TP Vectores - Recta y plano Ej 32

Vista previa del material en texto

UBA XXI Modalidad virtual 
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
32. Considera los puntos A=(1,1,1), B=(2,0,-1), C=(5,2,1) y D=(4,3,3) 
a. Justificá que los puntos son los vértices consecutivos de un paralelogramo. 
b. Decidí si dicho paralelogramo es un rectángulo. 
 
 
Solución y comentarios 
 
a. Para que el cuadrilátero sea un paralelogramo, sus pares de lados opuestos deben ser 
paralelos e iguales. 
 
 
Los lados del cuadrilátero están contenidos en las rectas determinadas por los puntos: AB; BC; CD 
y DA, por lo que debe ser: 
• recta AB // recta CD 
• recta BC // recta DA 
Y esto será cierto si sus vectores directores son paralelos. 
• En AB es ABd

= (2,0,-1) – (1,1,1) = (1,-1,-2) 
• En CD es CDd

= (4, 3, 3) – (5,2,1) = (-1,1,2) 
AB Y CD son las rectas que contienen a los lados 
opuestos del paralelogramo. 
Se ve que CDd

= k ABd

(es un múltiplo de ABd

) por lo 
que son paralelos. En consecuencia las rectas 
también lo son. 
 
 
recta AB // recta CD 
Del mismo modo se demuestra que recta BC // recta DA 
 
Para ver si las longitudes de los lados son iguales debemos calcular la longitud de los vectores 
directores. Lo hacemos para ABd

 y CDd

 
• 16)2()1(1|d| 222AB =−+−+=

 
• 1621)1(|d| 222CD =++−=

 
 
Por lo que los lados AB y CD son paralelos y tienen la misma longitud. 
 
Análogamente se muestra que los otros dos lados son paralelos y tienen la misma longitud. Por 
lo que concluimos que el cuadrilátero es un paralelogramo. 
 
 
b. Para saber si es un rectángulo, dos lados consecutivos deben ser perpendiculares. Tomemos 
los lados AB y BC. Sus respectivos vectores directores son 
ABd

= (1,-1,-2) y BCd

=(3, 2, 2) 
Si son perpendiculares su producto escalar debe ser cero. Pero 
ABd

. BCd

= (1,-1,-2).(3, 2, 2) = 3 – 2 – 4 = -3 
Con lo que es ABd

. BCd

distinto de cero y concluimos que el paralelogramo no es rectángulo. 
 
 
 
Práctico 10 – Parte 3-Rectas y Planos _ Ejercicio 32 1