidad:

La velocidad es el cambio de la distancia en un cierto intervalo de tiempo, es decir:

v=xf−xi△tv=xf−xi△t, Okey genial. Cambiemos esta cosa por nuestra función de distancia, y tenemos que la velocidad en cierto intervalo de tiempo es:

v=s(tf)−s(ti)tf−tiv=s(tf)−s(ti)tf−ti, recordemos que tftf es algún tiempo final y titi es algún tiempo inicial. Y esa v sería la velocidad entre tftf y titi. Puedes pensarlo algo así:

Puedes pensar en la velocidad desde, por ejemplo, en la imagen, ti=1ti=1, tf=2tf=2, así que la velocidad corresponde a:

v=f(tf)−f(ti)tf−ti=22m−12m2s−1s=3msv=f(tf)−f(ti)tf−ti=22m−12m2s−1s=3ms

En la imagen, esta velocidad corresponde a la "pendiente" de la recta azul, puedes pensarlo así, cuando pasa 1 segundo (desde el punto A, mueve un paso a la derecha), como tu velocidad es de 3ms3ms, esto significa que te moviste 3 metros (desde el nuevo punto donde estás, ve 3 pasos hacia arriba, ahí volverás a estar en la recta azul). Pero si te das cuenta, en realidad la recta azul no es exactamente la velocidad que tenía el carro en el momento titi, ¿Por qué? Bueno, si el carro hubiera tenido esta velocidad, después de un pequeño tiempo, digamos, △t=0.01△t=0.01, el carro habría recorrido una distancia de:

s(ti)+v∗(△t)s(ti)+v∗(△t) metros. Es decir:

1m+3ms(0.01s)=1.03m1m+3ms(0.01s)=1.03m, pero en realidad, a los ti+△t=1.01sti+△t=1.01s, el auto había recorrido una distancia de s(ti+△t)=(1.01)2m=1.0201m<1.03ms(ti+△t)=(1.01)2m=1.0201m<1.03m. Así que esta velocidad en realidad es mayor a la verdadera velocidad que el carro tenía en ese momento, la pregunta es… ¿Cómo encontramos la velocidad que el carro tenia en ti=1sti=1s?

Bueno, ya sabemos que la velocidad en algún momento, corresponde con la pendiente de alguna recta en el dibujo… ¿La pregunta es cuál? Bueno, no te diré cómo la encontré, pero la respuesta es esta:

La pendiente de esta recta azul corresponde exactamente a la velocidad que tenía el auto cuando había pasado un segundo. Como podrás ver, más o menos si das un paso a la derecha (mueve por el lado de un cuadrado) tienes que dar 2 pasos hacia arriba para seguir en la recta azul (moverte por 2 veces el lado de un cuadrado del mismo tamaño que antes). Luego, la velocidad en ese momento parece ser exactamente de 2ms2ms. Pero cabe preguntarnos 2 cosas muy importantes:

1. La velocidad mide como cambia la distancia recorrida después de haber pasado un cambio en el tiempo.
2. Si intentáramos calcular la velocidad en titi usando la manera en la que la definimos, obtendremos algo sin sentido:
   
   v=s(ti)−s(ti)ti−ti=12m−12m1s−1s=00v=s(ti)−s(ti)ti−ti=12m−12m1s−1s=00. Esto está estrictamente prohibido en las matemáticas y en cualquier área razonable. Así que no nos sirve de nada esto…

Pero que tal, si te dijera que hay una forma de hallar la velocidad en titi que de hecho, tiene sentido… Bueno, veamos cómo lo haríamos:

El punto rojo es el tiempo que nos interesa, en este caso, ti=1sti=1s. El punto azul es un tiempo final que, OJO, siempre es distinto a nuestro tiempo, es decir que tf≠titf≠ti. Podemos reescribir tftf como ti+△t=tfti+△t=tf. Empezamos desde tiempo que nos interesa y pasa una cierta cantidad de tiempo, que llamamos △t△t, puedes pensar en esta cantidad como 1s,0.5s,0.25s1s,0.5s,0.25s, Y lo que es más interesante, cuando estos dos tiempos están muy cerca entre sí, la velocidad entre ti+△tti+△t y titi está cada vez más cerca de ser la velocidad del carro en el momento exacto titi. Así que podemos pasar a definir la velocidad instantánea en titi como:

v(ti)=s(ti+△t)−s(ti)(ti+△t)−ti=s(ti+△t)−s(ti)△tv(ti)=s(ti+△t)−s(ti)(ti+△t)−ti=s(ti+△t)−s(ti)△t.

Esto definitivamente estaría en la dirección correcta, pero aún falta rellenar un hueco, la velocidad instantanea en titi no es el valor que este cálculo de para una elección cualquiera de △t△t, como por ejemplo, ya vimos que con △t=1s△t=1s la velocidad dada no es igual a la velocidad instantánea del carro en titi, pues sobreestima las distancias recorridas (da distancias más grandes que las que en realidad se recorrieron). Y lo mismo va a pasar para todo △t△t que elijamos… Pero como ya vimos, entre más cerca estén los dos puntos entre sí, entre más pequeño sea △t△t, más cerca es la velocidad entre estos 2 tiempos a la velocidad instantánea en titi del auto. Así que la verdadera velocidad instantánea, es:

v(ti)=s(ti+△t)−s(ti)(ti+△t)−ti=s(ti+△t)−s(ti)△tv(ti)=s(ti+△t)−s(ti)(ti+△t)−ti=s(ti+△t)−s(ti)△t cuando △t→0△t→0. Es decir, la velocidad instantánea es a lo que se acerquen todas estas velocidades cuando △t△t se acerca a 0. OJO, △t≠0△t≠0 nunca, así que esta división tiene perfecto sentido, ¿Eso no es brillante?

Como queremos que la velocidad instantánea sea a lo que se acerque este valor cuando △t△t se acerca a 0, lo escribimos así:

v(ti)=lim△t→0(s(ti+△t)−s(ti)△t)v(ti)=lim△t→0(s(ti+△t)−s(ti)△t)

Lo de limlim es porque esta expresión es un límite, queremos saber que pasa en los casos más extremos, en los "limites" de esto.

Y esta es exactamente la velocidad que tiene el carro en el momento ti=1ti=1, de hecho podemos calcularla, recordemos que s(t)=t2s(t)=t2 es la función que nos dice a qué posición está el carro después de tt segundos:

v(1s)=V=lim△t→0((1+△t)2m−(1)2m△t)=lim△t→0(((1s)2m+2×△t×1m+(△t)2m)−12m△t)=lim△t→0(2×△t×1m+(△t)2△t)v(1s)=V=lim△t→0((1+△t)2m−(1)2m△t)=lim△t→0(((1s)2m+2×△t×1m+(△t)2m)−12m△t)=lim△t→0(2×△t×1m+(△t)2△t)

Como △t≠0△t≠0, podemos cancelar arriba y abajo de la fracción.

v(1s)=lim△t→0(2×1m+△ts)=2×1ms+0ms=2×1s=2msv(1s)=lim△t→0(2×1m+△ts)=2×1ms+0ms=2×1s=2ms

Así que efectivamente, la velocidad del automovil cuando t=1st=1s era exáctamente 2ms2ms. Okey, pensemos cuidadosamente en qué pasó aquí, queríamos hallar la velocidad instantánea del automóvil cuando t=1st=1s. Y aunque no podíamos calcularla directamente utilizando la definición de velocidad, nos dimos cuenta que una aproximación al valor exacto mejoraba cada vez más si dabas pequeños cambios al tiempo. Eso es exctamente lo que es una derivada

s′(t)=v(t)=dsdt=lim△t→0(s(t+△t)−s(t)△t)s′(t)=v(t)=dsdt=lim△t→0(s(t+△t)−s(t)△t), solo que se utiliza dtdt en lugar de △t△t, creo que es para remarcar que el valor que queremos no es específicamente cuando △t△t tiene un valor en específico, si no que pasa entre △t△t tiene valores más y más pequeños. La derivada te da la información sobre la pendiente de una recta en un punto de la función.

En cuanto la integral… Esta respuesta ya se hace larga, pero te diré que tiene que ver con un problema parecido, pero al contrario; dada la función de velocidades instantáneas, ¿Cómo calculamos cuanta distancia ha recorrido en cada momento t?

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