PRACTICA 5 (A MAT I)

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Integrales 
41 
 
PRÁCTICA 5 
 
 
INTEGRALES INDEFINIDAS 
 
 
 
1) Verificar si )(xF es o no una primitiva de )(xf . 
a) 1
12
)(
3
 x
x
xF 1
4
)(
2

x
xf 
b) xxxF cossen)(  xxxf sencos)(  
c) xexxF  ln)( xe
x
xf 
1
)( 
d) 3sen)( xxxF  2cos)( xxxf  
e) )2(cos)( 5 texF x  xexf 55)(  
f) exxF ln)6ln()(  
ex
xf
11
)(  
g) 
xe
x
xF
3
)(  
xe
xx
xf
323
)(

 
 
 
2) Resolver las siguientes integrales inmediatas. 
a)   dxxx 632
3 
b)  dxxa5
3 
c)   dxxe
x
x cos2
1
 
d)   dxxxx )1()1( 
e)   dmmmm
22 :)52( 
f) 

dy
e
eee
y
yyy
6
5
 
g)   dzzz cossen3 
 
 
3) Resolver las integrales usando una sustitución. 
a) 
 dxxe x
2
 
b)  dxax)2(sec
2 
c)  dxx
xln
 
d) 

dx
x
e x 1
 
Integrales 
42 
 
 
e)  dxx
x3 ln
 
f)  dx
x
x
cos
sen
 
g)  
dp
e
e
p
p
2)1(
 
h) dxxe x 2)2(
3
  
i) 

dx
x
x
4 225
 
j)  dxxx sencos
3 
k)  
dx
x24
1
 
 
 
4) Resolver por el método por partes las siguientes integrales. 
a)  dxx)2ln( 
b)  dxxe
x 2 
c)  dxxx ln
3 
d)  dxxx
2sec 
e)   dyyy sen)1( 
f) 
 dxxe x sen 
g)   dzzz )1ln(1 
h)  
 dxxe x 2)( 
i)  dxx
2)(cos 
 
 
5) Resolver las integrales siguientes por el método de fracciones simples. 
a)  

dx
xx
x
3
3
 
b)  

dx
x
x
3)1(
1
 
c)  
dx
xxx 234 2
3
 
d)  

dx
xxx
x
22
5
23
 
e)  

dx
xx
xx
34
4
2
2
 
Integrales 
43 
 
 
f)  

dx
xx
xx
4
8
3
45
 
 
 
 
APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
 
 
6) Si el costo marginal, como función de las unidades producidas x, está dado por 
25602)( xxxCmg  , hallar las funciones de costo total y costo promedio, sabiendo que 
65 es el costo fijo. 
 
 
7) Si la función de ingreso marginal está dada por 328100)( xxxImg  , determinar la 
función de ingreso total y la función de demanda. 
 
 
8) La propensión marginal a consumir, en miles de pesos, siendo x la renta, está dada por: 
 
dc
dx x
 0 5
1
3
1
3
, 
 Si cuando la renta es cero, el consumo es de 6 mil pesos, hallar la función de consumo. 
 
 
9) Una empresa advierte que un incremento en el precio de $1 provoca una caída en las 
ventas de 4 unidades. Además, la empresa puede vender 50 unidades a un precio de $8 
cada una. Encontrar la función de demanda de la empresa. (sugerencia: si x es la demanda 
con respecto al precio p, entonces 4
dp
dx
) 
 
10) Si los costos marginales de una empresa, en miles de pesos, están dados por 
293025)( xxxCmg  y sabiendo que los costos fijos son de $55000, se pide: 
a) Hallar la función costo total. 
b) Hallar la función costo promedio. 
c) Hallar la función costo variable. 
 
11) Si el ingreso marginal de una empresa está dado por la función 
3600
)(
3
2


x
x
xI mg , se 
pide: 
a) Hallar la función de ingreso, sabiendo que 0)0( I . 
b) Hallar la función de demanda. 
 
 
 
Integrales 
44 
 
 
INTEGRALES DEFINIDAS 
 
 
12) Calcular las siguientes integrales definidas. 
a)  
4
1
)3( dxxx 
b) 
2
0
dxxsen 
c)  
9
4
1
dx
x
x 
d) 
e
dxxx
1
3 ln 
 
 
13) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función f y los ejes indicados. 
a) 642)( 2  xxxf eje x 
b) 24)( xxf  eje x 
c) 4)(  xxf eje x eje y 
d) 1cos)(  xxf eje x eje y 
e) 42)(  xxf eje x eje y 
f) xxf ln)(  eje x ex  
g) 3)( xxf  eje x 1x 1x 
 
 
14) Calcular el área de la región limitada por: 
a) 12  xy 1 xy 
b) xy  xy  2 eje y 
c) xy sen xy cos eje y (incluida en el 1° cuadrante) 
d) xy ln 3x eje x 
e) 1 xy xy  2 
f) xey  2ey  1x 
g) 








1
1
12
x
x
xx
y 2y 4x 
 
APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
 
15) Un fabricante de juegos de vídeo determina que su nuevo juego se vende en el mercado a 
una tasa de tet 2,04000  juegos por semana, en donde t es el número de semanas desde el 
Integrales 
45 
 
lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales como una función de t. ¿Cuántos juegos 
se venderán durante las primeras cuatro semanas? 
 
 
16) El costo promedio marginal de cierto producto está dado por 
2
500
01.0)(
x
xC 

. Si tiene 
un costo de $ 2300 producir 200 unidades, determine la función de costo )(xC . 
 
 
17) Si la función de demanda es 216 xp  y la función de oferta es 12  xp , determinar 
el excedente del consumidor y el excedente del productor en situación de competencia 
pura. 
 
 
18) Si las funciones de demanda y oferta de cierto artículo son, respectivamente 14 2xp  
y 22 2  xp ; hallar: 
a) El excedente del consumidor. 
b) El excedente del productor. 
 
 
19) Hallar la cantidad producida que maximiza el beneficio y el correspondiente beneficio 
total si xxI 220)(  y 2)4(4)(  xxC sabiendo que el beneficio 0)0( B 
 
 
20) Las tasas de ingreso y costo en una operación de perforación petrolera están dados por 
2
1
14)( ttI  y 2
1
32)( ttC  respectivamente, en donde el tiempo t se mide en años, I 
y C se miden en millones de dólares. ¿Cuánto deberá prolongarse la perforación a fin de 
obtener un beneficio máximo? ¿Cuál es ese beneficio máximo suponiendo que en el instante 
inicial el beneficio es nulo? 
 
 
21) Determine el superávit del consumidor y del productor para las funciones de demanda y 
oferta que se dan a continuación. 
D: 2120 xp  O: xp 332  
 
22) La elasticidad de la demanda de cierto artículo está dada por 
x
x
Ex
Ep 200
 . 
 Determine la función de demanda )(xfp  si 2000  x y 5p cuando 25x . 
 
 
23) La tasa proporcional de crecimiento del valor de las acciones de cierta empresa está dada 
por 
3
3
1
)(
)(
t
ty
ty


 
 Si su valor neto inicial en 0t era de $ 50000 (t se mide en años.), se pide: 
Integrales 
46 
 
a) Determine el valor neto )(ty de la empresa en cualquier instante t. 
b) ¿Después de cuántos años la empresa tendrá un valor de $ 600000? 
 
 
INTEGRALES IMPROPIAS 
 
 
24) Indicar la convergencia de las siguientes integrales impropias. 
a) 


0
dxex x 
b) 

1
1
dx
x
 
c) 


0
2)1( x
dx
 
d) 


1
2 xx
dx
 
 
 
 
Integrales 
47 
 
RESPUESTAS 
 
 
 
1) 
 a) si b) no c) si d) no 
 e) si f) no g) si 
 
 
2) 
a) kxxx  6
2
3
2
1 24 
b) kaxx 5 3
8
5
 
c) kxex x  sen22 
d) kxxx 2
5
2
 
e) k
m
mm 
5
ln2 
f) - keee yyy   75
7
1
5
1
 
g) kzz  sencos3 
 
 
3) 
a) ke x  
2
2
1
 
b) kaxtg
a
)2(
2
1
 
c) kx 2)(ln
2
1
 
d) kxe x  )(2 
e) kx 3 4ln
4
3
 
f) kx  cos2 
g) k
e p



1
1
 
h) kxe x  3
3
2
3
1 3
 
i) kx  4
3
2 )25(
3
1
 
j) k
x

4
cos4
 
Integrales 
48 
 
k) k
x






2
arctg
2
1
 
 
 
4) 
a) kxxx )2ln( 
b) kxxe x  )22( 2 
c) kxx 






4
1
ln
4
1 4 
d) kxtgxx  cosln. 
e) kyyy  sencos)1( 
f) kxxe x   )sen(cos
2
1
 
g)   kzz 






3
2
1ln)1(
3
2
2
3
 
h) kxxee xx   32
3
1
)1(2
2
1
 
i) k
xxsenx


2
cos
 
 
 
5) 
a) k
xx
x

 2
3
)1()1(
ln 
b) k
xx





2)1(
1
1
1
 
c) k
x
x
xx





 



6
1
ln
1
33
 
d) k
x
xx



2)1(
)2)(1(
ln 
e) kx
x
x  2ln2
2
1
2
 
f) k
x
xx
x
xx




3
5223
)2(
)2(
ln4
23
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
Integrales 
49 
 
 
6) La función de costo total es 32
3
5
30265)( xxxxC  y la función de costo medio es 
 2
3
5
302
65
)( xx
x
xC  . 
 
 
7) La función de ingreso es 
43
8
100)(
4
3 xxxxI  y lafunción de demanda es 
 
43
8
100
3
2 xxp  
 
 
8) 65.05.0)( 3
2
 xxxc 
 
 
9) 824  px 
 
 
10) 
a) 5531525)( 32  xxxxC 
b) 
x
xxxC
55
31525)( 2  
c) costo variable = costo total- costo fijo 32 31525 xxx  
 
 
11) La función de ingreso es 403600
3
2
)( 3  xxI y la función de demanda es 
 
x
x
p
403600.
3
2 3 
 
 
INTEGRALES DEFINIDAS 
 
 
12) 
a) 
10
101
 
b) 0 
c) 
3
32
 
d) )13(
16
1 4 e 
 
 
Integrales 
50 
 
13) 
a) 
3
64
 
b) 
3
32
 
c) 
3
16
 
d)  
e) 8
2ln
3
 
f) 1 
g) 
2
1
 
 
 
14) 
a) 
6
1
 
b) 
6
5
 
c) 12  
d) 23ln3  
e) 1.5 
f) 
e
e
1
2 2  
g) 4ln
3
24
3
23
 
 
 
APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
 
15) )25255(4000)( 2.02.0   tt eettV 
 19120)4( V 
 
 
16) xxxC 750001.0)( 2  
 
 
17) 18.. CE 9.. PE 
 
18) 
3
16
.. CE 
3
32
.. PE 
 
 
Integrales 
51 
 
19) 6x 36maxB 
 
 
20) 9t 36maxB 
 
 
21) 8x 56p 
 
3
1024
.. CE 96.. PE 
 
 
22) 
8
200
5
)(

 xe
x
xfp 
 
 
23) 
 a) 4
3
4
50000)(
t
ety  
 b) 6.5t ( es decir, 5 años 7 meses y 6 días) 
 
 
INTEGRALES IMPROPIAS 
 
24) 
a) converge a 1 
b) divergente 
c) converge a 1 
d) converge a 2ln