6 Función polinómica-1

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FUNCIONES POLINOMICAS 
 
 Las funciones lineales y cuadráticas forman parte de un grupo más amplio de funciones 
llamadas funciones polinómicas. 
 En general una función de la forma 
f:ℜ→ℜ, definida por f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + aax + a0 
donde n es un número natural y los coeficientes a, a1, a2,…, an son números reales se 
llama función polinómica. 
Si an≠ 0 se dice que el grado de f es n, y an recibe el nombre de coeficiente principal 
 Son funciones polinómicas, por ejemplo: 
• f(x) = -3x3 + 2x + 3, de grado 3 y coeficiente principal -3. 
• g(x) = 5x4 – 2x3 + x2 -2x + 1, de grado 4 y coeficiente principal 5. 
 • Las funciones polinómicas de grado 1 son llamadas funciones lineales. 
f(x) = -x + 1 es una función polinómica de grado y coeficiente principal -1. 
• Las funciones polinómicas de grado 2 son llamadas funciones cuadráticas. 
f(x) = 
3
1 x2 - x + 6, es una función polinómica de grado 2 y coeficiente principal 
3
1 
 Las funciones polinómicas tienen como dominio e imagen a los números reales, y tienen 
la particularidad de ser continuas. 
Funciones 
polinómicas 
de la forma 
f(x) = axn 
En las funciones polinómicas de fórmula f(x) = axn 
• el coeficiente a es un número real. 
• el número n es un número natural. 
Graficamos algunas funciones de esta forma teniendo en cuenta que n puede ser par o 
impar. 
 Si n es par y f(x) = xn (a = 1) Si n es impar y f(x) = xn (a = 1) 
 
 
 
 
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 En este caso se comportan de modo 
similar a la función f(x) = x2. 
• Son simétricas respecto al eje de 
ordenadas. 
• C0 = {0} 
• Decrecen en el intervalo (-∞; 0) y 
crecen en el intervalo (0; +∞). 
• C+ = (-∞; 0)∪(0; +∞) 
• No tienen intervalos de 
negatividad. 
En este caso se comportan de modo 
similar a la función f(x) = x 
• Son simétricas respecto al origen 
de coordenadas 
• C0 = {0}. 
• Son crecientotes en todo su 
dominio. 
• C+ = (0; +∞) 
• −C = (-∞; 0) 
 Estas características se mantienen en el caso de f(x) = axn y a > 0. 
 Si f(x) = a xn con a < 0 
 Las gráficas se reflejan respecto al eje de 
abscisas. 
Las gráficas se reflejan respecto al eje de 
ordenadas. 
 
 
 
 Compare las gráficas y escriba sus conclusiones!! 
Funciones 
polinómicas 
de la forma 
f(x) = axn+ k 
En el caso de las funciones de la forma f(x) = axn + k, sus gráficos sufren un 
desplazamiento vertical de k unidades respecto al gráfico de f(x) = axn 
Este desplazamiento será 
• Hacia arriba si k > 0 
• Hacia abajo si k < 0 
 
 
 
 
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Funciones 
polinómicas 
de la forma 
f(x) = a(x- t)n 
En el caso de las funciones de la forma f(x) = a(x – t)n sus gráficos sufren un 
desplazamiento horizontal de t unidades respecto al gráfico de f(x) = axn 
Este desplazamiento será 
• Hacia la derecha, si t > 0 
• Hacia la izquierda, si t < 0 
 
 
Otras 
funciones 
polinómicas 
En general para trabajar con otras formas de las funciones polinómicas, carecemos de 
recursos, algunos de los cuales incorporaremos con el estudio de derivadas. 
Trabajaremos con algunos ejemplos en donde se usan propiedades de los polinomios, 
sus operaciones y su factorización. (En el caso en que no recuerde estos contenidos 
puede consultar el anexo teórico POLINOMIOS) 
 Ejemplo 1 
Determiná las raíces de 
a) f(x) = (-3)(x – 1)(x – 4)(x+3) 
b) f(x) = x4 – 4x2 
c) f(x) = x3 + x2 + x 
Solución 
Encontrar las raíces de una función significa encontrar para qué valores del 
dominio la función es igual cero. Esto es resolver la ecuación f(x) = 0 
a) f(x) = (-3)(x – 1)(x – 4)(x+3) 
Planteamos: 
(-3)(x – 1)(x – 4)(x+3) = 0 
Como el producto es igual a cero si alguno de sus factores lo es, debe 
ser: 
x – 1 = 0 ó x – 4 = 0 ó x + 3 = 0 
Por lo que: 
x = 1 ó x = 4 ó x = - 3 
son raíces de f(x) = (-3)(x – 1)(x – 4)(x+3) 
 
b) f(x) = x4 – 4x2 
 Planteamos: 
x4 – 4x2 = 0 
 
 
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 Resolvemos: 
x4 – 4x2 = 0 ⇔ x2 (x2 -4) = 0 ⇔ x2 = 0 ó x2 – 4 = 0 
• x2 = 0 ⇔ x = 0 
• x2 – 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ 4x2 = ⇔ |x| = 2 ⇔ x = 2 ó x = -2 
(propiedad del módulo) 
Luego: 
x4 – 4x2 = 0 ⇔ x = 0 ó x = 2 ó x = -2 
Por lo que las raíces de f(x) = x4 – 4x2 son: 
x = 0 ó x = 2 ó x = -2 
 
 c) f(x) = x3 + x2 + x 
En nuestro caso significa resolver la ecuación 
x3 + x2 + x = 0 
Como es x3 + x2 + x = x(x2 + x + 1) 
podemos escribir x(x2 + x + 1) = 0 
De este modo, ya que si el producto es cero , alguno de los factores lo es, debe 
ser: 
x = 0 ó x2 + x + 1 = 0 
Vemos si x2 + x + 1 = 0 para algún x. 
Mediante la fórmula resolente hallamos: 
3
31x,x
2
1141 1- x,x
21
2
21
−±−
=
⋅⋅−±
=
 
Como no existe la raíz cuadrada de -3; la ecuación de segundo grado no tiene 
soluciones reales. 
Entonces f(x) es cero sólo si x = 0 
 Ejemplo 2. 
Dada la función f(x) = x4 – 7x3 + 11 x2 - 7x + p 
a) Encontrá el número real p sabiendo que el gráfico de f corta al eje de 
abscisas en el punto (5; 0). 
b) Encontrá todos los puntos en que el gráfico corta al eje x. 
Solución 
a) Encontrá el número real p sabiendo que el gráfico de f corta al eje de 
abscisas en el punto (5; 0). 
 
Que el gráfico de f corta al eje de abscisas en (5; 0) significa que f(5) = 0. 
Podemos escribir: 
f(5) = 54 – 7· 53 + 11 · 52 – 7 · 5 + p = 0 
Operando es: 
 
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 625 – 7· 125 + 11 · 25 – 7· 5 + p = 0 
 625 – 875 + 275 – 35 + p = 0 
 -10 + p = 0 
 p = 10 
Por lo que es f(x) = x4 – 7x3 + 11 x2 - 7x + 10 
 
 b) Encontrá todos los puntos en que el gráfico corta al eje x. 
Los puntos en que el gráfico corta al eje x, son las raíces del polinomio. Esto 
es los valores de x para los que es f(x) = 0 
 Como f es de grado 4, a lo sumo 
podremos encontrar 4 raíces reales. 
Las hallamos resolviendo la ecuación 
x4 – 7x3 + 11 x2 - 7x + 10 = 0 
 Todo polinomio de grado n con 
coeficientes reales tiene como 
máximo n raíces reales. 
 
 Por el item anterior sabemos que x = 5 es una raíz de f . 
Por lo que x4 – 7x3 + 11 x2 - 7x +10 es divisble por x – 5. 
Luego podemos escribir 
x4 – 7x3 + 11 x2 - 7x +10 = (x – 5)C(x) 
Donde C(x) es el polinomio cociente. Lo encontramos aplicando la regla de 
Ruffini. 
 
 Luego C(x) = x3 - 2x2 + x - 2 
Y además: 
x4 – 7x3 + 11 x2 - 7x +10 = (x – 5)(x3 - 2x2 + x - 2) (1) 
Como cualquier raíz de x3 - 2x2 + x - 2 lo es también de f vemos si las tiene. 
Hacemos x3 - 2x2 + x -2 = 0 
 Intentamos escribir al polinomio como producto. 
x3 - 2x2 + x - 2 = (x3 + x) + (-2x2 -2) (propiedad asociativa) 
= x(x2 + 1) -2 (x2 + 1) (factor común) 
= (x2 + 1)(x – 2) (factor común) 
Reemplazando en (1) 
x4 – 7x3 + 11 x2 - 7x +10 = (x – 5) (x2 + 1)(x – 2) 
Así 
 x4 – 7x3 + 11 x2 - 7x + 10 = 0 ⇔ (x – 5) (x2 + 1)(x – 2) = 0 
Y como el producto es igual a cero si alguno de los factores lo es debe ser: 
x – 5 = 0 ó x2+ 1 = 0 ó x – 2 = 0 
Por lo que es x = 5 ó x = 2 
ya que x2 + 1≠ 0 para todo número real 
Luego, la gráfica corta al eje de abscisas en: x1= 5 y en x2 = 2. 
 
 1 -7 11 -7 10 
 5 5 -10 5 -10 
 1 -2 1 -2 0 
 
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 Ejemplo 3 
La gráfica corresponde a la función 
f(x) = x4 – 4x2 
Hallá C0 ; C+ y −C 
 
Solución 
 
 
 Para hallar los ceros, vemos donde el gráfico interseca al eje de abscisas. 
Esto sucede en x1 = -2; x2 = 0 y x3 = 2 
Luego 
C0 = {-2; 0; 2} 
En x2 = 0 , en que la grafica toca al eje de abscisas pero no lo 
atraviesa, hay una raíz de multiplicidad 2 o raíz doble. 
La función toma valores positivos para los valores de x menores que -2 ó 
mayores que 2. 
+C = (-∞; -2) U (2; +∞) 
Y toma valores negativos para valores de x entre -2 y 0 ó entre 0 y 2. 
Luego es: 
−C = (-2; 0) U (0; 2) 
 
 En el ejemplo, nos servimos de la gráfica de la función para determinar los 
intervalos de positividad y negatividad. 
En el caso de las funciones continuas, el teorema de Bolzano y sus consecuencias 
permite responder a esta cuestión y a otras ligadas al estudio de funciones. 
Teorema de 
Bolzano 
Si una función f es continua en un intervalo [a; b] y tiene distinto signo en los 
extremos del mismo, entonces tiene por lo menos una raíz en el intervalo (a; b). 
 Simbólicamente 
 
0)c(f/)b;a(cexiste
0)b(f).a(f
]b;a[encontinuaf
=∈⇒



<
 
Gráficamente, interpretamos que si una función 
continua cambia de signo en los extremos de un 
intervalo, entonces necesariamente tiene un cero en 
ese intervalo. 
 
• El teorema de Bolzano asegura que existe al 
menos un cero, pero no nos dice cuántos ceros 
tiene la función en ese intervalo. 
 
 Pueden ver la interpretación 
geométrica del teorema de Bolzano 
pulsando sobre la imagen. 
 
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http://video.google.com/videoplay?docid=-3621264738811742481
http://video.google.com/videoplay?docid=-3621264738811742481�
 
 
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Consecuencia 
del teorema de 
Bolzano 
1. Si una función f es continua y no tiene ceros en un intervalo (a; b) entonces es 
f(x) > 0 en todo el intervalo o bien f(x) < 0 en todo el intervalo. 
2. Si f es una función continua y x1 y x2 son dos ceros consecutivos de f, entonces 
(x1; x2) es un intervallo de positividad o bien (x1; x2) es un intervalo de 
negatividad. 
 
 Ejemplo 4 
Hallá los intervalos de positividad y negatividad y realizá un gráfico aproximado de: 
f(x) = (-3)(x – 1)(x – 4)(x+3) 
Solución 
Los ceros de la función son: 
x1 = 1; x2 = 4 y x3 = -3 
Contamos de este modo con los puntos de intersección de la gráfica de f con el eje de 
abscisas. 
 Los ceros de la función determinan 
sobre la recta cuatro intervalos: 
(-∞; -3) , (-3; 1) , (1; 4) y (4; +∞) 
 
 Como las funciones polinómicas son funciones continuas en todo su dominio, 
podemos usar las consecuencias del Teorema de Bolzano para estudiar positividad y 
negatividad. 
Consideramos un punto que pertenezca a cada intervalo y vemos qué valor toma la 
función en el mismo. 
• En (-∞; -3) elijo x = -4. 
Es f(-4) = (-3)((-4) -1)((-4)- 4)((-4) +3) = 240. 
Como 240 > 0, f es positiva en (-∞; -3). 
• En (-3; 1) elijo x = 0. 
Es f(0) = (-3) (0 -1)(0- 4)(0 + 3) = -36 
Como -36 < 0, f es negativa en (-3; 1). 
• En (1; 4) elijo x = 2. 
Es f(2) = (-3) (2 -1)(2- 4)(2 + 3) = 30 
Como 30 > 0, f es positiva en (1; 4). 
• En (4; +∞) elijo x = 5. 
Es f(5) = (-3)(5 -1)(5- 4)(5 + 3) = -96 
Como -96 < 0, f es negativa en (4; +∞). 
Entonces es: 
C+ = (-∞; -3) ∪ (1;4) y −C = (-3; 1) ∪ (4; +∞) 
 
 
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 Para hacer el gráfico tenemos en cuenta: 
• que la función es continua 
• los ceros: C0= {-3; 1; 4} 
• la ordenada al origen: f(0) = -36 
• C+ = (-∞; -3) ∪ (4; +∞) 
• −C = (-3; 1)∪ (1; 4) 
 
 
 Ejemplo 5. 
Supongamos que f es una función polinómica. En el intervalo [-1; 2] es f(-1) = 2, 
f(0) = -1, f(2) = 3. 
¿Cuál es el número mínimo de ceros que puede tener f en ese intervalo? 
 
Solución 
 Como la función es polinominca, sabemos que es continua. En cualquier 
intervalo podemos usar el teorema de Bolzano, si se verifica que en los 
extremos del mismo la función cambia de signo. 
 Según los datos, en el intervalo 
 [-1; 2] esto no sucede porque 
 f(-1) = 2 > 0 y f(2) = 3 > 0 
como se observa en el gráfico. 
Pero, tenemos otra información: 
f(0) = -1. 
 Lo que nos está diciendo es que en x = 0 la función tiene signo contrario al de 
los extremos del intervalo [-1; 2] . 
Por lo tanto la gráfica debe atravesar el eje de abscisas en algún punto, como 
vemos en las gráficas, por lo que f debe terer algún cero allí. 
 
 
 Volvamos a nuestro intento de usar el teorema de Bolzano para justificar lo que 
analizamos. 
Podemos escribir el intervalo [-1; 2] como unión de [-1; 0] y [0; 2] 
[-1; 2] = [-1; 0] ∪ [0; 2] 
 Y analizamos cada intervalo : 
• En el [-1; 0] es f(-1) = 2 y f(0) = -2 
Como en los extremos del intervalo la función cambia de signos y además 
es continua, estamos en las condiciones de Bolzano y podemos afirmar que 
en este intervalo existe al menos un valor de x para los que la función es 
cero. 
 
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 • En el [0; 2] es f(0) = -2 y f(2) = 3 
Por lo mismo que antes, afirmamos que en este intervalo la función tiene al 
menos un cero. 
En consecuencia, el número mínimo de ceros que puede tener la función en el 
intervalo [-1; 2] es dos. 
 
 Ejemplo 6. 
Sea la función cuadrática f(x) = -2x2+ bx+ 5 
a) Calculá el valor de b ∈ ℜ de manera que 1 sea un cero de la función. 
b) Para el valor de b encontrado, determinar el conjunto de positividad de f. 
Solución 
a) Calculá el valor de b ∈ℜ de manera que 1 sea un cero de la función. 
Si 1 es un cero de la función entonces debe ser f(1) = 0. Si reemplazamos 
en la fórmula de la función podremos hallar b. 
f(1) = -2(1)2 + b.1 + 5 = 0 
Operando, es: 
-2 + b + 5 = 0 ⇔ b = - 3 
Entonces, para que f(1) = 0 debe ser b = -3 
b) Para el valor de b encontrado, determinar el conjunto de positividad de f. 
Reemplazando b en la fórmula de f, queda 
 f(x) = -2x2 -3x+ 5 
Para hallar el conjunto de positividad, y usar las consecuencias del 
teorema de Bolzano, debemos hallar los ceros de la función. 
De f ya conocemos un cero x = 1 (es dato). Debemos ver si posee otro 
cero. 
Hacemos -2x2 -3x+ 5 = 0 
Y, mediante la fórmula resolvente buscamos las raíces de la ecuación. 
a2
ac4b b- x,x
2
21
−±
= donde a = -2; b = -3 y c = 5 
1
4
4x
2
5
4
10x
4
73
4
409 3
)2(2
5)2(4)3( (-3)-
 x,x
21
2
21
=
−
−
=−=−=
−
±
=
−
+±
=
−
−−−±
=
 
Las raíces de -2x2 -3x+ 5 = 0 son 1xy
2
5x 21 =−= 
Recordemos que el dominio de f son los números reales. 
Los ceros, determinan en el dominio de la función tres intervalos. 
 
 
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( )∞+




−




 −∞− ;1;1;
2
5;
2
5; 
Consideramos un punto que pertenezca a cada intervalo y vemos qué valor 
toma la función en el mismo. 
En 




 −∞−
2
5; elijo x = -3; f(-3) = -2(-3)2 -3(-3)+ 5 = -4 
En 




 −∞−
2
5; f es negativa. 
 En 




− 1;
2
5 elijo x = 0; f(0) = -2(0)2 -3(0)+ 5 = 5 
En 




− 1;
2
5 f es positiva. 
 En ( )∞+;1 elijo x = 2; f(2) = -2(2)2 -3(2)+ 5 = -9 
En ( )∞+;1 f es negativa. 
 Entonces el conjunto de positividad de f es el intervalo 




− 1;
2
5 
 
 
 
 
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