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Modalidad virtual Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales UBA XXI – MÁTEMATICA - Plano real y coordenadas 1 COORDENADAS CARTESIANAS Y REPRESENTACIONES EN EL PLANO Para localizar un punto en el plano necesitamos un sistema de referencia.El plano cartesiano Comencemos pensando este sistema formado por dos rectas perpendiculares, a las que suponemos dadas en un cierto orden a las que llamamos ejes coordenados. Supondremos también que la primera es horizontal y la segunda es vertical. Para empezar podríamos identificar un punto del plano diciendo que está arriba o abajo del eje horizontal, por ejemplo. Pero esto no resulta muy práctico, porque no sabríamos con exactitud cuál es el punto que queremos identificar, como se ve en la figura. Para poder localizar los puntos del plano con mayor precisión, vamos a definir el sistema de referencia. Consideremos nuevamente las rectas perpendiculares y llamemos origen de coordenadas al punto de intersección de ambas. Lo simbolizamos con O. Sobre cada uno de los ejes asignamos un número real (tal como lo hicimos al estudiar la recta real). Al eje vertical lo llamamos eje de ordenadas (y) Al eje horizontal lo llamamos eje de abscisas (x) Este sistema de ejes se denomina sistema de ejes cartesianos o sistema cartesiano. Los ejes cartesianos dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes que se enumeran en sentido contrario al recorrido de las agujas del reloj. Para obtener la posición de un punto en el plano, es suficiente con proyectarlo sobre los ejes. Para ello, trazamos un segmento de perpendicular desde el punto a cada uno de los ejes. La intersección de estos segmentos con los ejes nos da las coordenadas del punto. Así al proyectar el punto P obtenemos los puntos correspondientes a los números: 2 en el eje de abscisas y 3 en el eje de ordenadas. El punto P queda identificado por los puntos 2 y 3 (en ese orden), mientras que el punto Q se identifica por los puntos 3 y 2 (en ese orden). UBA XXI Modalidad virtual Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales UBA XXI – MÁTEMATICA - Plano real y coordenadas 2 Para indicar el par ordenado que da la posición del punto P lo hacemos así: (2; 3). Y análogamente, el par que da la posición de Q lo indicamos (3; 2) Observamos que el orden en que se dan los números es importante. Por eso llamamos par ordenado a estos pares de números. En general cada punto del plano queda identificado con un par ordenado (a, b) de números reales. A la primera componente del par ordenado se la llama abscisa. A la segunda componente, ordenada. La abscisa indica la distancia que hay desde el punto al eje y. La ordenada la distancia del punto al eje x. De este modo a cada punto del plano, le hacemos corresponder un par ordenado de números reales. Del mismo modo a cada punto del plano, le corresponde un par ordenado de números reales. Por esta razón se suele simbolizar al plano mediante x ó 2. Y al conjunto de pares ordenados del plano, como: 2 = {(x; y) /x ; y } Ejemplo 1. Representar en el plano, los puntos M = (-3; 5); T= (2; 0) y S = (0; 2) Solución Para representar un punto en el plano, conocidas sus coordenadas, dibujamos rectas perpendiculares a los ejes, que pasen por las ordenadas del punto. En el caso del punto M = (-3; 5), trazamos las recta perpendicular al eje de abscisas por – 3 y la perpendicular al eje de ordenadas por 5. La intersección de estas rectas nos da la posición del punto M. De manera similar, ubicamos los puntos S y T. Observación: Todos los puntos del plano de la forma (a; 0) pertenecen al eje de abscisas. Todos los puntos del plano de la forma (0; b) pertenecen al eje de ordenadas. UBA XXI Modalidad virtual Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales UBA XXI – MÁTEMATICA - Plano real y coordenadas 3 Regiones del plano Queremos ahora representar conjuntos del plano que cumplan determinadas condiciones. Lo haremos mediante ejemplos. Ejemplo 2. Representar en el plano todos los puntos que tienen: a) Ordenada igual a -2 b) Abscisa igual a 1 c) Abscisa y ordenada iguales. Solución a) Este primer ítem nos pide representar en el plano todos los puntos cuya ordenada es igual a -2. Algunos puntos que cumplen esta condición son, por ejemplo, (5; -2), (3; -2), (0; -2), (-4; -2) Si nos preguntan cuántos hay que cumplan esta condición, diremos que hay infinitos. Son todos los puntos cuyas coordenadas tienen la forma (a; -2) siendo a un número real. Los puntos que nombramos, quedan ubicados como en la figura. Pero dijimos que hay infinitos puntos que cumplen la condición de tener su ordenada igual a -2. En realidad son todos los puntos que pertenecen a la recta horizontal y = -.2 Para recordar Una recta horizontal tiene por ecuación la expresión y = a donde a es un número real b) Ahora debemos dibujar todos los puntos cuya abscisa es igual a 1. Algunos puntos que cumplen esta condición son, por ejemplo, (1; -2), (1; 2), (1; 0), (1; 4) Si nos preguntan cuántos hay que cumplan esta condición, diremos que hay infinitos. Son todos los puntos cuyas coordenadas tienen la forma (1; b) siendo b un número real. UBA XXI Modalidad virtual Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales UBA XXI – MÁTEMATICA - Plano real y coordenadas 4 Los puntos que nombramos, quedan ubicados como en la figura. Pero, sólo dibujamos algunos. Podríamos dibujar infinitos puntos que cumplen esta condición. Son todos los puntos pertenecen a la recta vertical x = 1 Para recordar Una recta vertical tiene por ecuación la expresión x = b donde b es un número real c) Finalmente, representamos los puntos que tienen iguales su abscisa y su ordenada. Ejemplos de ellos son: (-2; -2), (1; 1); (3; 3) Igual que antes, existen infinitos puntos que cumplen con esta condición, son todos los puntos que pertenecen a la recta de ecuación y = x Esta recta es la bisectriz del primero y tercer cuadrante. Para recordar La recta de ecuación y = x representa la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Para pensar ¿Cuál es la ecuación de la recta que representa la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante? UBA XXI Modalidad virtual Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales UBA XXI – MÁTEMATICA - Plano real y coordenadas 5 Ejemplo 3. Representar en el plano real el conjunto A = {(x; y) 2 / x + y = 2} Solución ¿Cuáles son los elementos del conjunto A? Todos los pares ordenados que verifican que x + y = 2. Escribimos algunos elementos de este conjunto. Por ejemplo, el par ordenado (1; 1) pertenece a este conjunto pues 1 + 1 = 2 (3; -1) pertenece a este conjunto pues 3 + (-1) = 2 5 7 ; 5 3 pertenece a este conjunto pues 2 5 10 5 7 5 3 (0; 2) pertenece a este conjunto pues 0 + 2 = 2 Y podemos encontrar infinitos más. Al graficar los que ya tenemos, observamos que están alineados. Para conocer cuál es la recta que los contiene a todos, volvamos a la definición del conjunto A: estos son todos los pares ordenados de la forma (x; y) que verifican que x+ y = 2. Si conocemos x podemos preguntarnos qué forma tiene y. De x + y = 2 Escribimos en forma equivalente: y = 2 – x Esto significa que y se obtiene restándole x a 2. Probamos: si x = 10, y = 2 – 10 = -8 Luego el par (10; -8) verifica la condición del conjunto pues 10 + (-8) = 2 De este modo, x+ y = 2 ó bien y = 2 - x expresan a la recta que contiene a todos los puntos del conjunto A. UBA XXI Modalidad virtual Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales UBA XXI – MÁTEMATICA - Plano real y coordenadas 6 Ejemplo 4. Representar en el plano real el conjunto B = {(x; y) 2 / |x| = 3}. Solución Del mismo modo que en el ejemplo anterior, analizamos la forma de los elementos de B. De la definición del conjunto surge que la abscisa de cada par ordenado, debe cumplir la condición |x| = 3 O, en forma equivalente (y por definición de módulo) debe ser: x = 3 ó x = -3 Por lo hecho en el primer ejemplo, todos los puntos del plano que tienen su abscisaigual a 3 se representan con una recta vertical de ecuación x = 3 Y todos los puntos del plano que tienen su abscisa igual a –3 se representan con una recta vertical de ecuación x = –3 En las representaciones de los ejemplos anteriores sólo trabajamos con relaciones de igualdad, obteniendo por resultado rectas que las satisfacen. En los siguientes ejemplos, vamos a trabajar con otras relaciones además de las de igualdad: menor; menor o igual; mayor; mayor o igual. Ejemplo 5 Representar en el plano todos los puntos cuya abscisa es menor que 2. Solución El conjunto de puntos que tienen su abscisa menor que 2 es el conjunto de puntos del plano cartesiano tales que x < 2. Lo que buscamos entonces son los elementos del siguiente conjunto; S= {(x; y) 2 / x < 2} Por ejemplo, algunos puntos que cumplen esta condición son los que tienen por coordenadas (0; 3); (-1; 100); (-100; 100). Y podríamos encontrar infinitos... La región del plano que queremos graficar está limitada por a recta x = 2. Pero a esta recta pertenecen todos los puntos del plano que tienen su abscisa igual a 2. Y estos no pertenecen a la región (pues debe ser x <2). Para indicar que los puntos de la recta no pertenecen a la región, la dibujamos con una línea punteada. UBA XXI Modalidad virtual Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales UBA XXI – MÁTEMATICA - Plano real y coordenadas 7 Así, la recta divide al plano en dos regiones. Ahora vamos a ver cuál es la que nos interesa. Recordemos que es la región a la que pertenecen todos los puntos cuya abscisa es menor que 2. Podemos tomar por ejemplo el punto de coordenadas (0; 3). Su abscisa (x = 0) cumple la condición. Lo localizamos en el gráfico. Para asegurarnos que esta es la región, tomamos otro punto. El (-1; 1) también cumple las condiciones del conjunto que nos piden graficar. Luego, los puntos que satisfacen el problema se encuentran todos en el semiplano cuyo borde es la recta x = 2 y que contiene al punto (0; 3) Lo representamos sombreando toda la región. La definición de las distintas regiones del plano, puede estar dada por más de una condición. En el siguiente ejemplo, graficamos una región del plano estableciendo condiciones sobre las dos coordenadas de los puntos que le pertenecen. (Por ahora las regiones, las limitamos con rectas) Ejemplo 6 Representar en el plano todos los puntos que tienen ordenada mayor que -2 y abscisa menor que 2 7 Solución Los elementos que pertenecen a la región deben cumplir al mismo tiempo las dos condiciones. Por ejemplo, el punto dado por: (-3; 1) pertenece a la región pues su abscisa -3 es menor que 2 7 y su ordenada 1 es mayor que -2. Pero el punto de coordenadas (-3; -2) no pertenece a la región pues su ordenada es igual a -2 y debe ser mayor que -2. UBA XXI Modalidad virtual Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales UBA XXI – MÁTEMATICA - Plano real y coordenadas 8 Representemos primero la región de los puntos que tienen su ordenada mayor que -2 (y>-2) En forma similar a lo hecho en el ejemplo anterior, encontramos la recta que limita la región. Esta es la recta de ecuación y = -2 Como sus puntos tienen la ordenada igual a -2, la dibujamos punteada. Elegimos puntos que satisfagan la condición de ser y > -2 y la pintamos. Hacemos lo mismo para la segunda condición: la abscisa del punto debe ser menor que 2 7 y la graficamos. (Para visualizarlo primero lo hacemos en gráficos separados) Las dibujamos sobre el mismo plano para ver que puntos pertenecen simultáneamente a ambas regiones (deben ser los que nos interesan) y obtenemos La región con doble sombreado cumple las dos condiciones. Los puntos que le pertenecen tienen su ordenada mayor que -2 y su abscisa menor que 2 7 . Ejemplo 7 Describir algebraicamente la siguiente región del plano. Solución En este ejemplo, tenemos que trabajar buscando las condiciones que nos permiten dibujar la región. Al observar la figura, vemos que sus lados son segmentos de rectas, y todos sus puntos pertenecen a la región. UBA XXI Modalidad virtual Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales UBA XXI – MÁTEMATICA - Plano real y coordenadas 9 Llamemos ABCD a la figura. El lado AB está contenido en la recta de ecuación y = 3 El lado BC está contenido en la recta de ecuación y = -2 Y los lados, AB y BC están respectivamente en las rectas x = - 1 y x = 2. Si sólo dibujamos estas rectas nos queda esta figura. Por lo que tenemos que determinar las condiciones para la abscisa y la ordenada de los puntos que pertenecen al interior de la región. Consideremos un punto cualquiera interior a la región. Por ejemplo, el determinado por el par ordenado (1; 2) Su abscisa es x = 1, está comprendida entre las rectas verticales x = -1 y x = 2. Podemos escribir: -1 < 1 < 2 Cualquier otro punto de abscisa x = a que pertenezca al interior de la región cumple la misma relación. -1 < a < 2 (1) Analicemos la ordenada del punto (1; 2) , y = 2. La ordenada está comprendida entre las rectas horizontales, y = -2 e y = 3 Podemos escribir: -2 < 2 < 3 Cualquier otro punto de ordenada x = b que pertenezca al interior de la región cumple la misma relación. -2 < b < 3 (2) Entonces, por lo concluido en (1) y (2), si un punto de coordenadas (a; b) pertenece al interior de la región, debe cumplir las siguientes condiciones para su abscisa (a) y ordenada (b). -1 < a < 2 y -2 < b < 3 Nos falta ahora incluir a los puntos que pertenecen a los lados de la figura UBA XXI Modalidad virtual Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales UBA XXI – MÁTEMATICA - Plano real y coordenadas 10 Consideremos el punto M sobre el lado BC Como está sobre la recta que contiene al lado BC su abscisa es x = 2. Del mismo modo, cualquier punto que pertenezca al lado AB, tendrá como abscisa, x = -1 Así teniendo en cuenta la última conclusión, los puntos de coordenadas (a; b) que pertenece a la región, verifican -1 a 2 Los puntos que pertenecen al lado AB tienen su ordenada y = 3. Y los puntos que pertenecen al lado BC tienen su ordenada y = -2 Así teniendo en cuenta la última conclusión, los puntos de coordenadas (a; b) que pertenece a la región, verifican -2 b 3 Luego, para que un punto de coordenadas (x; y) esté en la región debe cumplir a la vez estas condiciones -1 x 2 y -2 y 3 Luego, la región queda descripta por el conjunto: S = {(x; y) 2 / -1 x 2 ; -2 y3 }
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