5 Función cuadrática-1

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UBA XXI – MÁTEMATICA - Función cuadrática
1
FUNCIONES CUADRATICAS
Llamamos funciones cuadráticas a aquellas cuya expresión es
f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c son números reales y a0.
Las funciones cuadráticas son funciones continuas y tienen como dominio al conjunto de
los números reales.
Son funciones cuadráticas por ejemplo:
f(x) = x2 + 2 f(x) = (x – 5)2 -
2
1 f(x) = -x2 + 5
Las gráficas de las funciones cuadráticas
son parábolas.
.
f(x) = ax2 Funciones cuadráticas de fórmula f(x) = ax2
Si en la expresión f(x) = ax2 + bx + c, con a0., hacemos b = c = 0, resulta, f(x) = ax2.
 Su dominio es el conjunto de los números reales: Dom(f )=.
 La representación gráfica de esta función es una parábola de ecuación
y = ax2
Vamos a representar el caso en que a = 1.
La expresión f(x) = x2 relaciona cada número real con su cuadrado.
Para hacer una tabla de valores, podemos elegir valores de x simétricos con
respecto al origen de coordenadas.
Por ejemplo:
(-2)2 = 22
Lo hacemos:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) = x2 9 4 1 0 1 4 9
Luego:
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Representamos los puntos Y obtenemos la gráfica
Observando la gráfica, podemos dar una descripción de la función f(x) = x2
 El conjunto de imágenes es Im(f) = 0 = [0; +)
 C0 = {0}
 La función es siempre positiva. C+ = 
 Decrece en el intervalo (-; 0) y crece en el intervalo (0; +).
 En x = 0 la función alcanza su valor mínimo
Y una descripción de la parábola:
 El gráfico es simétrico respecto al eje “y”. Se dice que el eje “y” es el eje
de simetría de la parábola y su ecuación es x = 0.
 El punto (0;0) es el vértice de la parábola.
 El gráfico de y = x2 tiene un mínimo en el vértice.
 La abscisa del vértice pertenece al eje de simetría.
Las características que describimos para la gráfica de la función f(x) = x2 son también las de
la familia de funciones cuadráticas de la forma f(x) = a x2, con a0.
• En todos los casos el vértice de la
parábola es el punto V = (0; 0)
En algunos casos la ordenada del
vértice es un valor mínimo y en
otros, máximo.
• El eje de simetría es x = 0.
• Si a < 0, la parábola tiene las
ramas abiertas hacia abajo.
• Si a > 0, la parábola tiene las ramas
abiertas hacia arriba.
2x
2
1)x(f 
2x
2
1
)x(f 2x
4
1
)x(f 
2x
4
1
-)x(f  2x-)x(f 
2x)x(f  22x)x(f 
22x-)x(f 
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Muchos fenómenos se describen con funciones
cuadráticas. Vean este video.
Desarrollamos un ejemplo.
Ejemplo 1
Un móvil se desplaza durante 5 segundos recorriendo una distancia que responde a la
siguiente fórmula e = 3 t2, donde e es la distancia (en metros) y t es el tiempo (en
segundos) empleado en recorrerla.
a) Dar el dominio de la función y el conjunto de imágenes.
b) Representar la distancia recorrida en función del tiempo.
c) ¿Qué distancia recorrió el móvil entre el tercer y el cuarto segundo?
d) ¿Cuánto tiempo demora en recorrer 27 metros?
Resolvemos:
Observemos que el espacio está en función del tiempo. Podemos escribir e(t) = 3t2.
a) El dominio de la función es el intervalo [0; 5] ya que el móvil se desplaza sólo por 5
segundos y a los 0 segundos está detenido.
Para hallar el conjunto de imágenes hagamos 0 t 5
Elevando al cuadrado es: 02t2 52
0 t2 25
Multiplicando miembro a miembro por 3 3.0 3. t2 3.25
Luego 0 3. t2 75
O bien 0 e(t) 75
Entonces e(t) pertenece al intervalo [0; 75], con lo que el conjunto de imágenes es
Im(e)= [0; 75]
.
b) Y la gráfica de la función es una rama
de parábola como lo muestra la
imagen
c) Para saber qué distancia recorrió entre el tercer y el cuarto segundo, hacemos:
e(4) – e(3) = 3.42 – 3.32 = 48 – 27 = 21
Entonces entre el tercer y cuarto segundo recorrió 21 metros.
d) Finalmente para saber en qué tiempo recorre 27metros; si tenemos en cuenta que e(t) =
27, planteamos:
27 = 3. t2  27: 3 = t2  9 = t2 t = 3
Luego recorrió 27 metros en 3 segundos.
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f(x) = ax2 + c Funciones cuadráticas de fórmula f(x) = ax2 + c
En el apartado anterior trabajamos con funciones cuadráticas de la forma f(x) = ax2.
Si a la fórmula de la función le sumamos un número real, la expresión resulta
f(x) = ax2 + c.
Vemos cómo se comporta la gráfica.
f(x) = x2 + 2 (en este caso c = 2) f(x) = x2 – 2 (en este caso c = -2)
En ambas parábolas el eje de simetría es el eje y de ecuación x = 0.
En el gráfico y = x2 + 2
 la parábola asciende dos unidades
con respecto a la gráfica de x2.
 el vértice se encuentra ahora en V
= (0; 2)
 y la imagen de la función es el
intervalo [2; +).
 La parábola no corta al eje de
abscisas en ningún punto.
 Lo que indica que la función no se
anula para ningún valor de x
f(x) = 0  x2 +2  0  x2 = -2
y no existe ningún número real
cuyo cuadrado sea menor que
cero.
C0 = 
En el gráfico y = x2 - 2
 la parábola desciende dos unidades
con respecto a la gráfica de x2.
 el vértice se encuentra ahora en
V= (0; -2)
 y la imagen de la función es el
intervalo [-2; +).
 La parábola corta al eje de abscisas
en dos puntos.
 Lo que indica que la función tiene
dos ceros:
f(x) = 0  x2 –2 = 0  x2 = 2
 |x| = 2  2xó2x 
Luego es:
C0 = {-2; 2}
Para representar funciones de la forma f(x) = ax2 + c se trasladan |c| unidades las
ordenadas de los puntos de la gráfica de f(x) = ax2 .
• El vértice está en (0; c)
• El eje de simetría es la recta x = 0.
• La abscisa del vértice pertenece al eje de simetría.
• El conjunto de imágenes de la función es:
[c; +) si a >0 ó (-; c] si a < 0
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f(x) = a (x-b)2 Funciones cuadráticas de fórmula f(x) = a (x-b)2
En forma análoga vemos qué sucede con la grafica de la función cuando restamos a x
un número real b.
f(x) = (x-1)2 (en este caso b = 1) f(x) = (x+1)2 (en este caso b = -1)
• El vértice la parábola se desplazó un
lugar hacia la derecha, en relación a
la gráfica de x2.
• El vértice está en V = (1; 0).
• El eje de simetría es la recta x = 1
• La parábola corta al eje y en y = 1
(ordenada al origen) ya que para
x = 0 es (x-1)2 = (0-1)2 = 1
• La intersección con el eje x es el
punto (1; 0)
• El cero de la función es x = 1.
f(x) = 0  (x – 1)2 = 0  x - 1 = 0
 x = 1
• El conjunto de imágenes es [0; +)
• El vértice la parábola se desplazó
un lugar hacia la izquierda, en
relación a la gráfica de x2.
• El vértice está en V = (-1; 0)
• El eje de simetría es la recta x = -1
• La parábola corta al eje y en y = 1
(ordenada al origen) ya que para
x = 0 es (x+1)2 = (0+1)2 = 1
• La intersección con el eje x es el
punto (-1; 0)
• El cero de la función es x = -1.
• f(x) = 0  (x +1)2 = 0 x + 1 = 0
x = -1
• El conjunto de imágenes es [0; +)
Para representar funciones de la forma f(x) = (x – b)2 se trasladan |b| unidades las
abscisas de los puntos de la gráfica de f(x) = ax2.
• El vértice está en (b; 0)
• El eje de simetría es la recta x = b.
• La abscisa del vértice pertenece al eje de simetría.
• El conjunto de imágenes de la función es:
o [0; +) si a >0
o (-; 0] si a < 0
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f(x) =a (x-b)2 + c Expresión canónica de las funciones cuadráticas: f(x) = a (x-b)2 + c
La gráfica de la función reúne las características de los dos casos anteriores
f(x) = (x-1)2 + 2
(en este caso es b = 1 y c = 2)
 El vértice de la parábola se trasladó
un lugar hacia la izquierda y dos
hacia arriba en relación a la gráfica
de x2. V = (1; 2)
 las coordenadas del vértice son,
respectivamente los valores de b
y c de la fórmula.
 El eje de simetríaes la recta de ecuación x = 1
 La parábola corta al eje y en y = 3 (ordenada al origen) ya que para x = 0 es
y = (0-1)2 +2 = 3
 En este ejemplo, no hay intersección con el eje de abscisas. Por tanto la función no
tiene ceros.
 La imagen de la función es Im(f) = [2; +)
Para representar funciones de la forma f(x) = a (x-b)2 + c a partir del gráfico de f(x) = ax2
tenemos en cuenta que:
• La gráfica de f(x) = a (x-b)2 + c se obtiene trasladando la gráfica de f(x) = ax2 :
o Si b > 0; |b| unidades hacia la derecha.
o Si b < 0; |b| unidades hacia la izquierda.
o Si c > 0; |c| unidades hacia arriba.
o Si c < 0; |c| unidades hacia abajo.
• El vértice es el punto (b; c).
• El eje de simetría es la recta de ecuación x = b.
• La abscisa del vértice pertenece al eje de simetría.
• El conjunto de imágenes de la función es:
o [c; +) si a >0.
o (-; c] si a < 0.
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f(x) = ax2 + bx +c Funciones cuadráticas de fórmula f(x) = ax2 + bx +c
A las funciones cuadráticas que tienen esta fórmula se las denomina completas.
Su gráfica es también una parábola. Para poder representarla, es necesario hallar alguno
de sus elementos:
 ordenada al origen.
 intersección con el eje de abscisas.
 eje de simetría
 vértice
f(x) = 2x2 + 6x + 4
Para graficarla buscamos los elementos señalados
 ordenada al origen.
Recordamos que es el valor que toma la
función cuando x = 0
f(0) = 4
 La parábola corta al eje de ordenadas en
(0; 4)
 intersección con el eje de abscisas.
Debemos hallar las raíces de la ecuación
2x2 + 6x + 4 = 0
Usamos la fórmula
a2
ac4bb-
x,x
2
21


En este caso es a = 2; b = 6 y c = 4. Reemplazando:
4
26-
4
46-
4
32-366-
2.2
4.2.466-x;x
2
21





De donde: x1 = -2; x2 = -1
Entonces la gráfica corta al eje de abscisas
en (-2; 0) y (-1; 0)
 eje de simetría
El eje de simetría pasa por el punto medio de las
raíces. Podemos encontrar este punto haciendo:
2
xx
x 21


donde x1 y x2 son las abscisas de las raíces.
2
3
2
)1()2(
x 


Luego el eje de simetría de la parábola es la recta
x =
2
3
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 vértice
El vértice es el único punto de la parábola que pertenece al eje de simetría, por
lo que su abscisa es
xv = 2
3

La ordenada del vértice la encontramos
reemplazando en la fórmula de la función:
4
2
3
6
2
3
2)x(f
2
v 








2
-1
)f(xx 
Luego 




2
1-
;
2
3
V
Con esta información completamos la grafica
de la función
Para graficar las funciones de la forma f(x) = ax2 + bx +c; buscamos:
• Ordenada al origen: f(0)
• Intersección con el eje de abscisas, resolviendo la ecuación ax2 + bx +c = 0
a2
ac4bb-x,x
2
21

o Si b2 – 4 ac = 0 ; la función tiene un cero y la gráfica corta al eje x
solamente en un punto.
o Si b2 – 4 ac > 0; la función tiene dos ceros y la gráfica corta al eje x en
dos puntos.
o Si b2 – 4 ac < 0; la función no tiene ceros y la gráfica no corta al eje x.
• Eje de simetría: recta de ecuación
2
xx
x 21

 donde x1 y x2 son las raíces de
la ecuación ax2 + bx +c = 0
• Coordenadas del vértice:
 vv
vv
21
v
y;xV
)f(xy;
2
xx
x




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Coordenadas
del vértice de
la parábola
Se puede demostrar que para la parábola de ecuación y = ax2 + bx +c, el vértice queda
definido mediante









4a
b
-
a
c
;
2a
b-
V
2
o bien 






 

4a
ac4b
;
2a
b-
V
2
donde 





a2
b
f
4a
ac4b2
Entonces es:












2a
b-f;
2a
b-V
En forma práctica para hallar las coordenadas del vértice tomamos como abscisa
a2
b y
calculamos la ordenada obteniendo el valor de ax2 + bx +c, para x =
a2
b .
Conviene recordar aquí que si la función tiene la forma:
f(x) = a (x - b )2 + c
las coordenadas del vértice son
xv = b yv = c
Por lo que es
V = (b; c)
Resumimos las características de la función cuadrática de fórmula f(x) = ax2 + bx + c
Si a < 0
• La función es creciente en el
intervalo
a2
b;- 



  , donde
a2
b es
la abscisa del vértice .
• La función es decreciente en el
intervalo ;
a2
b 



  .
La función alcanza su máximo cuando
x =
a2
b y dicho valor es igual a 





a2
bf .
Si a > 0
• La función es decreciente en el
intervalo
a2
b;- 



  , donde
a2
b es
la abscisa del vértice .
• La función es creciente en el
intervalo ;
a2
b 



  .
La función alcanza su mínimo cuando
x =
a2
b y dicho valor es igual a 





a2
bf .
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En este vínculo pueden ver el análisis de una función
cuadrática de la forma
f(x) = ax2 + bx
Ejemplos Resolvemos algunos ejemplos
Ejemplo 1.
En cada caso dá las coordenadas del vértice y la forma que tienen las parábolas que
representan las siguientes funciones.
a) f(x) = -3(x - 5)2 + 4
b) f(x) = 5x2 + 3
c) f(x) =
2
1-xx
2
1 2 
Respondemos
a) la fórmula que define la función es de la forma:
f(x) = a(x-b)2 + c.
En este caso sabemos que b y c son las coordenadas del
vértice.
Luego V = (5; 4)
Como es a < 0, en el vértice tenemos el máximo de la parábola, las ramas de la
misma están orientadas hacia abajo.
b) la fórmula de la función es del tipo f(x) = ax2 + c. Se produce un
corrimiento de la gráfica de ax2 tres lugares hacia arriba.
El vértice está en V= (0; 3) .
Como a > 0, el vértice es mínimo de la parábola. Sus ramas están
orientadas hacia arriba.
c) Para hallar las coordenadas del vértice de f(x) =
2
1-xx
2
1 2  tomamos como
abscisa
a2
b y calculamos la ordenada reemplazando en la
función.
Así es: 1
2
1
2
1
xv 

 e yv = f(1) = 0
2
1
-11.
2
1 2 
Luego V = (1; 0)
Como es a = 5 > 0 las ramas de la parábola están hacia arriba.
Ejemplo 2
Dada f:/ f(x) = -2x2 + 8x –6, hallá:
a) Los ceros y el conjunto de imágenes.
b) Conjuntos de positividad y negatividad.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) La gráfica.
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Resolvemos
a) Comencemos buscando los ceros de la función. Planteamos
f(x) = 0  -2x2 + 8x –6 = 0
Usando la formula resolvente
a2
ac4bb-x,x
2
21
 donde a = -2; b = 8 y c = -6.
Reemplazando es
)2(2
)6)(2(488-
x,x
2
21 

 .
Luego de operar, hallamos x1 =1 y x2 = 3
Entonces el conjunto de ceros de la función es
C0 = {1; 3}
Para buscar el conjunto de imágenes recordemos que si a < 0 la parábola tiene
un máximo en el vértice. Entonces buscamos las coordenadas del mismo.
Como
2
xx
x 21v

 ; donde x1 y x2 son los ceros de la función, tenemos que
2
31
xv

 ; xv = 2.
Y reemplazando en la ecuación y = -2x2 + 8x –6 hallamos la ordenada del
vértice.
yv = -2.22 + 8 . 2 – 6 = -8 + 16 –6 = 2.
Luego V = (2; 2)
El valor máximo que toma la función es f(x) = 2 para x = 2.
El conjunto de imágenes es, entonces, Im f = (-; 2]
b) Buscamos el conjunto de positividad (C+).
Esto es los elementos del dominio para los
cuales es f(x) > 0.
A partir del gráfico se tiene:
Para los valores de x comprendidos entre 1
y 3 (los ceros de la función) la gráfica
queda toda por encima del eje x. Las
imágenes son todas positivas.
Así C+ = (1; 3).
Análogamente para los valores de x
menores que 1 o mayores que 3 la gráfica
queda toda por debajo del eje x. Las
imágenes son todas negativas.
Así C - = (-; 1) (3; +).
c) Observamos además que x < 2 la función es siempre creciente. El intervalo de
crecimiento es (-; 2).
Para valores de x >2, la función es siempre decreciente. El intervalo de
decrecimiento de la función es (2; +).
Observación: en este ejemplo buscamoslos intervalos de positividad y negatividad a
partir del gráfico. Analíticamente deberíamos hacerlo resolviendo las inecuaciones:
-2x2 + 8x – 6 > 0 y -2x2 + 8x – 6 < 0
Se los dejamos como ejercicio.
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Ejemplo 3
Una función cuadrática alcanza en x = 1 un mínimo igual a - 3. Por otra parte f(0) = -1 y
f(3) = 5. Determiná sin cálculo f(2) y f(-1).
Solución
Tratemos de interpretar la información que nos dan.
 Como es una función cuadrática,
sabemos su gráfica es una parábola,
por lo que el mínimo está en el vértice
de la parábola.
Por lo que es V = (1; -3)
 Además sabemos que el eje de
simetría pasa por la abscisa del
vértice por lo que su ecuación es
x = 1
 Y además tenemos los puntos (0; -1)
y (3; 5)
Tenemos que relacionar esta información entre sí.
Como los puntos de la parábola son simétricos respecto al eje, sabemos que dos
puntos cuyas abscisas equidisten del eje tienen la misma imagen.
Para encontrar f(2) y f(-1) veamos de cuál de los dos puntos dados son simétricos x = 2
y x = -1.
 2 es simétrico de 0 respecto al eje ya que 2 y 0 están a distancia 1 del eje de
simetría. Entonces tienen la misma imagen, por lo que es
f(0) = f(2) = -1
 -1 y 3 están a distancia 2 del eje de simetría. Entonces tienen la misma
imagen, por lo que es
f(3) = f(-1) = 5
Ejemplo 4
La distancia de frenado d (en metros) de un coche que circula a una velocidad v km/h
se calcula por la fórmula
150
v
5
v
d
2

a) Un coche circula a 120 km/h. ¿Cuántos metros recorrerá después de pisar el
freno?
b) ¿Qué velocidades permiten frenar en menos de 12 m?
c) Dibujá la gráfica que relaciona d con v.
Resolvemos:
a) Como la velocidad en que circula el coche es de 120 km/h, para averiguar cuántos
metros recorre después de pisar el freno, es suficiente con reemplazar este valor en
la fórmula de frenado. Así es:
120
150
14400
42
150
'120
5
120
d
2

Entonces recorrerá 120 metros luego de pisar el freno.
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b) Consideremos d < 12.
Por lo que es: 12
150
v
5
v 2  .
O en forma equivalente:
v2 + 30v -1800 < 0
Las raíces de v2 + 30v -1800 = 0 son v1 = 30 y v2 = -60 (verificarlo)
Por lo que es v2 + 30v -1800 = (v – 30) (v + 60)
Entonces podemos escribir
(v – 30) (v + 60) < 0
Resolviendo la inecuación hallamos que debe ser
v < 30, (verificarlo)
de donde v (0; 30)
Luego las velocidades que permiten frenar en menos
de 12 metros pertenecen al intervalo
(0; 30)
c. El gráfico de la función se muestra a la derecha.
Ejemplo 5
Miren este video acerca del movimiento de un
proyectil.
Ejemplo 6
Si se conoce que la relación entre el costo de fabricar un producto y la cantidad
producida es 1000q30q)q(C 2  , donde C representa el costo, en pesos, y q la
cantidad; hallar
a) el costo de producir 20 unidades
b) el costo de producir la vigésima unidad
Respondemos
a) El costo de producir 20 unidades lo hallamos buscando la imagen de 20 por la
función C.
q = 20  20001000203020)20(C 2 
Por lo tanto, el costo de producir 20 unidades es de $ 2000
c) Conocemos el costo de producir 20 unidades. Para hallar el costo de producir la
vigésima unidad es suficiente hacer:
costo de producir 20 unidades – costo de producir 19 unidades (1)
Para ello hay que calcular el costo de producir 19 unidades.
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q = 19  9311000193019)19(C 2 
Por lo tanto, el costo de producir 19 unidades es de $ 931
Luego; en (1):
$2000 – $931 = $1069
La vigésima unidad cuesta $1069
Ejemplo 7
El precio p y el costo c de n artículos están dados por las funciones:
p(n) = 300 -10n y c(n) = 690 + 40n
a) ¿Cuántos artículos se deben vender para que sea máximo el ingreso?
b) ¿Cuántos artículos se deben vender para que sea máxima la ganancia?
Respondemos
Para resolver debemos tener en cuenta que:
Ingreso = precio de venta (por unidad) x cantidad de artículos vendidos
I = p x n
Ganancia = Ingreso – costo
G = I – c
a) ¿Cuántos artículos se deben vender para que sea máximo el ingreso?
De acuerdo con lo anterior, la función ingreso es:
I(n) = (300 -10n).n
que es una función cuadrática con variable independiente n (el ingreso depende
de la cantidad de artículos vendidos).
Para hallar el máximo debemos hallar la abscisa del vértice de la parábola que la
representa.
Como la abscisa del vértice está en el punto medio de las raíces (n = 0 y n = 30)
es nv = 15.
Por lo que, para que el ingreso sea máximo se deben vender 15 artículos.
b) ¿Cuántos artículos se deben vender para que sea máxima la ganancia?
Si la ganancia es G = I – c, entonces es
G(n) = I(n) – c(n)
G(n) = (300 - 10n) . n - (690 + 40 n)
G(n) = 300n -10n2 - 690 – 40 n
= -10 n2 + 260n – 690
Nuevamente, tenemos una función cuadrática con variable independiente n (la
ganancia depende de la cantidad de artículos vendidos)
Para hallar el máximo debemos hallar la abscisa del vértice de la parábola que la
representa. Hacemos:
a2
b
nv
 donde b = 260 y a = -10
13
)10(2
260
nv 


Luego para la ganancia sea máxima se deben vender 13 artículos.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Función cuadrática 15
Ejemplo 8
Para un cierto producto la oferta está dada por O f(p) = 10p + 500 y la demanda por
D(p) = -p2 + 2500, donde p es el precio del producto.
Determiná analíticamente el punto de equilibrio entre la oferta y la demanda.
Solución
Tenemos en cuenta que determinar el punto de equilibrio de mercado, es calcular el
precio para el cual la cantidad de productos ofrecidos coincide con la cantidad de
productos demandados.
De acuerdo con ello, debemos plantear para qué valor de p es Of(p) = D(p)
Lo hacemos:
Of(p) = D(p)  10p + 500 = -p
2 + 2500
10p + 500 + p2 - 2500 = 0
p2 + 10 p – 2000 = 0
Las raíces de esta ecuación son p = 40 y p = - 50 (verifíquenlo)
Ahora, p = - 50 lo descartamos pues el precio no puede ser negativo.
Entonces la única solución es p = 40.
Luego, la demanda y la oferta están en equilibrio cuando el precio del producto es de
40 pesos.
Observar que cuando el precio es de 40 pesos, la demanda es de 900 unidades del
producto (la misma cantidad que la ofertada). Esto se conoce calculando O f(40) ó
D(40).