FRVR

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Marisa Angélica Digión 1 
 
Universidad Nacional de Jujuy 
Facultad de Ciencias Económicas 
Análisis Matemático 
 
 
 
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Capítulo I 
FUNCIÓN REAL 
DE 
VARIABLE REAL 
 
 
 
 
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FUNCIÓN
FUNCIÓN REAL DE 
VARIABLE REAL
Pre-Cálculo
Límite Continuidad
Cálculo
Diferencial Integral 
Función Real de Dos 
Variables Reales
Generalidades
Introducción al Cálculo 
Diferencial 
 
 
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 CONTENIDO 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 1.1 Presentación de Tema 
 1.2 Objetivos 
2. FUNCION REAL DE VARIABLE REAL 
2.1 Función 
 2.1.1 Definición 
 2.1.2 Notación 
 2.1.3 Elementos de la notación 
 2.1.4 Imagen de un elemento del dominio 
2.2 Función Real de Variable Real 
2.2.1 Definición 
2.2.2. Notación 
2.2.3 Elementos de la notación 
i) Dominio (natural) 
ii) Dominio restringido 
iii) Coodominio 
iv) Imagen 
v) Variables 
vi) Expresión analítica 
2.2.4 Valor numérico 
2.2.5 Gráfica cartesiana 
2.2.6 Criterios gráficos 
i) Criterio gráfico para determinar si una curva corresponde a la gráfica cartesiana de una 
función real de variable real, en un dominio determinado A 
ii) Criterios gráficos para determinar el dominio y la imagen de una función, dada por su 
gráfica cartesiana 
iii) Criterio gráfico para determinar, en forma aproximada, el valor numérico de un valor del 
dominio 
2.2.7 Igualdad de funciones 
2.2.8 Características de una función (aspectos analíticos y gráficos) 
 i) Ceros de la función 
 ii) Intervalos de positividad y negatividad 
 
 
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 iii) Intervalos de crecimiento y decrecimiento (Intervalos de Monotonía) 
 iv) Extremos 
a) Extremos Absolutos 
b) Extremos Relativos 
 v) Intervalos de concavidad 
 vi) Punto de inflexión 
 vii) Paridad y simetría 
2.2.9 Clasificación de funciones 
i) Explicita e Implícita 
ii) Algebraica y Trascendente 
2.2.10 Combinación de funciones 
 i) Algebra de funciones 
 ii) Composición de funciones 
3. LAS FUNCIONES, ¿PARA QUE SIRVEN? 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1 PRESENTACIÓN DEL TEMA 
“Consideramos cómo están relacionados todos los sucesos. Cuando vemos el relámpago, escuchamos el 
trueno; cuando oímos el viento, miramos las olas del mar; en el otoño frío, caen las hojas. En todas partes 
reina el orden; de manera que cuando observamos algunos fenómenos podemos prever que otros se 
presentarán" 
 Alfred N. Whitehead 
La idea de la cita precedente motiva, en forma concreta, el inicio del estudio del tema central de este Capítulo: 
las FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL (FRVR). 
Una función es una herramienta que permite concretar la dependencia entre dos o más sucesos variables. Esto 
la convierte en una herramienta de preciado valor para formalizar relaciones entre hechos cambiantes y para 
predecir el comportamiento de algunos de ellos en términos del comportamiento de los restantes. 
Más de una vez, debes haber tenido la oportunidad leer o escuchar afirmaciones del tipo de las siguientes: 
✓ “De acuerdo a la información que proporciona el banco mediante los folletos, el depósito de $ x en caja de 
ahorro a 1 año con un interés de 0,2 % mensual, producirá al cabo de dicho tiempo $ y". 
✓ "Los datos que publicita el correo indican que las nuevas tarifas postales para la carta certificada de entrega 
en 24 horas dependen del peso de la misma" 
✓ “El costo de la factura de gas domiciliario se determina de acuerdo a metros cúbicos que se consumen de 
éste”. 
✓ "El tiempo que demandará la construcción de la obra XX dependerá del número de obreros que trabajen en 
ella". 
✓ “Según la tabla que aparece en la revista CCC y que indica la evolución de la venta de automóviles de los 
últimos 10 años, resulta claro que el número de automóviles que han sido comprados dependen del año en el 
cual se ha realizado la medición”. 
✓ “El diámetro cefálico de una persona depende de su edad”. 
Todos estos enunciados presentan situaciones en las cuales es posible identificar relaciones o dependencias 
entre sucesos variables. 
 
 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 
 
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"El progreso de la ciencia consiste en observar las mutuas dependencias y mostrar con paciente 
ingeniosidad que los sucesos de este mundo que cambian constantemente no son sino ejemplos de unas 
pocas dependencias o relaciones generales llamadas leyes. Ver lo general en lo particular y lo constante 
en transitorio es la meta del pensamiento científico" 
Alfred N. Whitehead 
Intuitivamente, el concepto de función establece la “forma” mediante la cual se produce la vinculación entre 
elementos de dos conjuntos. La naturaleza de dichos conjuntos, entre los cuales se establece la relación 
funcional, puede ser de naturaleza diversa/arbitraria. En particular en la Matemática, interesan aquellos 
conjuntos cuyos elementos son los números, dando lugar en este caso a las FUNCIONES MATEMÁTICAS. 
 
1.2 OBJETIVOS 
✓ Presentar el concepto de Función, en general, y el de Función Real de Variable Real, en particular. 
✓ Realizar el análisis de los aspectos fundamentales que involucra el concepto de Función Real de Variable 
Real que abarca, desde la idea generadora de la misma, hasta el estudio de sus características principales: 
gráficas y analíticas. 
✓ Poner en conocimiento de las operaciones, algebraicas y no algebraicas, que es posible realizar con varias 
Función Real de Variable Real. 
✓ Valorar la utilidad que tiene el concepto de Función Real de Variable Real como instrumento para indicar la 
relación entre las variables que intervienen en un proceso determinista, facilitando su cuantificación 
(modelización). 
 
 
 
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2.1 FUNCIÓN 
2.1.1 Definición 
Dados dos conjuntos A y B de elementos de naturaleza arbitraria, una función definida en el conjunto A y que 
toma valores en el conjunto B es una particular correspondencia entre los elementos del conjunto A y los 
elementos del conjunto B, que cumple con las siguientes condiciones: 
a) Todo elemento del conjunto A tiene uno correspondiente en B. 
b) Este elemento de B es único. 
 
Las condiciones a) y b) que definen a una función se identifican bajo los nombres de: condición de existencia y 
condición de unicidad, respectivamente. Sus correspondientes enunciados simbólicos son los siguientes: 
a)  a  A  b B / (a,b)  f 
(Se lee: “todos de los elementos del conjunto A tiene un correspondiente en B”) 
b) (a, b1) f  (a, b2) f  b1 = b2 
(a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B) 
2.1.2 Notación 
Para identificar a una función, de manera completa, es necesario establecer una notación adecuada. Lo haremos 
de la siguiente manera: 
 f: A → B 
 a → b 
¿Qué representan “f”, “A”, “B”, “a” y “b”? 
2.1.3 Elementos de la Notación 
En la notación indicada precedentemente: 
✓ f: es el nombre de la función. Tambiénla podemos llamar: g, h, etc. 
✓ A: es el conjunto sobre el cual se define la función. Se conoce con el nombre de Domino o Conjunto de 
Partida. Está formado por todos los elementos “a”. 
✓ B: es el conjunto en el cual la función toma sus valores. Recibe el nombre de Coodominio o Conjunto de 
Llegada. En él se encuentran los elementos “b”. 
 
2. FUNCION REAL DE VARIABLE REAL 
 
 
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✓ a: es una letra que representa a todos y cada uno de los elementos del conjunto A. Se la llama Variable 
Independiente. 
✓ b: es una letra que representa a los elementos del conjunto B que son los correspondientes de los elementos 
de A. Se llama Variable Dependiente. ¿Dependiente de qué? Precisamente depende de la variable 
independiente “a”. 
Notas: 
1. Cuando “a” y “b” son números reales, se utiliza una expresión particular que indica que “b” se obtiene a partir 
de “a” por intermedio de la función “f”. De esta manera, se dice que: 
b=f(a): es la expresión analítica que establece la vinculación entre a y b (con “a” y b” números reales). 
2. Existe un conjunto que, aunque no aparece escrito como parte de la notación, también participa en una 
función. Su nombre es Imagen y lo notamos con la letra “I” . Éste es un subconjunto del conjunto B, formado 
por aquellos elementos de B que son los correspondientes de los elementos del conjunto A. Puede suceder que: 
I = B o bien I  B 
2.1.4 Imagen de un elemento del dominio 
Supongamos que la variable independiente “a” tome un valor posible dentro del conjunto A, por ejemplo el 
valor “ao”, o sea: 
a = ao 
Luego, por la función “f”, a este valor “ao” le corresponderá un valor de la variable dependiente al que 
llamaremos “bo”. A este elemento “bo”, perteneciente al conjunto B, se lo menciona de diferentes formas: 
bo es la imagen de ao por f 
bo es el correspondiente de ao por f 
Nota: Si los conjuntos A y B son números reales, a bo también se lo identifica con el nombre siguiente: 
bo es el valor numérico de f en ao 
y se lo indica por: 
 bo = f(ao) 
Podemos resumir, en forma gráfica, lo expresado hasta el momento sobre Funciones mediante un Diagrama de 
Euler-Venn de la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
 
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2.2 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 
Al dar la definición de función, en general, hemos mencionado que los conjuntos A y B pueden estar constituidos 
por elementos de diversa naturaleza. Sin embargo en Matemática interesa definir funciones en las cuales A y 
B sean conjuntos de números, precisamente los números reales y/o un subconjunto de él. Surge entonces un 
particular tipo de función que es la Función Real de Variable Real. 
2.2.1 Definición 
Una Función Real de Variable Real es una particular correspondencia definida en el conjunto A, subconjunto 
propio o no de los números reales (A  R), y que toma valores en el conjunto B de los números reales (B = R), 
tal que a cada elemento del conjunto A  R le corresponde un único elemento del conjunto B = R. 
 
Notas: 
1. El nombre “Función Real” se refiere al hecho que su Coodominio es el conjunto de los números reales. 
2. El nombre “de Variable Real” se refiere al hecho que su Dominio es el conjunto de los números reales o un 
subconjunto de él. 
2.2.2 Notación 
Para indicar una función real de variable real se utiliza una notación semejante a la dada para función, en 
general, la cual se adapta para el caso de la naturaleza real de los conjuntos A y B. Resulta entonces: 
 f : A  R → R 
 x → y = f(x) 
En este caso “x” representa a la variable independiente e “y” a la variable dependiente. Ambas son números 
reales. 
A: Dominio B: Coodominio 
 
 
 
 
 F ) I: Imagen 
 
 
 
 
 
 bo imagen de ao por f/ bo es el correspondiente de ao por f 
 
 
 
 ao 
 
 
bo 
 
 
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2.2.3 Elementos de la Notación 
Definamos, de manera precisa, cada uno de los elementos que forman parte de la notación. 
i) Dominio (natural) 
El conjunto A es el dominio de la función y se define de la siguiente manera: 
A = x  R /  y=f(x)  R  R 
 
ii) Dominio restringido 
Cuando las variables tienen una interpretación específica dentro del contexto de un problema del mundo real, 
el dominio natural habitualmente debe restringirse apropiadamente. Aparece así el concepto de dominio 
restringido. Veamos un ejemplo de este caso: 
Si con x indicamos el radio de una circunferencia y con y la longitud de la misma, esta última (y) resulta una 
función de la primera (x) ya que para cada valor del radio x se obtendrá un único valor de la longitud y, o sea: 
 
 f : A R → R 
 x → y = f(x) = 2  x 
 
Si hacemos abstracción de lo que x representa, podemos decir que el dominio A de esta función f son todos los 
números reales: 
A = R (dominio natural) 
ya que cualquier valor real de x, reemplazado en y = f(x) = 2  x, permite obtener un valor, también real, de y. 
Sin embargo, como en este enunciado, x representa a la longitud del radio de la circunferencia, sus valores 
deben restringirse solo a valores reales positivos ( ¡ya que las longitudes son cantidades positivas! NUNCA 
hablamos de -3 metros, por ejemplo). 
Finalmente: 
 A = (0, +) (dominio restringido) 
De esta manera la función que define a la longitud de la circunferencia en términos del radio es: 
 f : ( 0, +)  R → R 
 x → y = f(x) = 2  x 
iii) Coodominio 
Salvo que se indique lo contrario, se considerará al coodomino de la función (conjunto B) como el conjunto de 
los números reales (R), o sea: 
 
x 
 
 
 
 
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B = R 
iv) Imagen 
El conjunto imagen es un subconjunto, propio o no, del coodominio, o sea, de los números reales y se define 
como: 
I = y  R / y=f(x)  R  x  A  B =R 
v) Variables 
Con “x” se representa a la variable independiente de la función. Con “y” se indica a la variable dependiente 
de la función. 
vi) Expresión analítica 
La relación funcional entre las variables independiente y dependiente queda determinada por “y=f(x)”, la cual 
recibe el nombre de “expresión analítica”. 
2.2.4 Valor numérico 
El valor numérico que asume una función real de variable real (yo) en correspondencia a un determinado valor 
de su dominio (xo) es el que se obtiene al reemplazar xo en la expresión analítica de la función y = f(x), o sea: 
yo = f(xo) 
También se lo indica con la expresión coloquial “yo = f(xo)Nes imagen de x0 por la función f” o “yo = f(xo) es el 
correspondiente de x0 por la función f . 
EJEMPLOS 
Ejemplo 1 
Sea la función real de variable real definida por: f : R → R 
 x → y = f(x) = 2x - 4 
En este caso: 
✓ f: es el nombre de la función 
✓ A = R es el domino de la función (en este ejemplo se explicita el dominio) 
✓ B = R es el coodominio de la función 
✓ x: es la variable independiente 
✓ y: es la variable dependiente. 
✓ y=f(x)= 2x -4 es la expresión analítica que define a la función 
 
 
 
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¡Cuidado!, no confundir “f” que es el nombre de la función con “f(x)” que es expresión analítica que define a la 
misma! 
Si consideramos un elemento del dominio R, por ejemplo xo = 5, su imagen por la función “f” es: 
 yo = f(5) = 2. 5 - 4 = 10 - 4 = 6 
De esta forma: 
 xo=5 yo=f(5)=6 
Ejemplo 2 
Sea la función real de variable real definida por: f : A R → R 
 x → y = f(x) = (x2 + 1)/ x 
En este caso: 
✓ f: es el nombre de la función 
✓ A  R es el domino de la función (en este ejemplo NO se ha explicitado el dominio, hay de determinarlo 
analizando la expresión analítica que define a la función) 
✓ B = R es el coodominio de la función 
✓ x: es la variable independiente 
✓ y: es la variable dependiente. 
✓ y=f(x)= (x2 + 1)/ x es la expresión analítica de la función 
¿Cómo se determina el dominio A de f? O sea, ¿qué valores puede tomar la variable independiente “x”? 
Observemos la expresión analítica que define a la función: 
y = f(x) = (x2 + 1)/ x = 
 𝑥2+ 1𝑥 
Al estar definida mediante un cociente entre dos polinomios, DEBEMOS asegurarnos que el denominador sea 
DISTINTO DE CERO. En este caso: 
 x 0 
(¡ya que sabemos que la división en 0 no está definida!) 
Luego, cualquier valor real de “x” MENOS el 0 (cero), reemplazado en la expresión analítica permitirá obtener 
un valor real de “y”. Por lo tanto el dominio A de la función es: 
 A = R - 0 
Si consideramos, por ejemplo, un elemento de este dominio A: xo = -2, su imagen por la función “f” es: 
yo = f(-2) = [(-2)2 + 1)]/(-2) =
 (−2)2+ 1−2 = - 52 
De esta forma: 
 xo=-2 yo=f(-2)=- (5/2) 
 
 
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Nota: El dominio A de una función PUEDE O NO ESTAR especificado en la notación. Cuando NO ESTA 
ESPECIFICADO, se lo determina observando la expresión analítica que define a la función (cuando la relación 
entre las variables está definida por una). Siempre se supondrá que el dominio es el mayor conjunto de números 
reales para los que la expresión analítica de la función permita obtener un valor real de y. Éste es el dominio 
natural o, simplemente, dominio. 
Ejemplo 3: f :(-3,3)  R → R 
 2x si -3< x < 0 
 x → y =f(x) = 5 si x = 0 
 x2 si 0< x< 3 
En este caso: 
✓ f: es el nombre de la función 
✓ A = (-3,3) es el domino de la función 
✓ B = R es el coodominio de la función 
✓ x: es la variable independiente 
✓ y: es la variable dependiente. 
 2x si -3< x < 0 
✓ y=f(x)= 5 si x = 0 
 x2 si 0< x< 3 
 
es la expresión analítica que define a la función. Observemos que, según sea el valor de “x” que consideremos 
en el dominio, deberemos elegir la "rama adecuada" de esta expresión analítica para determinar su 
correspondiente imagen. Por ejemplo: 
Para xo = -2, la rama a usar es la primera y = f(x) =2x 
 yo= f(-2) = 2 (-2) = -4 
Para xo = 0, la rama a usar es la segunda y= f(x) = 0, 
 yo = f(0) = 5 
Para xo = 5/2, la rama a usar es la tercera y= f(x) = x2 
 yo = f(5/2) = (5/2)2 = 25/4 
Notas: 
1. Según lo visto en el ejemplo precedente, puede suceder que la expresión analítica que define a la función no 
sea una única expresión analítica; puede estar indicada por un conjunto de expresiones analíticas, cada una de 
 
 
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ellas válida para ciertos valores del dominio. Este es el caso donde la función ha sido definida “por ramas” o 
“por partes”. 
2. También puede suceder que la expresión analítica no contenga operaciones algebraicas, sino que esté 
definida por expresiones especiales, como por ejemplo: 
y = f(x) =  x y = f(x) = ex y = f(x) = ln x 
2.2.5 Gráfica Cartesiana 
Sea la función real de variable real definida por: 
 f : A  R → R 
 x → y = f(x) 
La gráfica cartesiana de f está formada por el conjunto de puntos P(x,y) en el plano cartesiano de dos 
dimensiones tales que la ordenada es “y=f(x)” con abscisa “x” perteneciente al dominio A de la función. 
 
En símbolos esto lo expresamos de la siguiente forma: 
 
 Graf (f) = P(x,y)  R2/ y= f(x)  x  A 
 
La serie de pasos que habitualmente realizamos para construir la gráfica cartesiana de una función real de 
variable real es la siguiente: 
➢ Consideramos la expresión analítica que establece la relación analítica entre las variables “x” e “y”, o sea y= 
f(x). 
➢ Confeccionamos una tabla de valores que muestre, en los encabezados de cada columna, los siguientes: 
 
Valores posibles 
de la 
variable independiente: 
xi 
 
Valores 
que se obtienen 
de la variable 
dependiente: 
yi= f(xi) 
Pares ordenados 
formados por los valores 
particulares de las 
variables: 
(xi , yi) 
Puntos pertenecientes a 
la gráfica cartesiana de 
la función en el plano R2: 
Pi (xi , yi ) 
x1 y1 = f(x1) (x1, y1) P1 (x1, y1) 
x2 y2 = f(x2) (x2, y2) P2 (x2, y2) 
x3 y3 = f(x3) (x3, y3) P3 (x3, y3) 
. 
. 
. 
 . 
. 
. 
. 
. 
. 
xn yn = f(xn) (xn, yn) Pn (xn, yn) 
 
 
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➢ Marcamos los puntos Pi (xi, yi ) en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. 
➢ Generamos la gráfica cartesiana de la función, tomando en cuenta si los puntos Pi (xi, yi) deben ser unidos, o 
no, mediante una línea continua (esto dependerá siempre del dominio de la función). 
Nota: ¿Cuántos valores debemos asignar a la variable independiente “x”? 
La cantidad de valores que se asigna a la variable independiente “x” a los efectos de confeccionar la gráfica 
cartesiana de una función, constituye uno de los inconvenientes de representarla utilizando este procedimiento 
de trazado de puntos ya que: si elegimos pocos valores, corremos el riego de desfigurar la gráfica de la función 
y si consideramos muchos valores, se afina el gráfico pero el cálculo es más tedioso. Más adelante, encontrarás 
en este material impreso elementos alternativos que te permitirán “prescindir” de la cantidad de puntos que 
necesitas ubicar para marcar la gráfica cartesiana de una función. Por ahora consideremos “conveniente”, 
determinar entre tres y seis valores de “x”, de acuerdo a la complejidad de la expresión analítica que define a la 
función. 
 
EJEMPLOS 
Construir la gráfica cartesiana de las siguientes funciones. 
Ejemplo 1 f: R → R 
 x → y = f(x) = 3x -1 
 
Valores posibles de la 
variable independiente: 
xi (R) 
Valores que se obtienen 
de la variable 
dependiente: 
yi= f(xi)=3xi-1 
Pares ordenados 
formados por los 
valores particulares de 
las variables: 
(xi , yi) 
Puntos pertenecientes a 
la gráfica cartesiana de 
la función: Pi (xi , yi ) 
-2 3(-2)-1= -7 (-2,-7) P1(-2,-7) 
0 3(0) -1= -1 (0,-1) P2 (0,-1) 
1 3(1) -1= 2 (1,2) P3 (1,2) 
 
 
 y 
 y = f(x) = 3x -1 
 2 
 
 
 -2 1 x 
 
 
 
 
 
 -7 
 
P1 
P2 
P3 
O 
 
 
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Nota: En este ejemplo solo se consideran tres punto ya que se identifica a la expresión y = 3x -1 como la 
correspondiente a la ecuación de una recta (requiere solo dos puntos para ser determinada). 
 
Ejemplo 2: f: [-4, 4] → R 
 
 1 si-4  x < 0 
 x → y = f(x) = 2 si x = 0 
 3 si 0 < x  4 
 
Valores posibles de la 
variable independiente: 
xi (R) 
Valores que se obtienen 
de la variable 
dependiente: 
yi= f(xi)=3xi-1 
Pares ordenados 
formados por los 
valores particulares de 
las variables: 
(xi , yi) 
Puntos pertenecientes a 
la gráfica cartesiana de 
la función: Pi (xi , yi ) 
-4 1 (-4,1) P1 (-4,1) 
-1 1 (-1,1) P2 (-1,1) 
0 2 (0,2) P3 (0,2) 
2 3 (2,3) P4 (2,3) 
4 3 (4,3) P5 (4,3) 
 
 
 y 
 
 3 y=f(x) 
 2 
 1 
 
 
 x 
 -4 -1 O 2 4 
 
 
Nota: Observar que los “puntos vacíos” de la gráfica se corresponden a los puntos del intervalo de definición de 
la rama que no están incluidos. 
 
Ejemplo 3: f: R → R 
 x → y = f(x) = x2 
 
Valores posibles de la 
variable independiente: 
xi (R) 
Valores que se obtienen 
de la variable 
dependiente: 
yi= f(xi)=3xi-1 
Pares ordenados 
formados por los 
valores particulares de 
las variables: 
(xi , yi) 
Puntos pertenecientes a 
la gráfica cartesiana de 
la función: Pi (xi , yi ) 
-2 (-2)2= 4 (-2,4) P1 (-2,4) 
-1 (-1)2= 1 (-1,1) P2 (-1,1) 
0 (0)2 = 0 (0, 0) P3 (0, 0) 
1 (1)2= 1 (1, 1) P4 (1, 1) 
2 (2)2= 4 (2,4) P5 (2,4) 
 
P1 P2 
P3 
P4 P5 
 
 
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 y 
 y = x2 
 4 
 P1 P5 
 
 
 
 P2 1 P4 
 
 P3 
 -2 -1 1 2 x 
 
 
Notas: 
1. La gráfica de una función también puede ser generada utilizando una calculadora gráfica o un software 
matemático, por ejemplo, el GRAPHMATICA. Si dispones de alguno de ellos y deseas interiorizarse de su 
funcionamiento, consulta con el docente de qué forma realizarla. 
2. Existen algunas funciones "muy populares" por su uso, aplicación e importancia. Resulta sumamente útil que 
te familiarices tanto con sus expresiones analíticas como con sus gráficas cartesianas. ¿Por qué? El motivo radica 
en el hecho que retomaremos el tratamiento de las mismas en diferentes momentos de nuestro estudio y desde 
distintos puntos de vista. Entonces será necesario que en forma "casi inmediata" las recuerdes. Te presentamos 
a continuación seis de ellas: 
 
y y y 
 
 y=f(x)=x y=f(x)=x2 y=f(x)=x3 
 
 
 
 O x O x O x 
 
 
 
 
y y y 
 
y=f(x) =  x y=f(x) = x y=f(x) =1/x 
 
 
 
O x O x O x 
 
 
 
 
¡Puedes comprobar que cada gráfica responde a su correspondiente expresión analítica confeccionando la tabla 
de valores (procedimiento de trazado de puntos) o usando el GRAPHMATICA! 
 
 
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2.2.6 Criterios gráficos 
Las representaciones gráficas, en general, tienen la importante virtud de ser las aliadas fundamentales que 
permiten plasmar ideas en forma concreta. La gráfica cartesiana de una función no es una excepción a este 
criterio. Más aún, en muchos casos, constituye el primer elemento al que se recurre para introducir, explicar o 
interpretar conceptos. 
Lo antedicho es uno de los motivos por los cuales resulta imprescindible adquirir la capacidad de distinguir, en 
forma visual, si una representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales corresponde 
al de una función real de una variable real. De la misma forma, identificada la misma como tal, resulta útil 
deducir el dominio, la imagen y, en forma aproximada, el valor numérico de la función en un punto de su 
dominio. 
Bajo el nombre de Criterios Gráficos enunciaremos a continuación una serie de pautas que se aplican para 
determinar los fines anteriormente explicitados. 
i) Criterio gráfico para determinar si una curva corresponde a la gráfica cartesiana de una función real de 
variable real, en un dominio determinado A (prueba de la recta vertical) 
Consideremos una curva cualquiera graficada en el sistema de coordenadas cartesiano ortogonal y referida a un 
cierto conjunto A: 
 
 Y C 
 
 
 
 
 
 
 
 O x 
 
 A 
 
¿Es esta curva la representación gráfica de una función real de una variable real definida en un el dominio A? 
Para responder a esta pregunta procedemos de la siguiente forma. 
Por un punto x del eje OX, y perteneciente al conjunto bajo análisis A, trazamos una recta vertical. Si ésta 
intersecta a la curva en un solo punto, dicha curva es la gráfica cartesiana de una función1 en el dominio en 
consideración A. Si la recta vertical no intersecta a la curva o bien lo hace en más de un punto, entonces la 
curva no representa a una función real de una variable real. 
 
1 Esto tiene sentido y responde a la definición de función si pensamos que lo que se analiza es si a cada valor de x le 
corresponde exactamente un valor de y 
 
 
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EJEMPLOS 
Aplicar la prueba de la recta vertical para determinar si las siguientes curvas corresponden a la representación 
gráfica de funciones definidas en el conjunto de los números reales (o sea A=R): 
 
 
a) y C 
 
 
 
 
 
 
 O x 
 
 
b) y 
 
 C 
 
 
 
 
 O x 
 
 
 
c) y 
 C 
 
 
 
 
 
 a O b x 
 
 
Entonces: 
 
 
 y 
a) C 
 P 
 
 
 
 
 
 O r x 
 
 
 
 
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Observamos que cualquiera sea el punto “x” sobre el eje OX que se considere (x  R –conjunto bajo estudio-), la 
recta vertical r trazada por el mismo, intersecta a la curva en un solo punto: P. Luego la curva es representación 
gráfica de una función real de una variable real definida en los reales. 
 
b) y 
 C 
 P2 
 
 P1 
 P3 
 
 O x 
 
 P4 
 r1 r2 
 
 
En este caso, la curva no es la representación gráfica de una función definida en los reales ya que si bien al 
considerar rectas como r1 éstas cortan a la curva en una solo punto (P1), no sucede lo mismo al tomar en cuenta 
rectas como r2 que intersectan a la curva en más de un punto (P2 , P3 y P4). 
 
c) 
 
 y 
 C 
 
P 
 
 
 
 a O b x 
 r1 r2 
 
Tampoco en este caso, la curva es la representación gráfica de una función definida en los reales ya que si bien 
al considerar rectas como r1 éstas cortan a la curva en una solo punto (P), no sucede lo mismo al tomar en cuenta 
rectas como r2 que no intersectan a la curva. 
Nota: Si en el ejemplo c) cambiamos el conjunto bajo consideración A=R, o sea, si el análisis que realizamos 
consiste en averiguar si la curva es la representacióngráfica de una función real de una variable real definida en 
el intervalo cerrado A= [a,b], entonces sí es la curva es la gráfica cartesiana de una función en dicho dominio 
A= [a,b]. 
Este ejemplo nos deja como enseñanza que es de vital importancia indicar de antemano en qué conjunto A se 
analiza si la línea es o no la gráfica cartesiana de una función. 
 
 
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ii) Criterios gráficos para determinar el dominio y la imagen de una función, dada por su gráfica cartesiana 
Supongamos que afirmamos la siguiente gráfica cartesiana representa a una función real de una variable real: 
 
 
 y y=f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 O x 
 
Recordemos que el dominio de una función está formado por todos los valores que puede asumir la variable 
independiente “x”. Por lo tanto, en el sistema de coordenadas cartesianas deberemos mirar en el eje de las 
abscisas OX para determinar estos valores. ¿Cuáles son esos valores? Precisamente son aquellos que surgen al 
proyectar la gráfica cartesiana de la función sobre dicho eje. El intervalo que así se obtiene será el dominio de 
la función. O sea: 
 y y=f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a b x 
 
 Dominio de f = A= [ a, b ] 
 
¿Cómo determinamos la imagen de la función? Lo hacemos siguiendo un procedimiento semejante al anterior, 
pero ahora la proyección de la gráfica cartesiana se debe hacer sobre el eje de las ordenadas OY, ya que 
precisamente son los valores de y los que integran dicho conjunto. 
 y 
 
 d 
 y=f(x) 
 
Imagen de f= 
 I =[c,d] 
 
 
 c 
 
O a b x 
 
 
 
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EJEMPLO 
¿Cuál es el dominio y la imagen de la función dada por la siguiente gráfica cartesiana? 
 
 y 
 
 c 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 a O b x 
 
 
En este caso, al proyectar la gráfica cartesiana de la función sobre el eje OX, se obtiene que: 
Dominio de f = [a,b] 
y, al proyectarla sobre el eje OY, se determina que: 
Imagen de f = [O, c] 
 
iii) Criterio gráfico para determinar, en forma aproximada, el valor numérico de un valor del dominio (o sea la 
imagen de xo o el correspondiente de xo) 
Consideremos una vez más la representación cartesiana de una función f: 
 
 y 
 y=f(x) 
 
 yo=f(xo) 
 
 
 
 
 
 
 O a xo b x 
 
y en ella un punto del dominio xo del dominio de la función (en este caso [a,b]). ¿Cuál es la imagen de xo por la 
función f? Para determinarla levantamos, a partir de xo, una recta vertical hasta su intersección con la gráfica 
cartesiana de f; a partir de dicha intersección, trazamos una recta horizontal hasta llegar al eje OY; el punto 
sobre dicho eje así determinado es el valor numérico (imagen/correspondiente) de xo por la función “f”, o sea 
yo=f(xo). 
 
 
 
 
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2.2.7 Igualdad de funciones 
Supongamos contar con dos funciones reales de variable real “f” y “g”; ¿cuándo decimos que éstas funciones 
son iguales?, o sea, ¿cuándo f=g? Enunciemos la correspondiente definición. 
Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas por: 
 f: Af  R → R 
 x → y=f(x) 
g: Ag R → R 
 x → y=g(x) 
La función f es igual a la función g, y escribimos f=g, cuando se cumplen simultáneamente las siguientes 
condiciones: 
1. Tienen dominios iguales. 
2. Las expresiones analíticas que las definen son iguales, en todo punto de sus dominios idénticos. 
O sea, simbólicamente: 
 
 1. Af =Ag 
f = g   
 2. f(x) = g(x)  x  Af (=Ag) 
 
EJEMPLO 
Aplicar el criterio de igualdad de funciones para determinar cuáles de las siguientes funciones g, h y j: 
g: R → R 
 x → y=g(x)= 1 – 2x 
 
h: R- 0 → R 
 x → y=h(x)= 1/x 
 
j: R - 0 → R 
 x → y=j(x)= ( x2 – 2x3 )/x2 
son iguales a la función f: 
 
 f: R - 0 → R 
 x → y=f(x) = (x – 2x2)/x 
 
 
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Entonces, respecto a la función f: 
* Su dominio es: Af = R - 0 
 
* Su expresión analítica es: y=f(x) = (x – 2x2)/ x = 1-2 x 
 se factorea el numerador y se simplifica pues x0 
Aplicamos el criterio de igualdad con respecto a la función g: 
 * El dominio de g es: Ag = R  R - 0 = Af 
 Como los dominios de ambas funciones son diferentes (no se cumple la condición 1. del criterio de igualdad), 
entonces la función f es distinta de la función g y escribimos: f  g 
Nota: no es necesario en este caso comparar las fórmulas (condición 2.) ya que la condición 1. ya no se cumple. 
Aplicamos el criterio de igualdad con respecto a la función h: 
* El dominio de h es: Ah = R - 0 = Af 
 Se cumple la primera condición de la definición de igualdad (condición 1.). 
* La expresión analítica de la función h es: 
h(x) = 1/x  1- 2x = f(x) 
 Como las expresiones analíticas de ambas funciones son diferentes (no se cumple la condición 2. del criterio 
de igualdad), entonces la función f es distinta de la función h y escribimos: f  h 
Aplicamos el criterio de igualdad con respecto a la función j: 
 * El dominio de j es: A j = R - 0 = Af 
 Se cumple la primera condición de la definición de igualdad (condición 1.) 
 * La expresión analítica de la función j es: 
h(x) = (x2 – 2x3) /x2 = 1 - 2x = f(x) 
  se factorea el numerador y se simplifica pues x0 
 
 Las expresiones analíticas de ambas funciones son iguales (se cumple la condición 2.) 
Finalmente, se puede concluir que las funciones f y h son iguales, o sea: f = j 
2.2.8 Características de una función (aspectos analíticos y gráficos) 
i) Ceros de la función 
 
 
 
 
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Sea f una función definida por: 
 f: A  R→ R 
 x→ y=f(x) 
f tiene en x0  A un cero de la función si f(x0) = 0. 
 
En el cero de la función, su gráfica cartesiana intercepta al eje OX en el punto P(xo,f(xo)=0). 
Gráficamente: 
 
 y 
 
 
 
 y=f(x) P(xo,f(xo)=0) 
 
 
 O x 
 
Notas 
1. Una función puede no tener ceros en su dominio (o sea, puede que no exista intercepción de la gráfica 
cartesiana de la función con el eje OX). 
EJEMPLO 
La gráfica cartesiana de la siguiente función f: 
 
 
 
no intercepta al eje OX en ningún punto. Luego, la función f no tiene ceros. 
 
 
 
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2. Una función puede tener en su dominio uno o varios ceros (o sea, una o varias intersecciones con el eje OX). 
EJEMPLO 
La función f, definida por la siguiente gráfica cartesiana: 
 
 
intercepta al eje OX en los puntos de abscisas “a” y “b”. Luego, la función f tiene dos ceros: en “a” y en “b” 
[f(a)=0 y f(b)=0]. 
ii) Intervalos de positividad y negatividad 
Sea f una función definida por: 
f: A  R → R 
 x → y=f(x) 
i) f es positiva en un intervalo I  A si f(x)>0 x  I. 
El intervalo I recibe el nombre de intervalo de positividad de la función f. 
ii) f es negativa en un intervalo I  A si f(x) 0 x  I. 
El intervalo I recibe el nombre de intervalo de negatividad de la función f. 
✓ Geométricamente, en el intervalo de positividad I, la gráfica cartesiana de f se encuentra por “arriba” del 
eje de las abscisas OX: 
 
 y 
 y=f(x) 
 
 
 
 O a b x [a, b] es un intervalo de positividad de f 
 
 
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✓ Geométricamente, en el intervalo de negatividad I, la gráfica cartesiana de f se encuentra por “abajo” del 
eje de las abscisas OX: 
 
 y 
 c d 
 x 
 
 y=f(x) 
 (c,d] es un intervalo de negatividad de f 
 
Notas: 
1. Una forma alternativa de notar y definir simbólicamente el intervalo de positividad y el intervalo de 
negatividad es la siguiente: 
 
 * Intervalo de Positividad: 
 I+ = x  A / f(x)>0  A (dominio de la función) 
* Intervalo de Negatividad 
 I- = x  A / f(x) 0  A (dominio de la función) 
 
2. En el dominio A de una función: 
- La función puede ser solo positiva. 
- La función puede ser solo negativa. 
- La función puede tener uno o más intervalos de positividad y/o uno o más intervalos de negatividad. 
EJEMPLOS 
1. Sea la función f definida por: f: R - 0 → R 
 x → y=f(x)= 1/x 
cuya gráfica cartesiana es: 
 
 
 
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 y 
 
 y=f(x) =1/x 
 
 
 
 O x 
 
 
 
 
Entonces: 
* Dominio = R - 0 
* Intervalo de positividad = I+ = x  R - 0 / 1/x > 0 = (0, +)  R - 0 [Ya que: 1/x 0  x0] 
* Intervalo de negatividad = I- = x  R - 0 / 1/x < 0 = (-,0)  R - 0 [P: 1/x 0  x0] 
En este caso, la función f tiene un intervalo de negatividad y un intervalo de positividad. 
2. Sea la función f definida por su expresión analítica y=f(x)= 3x-1 xR, y que tiene la siguiente gráfica 
cartesiana: 
 
 y 
 y = f(x) = 3x -1 
 2 
 
 
 -2 1 x 
 
 xo=1/3 
 
 
 
 -7 
 
 
Entonces: 
* Dominio = R 
* Intervalo de positividad = I+ = x  R / 3x-1 > 0 = (1/3, +)  R [Ya que: 3x-1 0  x1/3] 
* Intervalo de negatividad = I- = x  R / 3x-1 < 0 = (-, 1/3)  R [Ya que: 3x-1 0  x1/3] 
* En xo=1/3, f tiene un cero ya que f(xo=1/3) = 0 (la gráfica cartesiana intercepta al eje OX) 
P1 
P2 
P3 
O 
 
 
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Así, la función f tiene un intervalo de negatividad y un intervalo de positividad. 
iii) Intervalos de crecimiento y decrecimiento (Intervalos de Monotonía) 
 
Observa las siguientes gráficas cartesianas de dos funciones f y g: 
 
 
 
 y y=f(x) y y=g(x) 
 
 
 
 
 
 O x O x 
 
 
Si imaginamos a estas gráficas cartesianas como partes del camino que sigue una montaña rusa, podemos decir 
intuitivamente que la gráfica de f representa la parte del mismo que es “ascendente” o que “sube”. De la 
misma forma a la gráfica de g la podemos pensar como la parte del camino de la montaña rusa que es 
“descendente” o que “baja”: 
 
 
 y y=f(x) y y=g(x) 
 
 
 
 camino ascendente camino descendente 
 
 
 O x O x 
 
Las expresiones “ascendente” y “descendente” utilizadas para mencionar el comportamiento de la gráfica 
cartesiana de una función están relacionados con los conceptos de “crecimiento” y “decrecimiento” de una 
función, los cuales definimos a continuación. 
Sea f una función definida por: 
 f: A  R→ R 
 x → y= f(x) 
i) f es creciente en el intervalo I  A si:  x1, x2  I  x1 < x2  f(x1) < f(x2) 
El intervalo I recibe el nombre de intervalo de crecimiento de la función f. 
 
 
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ii) f es decreciente en el intervalo I  A si:  x1, x2  I  x1 < x2  f(x1) > f(x2) 
El intervalo I recibe el nombre de intervalo de decrecimiento de la función f. 
 
Gráficamente en las funciones f y g consideradas precedentemente: 
 
 
 
 y y 
 y=f(x) y=g(x) 
 f(x2) g(x1) 
 
 f(x1) g(x2) 
 
 
 
 O x1 x2 x O x1 x2 x 
 
 
 I I 
 
 f es creciente en I g es decreciente en I 
 pues:  x1, x2  I  x1 < x2  f(x1) < f(x2) pues:  x1, x2  I  x1 < x2  g(x1) > g(x2) 
 
 
 
Notas: 
1. Desde el punto de vista geométrico: 
✓ Una función creciente en un intervalo I tiene una gráfica cartesiana “ascendente” en dicho intervalo. 
✓ Una función decreciente en un intervalo I tiene una gráfica cartesiana “descendente” en dicho intervalo. 
2. En el dominio A de una función: 
- La función puede ser solo creciente. 
- La función puede ser solo decreciente. 
- La función puede tener uno o más intervalos de crecimiento y/o uno o más intervalos de decrecimiento. 
Observemos la siguiente gráfica cartesiana de una función f de expresión analítica y=f(x) definida en un dominio 
A: 
 
 
 
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 y 
 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 a x1 x2 x3 x4 x 
 
 
 
 A 
 
 
• f es creciente en los intervalos: (a, x1],[x2, x3] y [x4, + ). Éstos son los intervalos de crecimiento de la función. 
• f es decreciente en los intervalos: (-, a), [x1, x2] y [x3, x4]. Éstos son los intervalos de decrecimiento de la 
función. 
3. Habitualmente, los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de una función se designan 
con el nombre de Intervalos de Monotonía de la función. Así, si una función f es creciente o decreciente en un 
intervalo, entonces la función f es monótona creciente o f es monótona decreciente, en dicho intervalo. 
4. Si en las definiciones dadas de función creciente en un intervalo y función decreciente en un intervalo, 
cambiamos el signo “<” por “” y “ >” por “” para establecer el orden de magnitud entre las imágenes de x1 
y x2, obtenemos las definiciones correspondientes a una “función creciente en sentido amplio en un intervalo 
I” y una “función decreciente en sentido amplio en in intervalo I”. 
5. Acordamos notar al: 
* Intervalo de crecimiento con de la función f con: I 
* Intervalo de decrecimiento con de la función f con: I 
 
 
 
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iv) Extremos 
a) Extremos Absolutos 
 
Sea f una función definida por: 
 f: A  R →R 
 x → y=f(x) 
i) f tiene en xo  A un Máximo Absoluto si: f(xo) > f(x)  x  A. El valor del máximo absoluto es f(xo). 
ii) f tiene en xo  A un Mínimo Absoluto si: f(xo) < f(x) x  A. El valor del mínimo absoluto es f(xo). 
iii) f tiene en xo  A un Extremo Absoluto si en dicho punto tiene un Máximo Absoluto o un Mínimo Absoluto. 
 
 
En la siguiente gráfica cartesiana de una función f definida en un conjunto A, identifiquemos los extremos 
absolutos: 
 y 
 
 
 
 y=f(x) 
 
 
 f(x1) 
 
 
 
 f(x2) 
 x1 x2 x 
 
 A 
 
La función f, en el punto de abscisa x1  A, toma el máximo valor (ordenada más alta) y en el punto x2  A toma 
el mínimo valor (ordenada más baja). Entonces, podemos afirmar que la función “f” tiene un máximo absoluto 
en x1  A y su valor es f(x1) y tiene un mínimo absoluto en x2  A y su valor es f(x2). 
Notas: 
1. Las definiciones precedentes consideran los signos “<” y “>” para comparar los valores de las ordenadas. En 
este sentido, algunos textos se refieren a las dadas, como las definiciones de los Extremos Absolutos Fuertes; 
en ese caso, conceptualizamos a los Extremos Absolutos Débiles con estas mismas definiciones que los fuertes 
pero cambiando los signos “<” y “>” por los signos “” e “≥”, respectivamente. 
 
 
Marisa Angélica Digión 34 
 
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En esta materia, solo trabajaremos con “Extremos Absolutos Fuertes”, a los cuales solo los indicaremos 
simplemente como “Extremos Absolutos”. 
2. Sobre la existencia y la determinación de los extremos absolutos es necesario dar respuesta a las siguientes 
preguntas: 
• ¿Tiene siempre la función f extremos absolutos? 
• Si f tiene extremos absolutos, ¿dónde se localizan dentro del dominio de la función? 
• Si f tiene extremos absolutos, ¿de qué manera se determinan sus valores? 
Para responder estos interrogantes de manera completa, tendremos que avanzar un poco más en el programa 
de la materia. 
b) Extremos Relativos 
Existen otro tipo de extremos, denominados Extremos Relativos, cuyas definiciones conservan la idea dada de 
lo que es un mínimo (ordenada más pequeña) y un máximo (ordenada más alta), pero donde la comparación se 
realiza NO referida a todo el dominio de la función sino a partes del mismo. Estas partes del dominio se 
denominan entornos simétricos; la definición de este concepto es la siguiente: 
Un entorno simétrico del punto xo es un intervalo abierto, que contiene a xo y en el cual xo es su punto medio. 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 xo x 
 
 
   
 
E(xo,) es un entorno de centro en xo y radio  
 
 
Definición 
 
Sea f una función definida por: 
 f: A  R→R 
 x→y=f(x) 
i) Una función f tiene en xo  A un máximo relativo si f(xo) > f(x)  x  E (xo, )  A. El valor del máximo 
relativo es f(xo). 
ii) Una función f tiene en xo  A un mínimo relativo si f(xo)  f(x)  x  E (xo, )  A. El valor del mínimo 
relativo es f(xo). 
 
 
Marisa Angélica Digión 35 
 
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iii) Una función f tiene en xo  A un Extremo Relativo si en dicho punto f presenta un Máximo Relativo o un 
Mínimo Relativo. 
 
EJEMPLO 
La siguiente es la gráfica cartesiana de una función f definida en un intervalo A= [a,b]: 
 
 
 
 
 y 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a b 
 O x1 x2 x3 x4 x5 x 
 
 
 E (x1,1) E (x2,2) E (x3,3) E (x4,4) E (x5,5) 
 
 
 
 A 
 
* f tiene en x1, x3 y x5 mínimos relativos de valores f(x1), f(x3) y f(x5), respectivamente (también, en x5, hay un 
mínimo absoluto). 
* f tiene en x2 y x4 máximos relativos de valores f(x2) y f(x4), respectivamente (también, en x4, hay un máximo 
absoluto). 
 
Notas 
1. También aquí vale la observación realizada para extremos absolutos sobre la denominación y la definición de 
Extremos Relativos Débiles y Fuertes. En particular en la materia, solo trabajaremos con “extremos relativos 
fuertes”, a los que solo mencionaremos simplemente como “extremos relativos”. 
2. ¿Dónde se presentan los extremos relativos? 
Siempre lo hacen en puntos interiores al dominio A de la función. Más detalles sobre este tema, los estudiaremos 
a posteriori. 
 
 
 
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v) Intervalos de Concavidad 
El concepto de concavidad se refiere, en general, a una curva plana. Como la gráfica cartesiana de una función 
es una curva plana, dicho concepto es aplicable a la misma. Las siguientes son sus definiciones. 
 
i) La gráfica cartesiana de una función f es “cóncava hacia abajo” en un intervalo I  A (dominio de f) si sus 
rectas tangentes se encuentran siempre por arriba de la misma en dicho intervalo (las rectas tangentes no 
deben ser verticales). 
ii) La gráfica cartesiana de una función f es “cóncava hacia arriba” en un intervalo I  A (dominio de f) si sus 
rectas tangentes se encuentran siempre por debajo de la misma en dicho intervalo (las rectas tangentes no 
deben ser verticales). 
 
En las gráficas cartesianas siguientes de dos funciones de f y g se pueden observar tales comportamientos: 
 
 y 
 f(b)=M 
 
 
 y=f(x) La gráfica cartesiana de 
 B f es cóncava hacia 
 abajo 
 
 
 f(a)= m 
 
 O a b x 
 
A 
 
 
 y 
 
 g(b)=M 
 La gráfica cartesiana de 
 g es cóncava hacia 
 y=g(x) arriba 
 B 
 
 
 
 g(a)=m 
 
 O a b x 
 
 A 
 
 
 
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Nota: 
1. A los intervalos de concavidad I de una función, los podemos notar de la siguiente manera: 
* Intervalo de concavidad hacia abajo: 
* Intervalo de 
2. En el dominio A de una función: 
- La gráfica cartesiana de la misma puede ser solo cóncavahacia arriba. 
- La gráfica cartesiana de la misma puede ser solo cóncava hacia abajo. 
- La gráfica cartesiana de la misma puede tener uno o más intervalos de concavidad hacia arriba y/o uno o más 
intervalos de concavidad hacia abajo. 
Si analizamos la siguiente gráfica cartesiana de la función f, de expresión analítica y=f(x): 
 
 y 
 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 a x1 x2 x3 x4 x5 x 
 
 A 
 
obtendremos que: 
* La gráfica cartesiana de f es cóncava hacia abajo en los intervalos: (-, a) y (a, x1] o sea: 
= (-, a)  (a, x1] 
* La gráfica cartesiana de f es cóncava hacia arriba en el intervalo [x3, x5), o sea: 
 = [x3, x5 ) 
* La gráfica cartesiana de f no tiene concavidad en los intervalos [x1, x2] y [x2, x3] (segmentos rectos). 
 
vi) Punto de inflexión 
El punto de inflexión de la gráfica cartesiana de una función es aquel punto donde dicha gráfica cartesiana 
cambia su concavidad. 
I 
I 
I 
I 
 
 
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Gráficamente: 
 y 
 y=f(x) 
 
 P 
 
 
 
 0 x 
 P es el punto de inflexión de la gráfica cartesiana de la función f 
 
Nota: si P(xo, f(xo)) es un punto de inflexión de la gráfica cartesiana de la función f definida en un conjunto A, 
debe ser xo  A. 
vii) Paridad y Simetría 
Observa las siguientes gráficas de funciones definidas en el conjunto de los números reales R: 
 
 y 
 
 y=f(x) 
 
 
 O x 
 
 
 
 
 
 y 
 y=f(x) 
 
 
 
 O x 
 
 
 
 
Ellas presentan una característica muy importante en el momento de ser analizadas: la Simetría. Enunciemos 
sus correspondientes definiciones. 
 
 
 
 
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i) La gráfica cartesiana de una función f, de expresión analítica y=f(x), es simétrica respecto al eje OY cuando 
los puntos P(xo, yo= f(xo) y P' (-xo, yo yo= f(xo)) pertenecen a la misma, para todo xo del dominio de f. 
 
Geométricamente, decimos que la distancia “d” de los puntos P(xo,yo) y P' (-xo, yo) al eje OY es la misma. 
 
 
 y 
 
 y=f(x) 
 d d 
 
 P'(-xo, yo =f(xo)) P(xo,yo yo =f(xo)) 
 
 
 
 -xo O xo x 
 
 
 
ii) La gráfica cartesiana de una función f, de expresión analítica y=f(x), es simétrica respecto al origen de 
coordenadas del sistema O (0,0) cuando los puntos P(xo,yo=f(xo)) y P'(-xo, -yo=f(xo)) pertenecen a la misma, 
para todo xo del dominio de f. 
Geométricamente, decimos que la distancia “d” de dichos puntos al origen O es la misma. 
 
 y 
 
 yo P(xo,yo) 
 
 d 
 
 -xo xo x 
 d 
 P'(-xo, -yo) 
 -yo 
 
 
 
 
Nota: El concepto gráfico de simetría de la gráfica cartesiana de una función está asociado con el concepto 
analítico de paridad de la función. Veamos de qué manera, definiendo previamente la Paridad de una función. 
 
O 
 
 
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Sea f una función definida por: 
f: A R → R 
 x → y = f(x) 
i) f es una función par si verifica que: f(-x) = f(x)  x , -x  A 
(A valores opuestos de la variable independiente les corresponde el mismo valor de la imagen) 
ii) f es una función impar si verifica que: f(-x) = - f(x)  x, -x  A 
(A valores opuestos de la variable independiente les corresponde valores opuestos de la imagen) 
Ahora bien, ¿qué relación concreta existe entre la paridad de una función y la simetría de su gráfica cartesiana? 
➢ Si la función es par, entonces los pares ordenados: (x, f(x)) y (-x, f(-x)) = (-x, f(x)) pertenecen a la función. Esto 
es lo mismo que decir que los puntos P(x, f(x)) y P'(-x, f(-x))= P’ (-x, f(x)) pertenecen a su gráfica cartesiana. Pero 
esta última es precisamente la definición de simetría de una curva respecto al eje OY. Luego: 
Si f es par  su representación gráfica es simétrica respecto al eje OY 
 
➢ Si la función es impar, entonces los pares ordenados: (x, f(x)) y (-x, f(-x)) =(-x, -f(x)) pertenecen a la función. 
Esto es lo mismo que decir que los puntos P(x, f(x)) y P’(-x, f(-x))=P'(-x, -f(x)) pertenecen a su gráfica cartesiana. 
Pero esta última es la definición de simetría de una curva respecto al origen de coordenadas O. Luego: 
Si f es impar  su representación gráfica es simétrica respecto origen O 
EJEMPLOS 
1) Completar las gráficas cartesianas de las siguientes funciones, según los datos establecidos para cada una 
de ellas: 
a) f: [-4, 4] R R 
 x y = f(x) y f es par 
 
 
 
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 y 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 
 O 4 x 
 
 
 
 
Entonces, como f es par, su representación cartesiana es simétrica respecto al eje OY. Al considerar dicho eje 
como eje de reflexión, obtenemos la "otra parte" de la gráfica de f marcando puntos simétricos dicho eje: 
 
 y 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 
 -4 O 4 x 
 
 
 
 
 
b) f: R → R 
 x→ y = f(x) y f es impar 
 
 
 y 
 
y=f(x) 
 
 
 
 
 O x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Como f es impar, su gráfica cartesiana es simétrica respecto al origen de coordenadas O. Al considerar dicho 
punto como punto de reflexión, obtenemos la "otra parte" de la gráfica de f marcando los puntos simétricos al 
mismo. 
 
 y 
 
y=f(x) 
 
 
 
 
 O x 
 
 
 
 
 
 
 
2) Establecer la paridad de las siguientes funciones. Indicar, en consecuencia, la simetría de su gráfica: 
a) f: R → R 
 x → y = f(x) = x3 - x 
 
b) f: R → R 
 x → y = f(x) = 2x2 
 
c) f: R → R 
 x → y = f(x) = 3x2 - x 
Para estudiar la paridad de una función debemos considerar la expresión analítica de la misma y analizar si para 
ella se cumple alguna de las dos igualdades relacionadas y que definen a la función par o a la función impar. 
Luego: 
* Para a), la expresión analítica es: y = f(x) = x3 - x 
Planteamos siempre f(-x): f(-x) = (-x)3 - (-x) = - x3 + x =- (x3 - x) = - f(x) 
Como f(-x) = - f(x) , entonces la función es impar. Su gráfica cartesiana es simétrica respecto al origen O. 
* Para b), la expresión analítica es: y = f(x) = x2 
Planteamos: f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) 
 
 
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Como f(-x) = f(x), entonces la función es par. Su gráfica cartesiana es simétrica respecto al eje OY. 
* Para c), la expresión analítica es: y = f(x) = 3x2 - x 
 
Planteamos: 
 - f(x) 
 f(-x) = 3(-x)2 - (-x) = 3 x2 + x  
 f(x) 
En este caso la función no es par ni impar. Decimos que la función NO tiene paridad. 
Nota: ¿Puede ser la gráfica cartesiana de una función simétrica respecto al eje OX? 
De ninguna manera la gráfica cartesiana de una función puede ser simétrica respecto al eje OX, ya que en este 
caso violaría la definición analítica de función (condición de unicidad). Gráficamente: 
 y 
 
 yo1 
 
 O xo x 
 yo2 
 
 
 
2.2.9 Clasificación de funciones 
Las funciones reales de variable real se pueden clasificar atendiendo a distintos criterios. En particular, 
consideraremos dos de ellas: Explícitas e Implícitas y Algebraicas y Trascendentes. 
Veamos las diferencias entre cada una de estas clasificaciones. 
i) Explícita e Implícita 
La expresión analítica de una función, tal cual como la utilizaremos en este curso, puede especificarse de dos 
maneras diferentes: ya sea escribiendo una variable en términos de la otra, o bien, consignando ambas variables 
en un mismo miembro de la expresión analítica. Vemos de qué manera: 
 
Sea la función f definida en un conjunto A R. 
i) Si la expresión analítica que define a la función f está escrita de tal forma que una de las variables está 
expresada en términos de la otra, por ejemplo: 
 y = f(x) 
entonces decimos que la función está definida por una expresión analítica escrita en la forma explícita. 
 
 
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ii) Si ninguna de las variables está expresada en términos de la otra, o sea: 
 g(x,y) = 0 
entonces decimos que la función está definida por una expresión analítica escrita en la forma implícita. 
 
En síntesis: 
Según que la relación de correspondencia entre las variables x e y esté expresada mediante una expresión 
resuelta o no respecto a una de las variables, se dice que la expresión analítica de la función viene dada en la 
forma explícita o en la forma implícita, respectivamente (a menudo simplemente se dice que f está expresada 
en forma explícita o implícita). 
 
EJEMPLO 
 
Si la expresión analítica que define a la función f es: 
 
a) y = x2 - 3x + 1, entonces f está expresada en la forma explícita. 
 
y = f(x) 
 
 
b) x - 3y + 8 = 0, entonces f está expresada en la forma implícita. 
 
 g(x,y)=0 
 
 
Notas: 
i) ¿Es posible ir de la forma explícita a la forma implícita siempre? 
ii) ¿Es posible ir de la forma implícita a la forma explícita siempre? 
Respuesta i): Siempre es posible pasar de la forma explícita a la forma implícita. El procedimiento consiste en 
realizar una transposición de términos que lleve a obtener una igualdad a cero. 
Ejemplo: 
Forma explícita Forma implícita 
y= 2 x2 - 3x +5 2 x2 - y - 3x +5 = 0 
Respuesta ii): No siempre es posible pasar de la forma implícita a la forma explícita. 
Ejemplos: 
Forma implícita Forma explícita 
a) 5 x - y + 8 = 0 y = 5x + 8 
b) x2 y - 2y3 + xy- x + y = 0 y =¿ ...? , x= ¿...? 
 
 
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ii) Algebraica y Trascendente 
Otra forma de clasificar a las funciones reales de una variable real es de la siguiente manera: 
 
 
Función Real de 
Variable Real 
Forma Explícita 
[y=f(x)] 
 
 
 
 
 
Algebraica 
 
 
 
Racional 
 
Entera 
 
Fraccionaria 
 
Irracional 
 
 
 
Trascendente 
Ejemplos 
• Exponenciales 
• Logarítmicas 
• Valor absoluto 
 
 
 
Una función es “algebraica” cuando sobre la variable independiente se realizan únicamente operaciones 
racionales ( +, -, . y / ) y radicación en un número finito de veces. 
Una función algebraica es “racional” cuando sobre la variable independiente se realizan únicamente 
operaciones racionales en un número finito de veces. 
Una función algebraica es “irracional” cuando sobre la variable independiente se realizan únicamente 
operaciones de radicación o potenciación con exponentes fraccionarios en un número finito de veces. 
Una función algebraica racional es “entera” (o polinómica) cuando sobre la variable independiente se realizan 
únicamente operaciones enteras ( +, - y .) en un número finito de veces. 
Una función algebraica racional es “fraccionaria” cuando proviene del cociente no exacto de funciones 
algebraicas racionales enteras. 
Una función es “trascendente” cuando la misma no es algebraica. 
 
EJEMPLO 
Clasificar las siguientes funciones según las características que presenta su expresión analítica explícita: 
 
Expresión Analítica de f Clasificación 
 
a) y = f(x) = 2x - 18 + 4 x Algebraica racional fraccionaria 
 x2 
b) y = f(x) =  4 x + x 3/4 Algebraica irracional 
 
c) y = f(x) = 4 x + 1 Algebraica racional fraccionaria 
 x2 + 3 
 
 
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d) y = f(x) = x3 + 3 x2 + 4x - 6 Algebraica racional entera 
 
e) y = f(x) = log (x-2) Trascendente 
 
 
2.2.10 Combinación de funciones 
Así como dos números reales pueden asociarse en forma algebraica, o de otra manera, para obtener otro 
número real, dos funciones reales de una variable real también pueden combinarse de diferentes formas para 
obtener una nueva función. Veamos de qué manera lo hacen a través del Algebra de Funciones y la Composición 
de Funciones. 
 
i) Algebra de funciones 
Sean las funciones f y g definidas de la siguiente forma: 
f: Af  R → R g: Ag R → R 
 x → y=f(x) x → y=g(x) 
Entre ellas se definen las operaciones: Suma (f + g), Diferencia (f - g), Producto (f.g) y Cociente (f/g) de la 
siguiente forma: 
Operación Dominio Expresión analítica 
f + g Af  Ag y = (f + g)(x) = f(x) + g(x) 
 
f – g Af  Ag y = (f - g)(x) = f(x) - g(x) 
 
f . g Af  Ag y = (f . g)(x) = f(x) . g(x) 
 
f / g [Af  Ag ] - A y = (f / g)(x) = f(x) / g(x) 
 
 con A = x  Ag / g(x) = 0 
 
EJEMPLO 
Dadas las funciones f y g definidas por: 
 f: R → R g: R - 1 → R 
 x → y=f(x) = x + 9 x → y=g(x) = 1 / (1 - x) 
determinar, de manera completa, la función producto de f con g, o sea f.g. 
 
 
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Entonces: 
* El dominio de la función producto es: Af  Ag = R  [ R - 1 ] = R - 1 
* La expresión analítica de la función producto es: 
y = (f. g) (x) = f(x). g(x) = (x + 9). [ 1 / (1- x)] = (x + 9) / (1 - x) 
Finalmente la función producto “f.g” queda definida de la siguiente forma: 
f. g: R - 1 → R 
 x → y = ( f.g)(x) = (x + 9) / ( 1 - x) 
ii) Composición defunciones 
Es útil imaginar a una función real de una variable real como una máquina de calcular. Veamos de que manera. 
La máquina de calcular toma un número (dato de entrada –número-), lo procesa internamente según la/s 
orden/es que se le imparta ( proceso ) y produce el resultado (dato de salida –número-). Una función real de 
variable real es tal que a cada uno de los valores posibles de la variable independiente (dato de entrada –
número-) le aplica la expresión analítica que la define (proceso) y se obtiene el correspondiente valor de la 
variable dependiente (dato de salida –número-). 
Graficamente podriamos visualizar un función real de variable real de la siguiente manera: 
 Máquina 
 
 Número Número 
(dato de entrada) (dato de salida) 
 
 
Variable Independiente Función Variable Dependiente 
x f y=f(x) 
 
 
Pensemos ahora que disponemos de dos máquinas que trabajan en forma combinada y secuencial, o sea, la 
primera máquina toma un dato de entrada , lo procesa y obtiene el primer dato de salida (dato intermedio). 
Este es asumido por la segunda máquina, procesado y convertido en el dato final de salida. Graficamente: 
 
 Máquina 1 Máquina 2 
 
 
Dato Dato Dato 
de Intermedio final de salida 
entrada 
 
Nos preguntamos: ¿Cuál es el producto final de la acción conjunta de ambas máquinas ? 
 
 
 
 
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Si asimilamos este proceso con el accionar de dos funciones reales de una variable real : g y f, podríamos 
representar graficamente la situación utilizando el Diagrama de Euler-Venn de la siguiente forma: 
 
 
 Ag Ig  R Af If  R 
 
 g f 
 
 
 
 
 
 
 
 fog 
 
En definitiva, podemos obsevar que al valor “x” de la variable independiente le corresponde un valor “y” de la 
variable dependiente, el cual se obtiene al aplicar a “x” en forma sucesiva de las funciones g y f, en ese orden. 
Luego el valor de “y” lo podemos representar como : 
 y = (fog)(x) = f g(x) 
 
Notación que responde a la acción combinada y sucesiva de las funciones g y f 
Esta nueva función que se origina, indicada por “fog”, recibe el nombre de Función Compuesta y su definición 
es: 
Sean f y g funciones definidas por: 
g: Ag R → R f: Af  R → R 
 x → u=g(x) u → y=f(u) 
 
y tales que se verifica que la imagen de g [ Ig ] intersectada con el dominio de f [Af ] es diferente del conjunto 
vacío, o sea: Ig  Af   . Entonces existe la función compuesta de f y g a la cual se nota por fog que está 
definida, de manera completa, por: 
 f o g: A  R → R 
 x → y = (fog)(x)= f[g(x)] 
con A = x  Ag / g(x)  Af 
 
 
Notas: 
1. La notación fog significa que se aplica primero la función g y luego la función f. 
2. La composición de funciones no es conmutativa, eso significa que fog  gof. 
 
 x 
 u=g(x) 
 
 
 
 y=f (u) = 
 =f g(x) 
 
 
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EJEMPLOS 
a) Dadas las funciones: 
 
g: R → R 
 x → u=g(x)= x3 
 
 f: R - 1 → R 
 u → y= f(u) = 1 / ( u - 1) 
 
determinar fog, si dicha función existe. 
 
Entonces: 
* En primer lugar, debemos estudiar la existencia de la función compuesta. ¿Recuerdas cuál es la condición de 
existencia de la función compuesta? 
Como: 
Ig  Af = R  [ R - 1 ] = R - 1   
 
 El dominio de f: Af es dato 
 
La imagen de g ( Ig ) se determina graficamente (ver criterios gráficos). Para 
ello es necesario previamente representar graficamente esta función 
 
entonces existe la función compuesta. 
 
* El dominio de la función compuesta fog es: 
 
 
 A = x  Ag / g(x)  Af = 
 
 
 
 = x  R / x3  R - 1 = 
 x3  1  x  1 
 
 = R - 1 
 
* La expesión analítica que define a la función fog es: 
 
y = (fog)(x)= f[g(x)] = f (x3) = 1 / (x3 - 1 ) 
   
 
 Se reemplaza g(x) por su valor x3 
 Se aplica la función f a x3 
 
Finalmente la función compuesta queda definida por: 
 
 fog: R - 1 → R 
 x → y = (fog)(x) = 1 / (x3 - 1 ) 
 
 
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b) Sean las funciones: 
 
g: R → R 
 x → u=g(x)= x +1 
 
 
 f: R → R u + 3 si u  0 
 u → y = f(u) = 
 2 u2 +3 si u  0 
 
determinar fog, si existe. 
 
Entonces: 
 
* Estudiemos la existencia de la función compuesta. 
 
Como: 
Ig  Af = R  R = R   
 
 El dominio de f: Af es dato 
 
La imagen de g ( Ig ) se determina graficamente (ver criterios gráficos). Para 
ello es necesario previamente representar graficamente esta función 
 
entonces existe la función compuesta. 
 
* El dominio de la función compuesta fog es: 
 
 
 
 A = x  Ag / g(x)  Af = 
 
 
 
 = x  R / x + 1 R = 
 x + 1 R  x  R 
 
 = R 
 
* La expesión analítica que define a le función fog es: 
 
 g(x) +3 si g(x)  0 
y = (fog)(x)= f[g(x)] = 
 2 [g(x)]2 +3 si g(x)  0 
 
 Reemplazamos 
g(x) por su equivalente x+1 
 
 (x+1) +3 si x +1  0 
y = (fog)(x)= f[g(x)] = 
 2 (x +1)2 +3 si x +1  0 
 
 
 
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 Modificamos las 
expresiones del 
 dominio y operamos 
 dentro de la 1era. rama 
 
 x + 4 si x  -1 
y = (fog)(x)= f[g(x)] = 
 2 (x +1)2 +3 si x  -1 
 
Finalmente la función compuesta queda definida por: 
 
 fog: R → R 
x + 4 si x  -1 
 
 x → y = (fog)(x)= f[g(x)] = 
 
 2 (x +1)2 +3 si x  -1 
 
 
 
 
 
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El hombre ha tratado siempre de comprender la naturaleza de los fenómenos que se producen en su entorno 
utilizando como punto básico para el análisis el razonamiento lógico. Sin embargo, la complejidad que 
caracteriza al mundo que lo rodea, la cual aumenta conforme avanza el tiempo, dificulta muchas veces esta 
comprensión. Es por ello que, para poder lograr su objetivo, el hombre apela a la formulación de suposiciones y 
simplificaciones de los fenómenos complejos. Es entonces cuando construye MODELOS QUE REPRESENTAN LA 
REALIDAD PERO QUE NO SON LA REALIDAD. Los modelos son idealizaciones de la realidad. Ampliamente está 
demostrado que las aplicaciones que estos modelos satisfacen, en forma aproximada, la comprensión de los 
fenómenos que el hombre busca entender. 
¿Qué papel juega la Matemática en la construcción de los modelos de fenómenos que ocurren en el mundo? 
Hoy en día el proceso de representar el mundo real en términos matemáticos se ha convertido en un 
instrumento de preciado valor denominado MODELACIÓN MATEMÁTICA. La formulación