Problemas de calculo vectorial-4

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10 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables10 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables10 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables
26 3x+ z = 3.
27 x− y − z = 5.
28 y = 0.
29 2x+ y − z = 1.
� Encontrar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados:
30 (2, 1, 1), (3,−1, 1), (4, 1,−1).
31 (−5,−1, 2), (1, 2,−1), (3,−1, 2).
32 (2, 1, 0), (0, 0, 7), (2, 1, 1).
33 (1, 3, 0), (−5,−3,−1), (−2, 0, 1).
Solución 32:
La ecuación del plano que pasa por tres puntos dados:
A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), C = (c1, c2, c3),
se puede obtener mediante el determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
x− a1 b1 − a1 c1 − a1
y − a2 b2 − a2 c2 − a2
z − a3 b3 − a3 c3 − a3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
En nuestro caso, la ecuación queda∣∣∣∣∣∣∣∣
x− 2 −2 0
y − 1 −1 0
z 7 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇒ x− 2y = 0.
34 Encontrar la ecuación del plano que contiene a las rectas paralelas:
x− 1
3
=
y + 1
2
=
z − 5
4
,
x+ 3
3
=
y − 4
2
=
z
4
.
� Encontrar un vector que sea perpendicular a los pares de vectores dados:
35 (1, 2,−3), (2,−1, 3).
36 (0, 1, 0), (1, 0, 0).
37 (1, 1, 1), (0,−1, 2).
38 (6,−6, 2), (1, 3,−1).
Solución 35:
0.1 Repaso de geometrı́a del plano y el espacio 11
En el espacio, un vector perpendicular a dos dados se puede obtener
rápidamente a través del producto vectorial, pues dados dos vectores
linealmente independientes u = (u1, u2, u2) y v = (v1, v2, v3), su pro-
ducto vectorial u × v siempre es un vector ortogonal a ambos. Dicho
producto vectorial se calcula mediante el determinante simbólico
(u1, u2, u3)× (v1, v2, v3) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
que representa un vector cuyas componentes son los adjuntos de la
primera fila.
En consecuencia, el vector pedido en este ejercicio es
(1, 2,−3)× (2,−1, 3) =
(∣∣∣∣∣ 2 −3−1 3
∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣−3 13 2
∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣1 22 −1
∣∣∣∣∣
)
,
que resulta el vector (3,−9,−5) que, efectivamente es ortogonal a los
dos vectores iniciales.
� Encontrar un vector paralelo a la recta intersección de los pares de planos
siguientes:
39 2x− y + z = 1, 3x+ y + z = 2.
40 x− y = 1, y + z = 4.
41 4x− y = 0, x+ 4y + z = 5.
Solución 40:
El vector director de la recta determinada como intersección de dos
planos es precisamente un vector ortogonal a los dos vectores normales
a los dos planos. Además sabemos que un vector normal a un plano
de ecuación ax + by + cz + d = 0 es el vector (a, b, c). Por tanto este
problema es similar a los Ejercicios 35–38, en los que se pide un vector
ortogonal a dos dados. El producto vectorial proporciona la respuesta
de manera directa. En este caso concreto se obtiene
(1,−1, 0)× (0, 1, 1) = (−1,−1, 1).
� Encontrar la ecuación del plano que contiene al punto (−1, 2, 3) y es:
42 paralelo al plano XY ,
12 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables12 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables12 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables
43 perpendicular al eje X,
44 perpendicular al eje Y .
Solución 44:
Al buscar un plano perpendicular al eje Y , estamos aportando el dato
del vector normal al plano que debe ser precisamente el eje Y , (0, 1, 0)
(véanse los Ejercicios 20–25). En consecuencia la ecuación del plano
solicitado será
0(x+ 1) + 1(y − 2) + 0(z − 3) = 0,
es decir, y = 2.
45 Consideremos los puntos P = (1, 3,−2) y Q = (1,−1, 2) y el vector
n = (1, 2, 2). Encontrar el punto de intersección de la recta que pasa por
P con dirección n y el plano que pasa por Q perpendicular a n.
Solución 45:
Un punto genérico de la recta que pasa por P y tiene vector director
n es, en forma paramétrica, X = P + tn. Mientras que la ecuación del
plano perpendicular a n que pasa por Q es n ·(X−Q) = 0, donde hemos
usado la notación vectorial X = (x, y, z). Luego si buscamos el punto
intersección tendremos que resolver el sistema:
X = P + tn
n · (X −Q) = 0
}
⇒ n · (P + tn−Q) = 0,
de donde despejamos el valor del parámetro t para obtener
t =
n · (Q− P )
|n|2
,
y por tanto, el punto de la recta buscado será
X = P +
n · (Q− P )
|n|2
n.
En el caso concreto que nos ocupa, resulta que n · (Q − P ) se anula y
consecuentemente el punto solicitado es el mismo P .
� Encontrar el punto de corte de los planos siguientes con los ejes coordena-
dos.