4 Función lineal-1

Vista previa del material en texto

Modalidad virtual
Matemática par Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal
1
FUNCIONES LINEALES
Una función de la forma:
f:  / f(x) = ax + b
donde a y b son números reales, es una función lineal.
Son ejemplos de funciones lineales:
3)x(h/:h
1x
3
1-)x(g/:g
4xf(x)/:f



 La gráfica de una función lineal es una recta de ecuación y = ax + b.
Para las funciones f, g y h las respectivas gráficas son:
Para representar una función lineal es suficiente conocer dos puntos que pertenezcan a
su gráfica.
Ejemplo 1:
Para representar la función
f: /f(x) = - 2x+3
elegimos dos elementos del dominio y buscamos su imagen.
 x = 0 es f(0) = -2.0 + 3 = 3

2
3x  es 03
2
3.2
2
3f 





Como es
 f(0) = 3, el punto (0; 3) pertenece al gráfico de la
función.
 0
2
3f 



 , el punto 



 0;
2
3 pertenece al gráfico de la
función.
Los dos puntos determinan la recta de ecuación y = - 2x + 3
que es la gráfica de la función f.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal 2
Ejemplo 2:
En forma análoga, Para representar la función
f: /f(x) = 2x+3
elegimos dos elementos del dominio y buscamos su imagen.
 x = 0 es f(0) = 2.0 + 3 = 3

2
3x  es 03
2
3.2
2
3f 










Como es
 f(0) = 3, el punto (0; 3) pertenece al gráfico de la
función.
 0
2
3
f 



 , el punto 



 0;
2
3
pertenece al gráfico
de la función.
Los dos puntos determinan la recta de ecuación y = - 2x + 3
que es la gráfica de la función f.
 Se llama ordenada al origen al
valor que toma la función
cuando x = 0  f(0) = b
Si observamos las dos gráficas dibujadas
vemos que:
 Las dos cortan al eje y en el punto de
coordenadas (0; 3). A este punto se lo
llama ordenada al origen.
• f(x) = 0 significa que ax + b = 0
de donde
a
bx  .
•
a
bx  es el cero de la función
lineal.
• Las dos cortan al eje x.
Ambas funciones presentan un cero.
• La primera
2
3x
• La segunda en
2
3x 
Las funciones lineales de la forma
f(x) = ax + b (a0) son siempre
crecientes o decrecientes.
• La primera función es siempre
decreciente.
• La segunda función es siempre
creciente.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal 3
Otras
expresiones de
la función lineal
Las funciones que analizamos son de la forma f(x) = ax + b (a0). Veremos ahora
otras expresiones de la función lineal.
Funciones lineales de la forma f(x) = b
• Surge de hacer a = 0 en la expresión f(x) = ax + b
Por ejemplo: f(x) = 4
La gráfica de esta función es una recta
paralela al eje de abscisas.
Todos los puntos de la recta tienen la forma
(x; 3).
Estas rectas representan funciones
constantes.
Funciones lineales de la forma f(x) = ax; (a0).
Sus gráficas son rectas que pasan por el origen de coordenadas.
El punto (0; 0) pertenece a cualquiera de ellas.
Si en f(x) = ax; hacemos a = 2, resulta
f(x) = 2x
Si en f(x) = ax; hacemos a = 1, resulta
f(x) = x
Esta función recibe el nombre de función
identidad.
Si en f(x) = ax; hacemos a = - 2, resulta
f(x) = -2 x
Observamos que al variar el valor de la constante a varía la inclinación de las rectas.
Denominamos pendiente a la constante a.
• Si a > 0 la función es creciente.
• Si a < 0 la función es decreciente.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal 4
La pendiente a nos indica el aumento que experimenta y cuando x aumenta una
unidad.
Consideremos nuevamente la función f(x) = 2x.
Los puntos (1; 2) y (2; 4) pertenecen a la gráfica de f
Cuando x aumenta 1 unidad; y aumenta 2 unidades.
Lo mismo ocurre en las funciones de la forma
f(x) = ax + b (b0)
Consideremos la función f(x) = 3x + 1 y su
gráfica.
Los puntos (0; 1) y (1; 4) pertenecen a la
gráfica.
Cuando x aumenta una unidad, y aumenta
tres unidades.
Esta es una propiedad de las funciones lineales.
La pendiente a nos indica la variación que experimenta y cuando x varía en una
unidad.
Esta variación es constante.
En general si los puntos (x1; y1) y (x2; y2) con x1 x2 , pertenecen a la gráfica de f
para f(x) = ax + b (a 0) es:
a
xx
yy
12
12 


La pendiente a, nos da información acerca del crecimiento o decrecimiento de una
función lineal:
• Si es a > 0 la función es creciente
• Si es a < 0 la función es decreciente
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal 5
Ecuación de la
recta conocida
su pendiente y
un punto
Queremos encontrar una expresión que nos permita hallar la ecuación de una recta
cuando conocemos su pendiente y un punto de la misma.
Supongamos que la recta tiene pendiente a y pasa por el punto (x0; y0).
Sabemos que la expresión de la recta dada su pendiente y la ordenada al origen es
y = ax + b
Para hallar b, suplantamos las coordenadas del punto en la misma:
Tenemos:
y0 = ax0 + b
Despejamos b es:
y0 = ax0 + b  y0 – ax0 = b
Y reemplazamos en la ecuación y = ax + b
y = ax + y0 – ax0
Asociamos los términos en a
y = (ax – ax0) + y0
O bien
y = a(x – x0) + y0
Entonces, la ecuación de la recta de pendiente a y que pasa por (x0; y0), puede
expresarse;
y = a(x – x0) + y0 ó y - y0 = a(x – x0)
Por ejemplo: la recta y – 3 = 2 (x – 1) tiene pendiente 2 y pasa por (1; 3)
Si operamos en la expresión
y – 3 = 2 (x – 1)
tenemos y – 3 = 2 x – 2
y = 2 x – 2 + 3
y = 2x + 1
De este modo escribimos la ecuación de la recta en forma y = ax + b
Por lo que concluimos que las dos expresiones son equivalentes.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal 6
Ejemplos
resueltos
Ejemplo1.
Dada f: /f(x) = -2x+3
a) Hallá f(x) para
5
1
-x
b) Hallá x para que f(x) = 5
c) Decidí si es cierto que el punto (-3; 1) pertenece a la gráfica de f
Solución
a) Hallá f(x) para
5
1-x 
Debemos buscar la imagen de
5
1 . Esto es
5
1f 





Como f(x) = -2x+3 para hallar el valor de f(x) para
5
1-x es suficiente reemplazar
5
1-x  en la expresión de f.
Luego:
3
173
5
23
5
12-
5
1f 










3
17
5
1f 




b) Hallá x para que f(x) = 5
Nos piden encontrar para que elemento del dominio de f es f(x) = 5.
Si f(x) = 5 resulta, reemplazando por la fórmula de f, –2x+3 = 5.
De donde x = 1
Entonces: f(x) = 5 si x = 1
c) Decidí si es cierto que el punto (-3; 1) pertenece a la gráfica de f.
En este caso debemos ver si el punto (-3; 1) satisface la ecuación f(x) = -2x+3
Como x = -3 y f(x) = 1; reemplazando en f(x) = -2x+3, se tiene:
1 = -2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9
Con lo que se obtiene 1 = 9, lo que es absurdo.
Concluimos: el punto (-3; 1) no pertenece a la gráfica de f.
Ejemplo 2.
Hallá, en cada caso, la expresión de la función lineal f que verifica:
a) La recta que la representa tiene pendiente
3
1
 y ordenada al origen –1
b) f(-1) = 3 y f(1) = 2
c) Todos los puntos de su gráfica tienen ordenada -5
Solución
a) La recta que la representa tiene pendiente
3
1 y ordenada al origen –1
La gráfica de la función lineal es la recta de ecuación y = ax + b (a0), donde a es
la pendiente y b la ordenada al origen. Luego, para hallar la fórmula de f es
suficiente con reemplazar en la ecuación:
Lo hacemos y resulta: f(x) = 1x
3
1 
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal 7
b) f(-1) = 3 y f(1) = 2
La función f tiene la forma f(x) = ax + b.
Con los datos tenemos que hallar a y b.
Podemos escribir:
f(-1) = a(-1) + b = 3  -a + b = 3
f(1) = a . 1 + b = 2  a + b = 2
Nos queda un sistema de dos ecuaciones con incógnitas a y b.





2ba
3ba
Lo resolvemos por el método de sustitución
De la primer ecuación despejamos b:
-a + b = 3  b = 3 + a
Sustituimos b en la segunda ecuación:
a + (3 + a ) = 2
Resulta una ecuacióncon una sola incógnita:
a + (3 + a ) = 2  2a + 3 = 2  2 a = -1 
2
1
a 
Tenemos el valor de a. Ahora buscamos b reemplazando en b = 3 + a.
2
5
2
13b 
Reemplazando en f(x) = ax + b, es:
2
5
x
2
1
)x(f 
Vemos si se verifica f(-1) = 3 y f(1) = 2
2
2
5
2
1
2
5)1(
2
1)1(f
3
2
5
2
1
2
5)1(
2
1)1(f


Como verifica las condiciones dadas afirmamos que la fórmula de f es
2
5
x
2
1
)x(f 
c) Todos los puntos de su gráfica tienen
ordenada -5
Los puntos que pertenecen al gráfico de f son
de la forma: (x; -5). Por lo tanto f es la función
constante
f(x) = -5
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal 8
Ejemplo 3
Las gráficas definen dos funciones lineales. Hallá sus ecuaciones.
a) b)
Solución
a) La gráfica de f pasa por los puntos (0; 5) y (-4; 0)
Estos son respectivamente la ordenada al origen (b) y el cero de la función.
Como la función es de la forma f(x) = ax + b, por el primer punto sabemos que
b = 5.
Reemplazando, es
f(x) = ax + 5
Para determinar a usamos el segundo punto:
f(-4) = a(-4) + 5 = 0
Por lo que es a =
4
5
Luego f está dada por la expresión: 5x
4
5
)x(f 
(verificar reemplazando los puntos en la ecuación hallada)
Ejemplo 4
Dada la función definida mediante 3x
3
1)x(f 
a) ¿Qué punto se obtiene cuando x = 1?
b) Hallá el número real k para que el punto (8; k) pertenezca a la grafica de f.
Solución
a) ¿Qué punto se obtiene cuando x = 1?
Para poder contestar debemos hallar f(1)
3
83
3
131.
3
1)x(f 
El punto es 





3
8;1
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal 9
b) Hallá el número real k para que el punto (8; k) pertenezca a la grafica de f.
Si el punto (8; k) pertenece a la gráfica de la función quiere decir que k es la
imagen de 8.
Luego hacemos:
3
13
3
838.
3
1)8(f 
Por lo que es k =
3
1
Ejemplo 5
La recta que pasa por los puntos (-2; 4) y 




 3;
2
1 es la gráfica de una función lineal.
Dá la ecuación de la recta.
Solución
La recta tiene ecuación y = ax + b donde a es la pendiente y b la ordenada al
origen.
Podemos hallar a mediante la expresión:
12
12
xx
yy
a



Lo hacemos:
3
2
2
3
1
)2(
2
1
43a 


Entonces la recta tiene pendiente
3
2
a 
Si reemplazamos en la ecuación es:
bx
3
2y 
para hallar b, elegimos uno de os puntos, por ejemplo (-2; 4) y lo
reemplazamos en la ecuación anterior:
3
8b
3
44bb
3
44b)2(
3
24 
Luego la recta tiene ecuación:
3
8x
3
2y 
(Conviene verificar que los puntos pertenecen a la recta)
Ejemplo 6.
Sean f y g funciones lineales tales que:
a. La gráfica de f es la recta de pendiente 1 que pasa por P=(1; 0)
b. La gráfica de g es la recta que pasa por los puntos Q=(0;5) y R=(3;-1).
Determiná analíticamente el conjunto A ={ x/f(x) = g(x)}
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal 10
Solución
Para hallar el conjunto A debemos determinar primero las funciones f y g.
Como ambas son funciones lineales serán, respectivamente, de la forma:
f(x) = a1x + b1
g(x) = a2x + b2
Para hallar f tenemos en cuenta que la gráfica de f es una recta:
 De pendiente: a1 = 1.
Por lo que f(x) = 1x + b1 = x + b1
 Pasa por P = (1; 0), lo que significa que f(1) = 0. (Observamos que
x = 1 es un cero de f)
Usamos esta información para hallar la ordenada al origen.
Reemplazamos en f(x) = x + b1.
f(1) = 1 + b1 = 0  b1= -1
Luego, la fórmula de f es:
f(x) = x – 1
Buscamos la expresión de g.
 Como la gráfica de g es la recta que pasa por (0; 5), la ordenada
al origen es b2 = 5.
Luego g(x) = a2x + 5
 Otro punto que pertenece a la recta es (3; -1). Lo usamos para
determinar la pendiente.
Reemplazamos en g(x) = a2x + 5
g(3) = a23 + 5 = -1  a2 = -2
Por lo tanto, la fórmula de g es:
g(x) = -2x + 5
Entonces las rectas que buscamos son:
f(x) = x – 1
g(x) = -2x + 5
Ahora podemos ver cuáles son los elementos de
A ={ x/f(x) = g(x)}
Debemos resolver f(x) = g(x)
Reemplazamos por las expresiones que obtuvimos:
x – 1 = -2x + 5
En forma equivalente. x + 2x = 5 + 1
3x = 6
x = 2
Luego
A = { x/f(x) = g(x)} = {2}
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal 11
Observación importante:
El conjunto A sólo nos da la primera
componente del punto de intersección de
las dos rectas.
Para hallar la ordenada del punto de
intersección reemplazamos en la fórmula
de f o en la de g por x = 2.
Por ejemplo en la de f:
f(x) = x – 1
f(2) = 2 – 1 = 1
Por lo que la intersección de las dos
gráficas es el punto de coordenadas (2; 1)
Ejemplo 7
Dada la función lineal definida mediante f(x) = 2x + 4
a) Hallá x tal que f(x) = 0.
b) Hallá los valores de x para los que f(x) 0.
c) Graficar la función
Solución
a) Hallá x tal que f(x) = 0.
Para que f(x) = 0 debe ser 2x + 4 = 0.
Resolviendo la ecuación resulta x = -2.
Luego f(x) = 0 para x = 2
b) Hallá los valores de x para los que f(x) 0.
Para que f(x) 0 debe ser 2x + 4 0.
Resolviendo la inecuación resulta x -2.
Así, f(x) o si x está en el intervalo (-; -2].
c) Se sabe que la gráfica de la función f(x) = 2x + 4 es una recta.
Para dibujarla sólo se necesitan dos
puntos.
Uno lo encontramos en el punto: (-2; 0).
Otro punto puede ser el de la ordenada
al origen: (0; 4).
Con ellos representamos la recta.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal 12
Ejemplo 8
Pablo trabaja durante 10 días repartiendo publicidad. Le pagan $12 diarios.
a) Elaborá una tabla que refleje el número de días trabajados, n, y el dinero ganado,
g, en pesos.
b) Hacé una representación gráfica con los valores de la tabla.
c) Si en lugar de trabajar 10 días trabajara 20, ¿ganaría el doble?
d) Buscá una expresión algebraica que relacione el número de días, n, con el dinero
ganado, g.
Solución
a) Elaborá una tabla que refleje el número de días trabajados, n, y el dinero ganado,
g, en pesos.
n (número de días
trabajados) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
g (dinero ganado
en pesos) 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120
b) Hacé una representación gráfica con los valores de la tabla.
c) y d) Vemos que:
Si Pablo trabaja:
Un día, cobra 112 = 12  $12
Dos días, cobra 212 = 24  $24
Tres días, cobra 312 = 36  $36
Díez días, cobra 1012 = 120  $120
En general si Pablo trabaja
n días, cobra n . 12 pesos.
Las funciones del tipo: f(x) = a x
donde k es una constante, son
funciones de proporcionalidad
directa.
Su gráfico es una recta que pasa
por el origen y tiene ecuación
y = a x
Vemos que el dinero que gana depende
de la cantidad de días trabajados.
La expresión algebraica que relaciona el
número de días n con el dinero ganado g
es:
g(n) = 12n
Observamos que g sólo
está definida para valores
enteros positivos de n. En el
gráfico lo representamos
mediante puntos aislados.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función lineal 13
Ejemplo 9
Para cierto juguete la demanda semanal, D se relaciona con su precio p en dólares mediante
la ecuación y = D(p) = 1000 – 40p para 0p 25.
La oferta semanal O f está expresada por la función lineal Of(p) = 15p + 340
a) Calcula el precio para el cual la oferta es igual a la demanda.
b) En ese caso, ¿cuántos juguetes serán demandados?
Solución.
a) Calcula el precio para el cual la oferta es igual a la demanda.
Para hacerlo solo tenemos que ver para qué valor de p es D(p) = Of(p)
Planteamos:
D(p) = O f(p)  1000 – 40p = 15p + 340
Y resolvemos
1000 – 40p = 15p + 340  1000 – 340 = 15 p + 40 p
 660 = 55 p
 660 : 55 = p
 12 = p
El precio para el cual la oferta iguala a la demanda es de 12 dólares.
Observación: Se conoce como punto de equilibrio al precio para el cual la oferta
iguala a la demanda.
b) En ese caso,¿cuántos juguetes serán demandados?
Para saber cuántos juguetes serán demandados cuando el precio es de 12 dólares,
reemplazamos en la fórmula de D.
D (12) = 1000 – 40. 12 = 1000 – 480 = 520
Serán demandados 520 juguetes cuando el precio es de 12 dólares.
Ejemplo 10.
Les dejamos este video .