3 Rectas y Planos

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
Unidad 10. Rectas y planos en ℜ2 y ℜ3 
 
 
 En el plano, una recta L está caracterizada por un punto P = (x0, y0) y un vector 
)v,v(v yx=

 que da la dirección de la recta y al que se llama vector director. 
Rectas por el 
origen 
Ejemplo 1 
Consideremos un vector )v,v(v yx=

 
distinto del nulo, con origen en el origen de 
coordenadas. 
Llamamos recta L por el origen en ℜ2 al 
conjunto de los múltiplos de v

. 
Lo anotamos: 
L = {x∈ℜ2: x = t. v

, t ∈ ℜ} 
 
 
Abreviadamente podemos escribir L: x = t. v

 (1) 
expresión que recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta por el origen con 
la dirección de v

 
Si X = (x1, x2) es un punto de la recta L y )v,v(v 21=

, reemplazando en la expresión 
(1), podemos escribir: 



⋅=
⋅=
22
11
vtx
vtx
:L 
que es la ecuación paramétrica de una recta en la dirección de v

que pasa por el 
origen. 
Despejando t en las dos ecuaciones resulta:: 
2
2
1
1
v
x
ty
v
x
t == 
Por lo que es: 
2
2
1
1
v
x
v
x
= con 0v,0v 21 ≠≠ 
expresión que recibe el nombre de ecuación simétrica de la recta. 
 
 
 Ejemplo 2. 
• La ecuación de la recta cuyo vector dirección es v

= (2, -1) es L: x = t (2, -1). 
• Si X = (x1, x2), entonces X tiene la forma: 
(x1, x2) = t (2, -1) 
Dando valores a t, encontramos distintos puntos de L. 
• Si t = 2; (x1, x2) = 2. (2, -1) = (4, -2) 
• Si t = -1; (x1, x2) = (-1).(2, -1) = (-2, 1) 
 
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 En forma análoga, si trabajamos en el espacio y )v,v,v(v 321=

 obtenemos las 
siguientes expresiones de las rectas por el origen: 
• Ecuación vectorial L: x = t. v

 
 • Ecuación paramétrica 





⋅=
⋅=
⋅=
33
22
11
vtx
vtx
vtx
:L 
 • Ecuación simétrica 
L: 
3
3
2
2
1
1
v
x
v
x
v
x
== con 0vy0v,0v 321 ≠≠≠ 
 
 Ejemplo 3. 
• La ecuación de la recta que pasa por el origen y cuyo vector dirección es 
v

= (2, -1, -2) es L: x = t (2, -1; -2). 
• Si X = (x1, x2, x3), es un punto de la recta, entonces X tiene la forma: 
(x1, x2, x3) = t (2, -1, -2) 
Dando valores a t, encontramos distintos puntos de L. 
• Si t = 2; (x1, x2, x3) = 2. (2, -1, -2) = (4, -2, -4) 
• Si t = -1; (x1, x2, x3) = (-1).(2, -1, -2) = (-2, 1, 2) 
• La ecuación paramétrica de la recta es: 





−⋅=
−⋅=
⋅=
)2(tx
)1(tx
2tx
:L
3
2
1
 = 





−=
−=
=
t2x
tx
t2x
3
2
1
 
• Y la ecuación simétrica: 
L:
2
x
1
x
2
x 321
−
=
−
= 
 
 Observación: 
• Decimos que la recta L está generada por v

 o que v

genera la recta L , o 
que v es la dirección de L. 
• Si v

es distinto del vector nulo, L : x = t. v

 y L’ : x = k(t. v

), con k∈ℜ y 
k≠ 0, L y L’ son rectas coincidentes (L = L’) lo que significa que cualquier 
múltiplo no nulo del vector dirección genera la misma recta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UBA XXI. Rectas y planos en ℜ2 y en ℜ3 
 
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Ecuación de la 
recta que pasa 
por un punto P 
En ℜ2 definimos: 
• Dado un punto A = (x0, y0) y un vector no nulo v = )v,v( 21 llamamos recta 
por A en la dirección de v

al conjunto de puntos X = (x, y) tales que AX es 
paralelo al vector v

. 
 
Análogamente en ℜ3: 
• Dado un punto A = (x0, y0, z0) y un vector no nulo v

= )v,v,v( 321 llamamos 
recta por A en la dirección de v

al conjunto de puntos X = (x, y, z) tales que 
AX es paralelo al vector v

. 
 
 Observación: 
• En ℜ2 la recta L que pasa por A en la dirección de v

es el conjunto de 
puntos X = (x, y) tales que X = A + t v

 
• En ℜ3 la recta L que pasa por A en la dirección de v

es el conjunto de 
puntos X = (x, y, z) tales que X = A + t v

 
 
 Si el vector está determinado por dos puntos A y B distintos del origen de 
coordenadas, podemos encontrar el vector equivalente B – A. 
En este caso, la ecuación vectorial de la 
recta que pasa por A y B es: 
L: X = t (B – A) + A 
donde B – A es el vector dirección de L. 
 
 
Las distintas expresiones de la recta que pasa por dos puntos se expresan: 
 En ℜ2 y considerando A = (a1, a2), B = (b1, b2), v = )v,v( 21 con 0v,0v 21 ≠≠ y 
X = (x1, x2), 
 
 • Ecuación vectorial L: x = t. v

+ A 
 • Ecuación paramétrica 



+⋅=
+⋅=
222
111
avtx
avtx
:L 
 • Ecuación simétrica 
L: 
2
22
1
11
v
ax
v
ax −
=
−
 0v;0v 21 ≠≠ 
 
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Análogamente en ℜ3, considerando 
A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), v = )v,v,v( 321 , con 0vy0v,0v 321 ≠≠≠ y 
X = (x1, x2, x3), es: 
 
 • Ecuación vectorial L: x = t. v

+ A 
 • Ecuación paramétrica 





+⋅=
+⋅=
+⋅=
333
222
111
avtx
avtx
avtx
:L 
 • Ecuación simétrica 
L: 
3
33
2
22
1
11
v
ax
v
ax
v
ax −
=
−
=
−
 
 
 Ejemplo 4 
Encontramos la ecuación de la recta de ℜ2 que pasa por A = (-1, 1) y 
 B = (3,2). 
Para ello, escribimos el vector dirección v como B – A. 
v = (3, 2) – (-1, 1) 
 = (4, 1) 
Por lo que la ecuación vectorial de L es: 
L: x = t. (4, 1) + (-1, 1) 
 
 
 Ejemplo 5 
Determinar las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica de la recta L 
siendo L la recta que pasa por (1, 2, -3) y tiene la dirección de v = i – j + 3k. 
Solución 
Hacemos, v = i – j + 3k = (1, -1, 3) y A = (1, 2, -3) 
Entonces: 
o L: x = t. (1, -1, 3) + (1, 2, -3) es la ecuación vectorial de L. 
De la expresión anterior, si X = (x1, x2, x3), 
o la ecuación paramétrica de la recta es: 





−+=
+−⋅=
+⋅=
)3(3.tx
2)1(tx
11tx
:L
3
2
1
 = 





−=
+−=
+=
3t3x
2tx
1tx
3
2
1
 
o Despejando t en las últimas expresiones, obtenemos: 
3
)3(x
1
2x
1
1x 321 −−=
−
−
=
−
 
expresión simétrica de la recta. 
 
 
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 Ejemplo 6 
Consideremos la recta L: x = (2, -1, 3) + t (1, -1, 1) con t número real. 
Decidir si el punto (0, 1, 1) pertenece a la recta. 
Solución 
Cualquier punto que pertenece a la recta lo podemos expresar en la 
forma x = (2, -1, 3) + t (1, -1, 1) 
Para ver si el punto (0, 1, 1) cumple esta condición, debemos encontrar el 
número real t, de modo que: 
(0, 1, 1) = (2, -1, 3) + t (1, -1, 1) 
Operando, es 
(0, 1, 1) = (2, -1, 3) + (t, -t, t) 
 = (2 + t; -1- t, 3 + t) 
Igualando las componentes, resulta el sistema: 





1 = t + 3 
1 = t - 1-
 0 = t + 2 
 
De la primera ecuación es: 
 t = -2 
Al reemplazar en la segunda y en la tercera por t vemos que se cumple la 
igualdad: 
o -1- t = 1  -1-(-2) = 1 
o 3 + t = 1  3 + (-2) = 1 
Por tanto, como se verifican las igualdades para t = -2, el punto (0, 1, 1) 
lo podemos expresar como; 
 (0, 1, 1) = (2, -1, 3) +(-2) (1, -1, 1) 
 
 Ejemplo 7 
Encontrar la ecuación vectorial de las rectas dadas por: 
a. z1
2
3y
1
2x:L1 −=
+
=
−
− 
b. 





=
+=
=
t2z
t32y
3x
:L2 
c. 



=+
=−+
2yx
4zyx
:L3 
Solución 
Para dar las ecuaciones vectoriales hay que encontrar el vector director y el 
punto con que se determina la recta. Veamos cómo hacerlo en cada caso. 
 
 
 
 
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a. z1
2
3y
1
2x:L1 −=
+
=
−
− 
La recta L1 está expresada en forma simétrica. Podemos expresarla como: 
1
1z
2
3y
1
2x:L1 −
−
=
+
=
−
− ya que (1 – z) : (-1) = z - 1 
Los denominadores en la expresión anterior son las coordenadas del vector 
dirección, llamémoslo d

. Porlo que es: 
d

 = (-1, 2, -1) 
Si pasamos a la forma paramétrica 





−=−
=+
−=−
t)1(1z
t23y
t)1(2x
:L2 o bien: 





−−=
−=
+−=
1t)1(z
3t2y
2t)1(x
:L2 
Los términos independientes nos dan las coordenadas del punto P por el que 
pasa la recta. 
P = (2, -3, -1) 
De este modo la ecuación vectorial de la recta es: 
L1: X = (2, -3, -1) + t(-1, 2, -1) 
 
b. La recta L2 tiene por ecuación : 





=
+=
=
t2z
t32y
3x
:L2 
En este caso, la recta está en su expresión paramétrica. La escribimos en 
forma equivalente: 





+=
+=
+=
t20z
t32y
t03x
:L2 
De este modo se observan la componentes nulas del vector dirección y del 
punto. Y se tiene: 
d

= (0, 3, 2) y el punto por el que pasa la recta A = (3, 2, 0) 
De este modo la ecuación vectorial es 
L2 = (3, 2, 0) + t (0,3, 2) 
 
c. En este caso, la recta está expresada en forma cartesiana. 



=+
=−+
2yx
4zyx
:L3 
Debemos intentar establecer alguna relación entre las ecuaciones que nos 
permita encontrar el vector director y el punto por donde pasa la recta. 
 
 
 
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 Reemplazando la segunda ecuación en la primera, resulta 
2 – z = 4 por lo que es z = -2 
Y haciendo x = 2 – y escribimos la ecuación de la recta en forma 
equivalente: 



=+
−=
2yx
2z
:L3 → 



−=
−=
y2x
2z
:L3 
Reordenando las filas: 



−=
−=
2z
y2x
:L3 
El sistema anterior puede pensarse generado por: 
 x = t 2 - y = t z = -2 
Pensando la ecuación de la recta en forma paramétrica 





−=
=−
=
2z
ty2
tx
:L3 
O bien, para hallar las coordenadas del punto y el vector dirección: 





+−=
−+=
+=
t02z
t)1(2y
t10x
:L3 
De este modo, la recta pasa por el punto A = (0, 2, -2) y su vector dirección 
es d = (1, -1, 0). 
Y su ecuación vectorial es L: X = (0, 2, -2) + t (1, -1, 0) 
 
 
 
 • Si L1 y L2 son rectas paralelas en el plano o en el espacio, se dice que L1 
es paralela a L2 si sus vectores dirección son paralelos. 
• Si L1 y L2 son rectas perpendiculares en el plano o en el espacio, se dice 
que L1 es perpendicular a L2 si sus vectores dirección son perpendiculares. 
(equivale a decir que el producto escalar entre sus vectores directores es 
igual a cero). 
 
 
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 Ejemplo 8. 
Decidir si los siguientes pares de rectas son paralelas. 
L1: x = t(1, 0, -2) + (0, 1,2) 






+=
=
+−=
2tx
5x
3t
2
1x
:L
3
2
1
 
 Solución. 
Para saber si las rectas son paralelas debemos ver si lo son sus vectores 
dirección. 
Si v es el vector director de L1 y w

el de L2 debemos ver si v = k. w

(k∈ℜ y 
k≠0) 
• En L1: x = t(1, 0, -2) + (0, 1,2) es el vector director v = (1, 0, -2) 
• En 






+=
=
+−=
2tx
5x
3t
2
1x
:L
3
2
1
 
Los coeficientes de t nos dan las coordenadas del vector director w

, por lo 
que es 




−= 1,0,
2
1w

 
Vemos si se cumple: v = k. w

. 
( )2,0,1
2
11,0,
2
1w −−=




−=

 
 (dividimos cada componente de w

por 
2
1
− ) 
Por lo que resulta que 
v
2
1w

⋅−= 
Y las rectas resultan paralelas. 
 
 Observación: 
• Dos rectas en el espacio se dicen alabeadas si no se cortan ni son 
paralelas. 
• Las rectas alabeadas pertenecen a distintos planos. 
 
 
En la figura las rectas que contienen a las 
diagonales AD y BE son alabeadas. 
 
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Planos en el 
espacio 
Si n

es un vector en ℜ3 distinto del nulo, llamaremos plano por el origen de 
coordenadas, al conjunto de todos los puntos de ℜ3 que representan vectores 
ortogonales a n

. 
Al vector n

se lo llama vector normal al plano. 
 
 En símbolos: 
Π = {x∈ℜ3/ 0nx =⋅

} 
O bien: 
 Π : 0nx =⋅

 ecuación vectorial de Π 
Si )n,n,n(n 321=

 y )x,x,x(x 321=

, la 
ecuación del plano es: 
 Π : 0)n,n,n()x,x,x( 321321 =⋅ 
Y calculando el producto escalar encontramos la ecuación implícita del plano. : 
Π : 0nx,nxnx 332211 =⋅+⋅+⋅ 
 
 Dados un vector n

y un punto P en ℜ3 , la ecuación vectorial del plano Π que pasa 
por P y es perpendicular a n

es: 
Π: (X – P) . n

 = 0 
 Si )n,n,n(n 321=

 y )x,x,x(x 321=

, la ecuación del plano es: 
Π : dnx,nxnx 332211 =⋅+⋅+⋅ donde d = P. n

 
 
 
Observación. 
• El punto P puede o no ser el origen de coordenadas. En caso de serlo 
P. n

= 0. 
• Si P = )p,p,p( 321 , 
• d = P. n

= )p,p,p( 321 . )n,n,n( 321 
 = 3211 np,npnp ⋅+⋅+⋅ 
Lo que nos permite escribir la ecuación implícita del plano: 
Π : 332211 nx,nxnx ⋅+⋅+⋅ = 3211 np,npnp ⋅+⋅+⋅ 
 
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Además 
• Por propiedades del producto vectorial podemos definir el plano Π que 
contiene a los vectores vyu

 en la forma: 
Π: x . ( vxu

) = 0 siendo vxu

≠ 0 
• Para el plano Π que contiene a tres puntos A B y C de modo que los puntos 
no sean colineales 
Π: (X- A) . [(B – A ) x (C – A)] = 0 siendo (B – A ) x (C – A) ≠ 0 
 
 
 
• Si (B – A ) x (C – A) ≠ 0 podemos escribir para el plano Π que contiene a A, 
B y C : 
Π: X = λ(B – A ) + µ(C – A) +A (λ, µ ∈ℜ) 
 
 Resolvemos algunos ejemplos. 
 
Ejemplo 9 
Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto A = (1, 1, 1) y tiene 
como vectores directores a )1,1,1(u −=

y )1,3,2(v −=

 
 
Solución 
• Pasa por el punto A = (1, 1, 1) y tiene como vectores directores a 
)1,1,1(u −=

y )1,3,2(v −=

 
Para encontrar el vector normal al plano, podemos calcular el producto 
vectorial entre vyu

. 
 vxu

= )1,1,1( − x )1,3,2( − = (1-3, -(-1-2), 3+2) 
 vxu

= (-2, 3, 5) 
La ecuación del plano Π que pasa por A = (1, 1, 1) y cuyo vector normal 
es (-2, 3, 5) es: 
 (X – (1,1,1)) . (-2, 3, 5) = 0 
 
 
 
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Haciendo X = (x, y, z) 
Es 
 [(x, y, z) – (1,1, 1)] . (-2, 3, 5) = 0 
 Operando: 
(x – 1, y – 1, z – 1 ) . (-2, 3, 5) = 0 
Calculando el producto escalar: 
(x – 1).(- 2) + (y – 1) . 3 + (z – 1)5 = 0 
-2x + 2 + 3y – 3 + 5z – 5 = -2x + 3y + 5z – 6 =0 
Por lo que la ecuación implícita de Π es: 
-2x + 3y + 5z – 6 =0 
 
 
Ejemplo 10 
Encontrar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A = (-1, 2, 3) 
y B = (3, 1, 4) y contiene al vector )1,0,0(u=

 
Solución: 
Para resolver el problema necesitamos encontrar el vector normal n

 al 
plano determinado por A, B y el vector u

. Esto podemos hacerlo 
buscando el producto vectorial entre AB y u

 
o AB = (3, 1, 4) – (-1, 2, 3) = (4, -1, 1) 
o n

= AB x u

= (4, -1, 1) x (0, 0, 1) 
 = (-1, -4, 0) (por definición de producto vectorial) 
Luego, la ecuación del plano que pasa por A y cuyo vector normal es 
n

= (-1, -4, 0) es 
 [X - (-1, 2, 3)].(-1, -4, 0) = 0 
Haciendo X = (x, y, z) es: 
[(x, y, z) - (-1, 2, 3)].(-1, -4, 0) = 0 
Nos queda: 
(x +1, y – 2, z – 3).(-1, -4, 0) = 0 
Resolviendo el producto escalar: 
- x – 1 - 4y + 8 = 0 
- x - 4y + 7 = 0 
Luego la ecuación del plano que pasa por los puntos A = (-1, 2, 3) y B = 
(3, 1, 4) y contiene al vector )1,0,0(u=

 es: 
Π: - x - 4y + 7 = 0 
 
 
 
 
 
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 Observación 
En la ecuación implícita del plano, los coeficientes delos términos en x, z son las 
componentes del vector normal al plano. 
 
 En el plano del ejemplo anterior de ecuación Π: - x - 4y + 7 = 0, los 
respectivos coeficientes de x, y , z son -1, -4 y 7 que son las 
componentes del vector normal n

= (-1, -4, 0) 
 
Ejemplo 11. 
Resolvemos un problema. 
a. Hallá la ecuación del plano que pasa por P= (1, 7, –2), Q= (4, 5, 0) y 
R= (6, 3, 8). 
b. Encontrá otros tres puntos del plano. 
c. Calcula n para que A = (1, n, 5) pertenezca al plano. 
 
 Solución 
Necesitamos un vector normal al plano que determinan los vectores. 
Dos vectores posibles son: PRyPQ y un vector normal a ellos es el 
resultante del producto vectorial PRxPQ . 
Entonces 
o PQ = (4, 5, 0) –= (3, -2, 2) 
o PR = (6, 3, 8) – (1,7,-2) = (5, -4, 10) 
o PRxPQ = (3, -2, 2) x (5, -4, 10) 
 = (-12, -20, -2) 
La ecuación del plano Π, es: 
(X – (1, 7,-2)) . (-12, -20, -2) = 0 
Si X = (x, y, z) , resulta Π igual a: 
(x – 1, y – 7; z + 2). (-12, -20, -2)= 0 
Desarrollando el producto escalar: 
 (x-1)(-12)+ (y-7)(-20) + (z+2)(-2)=0 
-12x+12-20y +140-2z-4 = -12x-20y - 2z +148 = 0 
O equivalentemente 
 6x +10y+z -74 = 0 
Luego, la ecuación del plano es: 
Π: 6x +10y+z -74 = 0 
 
 
 
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 b. Encontrá otros tres puntos del plano. 
 Cualquier punto del plano tiene la forma: 
 (x, y, 74 - 6x+10y) con x e y en los reales. 
Basta con dar valores a x e y para hallar los puntos pedidos. 
• Si x = y = 0, A = (0, 0, 74) 
• Si x = 1, y = 0 , B = (1, 0, 68) 
• Si x = 0, y = 1, C = (0, 1, 84) 
 c. Calcula n para que A = (1, n, 5) pertenezca al plano 
Si el vector A pertenece al plano debe verificar la ecuación del plano. 
Reemplazamos las coordenadas de A en la ecuación del plano. 
Π: 6x +10y+z -74 = 0 
6. 1 + 10. n + 5 – 74 = 0 
Y despejamos n: 
10n = 63 
 n = 63/10 
Entonces para que A = (1, n, 5) pertenezca al plano, debe ser n = 63/10 
 
 
Paralelismo y 
perpendicularidad 
entre rectas y 
planos 
• Dos planos son paralelos si 
sus vectores normales son 
paralelos. 
 
 
• Dos planos son perpendiculares 
si sus vectores normales son 
perpendiculares. 
 
• Una recta se dice paralela a un 
plano si el vector dirección de la 
recta es perpendicular al vector 
normal del plano. 
• Una recta se dice perpendicular a 
un plano si el vector dirección de la 
recta es paralelo al vector normal 
del plano. 
 
 Ejemplo 12 
Decidir si se intersecan el plano y la recta definidos mediante: 
 Π: 2x-y +3z= 8 
L : 





λ−=
λ+−=
λ+=
z
31y
32x
 
 
 
 
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 Solución 
Si la recta y el plano se intersecan, deben tener un punto en común o estar la 
recta incluida en el plano. 
Si la recta y el plano se cortan en un punto, cualquier punto de la recta debe 
satisfacer la ecuación de Π. 
Reemplazando las coordenadas del punto en las de Π es: 
2(2 + 3λ) – (-1+3λ) – 3 λ = 8 
Operando: 
4 + 6λ + 1 - 3λ -3λ = 8 
5 = 8 
Llegamos a un absurdo, por lo que el plano y la recta no tienen ningún punto 
en común. 
 
 Ejemplo 13 
Encontrá la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -1, 5) y es paralela 
a los planos 
Π: x – 3y + z = 0 y Π’: 2x – y + 3z – 5 = 0 
 
Solución 
Para que la recta sea paralela a los planos, el vector dirección debe ser 
perpendicular a los vectores normales. 
• El vector normal a Π es n

= (1, -3, 1) 
• El vector normal a Π’ es 'n

= (2, -1, 3) 
Sea v

 el vector director de la recta. Como ésta es paralela a los planos Π y 
Π’ , es perpendicular a los vectores normales de cada plano. 
Si calculamos el producto vectorial entre 'nyn

encontramos el vector normal 
buscado. 
v

= 'nxn

= (1, -3, 1) x (2, -1, 3) = (-8, -1, 5) 
Entonces el vector dirección de la recta es v

= (-8, -1, 5) 
Ahora buscamos la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -1, 5) y 
cuyo vector dirección es v

= (-8, -1, 5) 
La ecuación vectorial de la recta es: 
X = t. (-8, -1, 5) + (2, -1, 5) 
Y haciendo X = (x, y, z) encontramos su ecuación paramétrica. 





+=
−−=
+−=
5t5z
1ty
2t8x
 
 
 
 
 
 
 
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Representación 
de planos en el 
espacio 
 Para representar un plano en el 
espacio, podemos buscar su 
intersección con cada uno de los ejes 
coordenados. 
 
 Ejemplo 14 
Queremos representar el plano Π: 2x + 5y + 3z = 30. 
Para buscar los puntos donde éste corta a los ejes observamos que: 
• Los puntos sobre el eje x verifican y = 0, z = 0. Reemplazamos en la 
ecuación del plano y obtenemos x =15. 
Por lo que la intersección con el eje x es el punto (15,0,0) 
• Los puntos sobre el eje y verifican x = 0, z = 0. Reemplazamos en la 
ecuación del plano y obtenemos y = 6. 
Por lo que la intersección con el eje y es el punto (0,6,0) 
• Los puntos sobre el eje z, verifican x = 0, y = 0. Reemplazamos en la 
ecuación del plano y obtenemos z = 10. 
Por lo que la intersección del plano con el eje z es el punto (0,0,10) 
 
 
 
 
 
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