TP Vectores - Recta y plano Ej 11

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UBA XXI Modalidad virtual 
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
11. Encontrá la ecuación del plano 
a. Determinado por los puntos P1 = (2, -1, 0); P2 = (1,2,3) y P3=(-1,0,1) 
b. Que contiene al punto (-5,7,-2) y que es paralelo al plano Π: 3x − 4 y + z = 7 
 
 
Solución y comentarios 
 
Para encontrar la ecuación del plano, necesitamos el vector normal al mismo y un punto. 
a. No tenemos el vector normal pero es posible encontrarlo como resultado del producto vectorial 
con dos vectores del plano. 
Para encontrar dos vectores del plano, consideramos: 3121 PPyPP 
• 21PP = (1,2,3) – (2,-1,0) = (-1, 3, 3) 
• 32PP = (-1, 0, 1) – (2,-1,0) = (-3, 1, 1) 
Y calculamos el producto vectorial entre ellos. 
=3221 PPxPP (-1, 3, 3) x (-3, 1,1) = (0, -8, 8) = n

 
Si X=(x, y, z) es un punto genérico del plano, el plano que pasa por P1 = (2, -1, 0) con vector 
normal n

= (0, -8, 8) es: 
[(x, y, z) - (2, -1, 0)] . (0, -8, 8) = 0 
(x – 2, y + 1, z) . (0, -8, 8) = 0 
Resolviendo el producto escalar: 
 -8(y+1) + 8z = 0 
 -8 y – 8 + 8z = 0 
Dividiendo por -8 y conmutando es la ecuación del plano: 
 y – z + 1 = 0 
 
 
 
b. Sea d

 = AB el vector director de la recta. Entonces es: = (-1,4, 6) – (2, 0,5) = (-3, 4,1) 
Así, el vector director de la recta es d

= (-3, 4,1) 
Para escribir la ecuación de la recta elijo cualquiera de los dos puntos. Por ejemplo A . 
Si X =(x, y, z) es punto de la recta, la ecuación vectorial tiene la forma: 
L: [(x, y, z) – (2, 0, 5) = λ(-3, 4, 1) 
L: (x – 2, y, z – 5) = (-3λ, 4λ, 1λ) 
Igualamos componente a componente para encontrar la ecuación paramétrica. 





λ=−
λ=
λ−=−
5z
4y
32x
 o bien 





λ+=
λ=
λ−=
5z
4y
32x
 
Listo! 
 
El segundo ítem se responde de manera similar. 
Práctico 10 – Parte 3-Rectas y Planos _ Ejercicio 11 1