7 Polinomios-1

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1
POLINOMIOS1
.
En este apartado nos ocuparemos de expresiones algebraicas usuales en matemática
denominadas polinomios.
Son polinomios las expresiones:
yzx
2
3 2
3x2yz + 5xy2
x2 + 8x +1
-x2 + 3x – 2 + 5x
 En la expresión yzx
2
3 2 no aparecen sumas ni restas. Las únicas operaciones
entre las variables son las de multiplicación y potenciación. Esta expresión es
un polinomio de un solo término, por eso se lo llama monomio.
 3x2yz + 5xy2 es una suma de monomios. Como tiene dos términos se lo llama
binomio.
 x2 + 8x +1 es un polinomio con tres términos, se lo llama trinomio.
 Tanto en x2 + 8x +1 como en -x2 + 3x – 2 + 5x hay una sola variable, la x. Se
dice que es un polinomio en una indeterminada.
Definición Un polinomio de una variable x es una expresión de la forma
P(x) = nn
2
210 xa...xaxaa 
donde:
• x es la variable o indeterminada.
• an, an-1, ..., a2, a1, a0 son números reales y n es un número entero no
negativo.
• an, an-1, ..., a2, a1, a0 se denominan coeficientes.
• a0 es el término independiente.
• Si an 0, an es el coeficiente principal y n es el grado del polinomio.
Términos semejantes : Dos términos de un polinomio que difieren sólo en sus
coeficientes numéricos se llaman semejantes.
Ejemplo:
En P(x) = -x2 + 3x – 2 + 5x son semejantes los términos 3x y 5x.
Valor numérico de un polinomio.
Es el valor que toma un polinomio
al sustituir la indeterminada x por
un cierto número.
Ejemplo.
Si en P(x) = -x2 + 3x – 2 se hace x = -1
resulta:
P(-1) = -(-1)2 + 3(-1) –2 = -6
Luego P(-1) = -6
1Elizondo, Giuggiolini Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones, UBA XXI, 2007
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Igualdad
entre
polinomios
Sean P(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ...+ anx
n y Q(x) = b0 + b1x + b2x
2 + ...+ bnx
n dos
polinomios, entonces
P(x) = Q(x)  a i = bi para cada i = 0,1, 2, ... , n
Observación:
Para que dos polinomios sean iguales se
debe verificar que sean del mismo grado
y que los coeficientes de los términos
semejantes sean iguales.
Ejemplo
Los polinomios
P(x) = 2x3 + 3x2 + 1
y Q(x) = 2x3 + 3x2 + 0x + 1
son iguales según la definición.
Operaciones
con
polinomios
Suma de polinomios
La suma de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio cuyos términos son la suma de
los términos del mismo grado de ambos polinomios.
El grado del polinomio suma es menor o igual que el grado del polinomio de mayor grado.
Definición
Se denominan polinomios opuestos a aquellos que tienen opuestos los coeficientes de los
términos semejantes.
Así, el opuesto de P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn
es –P(x) = -(a0 + a1x + a2x
2 + ...+ anx
n ) = -a0 - a1x - a2x
2 - ...- anx
n
Resta de polinomios
La diferencia entre P(x) y Q(x) es el polinomio que se obtiene sumando a P(x) el
opuesto de Q(x).
P(x) - Q(x) = P(x) + [-Q(x)]
Ejemplo:
Siendo P(x) = 3x5 – 2x2 + 4x –1 y Q(x) = 2x4– 5x2 + 5x –1, es
P(x) + Q(x) = (3x5 – 2x2 + 4x –1) + (2x4 – 5x2 + 5x –1)
= 3x5 + 2x4 – 3x2 + 9x – 2
y
P(x) - Q(x) = P(x) + [-Q(x)]
= (3x5 – 2x2 + 4x –1) + [– (2x4 – 5x2 + 5x –1)]
= (3x5 – 2x2 + 4x –1) + (–2x4 + 5x2 – 5x +1)
= 3x5– 2x4 + 3x2 – x
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Estas operaciones se pueden realizar situando los términos semejantes en columnas:
Siendo P(x) = 3x5 - 2x2 + 4x –1 y Q(x) = 2x4 - 5x2 + 5x –1 para hallar
 P(x) + Q(x):
3x5 + + 2x2 + 4x –1
+
+ 2x4 – 5x2 + 5x – 1
3x5 + 2x4 – 3 x2 + 9x – 2
 P(x) – Q(x) = P(x) + [-Q(x)]
3x5 + + 2x2 + 4x –1
+
– 2x4 – 5x2 – 5x + 1
3x5 – 2x4 – 3 x2 – x + 0
Multiplicación de un polinomio por un número real
La multiplicación de un número real k por el polinomio P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn
es el polinomio
A(x) = kP(x) = k a0 + k a1x + k a2x2 + ...+ k anxn.
Ejemplo:
Dado P(x) = -3x3 + 5 x – 3 y el número real k = -2 hallar k P(x)
Solución
k P(x) = (-2) (-3x3 + 5 x – 3)
= (-2) (-3x3) + (-2) 5x + (-2) (-3)
= 6 x3 –10 x + 6
Multiplicación de polinomios
La multiplicación de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio que se obtiene
multiplicando cada término de uno de ellos por cada término del otro y sumando los
términos semejantes si los hubiera.
Observar que:
• El resultado se obtiene de aplicar la propiedad distributiva y sumar los términos
semejantes.
• El grado del polinomio producto siempre es igual a la suma de los grados de los
polinomios dados.
Ejemplo:
Si P(x) = x2 – x –1 y Q(x) = x3 – 3x2 + 2 es
P(x) Q(x) = (x2 – x –1) (x3 – 3x2 + 2)
= (x2 – x – 1) x3 + (x2 – x – 1) (–3x2) + (x2 – x –1) 2
= x5 – x4 – x3 –3x4 + 3x3 + 3x2 + 2x2 – 2x – 2
= x5 – 4x4 +2x3 +5x2 – 2x – 2
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• También podemos disponerlos en columna:
Propiedades de las operaciones entre polinomios
La suma de polinomios verifica las propiedades:
• Asociativa: [P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)]
• Conmutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)
• Existe elemento neutro: polinomio nulo
• Cada polinomio tiene un opuesto
La multiplicación de polinomios verifica las propiedades:
• Asociativa: [P(x) Q(x)] R(x) = P(x) [Q(x) R(x)]
• Conmutativa : [P(x) Q(x)] = Q(x) P(x)
• Existe elemento neutro: el 1 considerado como polinomio de grado 0.
• No existe inverso multiplicativo: dado un polinomio cualquiera no existe otro que
multiplicado por aquél de 1.
Por último, se verifica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
P(x) [Q(x) + R(x)] = P(x) Q(x) + P(x) R(x)
Para
recordar
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
Porque:
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
= a a + a b + b a + b b
= a2 + 2 a b + b2
Ejemplo.
(6 x + 2)2 = (6x + 2 ) (6x+2)
= 6x6x + 26x + 6x2 + 22
= 36x2 + 4 6x + 4
= 36x2 + 24 x + 4
Cuadrado
de un
binomio
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
Porque:
(a - b)2 = (a - b) (a - b)
= aa + ab - ba + (-b)(- b)
= a2 - 2 a b + b2
Ejemplo.
(6 x - 2)2= (6x - 2 )(6x - 2)
= 6x6x +(-2)6x+ 6x(-2) + (-2)(-2)
= 36x2 - 4 6x + 4
= 36x2 - 24 x + 4
Diferencia
de
cuadrados
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Porque:
(a + b) (a - b) = aa - ab + ba - bb
= a2 - b2
Ejemplo.
(4x + 1)(4x - 1) = 4x4x + 4x (-1)+1.4x+1 (-1)
= 16 x2 – 4x + 4x -1
= 16 x2 – 1
x2 – x –1
x3 – 3x2 + 2
2x2 – 2x – 2
– 3x4+ 3x3 + 3x2
x5 – x4 – x3
x5 – 4x4 + 2x3+ 5x2– 2x – 2
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División de
polinomios
Dividir un polinomio P(x) (dividendo) entre otro polinomio D(x) (divisor) es encontrar otros dos
polinomios C(x) llamado cociente entero y R(x) llamado resto, de forma que se verifique que:
P(x) = D(x) · C(x) + R(x)
siendo el grado del resto menor que el grado del divisor.
• Cuando el resto del polinomio es nulo se dice que la división es exacta y que el polinomio
P(X) es divisible por D(x)
Ejemplo 1.
P(x) = 10 x – 3 y D(x) = x – 1
Para dividir P(x) por D(x) se procede en forma similar a la división con números naturales.
Observar que
• el cociente C(x) = 10
• el resto R(x) = 7
Además podemos escribir:
10 x – 3 = 10 (x – 1) + 7
Ejemplo 2.
Hallar P(x) : Q(x) si P(x) = 2x5 – 3x4 – 5x3 –2x2 + x + 3
Q(x) = x2 – x + 1
El resultado es:
C(x) = 2 x3 –x2 –8x –9
R(x) = 12
Se puede comprobar que:
P (x) = Q(x) · C(x) + R(x)
2x5 – 3x4 – 5x3 –2x2 + x + 3 = (x2 – x + 1) · (2 x3 –x2 –8x –9) + 12
10 x – 3 x – 1
- (10x – 10) 10
7
2x5 – 3x4 – 5x3 –2x2 + x + 3 x2 – x + 1
+ 2 x3 –x2 –8x -9
-2x5 + 2x4 – 2x3
-x4 - 7x3 –2x2 + x + 3
+
x4 - x3 + x2
- 8x3 - x2 + x + 3
+
8x3 - 8x2 + 8x
- 9x2 + 9x + 3
+
9x2 - 9x + 9
12
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Para recordar
Para realizar la división entre dos polinomios se procede del siguiente modo:
• Se ordenan los polinomiossegún potencias decrecientes, y si fuera necesario se completa el
dividendo.
• Se divide el monomio de mayor grado del dividendo por el de mayor grado del divisor.
• Se multiplica el término obtenido por el divisor y se resta este producto del dividendo
(cambiando de signo los coeficientes y sumando).
• Se reitera el procedimiento hasta que el resto sea el polinomio nulo o un polinomio de
menor grado que el divisor.
División de un polinomio por un binomio de la forma (x- a) ó (x + a)
Si el dividendo P(x) es de grado n y el divisor es de grado 1, esto es, Q(x) = x – a, el
cociente C(x) es de grado n -1 y el resto R(x) es el polinomio nulo o bien un polinomio
de grado cero.
Ejemplo
P(x) = x3 –2x +1
Q(x) = x – 2
Al efectuar P(x) : Q(x) es
C(x) = x2 + 2x +2
R(x) = 5
• El grado de P(x) es 3.
• El grado de C(x) es 3 – 1 = 2.
• R(x)= 5 es un polinomio de grado cero.
Regla de
Ruffini
En los casos en que el polinomio divisor sea de la forma x – a ó x + a, como en el ejemplo
anterior, se puede emplear la regla de Ruffini, que permite obtener el resto y los coeficientes del
polinomio cociente sin efectuar la división en la forma en que lo hicimos antes.
La recordamos, utilizando el mismo ejemplo.
Ejemplo 1:
Hallar el cociente y el resto de la división entre P(x) y Q(x) siendo
P(x) = x3 –2x +1 y Q(x) = x – 2
x3 + 0x2 –2x +1 x - 2
+ x2 + 2x +2
-x3 + 2x2
2x2 –2x +1
+
-2x2 +4x
2x + 1
+
-2x + 4
5
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Para hallar el cociente y el resto de la división procedemos del siguiente modo:
• En una tabla se colocan arriba los
coeficientes del dividendo ya ordenado y
completo.
En el ángulo izquierdo se escribe el valor
de a, en este caso a = 2.
1 0 -2 1
2
• El primer coeficiente del cociente es el
primero del dividendo.
1 0 -2 1
2
1
• El segundo coeficiente se obtiene
multiplicando el anterior por 2 y
ubicándolo debajo del segundo coeficiente,
se lo suma a éste.
1 0 -2 1
2 2
1 2
• Los restantes coeficientes se obtienen de
manera similar, multiplicando el anterior
por 2 y sumando este producto al
correspondiente de la primera.
1 0 -2 1
2 2 4 4
1 2 2 5
Los números 1, 2 y 2 son los coeficientes del polinomio cociente C(x) y 5 es el resto de la
división entre P(x) y Q(x).
• Entonces es C(x) = x2 + 2x + 2 y R(x) = 5
Ejemplo 2
Hallar el polinomio cociente y el resto de la división de:
P(x) = x2 + 3x –1 por Q(x) = x + 1
Solución
Para aplicar la regla de Ruffini conviene observar que x + 1 = x – (-1) por lo que a = -1.
Siguiendo los mismos pasos que en el ejercicio anterior:
1 3 -1
-1 -1 -2
1 2 -3
Entonces es:
C(x) = x + 2 y R(x) = -3
Teorema del
resto
El valor que toma un polinomio P(x) para x = a, es decir P(a), coincide con el resto de la
división de P(x) por x – a.
El teorema enunciado permite hallar el resto de la división entre dos polinomios sin realizar la
operación.
Ejemplo 3.
1. El resto de la división de P(x) = x2 + 3x –1 por Q(x) = x + 1
es:
P(-1) = (-1)2 +3(-1) –1 = - 3
2. El resto de la división de P(x) = x2 + 2x + 5 por Q(x) = x – 2
es:
P(2) = 22 + 2 . 2 + 5 = 13
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Para
recordar
1. Divisibilidad de la suma o diferencia de dos potencias de igual grado por la suma o
diferencia de sus bases
Primer caso: (xn + an) : (x - a)
Aplicando nuevamente el teorema del resto, para x = -(-a) es:
R(x) = an + an = 2an.
Como a≠0, esto no es posible. 
Así, la suma de dos potencias de igual exponente nunca es divisible por la diferencia de
sus bases.
Segundo caso: (xn + an) : (x + a)
Para que la división sea exacta debe ser el resto igual a cero. Aplicando el teorema del
resto es:
R(x) = (-a)n + an = 0 si (-a)n = an
Esto solo se cumple si n es impar.
Tercer caso: (xn - an) : (x + a)
Aplicando el teorema del resto, para x = -a es:
R(x) = (-a)n - an = 0 si (-a)n = an
Esto solo se cumple si n es par.
Cuarto caso: (xn - an) : (x - a)
Aplicando el teorema del resto, para x = a es:
R(x) = an - an = 0
Esto se cumple para todo n.
Ejemplo 4.
El resto de dividir (x5 + 1):(x + 1) es cero ya que la potencia n del dividendo x5 + 1,
es n = 5.
Lo verificamos haciendo R(-1).
R(-1) = (-1)5 + 1 = -1 + 1 = 0
Ceros de un
polinomio
Definición. Dado un polinomio P(x), todo valor de x que satisface P(x) = 0 se denomina cero o
raíz de P(x).
Ejemplo 5.
Si P(x) = x4 – 1, es x = 1 un cero o raíz de P(x) porque P(1) = 14 –1 = 1 – 1 = 0
Ejemplo 6
Si P(x) = x4 – 1, x = 2 no es un cero de P(x) porque P(2) = 24 –1 = 15 0
Ejemplo 7.
Hallar las raíces de P(x) = -2 x +1
Solución
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Como las raíces del polinomio son los valores de x para los que este se hace cero,
para encontrarlas es necesario resolver la ecuación P(x) = 0.
Esto es -2x + 1 = 0, igualdad que es cierta si x =
2
1 .
Entonces, el polinomio P(x) = -2x + 1, tiene una única raíz o cero que es: x =
2
1 .
Para verificarlo, se calcula 





2
1P . Así es: 011-1
2
12-
2
1P 










Propiedad de las raíces de un polinomio
Si a es raíz de un polinomio P(x), entonces x - a divide a P(x).
Llamando C(x) al polinomio cociente se tiene que:
P(x) = C(x) (x-a) ya que R = P(a) = 0
Es decir el polinomio dividendo puede escribirse como producto del divisor y el
cociente.
Ejemplo 8
Si P(x) = x2 – x - 12 se verifica que 4 es una raíz de P(x) ya que:
P(4) = 42 – 4 – 12 = 0.
Es decir, el resto de la división de P(X) y x – 4 es cero.
Vemos que x – 4 divide a x2 – x - 12.
1 -1 -12
4 4 12
1 3 0
C(x) = x + 3 y R = 0.
Se puede escribir entonces x2 – x - 12 = (x + 3) (x - 4)
Puede suceder que C(x) tenga más raíces. Si las tiene, estas también son raíces de P(x) pues
cuando se anula C(x) también se anula P(x).
Ejemplo 9.
Hallar las raíces de P(x) = x3 – 3x2 +2x
Solución
Igualando P(x) a cero, se tiene x3 – 3x2 + 2x = 0.
Por distributividad de la multiplicación respecto a la suma de polinomios es,
x3 – 3x2 + 2x = x (x2 – 3x + 2).
Reemplazando en la igualdad anterior:
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x (x2 – 3x + 2) = 0
Si el producto entre los polinomios es cero, resulta que alguno de los dos polinomios es
cero. Así: x = 0 ó x2 – 3x + 2 = 0
Ya se tiene un cero del polinomio; x = 0.
Para encontrar si tiene otros ceros es necesario resolver la ecuación cuadrática
x2 – 3x + 2 = 0.
Considerando que:
a2
ac4bb,x
2
21
 y siendo a = 1; b = -3 y c = 2
reemplazando se obtiene x1 = 1 y x2 = 2.
Por lo tanto el polinomio dado, P(x) = x3 – 3x2 +2x de grado tres tiene tres raíces:
x = 0 ; x1 = 1 y x2 = 2
Y es P(x) = x3 – 3x2 +2x = x (x -1) (x-2)
Luego: x; x - 1 y x- 2 dividen a P(x)
Existen polinomios con coeficientes reales que no tienen raíces reales
Ejemplo 10
El polinomio P(x) = x2 + 1 no tiene raíces reales ya que no existe ningún número real que
verifique que P(x) = 0.
Porque si P(x) = 0 debe ser x2 + 1 = 0, y x2 = - 1.
Pero x20 para todo número real.
Por lo tanto x2 + 1 1 para todo x en .
El siguiente teorema, permite anticipar cuántas raíces es esperable tenga un polinomio con
coeficientes reales.
Teorema Fundamental del Álgebra
Todo polinomio de grado n con coeficientes reales tiene como máximo n raíces reales.
Usamos el teorema en el ejemplo.
Ejemplo 11
Sabiendo que P(x) = 3x3 – 4x2 –3x + 4 es divisible por x – 1; hallar todas las raíces del
mismo.
Solución
Al ser P un polinomio de grado 3 (n = 3) es esperable hallar cuanto mucho 3 raíces
reales.
Al ser P(x) divisible por x – 1, es x = 1 raíz de P.
Además se puede escribir P(x) = C1(x). (x-1), donde C1(x) es el polinomio cociente.
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Si C1(x) tiene más raíces, éstas también lo serán de P(x)pues cuando se anula C(x)
también se anula P(x). Es necesario hallar C1(x).
Efectuamos la división P(x) : (x -1) usando la regla de Ruffini:
Obtenemos C1(x) = 3x
2 – x – 4 y el resto de la división es cero.
Entonces es P(x) = (3x2 – x – 4) (x -1)
Vemos si C1(x) tiene otras raíces, resolviendo la ecuación cuadrática 3x
2 – x – 4= 0.
Considerando que:
a2
ac4bb,x
2
21
 y siendo a = 3; b = -1 y c = -4 reemplazando se obtiene
x1 = 3
4 y x2 = -1.
Es C1(x) = 3 (x - 3
4 ) (x -1).
Resulta entonces P(x) = 3 (x -
3
4 ) (x -1) ( x -1) siendo sus raíces: x1 = 3
4 ; x2 = -1; x3 = 1.
Factorización
de un
polinomio
Si un polinomio P(x) = anxn + an-1x
n-1+...+ a1x + a0, de grado n, tiene n raíces reales x1; x2;
...; xn entonces puede escribirse como producto en la forma:
P(x) = an (x – x1) (x-x2) ... (x – xn)
En el ejemplo anterior, P(x) = 3x3 – 4x2 –3x + 4 polinomio de grado tres, tenía raíces:
x1 = 3
4
; x2 = -1; x3 = 1
Su factorización es:
1)-(x1)(x
3
4-x3P(x) 




Ejemplo 12
Sabiendo que x1 = 5; x2 = 3 y x3 = -1 son ceros del polinomio P(x) = x
3 - 7x2 + 7x + 15,
a. Verificar que lo son.
b. Escribir P(x) factorizado.
Solución
a. Para verificar que x1 = 5; x2 = 3 y x3 = -1 son ceros de P se debe reemplazar cada uno
de ellos en el polinomio. Hacemos:
P(5) = 53 -7· 52 + 7· 5 + 15 = 125 – 175 + 35 + 15 = 0
P(3) = 33 -7· 32 + 7· 3 + 15 = 27 – 63 + 21 + 15 = 0
P(-1) = (-1)3 - 7· (-1)2 + 7 · (-1) + 15 = -1 - 7 -7 +15 = 0
b. P(x) = (x -5) (x - 3) (x –(1))
= (x -5) (x - 3) (x +1)
3 -4 -3 4
1 3 -1 -4
3 -1 -4 0
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Ejemplo 13
El polinomio P(x) = x4 + x3 -16x2 – 4x + 48 tiene cuatro raíces de las cuales se conocen x1= 3;
x2 = - 2 y x3 = 2.
Hallar la cuarta raíz y escribir a P como producto.
Solución
Observamos que:
P(x) = a (x – 3) (x + 2) (x – 2) (x – p)
Al ser a = 1, resulta:
P(x) = (x – 3) (x + 2) (x – 2) (x – x4)
Para encontrar x4 dividimos a P por x – 3; al cociente por x + 2 y al nuevo cociente por x – 2.
Al dividir P por x – 3; se tiene C1(x) = x
3 + 4x2 – 4x – 16
Al dividir C1 por x + 2, es C2(x) = x2 – 2x – 8
Y dividiendo C2 por x – 2 es C3(x) = x + 4
Así P(x) = (x – 3) (x + 2) (x – 2) (x + 4 )
Entonces la cuarta raíz es x4 = -4 ya que este valor anula el último cociente y la
factorización de P es
P(x) = (x – 3) (x + 2) (x – 2) (x + 4).
Ejemplo 14
Reconstruir el polinomio de grado 3 cuyas raíces son: -1;
2
3 y 4
Solución
El polinomio de grado 3 es de la forma:
4)-(x
2
3
-x1)+(xa=P(x) 



 .
Aplicando propiedad distributiva:




 6x
4
1-x
2
9-xa=P(x) 23
Al no conocerse el valor de a, se puede afirmar que existen infinitos polinomios que
cumplen las condiciones del problema.
Verifique que 



 6x
4
1
-x
2
9
-xa=P(x) 23 se anula para: -1;
2
3
y 4.
 En algunos casos, al buscar las raíces de un polinomio, puede ocurrir que una de
ellas se repita. Por ejemplo, en el polinomio de segundo grado dado por:
P(x) = 2x2 - 20x + 50
sus raíces son x1 = x2 = 5.
Su factorización es:
P(x) = 2( x – 5) (x – 5)
= 2 (x – 5)2
En este caso se dice que 5 es una raíz doble o de multiplicidad 2.
En general, se dice que si una raíz se repite k veces es de multiplicidad k
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Por ejemplo:
 En P(x) = (x + 7)3 (x – 5)2, sus raíces son x1 = -7 y x2= 5, la primera con
multiplicidad 3 y la segunda con multiplicidad 2.
 En T(x) = 3(x -1)3 (x2 + 1), su única raíz real es x = 1 con multiplicidad 3.
Ejemplo 15
Hallar un polinomio de grado 4, sabiendo que:
• P(1) = P(2) = P(3) = 0
• 2 es una raíz doble
• P(-1) = -1
Solución
El polinomio buscado es de la forma
P(x) = a4 x
4 + a3 x
3 + a2x
2 + a1 x + a0
Como se conocen sus raíces, y al ser 2 una raíz doble se puede escribir:
P(x) = a (x -1) (x – 2)2 (x – 3)
Además P(-1) es:
P(-1) = a ((-1) -1) ((-1) – 2)2 ((-1) – 3)
= a (-2) (-3)2 (-4)
= 72 a
Y como P(-1) = -1 resulta:
-1 = 72 a
Por lo tanto:
72
1a 
Luego:
P(x) = )3x()2x)(1x(
72
1 2 
O bien:
6
1x
18
7x
72
23x
9
1x
72
1)x(P 234 
Ejemplo 16
Escribir como producto el polinomio P(x) = x3 - 19x + 30 sabiendo que 2 es una raíz del mismo.
Solución
Al ser P un polinomio de grado 3 es esperable encontrar a lo sumo tres raíces reales.
Como 2 es una raíz de P, se puede escribir:
P(x) = (x – 2) C(x)
Donde C(x) es el cociente de la división entre P(x) y x – 2. Hallamos el cociente aplicando el
teorema del resto.
1 0 -19 30
2 2 4 -30
1 2 -15 0
Así C(x) es:
C(x) = x2 + 2x -15
Y:
P(x) = (x – 2)( x2 + 2x -15)
Vemos si x2 + 2x -15 = 0 para algún número real.
Al ser esta una ecuación de segundo grado, mediante la formula resolverte, hallamos:
x1 = - 5 y x2 = 3
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Tenemos entonces:
P(x) = x3 - 19x + 30 = (x – 2) (x – (-5)) (x – 3)
= (x – 2) ( x + 5) (x – 3)
Determinación de raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros
Dado un polinomio P(x) = anxn + an-1x
n-1+...+ a1x + a0, en el que a0; a1; a2; ...; an son
coeficientes enteros, para determinar sus raíces racionales se ensayan soluciones de la
forma
q
p
r  donde p es un divisor de a0 y q es un divisor de an.
Ejemplo
Si P(x) = 2x3 + 3x2 – 8x + 3
Los divisores de a0 = 3 son: -1; 1; 2; -2; 3; -3.
Los divisores de a3 = 2 son -1; 1; -2 y 2.
Las soluciones posibles son: 3;3;
2
3
;
2
3
;
2
1
;
2
1
;2;2;1;1 
Probamos para estos valores si se anula el polinomio.
• P(1) = 2·13 + 3·12 - 8·1 + 3 = 2 + 3 – 8 + 3 = 0.
Entonces es P(1) = 0 y por lo tanto es una raíz racional de P.
• P(-1) = 2·(-1)3 + 3·(-1)2 - 8·(-1) + 3 = -2 + 3 + 8 + 3 = 12.
Entonces -1 no es raíz de P.
• P(2) = 2·23 + 3·22 - 8·2 + 3 = 16 + 12 – 16 + 3 = 15.
Entonces 2 no es raíz de P.
• P(2) = 2·(-2)3 + 3·(-2)2 - 8·(-2) + 3 = -16 + 12 + 16 + 3 = 15.
Entonces -2 no es raíz de P.
• 034
4
3
8
23
2
18
2
13
2
12
2
1P
23





















Entonces
2
1 es raíz de P.
• Análogamente se muestra que 3;
2
3;
2
3;
2
1;  no son raíces de P
• Y que -3 es otra raíz racional del polinomio.
Luego P(x) = 2x3 + 3x2 – 8x + 3 tiene tres raíces racionales que son: 1;
2
1
y -3.
Para profundizar en este tema, pueden recurrir a cualquier texto de la escuela media.