TP Integrales Ej 12 g)

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Matemática 
 
Práctico 6 – Integrales - Ejercicio 12_g 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCION Y COMENTARIOS 
 
Resolvemos primero , luego volveremos a la integral definida. Como el integrando es 
una función logaritmo, nos conviene hacer integración por partes. 
∫ + dt)1tln( 2
Llamaremos 
u(t) = ln (t2 + 1), con lo que es u’(t) = t2
1t
1
2
⋅
+
 
v’(t) = 1 con lo que es v(t) = tdt1 =∫
 
Entonces es: 
dt
1t
t2)1tln(.tdt)1t(ln
2
2
22 ∫∫ +−+=+ 
Escribimos de otro modo a 
1t
t2
2
2
+
, haciendo la división indicada: 
 
2t2 t2 +1 
-2t2 -2 
 -2 
 + 2 
 2 - 
1t
2
2 +
 
 0 
 
Así es =
+ 1t
t2
2
2
2 - 
1t
2
2 +
 . 
Reemplazamos en la integral: 
dt
1t
22)1tln(.t
dt
1t
t2)1tln(.tdt)1t(ln
2
2
2
2
22
∫
∫∫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−−+=
+
−+=+
 
Aplicando propiedad de linealidad de la integral: 
Ctarctg2t2)1tln(.t
dt
1t
1dt2)1tln(.tdt)1t(ln
2
2
22
+−−+=
+
−−+=+ ∫∫∫ 
 
Volviendo a la integral definida resulta: 
[ ]1
0
2
1
0
2 tarctg2t2)1tln(.tdt)1t(ln +−+=+∫ 
 
2
22ln
)}0arctg1arctg(2)01(2)]1ln.1()11ln(.1[{
π
+−=
−+−−−+= &
 
12. Calcular las siguientes integrales definidas. 
 g. dt)1t(ln
1
0
2∫ +
1