TP Funciones especiales Ej 20-1

Vista previa del material en texto

UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
Práctico Unidad 5. – FUNCIONES ESPECIALES- EJERCICIO 20 1
SOLUCIÓN Y COMENTARIOS
Recordamos que:
 Encontrar el conjunto de imágenes equivale a encontrar el conjunto de números reales que son
imagen de algún elemento del dominio de la función. Luego para hallar el conjunto de
imágenes igualamos la función a y e intentamos despejar x.
a. x2
1
e)x(f 
 Dominio de f = Domf = – {0} ya que
x2
1 no está definida para x = 0.
 Hacemos f(x) = y, con lo que es:








 x2
1
x2
1
eln)y(lney esto sólo es posible si es y > 0 por definición de la función
logaritmo. (1)
Además por propiedad del logaritmo es:
)e(ln.
x2
1)y(ln   x
)y(ln2
1
x
1)y(ln.2 
Como ln (y) nos queda en el divisor debe ser distinto de cero, y esto se verifica para y 1 pues ln
1 = 0. (2)
Luego de (1) y (2) los elementos del conjunto imagen deben cumplir ser mayores que cero y
distintos de 1. Por lo que es
Imf = (0;+∞)– {1}
 En el gráfico se pueden observar los resultados.
20. Escribí dominio e imagen de f.
2-
e
1
m(x)d.e-4f(x)c.
ef(x).bef(x)a.
x
1
x
3
x
2
x2
1









UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
Práctico Unidad 5. – FUNCIONES ESPECIALES- EJERCICIO 20 2
b. x
2
e)x(f


 Dominio de f = Domf = – {0} ya que
x
2 no está definida para x = 0.
 Hacemos f(x) = y, con lo que es:










x
2
x
2
eln)y(lney esto sólo es posible si es y > 0 por definición de la función
logaritmo. (1)
Además por propiedad del logaritmo es:
)e(ln
x
2)y(ln   - x
)y(ln
2
x
1)y(ln.
2
1 
Como ln (y) nos queda en el divisor debe ser distinto de cero, y esto se verifica para y 1 pues ln
1 = 0. (2)
Luego de (1) y (2) los elementos del conjunto imagen deben cumplir ser mayores que cero y
distintos de 1. Por lo que es
Imf = (0;+∞)– {1}
 En el gráfico se pueden observar los resultados.
c. x
3
e4)x(f


 Dominio de f = Domf = – {0} ya que
x
3 no está definida para x = 0.
 Hacemos f(x) = y, con lo que es:










x
3
x
3
x
3
eln)y4(lne4ye4y
esto sólo es posible si es 4 - y > 0 o bien y < -4 por definición de la función logaritmo. (1)
Además por propiedad del logaritmo es:
)y4(ln
3x
x
3)y4(lneln
x
3)y4(ln


Como ln (4- y) nos queda en el divisor debe ser distinto de cero, y esto se verifica para y 3 pues
ln 1 = 0. (2)
Luego de (1) y (2) los elementos del conjunto imagen deben cumplir ser mayores que cero y
distintos de 1. Por lo que es
Imf = (-; 4)– {3}
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
Práctico Unidad 5. – FUNCIONES ESPECIALES- EJERCICIO 20 3
d. 2
e
1)x(m x
1







Observamos que la función 2
e
1)x(m x
1







se puede escribir como 2e)x(m x
1
 ya que por
propiedad de números reales
a
1a 1  para a0.
Luego analizar la función 2
e
1)x(m x
1







equivale a analizar 2e)x(m x
1

 Dominio de f = Domf = – {0} ya que
x
1 no está definido para x = 0.
 Hacemos f(x) = y, con lo que es:








 x
1
x
1
x
1
eln)2y(lne2y2ey esto sólo es posible si es y > -2 por definición
de la función logaritmo. (1)
Además por propiedad del logaritmo es:
)e(ln.
x
1)2y(ln   x
)2y(ln
1
x
1)2y(ln 


Como ln (y+2) nos queda en el divisor debe ser distinto de cero, y esto se verifica para y -1
pues ln 1 = 0. (2)
Luego de (1) y (2) los elementos del conjunto imagen deben cumplir ser mayores que cero y
distintos de 1. Por lo que es
Imf = (-2;+∞)– {-1}
Y el gráfico de f es: