S07 s1 - Espacio vectorial en R3: El plano vectorial

Vista previa del material en texto

EL PLANO VECTORIAL
ESPACIO VECTORIAL EN ℛ𝟑
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante genera conceptualmente un plano 
basado en conceptos vectoriales, reconoce el vector normal a un 
plano y determina las posiciones relativas entre rectas que no son 
paralelas.
Datos/Observaciones
ESPACIO VECTORIAL EN 𝓡𝟑
RECTAS PLANOS 
EL PLANO
RECTAS Y PLANOS EN R3
• 3 puntos no colineales en el espacio 
generan un plano.
Geométricamente
• 2 vectores no paralelos en el espacio 
generan un plano.
Vectorialmente
1 ECUACIÓN VECTORIAL
Aquella que pasa por un punto 𝑃0 y 2 vectores no 
paralelos 𝑢 y Ԧ𝑣.
2 ECUACION PARAMÉTRICA
A partir del desarrollo de la ecuación vectorial:
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + 𝑡 𝑢1, 𝑢1, 𝑢1 + 𝑟 𝑣1, 𝑣1, 𝑣1
𝑡 ∈ ℝRECTAS Y PLANOS EN R3
3 ECUACIÓN NORMAL
Aquella que pasa por un punto 𝑃0 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 y 
que tiene como vector normal 𝑛 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 .
4 ECUACION GENERAL
A partir del desarrollo de la ecuación vectorial:
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∙ 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 = 0
𝑡 ∈ ℝRECTAS Y PLANOS EN R3
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
La ecuación del plano se 
puede obtener de:
1. Un punto y el vector 
normal.
2. Dos vectores directores y 
un punto.
3. Tres puntos del plano.
Excelente tu 
participación
Desaprende tus 
limitaciones y estate 
listo para aprender.
☺
Ésta sesión 
quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los 
ejercicios 
propuestos de ésta 
sesión y práctica 
con la tarea .
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Hallar la ecuación general del plano que pasa por los puntos 𝐴 −1; 2; 3 , 𝐵 3; 1; 4 y es paralelo al 
vector 𝑢 = 2; 1; 2 .
SOLUCIÓN:
Ԧ𝑣 = 𝐴𝐵 = 4; −1; 1
= 3; 6; −6𝑛 =
𝑖 𝑗 𝑘
2 1 2
4 −1 1
+ − +
𝒫: 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 3 = 0
𝑛 ∙ 𝑃 − 𝑃0 = 1; 2; −2 ∙ 𝑥 + 1; 𝑦 − 2; 𝑧 − 3
= 𝑥 + 1 + 2𝑦 − 4 − 2𝑧 + 6
= 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 3
RPTA: 
RECTAS Y PLANOS EN R3
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Halle la ecuación del plano que pasa por el punto A 6, 0, −2 y contiene a la recta:
𝐿: ቐ
𝑥 = 4 − 2𝑡
𝑦 = 3 + 5𝑡
𝑧 = 2 − 𝑡SOLUCIÓN:
Ԧ𝑣 = 𝐴𝑃0 = −2, 3, 4
𝑛 =
𝑖 𝑗 𝑘
−2 5 −1
−2 3 4
+ − +
𝑃0 = 4, 3, 2
𝑢 = −2, 5,−1
= 23, 10, 4
𝑛 ∙ 𝑃 − 𝑃0 = 23, 10, 4 ∙ 𝑥 − 6, 𝑦, 𝑧 + 2
= 23𝑥 − 138 + 10𝑦 + 4𝑧 + 8
= 23𝑥 + 10𝑦 + 4𝑧 − 130
𝒫: 23𝑥 + 10𝑦 + 4𝑧 − 130 = 0RPTA: 
𝐴
RECTAS Y PLANOS EN R3
𝑛
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO
Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos 
𝑃 = 1,−3, 2 y 𝑄 0, 1, 1 y es paralelo a la recta:
𝐿:
𝑥 − 3
−5
=
𝑦 − 1
2
= 2 − 𝑧
Datos/Observaciones
EL PLANO VECTORIAL