Guías_Prácicas 2023

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Seminario Universitario 
Taller de Matemática 
Ejercitación 2022 
 
1 
 
Ejercitación: Números Reales I 
Conjuntos numéricos. Operaciones. Propiedades 
 
1. Clasifica los siguientes números según el conjunto de números al que pertenezcan: 
𝜋
2
 , √36 , 2,25111̂ , √−5 , 
75
−5
 , 1,32̂ , (1 + √5)
2
 , √9
3
 
 
2. Representa en la recta numérica los siguientes números reales. 
-1 ,3 
1
3
4
 √5 
 
3. Enumerar los primeros 20 números naturales primos. Dar criterios para la divisibilidad por 2,3,5,11. 
 
4. Hallar el Máximo Común Divisor (M.C.D) y Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) entre 40, 70 y 90. 
 
5. Indicar verdadero o falso, según corresponda. Justificar en cada caso. 
a) 𝜋 = 3,141592 
b ) -a es un número negativo 
c) El inverso multiplicativo existe para 
todo número real a 
d) 𝑎2 = 𝑏2 solo si 𝑎 = 𝑏. 
e) (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 
f ) (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑏 − 𝑎)2 
g ) 𝑎: 𝑏−1 = 𝑎. 𝑏 , s i 𝑏 ≠ 0 
h ) √4 + 16𝑎2 = 2 + 4𝑎 
i ) La resta es cerrada en el conjunto de 
los números enteros. 
j) 
6
√8
=
3
2
√2 
k) √(−6)2 = −6 
l ) (−1)−1 = 1 
m) √32
3
= 3
2
2.2 
n ) 1, 7̂ =
17
10
 
ñ ) 35 es un número primo. 
o) La razón entre el área de un círculo y 
el de un cuadrado inscripto en él es un 
número irracional. 
p ) La razón entre el área de un cuadrado 
y el de un círculo inscripto en él es un 
número racional. 
 
6. Operar. 
a) 
𝑥
1+
1
1+
1
𝑥
 
b) (𝑥 +
𝑥
𝑥−1
) . (𝑥 −
𝑥
𝑥−1
) 
c) 
2+
1
𝑥
2𝑥2+𝑥
 
 
7. Racionalizar y simplificar. 
a) √2 + √18 
b) 
8
√2
+ 2√50 
c) 2√5 + 3√125 
d) 
10
√5
+ 3√45 − 2√20 
 
8. Hallar el valor exacto del perímetro y área del rectángulo que se muestra en la figura. 
 
152 −
2
1
9
5
+
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2 
 
Respuestas “Números Reales I” 
1. Conjuntos 
a) Irracional 
b) Natural 
c) Racional 
d) Complejo 
e) Entero 
f) Racional 
g) Irracional 
h) Irracional 
 
2. 
 
 
3. Primos: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71 
Criterios para la divisibilidad: 
-Para 2: un número es divisible por dos si termina en cero o número par. 
-Para 3: un número es divisible por cuatro si la suma del valor absoluto de sus cifras es múltiplo de 3. 
-Para 5: un número es divisible por cinco si la última cifra es cero o cinco. 
-Para 11: un número es divisible por once si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los 
lugres impares y de los pares es cero o múltiplo de 11. 
 
4. M.C.D= 2.5=10 
 m.c.m=23.5.7.32=2520 
 
5. (Verdadero o Falso) 
a) Falso, pues 𝜋 ≅ 3,141592 
b) Falso. Si a=-3, entonces -a=-(-3)=3 y 3 
es un número positivo 
c) Falso, no existe para el valor cero. 
d) Falso, pues 𝑎2 = 𝑏2 ⇔ |𝑎| = |𝑏| 
e) Falso. Si a=1 y b=2, entonces 
(1 + 2)2 ≠ 12 + 22, (9 ≠ 5). 
Lo correcto es: 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
f) Verdadero, pues |𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑎| 
g) Verdadero, pues 
 
𝑎
𝑏−1
= 𝑎.
1
𝑏−1
= 𝑎.
1
1
𝑏
= 𝑎. 𝑏 
h) Falso 
(√4 + 16𝑎2)
2
= (2 + 4𝑎)2 
4 + 16𝑎2 ≠ 4 + 16𝑎 + 𝑎2 
i) Verdadero 
j) Verdadero 
6
√8
.
√8
√8
=
6
8
√8 =
3
4
√2. 22 =
3
4
√2√22 =
3
2
√2 
k) Falso. Por propiedad 
√𝑎𝑛
𝑛
= |𝑏| 𝑠𝑖 𝒏 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓 
l) Falso, pues (−1)−1 =
1
−1
= −1 
m) Verdadero 
√32
3
= √2322
3
= √23
3
√22
3
= 2√22
3
 
n) Falso, pues 
17
10
= 1,7 
ñ) Falso, es divisible por 5 y 7. 
o) Verdadero 
p) Falso 
 
 
 
 
6. a) 
𝑥2+𝑥
2𝑥+1
 
b) 𝑥2 −
𝑥2
(𝑥−1)2
 
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3 
 
c) 𝑥−2 
 
7. 
a ) 24 
b) 214 
c) 517 
d) 57 
 
8. 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 =
14√5
3
− 1 
 Á𝑟𝑒𝑎 =
17
6
+
2√5
3
 
 
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4 
 
Ejercitación: Logaritmo y potenciación. 
Propiedades 
1. Simplificar las siguientes expresiones, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅+. 
a) (6 abc : 2 ac)3 
b) 
( )21
8
4
4
1
4
1 −−











 
c) ( )( )
111 −−− ++ ba.ba 
d) 
6 5 24 −aa . 
e) (8𝑎3𝑏4)
1
2 √2𝑎 
f) 
√𝑎2𝑏6𝑐8
𝑎𝑐2+𝑏𝑐2
 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ −𝑏 
g) (
6𝑎−13𝑏−3
24𝑎−7𝑐2
)
−2
 
h) ( ) 4/384 −− ba 
 
i) ( )( )3/12/13/12/1 −− baba 
j) 
2/16
2/14
)81(
)49(
−
−−
b
a
 
k) 
3/1
54
2/1
34
32
−
−
−
−
−












ab
ba
ba
ba
 
l) 3𝑎+1 + 3𝑎−1 
m) 32𝑎 + 9𝑎 
n) 
3𝑎+3−𝑎
3−𝑎
 
o) 𝑒2𝑎 − 5(𝑒𝑎 − 𝑒𝑎+1) − 𝑒𝑎+1 
p) 
𝑒𝑎
𝑒𝑎−1
+
1
𝑒−1
2. Hallar aplicando la definición de logaritmo. 
a) 𝑙𝑜𝑔2 (16) 
b) 𝑙𝑜𝑔2 (0,25) 
c) 𝑙𝑜𝑔9 (1) 
d) 𝑙𝑜𝑔10 (0,1) 
 
e) ln ( 𝑒4) 
f) 𝑙𝑛 (𝑒−
1
4) 
g) 𝑙𝑜𝑔5 (0,04) 
h) 𝑙𝑜𝑔6 (
1
216
) 
3. Resolver (aplicando propiedades de los logaritmos). 
a) 𝑙𝑜𝑔2 (8 . 4) 
b) 𝑙𝑜𝑔5 (25) + 𝑙𝑜𝑔2 (
1
4
) 
c) 𝑙𝑜𝑔 (1000) − 
1
3
𝑙𝑜𝑔1/2 (1) 
d) 𝑙𝑜𝑔2 (√2) + 𝑙𝑜𝑔3(√34
3
) − 𝑙𝑜𝑔 (0,001) 
e) 𝑙𝑜𝑔3 (27) + 𝑙𝑜𝑔1/2(4) − 2𝑙𝑜𝑔1/3 (
1
9
) 
4. Mostrar con un ejemplo que, en general: 
a) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥 + 𝑦) ≠ 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥) + 𝑙𝑜𝑔𝑎( 𝑦) 
b) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥 − 𝑦) ≠ 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥) − 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑦) 
 
5. Utilizando propiedades del logaritmo escribir de forma más simplificada. 
a) ln (𝑒2𝑥) 
b) 𝑒
1
2
ln(𝑥) 
c) ln (𝑥2. e3) 
d) 𝑒−2ln (𝑥) 
e) (𝑒ln (𝑥))
2
 
f) 𝑙𝑛 (
𝑒𝑥
𝑒𝑥−1
) 
g) −2ln (√
1
𝑒
3
) 
h) 𝑙𝑛 (
√𝑒4
3
𝑒−3
) 
i) −3𝑙𝑛 (
𝑒3𝑥
√𝑒𝑥
4 ) 
j) 𝑙𝑛(𝑒2𝑥) − 𝑙𝑛(𝑒−3𝑥)
6. Utilizar las propiedades de los logaritmos para explicar porque es correcta cada expresión. 
a) log𝑏(27) + log𝑏(3) = 4 log𝑏(3) c) −2 log𝑏 (
4
9
) = log𝑏 (
81
16
) 
b) 
1
 2
log𝑏(0.0001) = −log𝑏(100) 
 
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Respuestas “Logaritmo y potenciación” 
1. 
a) 27b3 
b) 4-11 
c) (a.b)-1 
d) a3/5 
e) 4𝑎2𝑏2=(2𝑎𝑏)2 
f) 
𝑎𝑏3𝑐2
𝑎+𝑏
 
g) 16𝑎12𝑏6𝑐4 
h) 𝑎−3𝑏−6 
i) 1 
j) 
9
7
𝑎2𝑏3 
k) 
𝑎2
𝑏
 
l) 10. 3𝑎−1 
m) 2. 32𝑎 
n) 32𝑎 + 1 
o) 𝑒𝑎(𝑒𝑎 − 5 + 4𝑒) 
p) 2𝑒 
2. .
a) 4 
b) -2 
c) 0 
d) -1 
e) 4 
f) - ¼ 
g) -2 
h) -3 
3. 
a) 5 
b) 0 
c) 3 
d) 29/6 
e) -3
 
4. Por ejemplo, para 𝑎 = 3, 𝑥 = 27 e 𝑦 = 9, tenemos: 
a) 𝑙𝑜𝑔3(36) ≠ 𝑙𝑜𝑔3(27) + 𝑙𝑜𝑔3(9) 
 Operando: 
𝑙𝑜𝑔3(4) + 2 ≠ 3 + 2 
𝑙𝑜𝑔3(4) + 2 ≠ 5 
 
b) 𝑙𝑜𝑔3(18) ≠ 𝑙𝑜𝑔3(27) − 𝑙𝑜𝑔3(9) 
 Operando: 
𝑙𝑜𝑔3(2) + 2 ≠ 3 − 2 
𝑙𝑜𝑔3(2) + 2 ≠ 1 
5. 
a) 2𝑥 
b) √𝑥 
c) 2𝑙𝑛(𝑥) + 3 
d) 
1
𝑥2
 
e) 𝑥2 
f) 1 
g) 
2
3
 
h) 
13
3
 
i) −
33
4
𝑥 
j) 5𝑥 
 
 
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Ejercitación: Números Reales II 
Desigualdades. Valor Absoluto. 
1. ¿Cuál es el error cometido en la siguiente secuencia? 
 2x – 7 < 4x – 2 
 2x < 4x + 5 
 –2x < 5 
 x < –5/2 
 
2. Resolver y graficar del conjunto solución de: 
a) 3x -4 >11 
b) -2(x -1) 4 
 
3. Indicar verdadero o Falso,según corresponda. Justificar. 
a) Si dos números son negativos, es 
mayor el que tiene menor valor 
absoluto. 
b) Si a < b  a .c < b .c c en  . 
c) Si a < b entonces a2 < b2 a,b en 
 . 
d) − |−
1
3
| =
1
3
 
e) |−1000| < 0 
f) 
y
x
y
x 1
.= 
g) 2552 −=− 
h) 00.2 = 
i) 1)1( −=−− 
j) baba −=− 
k) abba −=− 
l) aa =2 
m) Si -1<x<3 => -3<x-3<0 
n) La expres ión 32 =−x indica que x son 
los números cuyas distancia a 2 es igual a 3 
o) 
𝑝
𝑞
>
𝑟
𝑠
  𝑝. 𝑠 > 𝑞. 𝑟 
4. Completar el siguiente cuadro: 
 
Intervalo Valor Absoluto Gráfica 
 { x  / 1x } 
 
(-2 , 2) 
 
( – , –3] ),3[  
 { x  / 12 −x } 
( – , 0) ),0(  
 
 
 
-2 -1 0 
 
-2 -1 0 
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7 
 
5. Resuelva para x. 
a) 32 =−x 
b) 14 =− x 
 
c) 312 =−x 
d) 
1
2
2
=
−
−
x
x
 
6. Resolver cada desigualdad en . Dar el conjunto solución. 
a) 32 − x 
b) 312 −x 
c) 03 +x 
d) 13 −x 
e) 13 +x 
 
7. Exprese los siguientes enunciados usando una ecuación o inecuación con valor absoluto. 
a) Los números que distan del 5 menos de 2 unidades. 
b) Los números que se encuentran a 3 unidades del −4. 
c) Los números que distan 7 unidades o más del 0. 
 
8. Indicar el conjunto solución de 028 2 − x . 
 
 
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Respuestas “Números Reales II” 
1. No se cumple la monotonía en la desigualdad al dividir por un número negativo. “Al multiplicar o 
dividir ambos miembros por un numero negativo, el signo de comparación se debe invertir.” 
 
2. a) x>5 
b) x ≤ -1 
 
3. V o F 
a) Verdadero 
b) Falso 
c) Falso 
d) Falso 
e) Falso 
f) Verdadero 
g) Verdadero 
h) Verdadero 
i) Falso 
j) Falso 
k) Verdadero 
l) Verdadero 
m) Falso 
n) Verdadero 
o) Falso 
4. 
Intervalo Valor Absoluto Gráfica 
(-1;1) { x  / 1x } 
[-2;0] { x  / 11 +x } 
(-2 , 2) { x  / 2x } 
[-2,-1) U (-1;0] { x  / 110 + x } 
(–,–3] U ),3[  { x  / 3x } 
(-;1) U (3; +) { x  / 12 −x } 
( – , 0) U ),0(  { x  / 0x } 
 
5. 
a) 𝐶𝑆 = {−1; 5} 
b) 𝐶𝑆 = {3; 5} 
c) 𝐶𝑆 = {−1; 2} 
d) 𝐶𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 /𝑥 > 2} = (2; +∞) 
 
6. 
a) x [-1;5] 
b) x (–; -1]U[2; +) 
c) x (–; -3)U(-3; +) 
d) x (2;4) 
e) x (-;-4)U(-2:+) 
 
7. 
a) |𝑥 − 5| < 2 
b) |𝑥 + 4| = 3 
c) |𝑥| ≥ 7 
 
8. x (-2;2) 
 
-1 0 1 
 
-2 -1 0 
 
 0 
 
-2 0 2 
 
-2 -1 0 
 
1 2 3 
 
-3 0 3 
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Ejercitación: Polinomios I 
Expresiones algebraicas racionales enteras: Polinomios. Operaciones. Ceros. Lema de Gauss. Teorema 
del Resto. Divisibilidad. 
1. Decidir cuáles de las siguientes expresiones algebraicas racionales enteras son polinomios y de ellas, 
cuáles son monomios, binomios o trinomios. 
 
a) 𝐴(𝑥) = −2𝑥9 
b) 𝐵(𝑥) = 2𝑥−9 
c) 𝐶(𝑥) = 𝜋𝑥4 − 2 
 
d) 𝐷(𝑥) = 3𝑥
1
4⁄ − 𝑥 + 1 
e) 𝐸(𝑥) = 𝑥4 −
2
𝑥
− 2 
f) 𝐹(𝑥) = √3 
3
𝑥4 + 3𝑥2 − 𝑥 
2. Las expresiones algebraicas, en particular los polinomios, se utilizan, entre otros contextos, para la 
modelización de situaciones. Escribe como expresiones algebraicas de una variable las siguientes 
expresiones: 
a) El doble, del siguiente de un número x. 
b) El volumen de una caja prismática cuyos lados son tres lados consecutivos. 
c) Un número impar. 
d) La suma entre un número par y su consecutivo. 
e) La diagonal de un cuadrado de lado a. 
f) La altura de un triángulo equilátero de lado x. 
 
3. Dados los monomios: ( ) xxA 3= ; ( ) xxB 3,0−= ; ( ) 22xxC −= , realizar las operaciones que se indican: 
a) BA + c) BA. e) ACB +. g) ( ) ABC :+ 
b) CBA −+ d) CB. f) AB : h) ( ) ACBA .−+ 
 
4. Determine a, b, c y d sabiendo que: 
a + (a – b)x + x2(b – c) + dx3 = 5 + 11x – 8x2 – x3 
 
5. Operando con el segundo miembro verifique: 
( )  12541254 23 −+−=−+− xxxxxx 
 
6. Multiplicar: 
a) ( )( )43.22 −−+ xxx 
b) ( ) 





−+−
4
3
2
2
1
..3 22 xxx 
 
7. Productos especiales. 
a) (√2𝑥2 − 3). (√2𝑥2 + 3) 
b) (√2𝑥2 − 3). (√2𝑥2 − 3) 
c) (𝑎 − √3)2 
 
8. Generalizar las reglas de los productos especiales 
 
a) (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) =………………………………………………………………………………. 
 
b) (𝑎 + 𝑏)2 =…………………………………………………………………………………………… 
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9. Hallar los cocientes, cuando sea posible utilizar la regla de Ruffini: 
a) 





−





−+− 2345
3
2
:1,02
2
3
xxxx 
b) 





−





−++− 3
2
1
:36
2
1 223 rrrr 
c) ( ) ( )=−+−−+− 1:225852 2345 xxxxxx 
d) ( ) ( )2:55,0 3 ++ xx 
 
10. Determine el cociente y el resto de la división de A por B: 
2
1
2
2
1 24 −−−= yyyA ; 12 2 −+−= yyB 
 
11. Hallar el/los valor/es de k para que P(x) sea divisible por Q(x) 
a) P(x)= x2+(k-2)x+1 ; Q(x)=x+2 
b) P(x)=(3+k)x2+k2x-5 ; Q(x)=x-1 
 
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11 
 
Respuestas “Polinomios I” 
1. Polinomios: 
a) Monomio 
b) No es polinomio 
c) Binomio 
d) No es polinomio 
e) No es polinomio 
f) Trinomio 
2. 
a) A(x)=2(x+1) 
b) B(x)=x(x+1)(x+2) 
c) C(x)=2x+1 
 
d) D(x) = 2x+2x+1 = 4x+1 
e) E(a)= √2.a 
f) F(x)= √3
𝑥
2
3. 
a) 
27𝑥
10
 
b) 2x2 + 2,7x 
c) -0,9 x2 
d) 0,6 x3 
e) 0,6 x3 + 3x 
f) -0,1 
g) 
−2𝑥
3
− 0,1 
h) 6x3 + 8,1 x2 
 
4. a=5 ; b=-6 ; c=2 ; d=-1 
 
6. a) -3x3-10x2-8x 
b) 
−3
2
 𝑥4 + 6𝑥3 − 
9
4
𝑥2 
 
7. a) 2x4 -9 
b) 2x4 - 6√2 x2 + 9 
 c) a2 -2√3 a + 3 
8. 
a) a2 – b2 
b) a2 +2ab + b2 
9. 
a) 𝑥 (
9
4
𝑥2 − 3𝑥 +
3
20
) 
b) -2r + 1 
c) 2x4 -3x3 +5x2 -2 
d) 0.5x2 –x+2 
 
10. C(x) = 
−𝑌2
4
−
𝑌
8
+
17
16
 
R(x) = −
35𝑌
16
+
9
16
 
 
11. a) k=4,5 
b) k=1 ∨ k=-2 
 
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Ejercitación: Polinomios II 
Lema de Gauss. Factorización. Expresiones algebraicas racionales. Operaciones. 
1. Dado los polinomios: 
 P(x) = 4x - 3x -9 2x +3x+18 ; 𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 ; 𝑅(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6. 
a) Determinar todas las raíces reales de cada uno. 
b) Factorizar a P, Q, R completamente en los reales. 
 
2. Sea 𝑃(𝑥) = −2𝑥3 + 14𝑥 − 12, verificar que 𝑃(1) = 0 y factorizar completamente 𝑃(𝑥). 
 
3. Factorizar los siguientes polinomios. 
a) 𝐴(𝑥) = 5𝑎2 𝑏2 + 125 𝑏6 𝑥8 – 50 𝑎𝑥 4𝑏4 
b) 𝐵(𝑥) =
20
9
𝑥5𝑏3 − 5𝑥3𝑏 
c) 𝐶(𝑥) = 2𝑥3 − 16 
d) 𝐷(𝑥) =
1
3
𝑎2𝑚 +
1
3
𝑎𝑏𝑚 −
2
3
𝑎2𝑛 −
2
3
𝑎𝑏𝑛 
e) 𝐸(𝑥) = 𝑥2 −
9
4
 
f) 𝐹(𝑥) = 24𝑥4 – 36 𝑥3 𝑦 + 18𝑥2𝑦2– 3𝑥𝑦3
 
 
g) 𝐺(𝑥) = 𝑎2 𝑚 – 𝑏2𝑚 – 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛 
h) 𝐻(𝑥) = 𝑎3𝑚2 − 𝑚2 + 𝑎3𝑛 − 𝑛 
i) 𝐼(𝑥) = 𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎 + 1 
j) 𝐽(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 
k) 𝐾(𝑥) = 𝑎4 − 4𝑎2 − 𝑎3𝑥 + 4𝑎𝑥 
l) 𝐿(𝑥) = −𝑥4 + 42 
m) 𝑀(𝑥) =
3
8
𝑎3𝑥 −
9
4
𝑎2𝑥 +
9
2
𝑎𝑥 − 3𝑥 
4. Hallar el M.C.D. y el m.c.m de las expresiones siguientes: 
a) a2 – x2 ; a2 + 2ax + x2 ; a + x 
b) x2 – 25; x2 – 10x + 25; x3 – 125 
c) a3 – 3a2x + 3ax2 – x3 ; 4a2 – 4x2 ; 3a2 –6ax + 3x2 
d) ( )3223233
2
1
 ; ; 
2
1
2
1
babbaaababa +−−−− 
 
5. Simplificar. 
a) 
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1
𝑥2 − 1
 
 
b)
𝑎𝑥4 − 𝑎
(3𝑥2 + 3)(𝑥2 + 2𝑥 + 1)
 
 
c)
𝑏𝑥9 + 𝑏𝑥6 − 𝑏𝑥7 − 𝑏𝑥4
𝑥6 − 𝑥5 + 𝑥3 − 𝑥2
 
 
d)
3𝑥3 + 24
𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 − 𝑏𝑥2 + 2𝑏𝑥 − 4𝑏
 
6. Operar y simplificar. 
a)
25 − 𝑥2
𝑥2 + 𝑥
:
𝑥 − 5
3𝑥 + 3
 
 
c)
12
𝑥2 + 2𝑥
−
2
𝑥
+
6
𝑥 + 2
 
 
b)
𝑥3 − 8
𝑥2 − 4
:
2𝑥4 + 4𝑥3 + 8𝑥2
2𝑥3 + 4𝑥2
 
 
d)
𝑥 − 6
𝑥2 − 3𝑥 + 9
−
𝑥3
𝑥3 + 27
+ 1 
 
7. Resolver las siguientes ecuaciones. 
a) 
5𝑥−2𝑥2
3
= 1 −
2
3
𝑥 c) 
x−2
x+3
=
5
x2−9
+
x+1
x−3
 
b) 
16
𝑏
+
𝑏
5
=
21
5
 d) 
3x
x
32xx
22xx
1x
4
2
2
−
−
=
−−
+−
−
+
 
 
 
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13 
 
Respuestas “Polinomios II” 
1. a) 𝑅𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝑥) = {−√3; −2; 3; √3} 
 𝑅𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑄(𝑥) = {−1; 2; 3} 
 𝑅𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑅(𝑥) = {−3; −1; 2} 
b) 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) 
 𝑄(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 
 𝑅(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)(𝑥 + 3) 
 
2. 𝑃(𝑥) = −2(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) 
 
3. 
a) 𝐴(𝑥) = 5𝑏2(𝑎 − 5𝑏2𝑥4)2 
b) 𝐵(𝑥) = 5𝑏𝑥3(
2
3
𝑏𝑥 − 1)(
2
3
𝑏𝑥 + 1) 
c) 𝐶(𝑥) = 2(𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4) 
d) 𝐷(𝑥) =
1
3
𝑎(𝑎 + 𝑏)(𝑚 − 2𝑛) 
e) 𝐸(𝑥) = (𝑥 +
3
2
) (𝑥 −
3
2
) 
f) 𝐹(𝑥) = 3𝑥(2𝑥 − 𝑦)3 
g) 𝐺(𝑥) = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)(𝑚 − 𝑛) 
h) 𝐻(𝑥) = (𝑎2 + 𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑚2 + 𝑛) 
i) 𝐼(𝑥) = (𝑎 + 1)(𝑎 − 1)2 
j) 𝐽(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 
k) 𝐾(𝑥) = 𝑎(𝑎 − 2)(𝑎 + 2)(𝑎 − 𝑥) 
l) 𝐿(𝑥) = −(𝑥2 + 4)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 
m) 𝑀(𝑥) =
3
8
𝑥(𝑎 − 2)3 
4. 
a) 𝑀. 𝐶. 𝐷. = (𝑎 + 𝑥) → 𝑚. 𝑐. 𝑚. = (𝑎 + 𝑥)2(𝑎 − 𝑥) 
b) 𝑀. 𝐶. 𝐷. = (𝑥 − 5) → 𝑚. 𝑐. 𝑚. = (𝑥2 + 5𝑥 + 25)(𝑥 − 5)2(𝑥 + 5) 
c) 𝑀. 𝐶. 𝐷. = (𝑎 − 𝑥) → 𝑚. 𝑐. 𝑚. = 12(𝑎 − 𝑥)3(𝑎 + 𝑥) 
d) 𝑀. 𝐶. 𝐷. = (𝑎 − 𝑏) → 𝑚. 𝑐. 𝑚. =
1
2
𝑎(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)2(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
5. 
a) 𝑥 − 1 
𝑏) 
𝑎(𝑥 − 1)
3(𝑥 + 1)
 
c) 𝑏𝑥2(𝑥 + 1) 
d) −
3(𝑥 + 2)
𝑏 − 𝑥
 
6. 
a) −
3(𝑥 + 5)
𝑥
 
 b) 1 
 
 c) 
4
𝑥
 
 d) 
1
𝑥+3
 
7. 
a) 𝐶𝑆 = {
1
2
; 3} 
b) 𝐶𝑆 = {5; 16 } 
c) 𝐶𝑆 = {− 
2
9
} 
d) 𝐶𝑆 = {2} 
 
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14 
 
Ejercitación: Ecuaciones irracionales, exponenciales y logarítmicas. 
Ecuaciones irracionales. 
1- Resolver las siguientes ecuaciones irracionales: 
a) 38 =− )(xx 
b) 3√𝑥 − 1 + 11 = 2𝑥 
c) 735 +=++ xx 
d) 1
4
3
=x 
e) 1
2
=−
x
x 
f) 
33
2
2
1
2
1
xx
=−
 
2- Plantear la ecuación y resolver los siguientes problemas: 
a) Si la raíz cuadrada de un número se aumenta en dos, resulta 5. ¿Cuál es ese número? 
b) El área de un triángulo equilátero es 39 m2. Determine el perímetro y la medida de su 
altura. 
c) El volumen de un cubo mide 1728 m3. Calcule la medida de la diagonal d de una de sus 
caras y la medida D de la diagonal del cubo. 
d) El área de un triángulo equilátero es 100 3 m2. Indique la medida del área del cuadrado 
que tiene por lado la altura del triángulo. 
 
Ecuaciones exponenciales 
3- Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales. 
a) 21−𝑥
2
=
1
8
 
b) 4𝑥
2−6𝑥 = 16384 
c) 8
2
4
2
1
=
+
−
x
x
 
 
d) 12
2
=− xxe 
e) 
64
1
2
21 =−− x 
f) 2𝑥−1 + 2𝑥 + 2𝑥+1 = 896 
 
Ecuaciones logarítmicas 
4- Utilizar las propiedades de los logaritmos para explicar por qué es correcta cada expresión. 
a) log𝑏 27 + log𝑏 3 = 4 log𝑏 3 
b) 
1
 2
log𝑏 0.0001 = −log𝑏 100 
 
c) ln (
𝑥
4
−
√𝑥2 −4
4
) = − ln(𝑥 + √𝑥2 − 4 ) 
d) −2 log𝑏
4
9
= log𝑏
81
16
 
5- Resolver para x y verificar. 
a) log10( 𝑥) + log10(5) = 2 
b) log10(5) − log10( 𝑥) = 2 
c) log12(𝑥 − 5) + log12(𝑥 − 5) = 2 
d) log16(𝑥) + log16(𝑥 − 4) =
5
4
 
e) log10(3 − 𝑥) − log10(12 − 𝑥) = −1 
 
f) log1
7
(𝑥) + log1
7
(5𝑥 − 28) = −2 
g) log10(𝑥
3 − 1) − log10(𝑥
2 + 𝑥 + 1) = −2 
h) 2 log25( 𝑥) − log25(25 − 4𝑥) =
1
2
 
i) log3(8𝑥
3 + 1) − log3(4𝑥
2 − 2𝑥 + 1) = 2 
j) log1
3
(12𝑥2) − log1
3
(20𝑥 − 9) = −1 
6- Resolver para x e y. Verificar. 
 
a) {
𝑥 − 𝑦 = 15
𝑙𝑜𝑔10𝑥 + 𝑙𝑜𝑔10𝑦 = 2
 
 
 
b ) {
𝑙𝑜𝑔𝑦(9 − 𝑥) =
1
2
𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑦 + 9) = 2
 
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15 
 
Respuestas “Ecuaciones irracionales, exponenciales y logarítmicas” 
Ecuaciones irracionales 
1- 
a) 𝐶𝑆 = {−1; 9} 
b) 𝐶𝑆 = {10} 
c) 𝐶𝑆 ={}=  
 
d) 𝐶𝑆 = {
256
81
} 
e) 𝐶𝑆 = {4} 
f) 𝐶𝑆 = {125}
2- 
a) El número es igual a 9. 
b) El perímetro del triángulo equilátero es igual a 12 [m] y la altura es igual a 2√3 [m] 
c) El valor de las diagonales son d = 12√2 [m] y D = 12√3 [m] 
d) El área del cuadrado es igual a 300 [m2] 
 
Ecuaciones exponenciales 
3- a) CS={-2; 2} 
b) CS ={-1; 7} 
c) CS={7} 
d) CS={0,2}; 
e) CS={- 5 , 5 } 
f) CS={8} 
 
Ecuaciones logarítmicas 
4- Sin respuesta 
5- 
a) CS={20} 
b)CS={
1
100
} 
c) CS={17} 
d) CS={8} 
e) c.s.={2} 
 
f) CS={7} 
g) CS={
101
100
} 
h) CS={5} 
i) CS={4} 
j) CS=(
1
2
; 
5
2
) 
6. 
a) x=20; y=5 
b) x=5; y=16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16 
 
Ejercitación: Funciones I 
Dominio. Ceros. Extremos. Función Creciente y Decreciente. Gráficas. 
 
1. Dadas las siguientes relaciones y sus conjuntos de partida y de llegada, determinar si son relaciones 
funcionales o no. Justifique. 
 
 Dominio Codominio Relación 
a. 
Alumnos = 
{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L} 
Especialidades = 
{Sistemas, Eléctrica, Industrial} 
A, B, C, D, E son de Sistemas 
F, G, H son de Eléctrica 
I, J, K, L son de Industrial 
b. 
Animales = {Perro, Gato, 
Pato, Araña, Paloma, 
Hormiga, Lombriz, Mosca} 
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …} A cada animal del conjunto A le 
corresponde un nN, según su 
cantidad de patas. 
c. 
Hinchas = 
{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L} 
Clubes = {Boca, River, Colón, 
Unión} 
A, B, C, D, E, F son de Colón 
G, H, I, J son de Unión 
A, G, K son de River 
B, I, L son de Boca 
 
2. Dada la expresión 22xyf(x) == 
a) Explicar brevemente por qué representa una función. 
b) Indicar dominio y rango de la función. 
c) Esbozar mediante una tabla de valores la gráfica de la función. 
 
3. Escribir en forma simbólica la función que representa cada uno de los siguientes enunciados dados en 
forma coloquial: 
a) Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos 
obtenemos un rectángulo. Expresar el área del rectángulo en función 
del lado x del cuadrado. 
b) Para un rectángulo de perímetro fijo P, expresar el área del mismo en función de uno de los 
lados x. 
c) Un empleado cobra $60 cada día que acude al trabajo y cuando no lo hace sufre una 
penalización de $20. Hallar la expresión que calcula el cobro, en función de los días que 
trabajó en el mes (considerar mes de 30 días). 
 
4. Dar el dominio de las siguientes funciones: 
a) xx(x)f 74 21 += 
b) 22 t-(t)f = 
c) 
1
52
3
x-
x
(x)f
+
= 
d) 
)9(
6
4
+
=
xx
(x)f 
e) 
92
5
+
=
x
x
(x)f 
f) 
x
(x)f
5
6 = 
g) 
1
2
7
−
+
=
x
x
(x)f 
h) 
2
1
8
+
=
x
(x)f 
i) 
2
1
9
+
−
=
x
x
(x)f 
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17 
 
5. Proponer una función que se corresponda con los dominios indicados a continuación: 
a) 𝑥 ∈ ℜ 
b) 𝑥 ∈ ℜ ∕ 𝑥 ≠ 0 
c) 𝑥 ∈ ℜ ∕ 𝑥 ≠ ± 3 
d) 𝑥 ∈ ℜ ∕ 𝑥 ≥ 0 
e) 𝑥 ∈ ℜ /𝑥 ≥ −1 
f) 𝑥 ∈ ℜ /𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 ≠ 4 
6. Interpretación de gráficos 
i) 
 
 
 
 
 
 
a) ¿En qué días subió la temperatura? 
b) ¿En qué días permaneció constante? 
c) ¿Y en qué días bajó? 
d) ¿Cuál fue la temperatura máxima alcanzada? ¿En qué día la alcanzó? 
e) ¿Cuál fue la temperatura mínima alcanzada? ¿En qué día la alcanzó? 
 
ii) Dada la gráfica de la función f(x), 
determinar: 
a) Dominio. 
b) Conjunto imagen. 
c) El/los intervalo/s de crecimiento. 
d) El/los intervalo/s de decrecimiento. 
e) El/los intervalo/s de positividad. 
f) El/los intervalo/s de negatividad. 
g) Extremos absolutos. 
 
 
7. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 [m2]. Quiere hacer un camino alrededor del 
estanque como muestra el dibujo. El ancho del camino ha de ser constante en todo el contorno. 
Llamando x al ancho constante del camino encontrar una función que permita conocer el área del 
mismo. 
a) Calcular los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. 
b) Escribir los valores en una tabla. 
f(x) 
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18 
 
c) Dibujar unos ejes y dibujar los puntos (x, A). 
d) ¿Para qué valor de x es A = 100? 
e) Si el área del camino ha de ser de 30 m2, averiguar el ancho x del camino. 
 
 
 
 
 
Respuestas “Funciones I” 
1. “a” y “b” son relaciones funcionales. “c” no lo es. 
 
2. a) Porque a cada valor de x le corresponde uno y 
sólo un valor de y. Cumple con los postulados de 
unicidad y existencia. 
b) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅} 
 𝑅 = {𝑦 ∈ 𝑅0
+} 
c) Gráfica. 
3. 
a) 𝐴(𝑥) = 𝑥. (𝑥 + 6) = 𝑥2 + 6𝑥 
b) 𝐴(𝑥) = 𝑥(𝑃 − 𝑥) 
c) 𝐶(𝑥) = 60𝑥 − 20(30 − 𝑥) = 80𝑥 − 600 
4. 
a) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅} 
b) 𝐷 = {𝑡 ∈ 𝑅 / 𝑡 ≥ 2} 
c) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ 1} 
d) 𝐷 = 𝑅 − {−9; 0} 
e) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅} 
f) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 > 0} 
g) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 /𝑥 ≥ −2 ∧ 𝑥 ≠ 1} 
h) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅} 
i) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 > −2} 
5. 
a) 𝑦 = 𝑥 
b) 𝑦 =
1
𝑥
 
c) 𝑦 =
3𝑥+1
𝑥2−9
 
d) 𝑦 = √𝑥 
e) 𝑦 = √𝑥 + 1 
f) 𝑦 =
√𝑥
𝑥−4
 
6. 
i) 
a) La temperatura subió entre los días 4–6 y 7-8 
b) La temperatura permaneció constante entre los días 0-2, 3-4, 6-7, 9-10 y 11-14 
c) La temperatura bajó entre los días 2-3, 8-9 y 10-11 
d) La temperatura máxima fue de 40° y se alcanzó en el día 8 
e) La temperatura mínima fue de 36° y se alcanzó en el día 11 
ii) 
a) 𝐷𝑓 = [−3; 9] 
b) 𝐶𝐼𝑓 = [−3,5; 4] 
c) 𝐼𝐶 = [−1; 1] ∪ [5; 9] 
-4 -2 2 4
1
2
3
4
5
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19 
 
d) 𝐼𝐷 = [−3; −1] ∪ [1; 2] ∪ [3; 5] 
e) 𝐼+ = [−3; 3,5] ∪ [7; 9] 
f) 𝐼− = [3,5; 7] 
g) 𝑀𝐴 = 4 ; 𝑚𝐴 = −3,5 
 
7. 𝐴(𝑥) = (2𝑥 + 5). (2𝑥 + 3) − (3). (5) = 4𝑥2 + 16𝑥 
a) 𝐴(0) = 0 
𝐴(1) = 20 
𝐴(2) = 48 
𝐴(3) = 84 
𝐴(4) = 128 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 𝑥 = −2 + √29 ≅ 3.385 
e) 𝑥 = −2 + √
23
2
≅ 1.391 
 
 
x A 
0 0 
1 20 
2 48 
3 84 
4 128 
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Ejercitación 2022 
 
20 
 
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
x
y
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
x
y
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
x
y
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
x
y
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-4-5 1 2 3 4 5
x
y
-3
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-4-5
1 2 3 4 5
x
y
-3
Ejercitación: Funciones II 
Función Lineal. Función cuadrática. 
Función Lineal y ecuación de la recta: 
1. Dadas las siguientes expresiones, indicar cuáles son ecuaciones asociadas a una función lineal de una 
variable. 
a) 10x+8y-30=0 
b) 2x+3y-z=x+y 
c) 4(h+3)-5t+8(t-h)=4 
 
d) x2+y2=4 
e) 2t2-5t=0 
f) 
1
𝑥
+
1
𝑦
= 0 
2. Escribir una ecuación lineal que modele las siguientes situaciones. Indicar su dominio. 
a) Un kilo de papas cuesta $0.65. Escribir el precio total en función de los kilos de papas 
comprados. 
b) Una empresa de transporte establece sus precios mediante: $0.10 por km recorrido y $5 
por paquete o maleta. Expresar la función que relaciona el precio por traslado en función 
de kilómetros recorridos, con una maleta. ¿Cómo se expresa si las maletas fueran 2? 
c) Un auto se encuentra a 3km de mí y se acerca a 2km/h. Dar la función que expresa la 
distancia del auto hacia mí en función del tiempo. 
 
3. Representar gráficamente las siguientes ecuaciones lineales 
a) y = -4x+1 
b) y = -5 
c) x + y = 0 
d) 3x – 2y + 1 = 0 
e) x = -3 
 
4. Dar una expresión de las rectas graficadas a continuación. Indicar si son funciones. 
 
a) b) c) 
d) e) f)Ingreso a la Universidad 
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21 
 
5. ¿Qué compañía me interesa más? 
a) La compañía de teléfono celular A me ofrece una cuota fija de $150 al 
mes más 0,50$/min. 
b) La compañía de teléfono celular B me ofrece pagar sólo por el consumo a 2,50$/min. 
c) La compañía de teléfono celular C me ofrece una cuota de 1,50$/min. Con un mínimo de 
$150. 
Llamar x a los minutos de consumo e y al importe total, la función que describe el gasto con cada 
compañía y decidir cuál es más conveniente según el consumo. 
 
6. La gráfica que se observa a continuación contiene seis rectas; la ecuación de cada una de ellas está 
dada de la forma 𝑦 = 𝑚𝑖𝑥 + 𝑏𝑖. ¿Puede decir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? 
a) 𝑚1 > 0 
b) 𝑏1 = 𝑏2 
c) 𝑚4 = 0 
d) 
e) 
f) 𝑅1 𝑦 𝑅2 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 
g) 𝑏4 = 0 
h) El dominio de 𝑅𝑖 es: 𝑥 ∈ ℜ 
i) Si escojo dos rectas cualesquiera exceptuando 
R1 ellas se cortan en un punto. 
 
7. Indicar una ecuación de la recta que pasa por el punto P(-1;-3) y es perpendicular a la recta 
𝑟1) 2𝑥 − 5𝑦 = 8 
 
Función cuadrática y ecuación de la Parábola 
8. Dada la parábola 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 1 que se muestra en la figura, 
determinar, en este orden: 
-Las coordenadas del punto A 
-El vértice V 
-Los puntos B y C. 
 
9. Determinar la ecuación de una parábola cuyas abscisas al origen 
sean x1 = 1 y x2 = 3. 
 
10. Determinar la ecuación de una parábola tal que interseca al eje X en el P1(2;0) y al eje Y en P2(0;6). 
 
11. Determinar las intersecciones con los ejes coordenados, de las siguientes funciones: 
a) 𝑦 = 2𝑥2 − 14𝑥 + 24 
b) 𝑦 = 5𝑥2 − 10𝑥 + 5 
c) 𝑦 = 6𝑥2 + 12 
 
d) 𝑦 = 3(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) 
e) 𝑦 = 3(𝑥 − 2)2 
f) 𝑦 = 3(𝑥2 + 4) 
12. Para cada una de las siguientes parábolas determinar las coordenadas del vértice, la ecuación del 
eje de simetría e indicar si alcanzan un valor máximo o mínimo. 
a) 𝑦 = −
1
2
𝑥2 
b) 𝑦 = 3(𝑥 − 4)2 
c) 𝑦 = −
1
6
𝑥2 − 3 
d) 𝑦 +
1
3
= (𝑥 − 1)2 
R
1
 
R
2
 R3 
R
4
 
R
5
 
R
6
 
-1
x
y
A
V
B
C
y 
x 
Ingreso a la Universidad 
Seminario Universitario 
Taller de Matemática 
Ejercitación 2022 
 
 
7 
 
x
y
2
12
3
18
x
y
13. Hallar en cada caso la ecuación correspondiente a cada una de estas parábolas: 
 
a) b) 
 
 
 
14. Dada la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
3
2
𝑥 − 𝑥2 
a) Hallar el vértice y las intersecciones con los ejes coordenados. 
b) Graficarla 
c) Hallar el valor exacto de 𝑓(1 − √5) 
 
15. Expresar la función cuadrática que expresa el área de un rectángulo de 100cm de perímetro en 
función de uno de los lados del rectángulo. 
 
16. Una empresa comercializadora estima que en n meses después de la introducción del producto 
nuevo de un cliente, f(n) millones de hogares lo estarán utilizando, en donde 
a) 𝑓(𝑛) =
10
9
𝑛(12 − 𝑛); 0 ≤ 𝑛 ≤ 12 
b) Calcular el número máximo de hogares en los que se empleará dicho producto. 
 
17. La altura S de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por: 𝑆 =
−2.94𝑡2 + 58.8𝑡 ; donde S está en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos 
a) ¿En cuantos segundos alcanza su máxima altura? 
b) ¿Cuál es dicha altura? 
 
18. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada “y” (en Km) y los kilómetros recorridos “x” están 
relacionados por la ecuación 𝑦 = −4𝑥2 + 8𝑥. Calcular la máxima altura alcanzada por el proyectil. 
 
19. Dada la parábola de ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 que se corresponde con la gráfica esbozada a 
continuación, se puede afirmar que: 
(marque las opciones que considere correctas) 
a) a > 0 
b) No posee raíces reales 
c) Alcanza un máximo 
d) 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 
e) 𝑥 = 𝑌𝑣 representa el eje de simetría 
f) 𝑉 = 
−𝑏
2𝑎
 
g) Rango: [𝑋𝑣; +∞) 
h) c.a > 0 
 
 
 
 
y 
 
V(X
v
;Y
v
) 
x 
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Ejercitación 2022 
 
 
8 
 
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
x
y
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
x
y
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
x
y
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-4-5 1 2 3 4 5
x
y
Respuestas “Funciones II” 
 
Función Lineal y ecuación de la recta 
1. Las ecuaciones asociadas a una función lineal de una sola variable son la (a), (c) y (f) 
2. 
a) y = 0.65 x ; Dom = [0 ; +∞) 
b) y = 0.10 x + 5 ; Dom = [0 ; +∞) 
y = 0.10 x + 10 
c) y = 3 – 2 t ; Dom = [0 ; 1,5] 
3. 
 
a) b) c) 
 d) e) 
4. 
a) y = 0 b) y = -3 c) x = 5 
d) y = -3x e) y = -3x -1 f) y = ½ x 
 
5. Si se consumen menos de 60 minutos conviene compañía B. 
Si se consumen entre 60 y 150 minutos compañía C y si se consume más de 150 minutos conviene 
compañía A 
A: 𝑦 = 150 + 0.5 𝑥 ; 
B: 𝑦 = 2.5 𝑥 
C: 𝑦 = {
150 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 100
1.5 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 100
 
 
6. Las afirmaciones correctas son: a, c, d, e, f, i. 
 
7. 𝑦 = −
5
2
𝑥 −
11
2
 
 
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
x
y
Escala: 1:10 (en $) 
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Ejercitación 2022 
 
 
9 
 
Función cuadrática y ecuación de la Parábola 
 
8. 𝐴 = (0; 1), 𝐵 = (1; 1), 𝐶 = (2; 3), 𝑉 = (
1
2
;
3
4
) 
 
9. )3)(1( −−= xxay , con 𝑎 ∈ 𝑅/𝑎 ≠ 0 . Por ejemplo: 𝑦 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 
 
10. 𝑦 = 𝑎𝑥2 − (3 + 2𝑎)𝑥 + 6 , con 𝑎 ∈ 𝑅/𝑎 ≠ 0 
Por ejemplo, si a=1: 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
11. 
a) ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑦: 𝑌1 = (0; 24) / ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑥: 𝑋1 = (3; 0), 𝑋2 = (4; 0) 
b) ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑦: 𝑌1 = (0; 5)/ ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑥: 𝑋1 = (1; 0) 
c) ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑦: 𝑌1 = (0; 12) / ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑥: ∄ 
d) ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑦: 𝑌1 = (0; −30) / ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑥: 𝑋1 = (−5; 0), 𝑋2 = (2; 0) 
e) ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑦: 𝑌1 = (0; 12) / ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑥: 𝑋1−2 = (2; 0) 
f) ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑦: 𝑌1 = (0; 12) / ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑥: ∄ 
12. 
a) V = (0;0) / Eje de simetría: x = 0 / Alcanza un máximo. 
b) V = (4;0) / Eje de simetría: x = 4 / Alcanza un mínimo. 
c) V = (0;-3) / Eje de simetría: x = 0 / Alcanza un máximo. 
d) V = (-1;−
1
3
) / Eje de simetría: x = 1 / Alcanza un mínimo. 
 
13. 𝑎) 𝑦 = −2(𝑥 − 3)2 + 18 ; 𝑏) 𝑦 = 3𝑥2 
 
14. 
a) V(
3
4
;
9
16
) / ∩ 𝐸𝑗𝑒 𝑌: 𝑌1(0; 0) / ∩ 𝐸𝑗𝑒 𝑋: 𝑋1(0; 0), 𝑋2 (
3
2
; 0) 
b) Gráfica 
c) 𝑓(1 − √5) =
1
2
(√5 − 9) 
 
15. 𝐴 = 50𝑥 − 𝑥2 
 
16. 40 millones de hogares 
 
17. Alcanza la máxima altura a los 10 segundos y ésta es de 294 metros. 
 
18. La máxima altura alcanzada por el proyectil es de 4 Km. 
 
19. Las opciones correctas son: a, b y h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
-1
-2
-1-2
1 2
x
y
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Ejercitación 2022 
 
 
10 
 
 
Ejercitación: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES 
Sistema de ecuaciones lineales 
 
1. Resolver, clasificar, graficar e interpretar los siguientes sistemas de ecuaciones. 
a) {
−3𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 + 2𝑦 = 3
 b ) {
−
1
2
𝑥 +
2
3
𝑦 = −
1
4
3𝑥 − 4𝑦 =
3
2
 c ) {
𝑥 −
1
3
𝑦 = 2
3𝑥 − 𝑦 = −1
 
 d ) {
𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 − 3𝑦 = 1
 e ) {
2𝑥 + 4𝑦 = 2
3𝑥 − 2𝑦 = 9
 f ) {
2𝑥 − 2𝑦 =
3
2
3𝑥 + 𝑦 =
5
4
 
 g ) {
𝑥 = 03𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
 h ) {
2𝑥 − 3𝑦 + 8 = 0
𝑦 = 0
 i ) {
𝑥 = 2
𝑦 = 5
𝑥 + 3𝑦 = 10
 
 j ) {
𝑦 = 5𝑥
𝑦 = −2𝑥
 k) {
𝑥 − 3𝑦 = 9
5𝑥 + 4𝑦 = 7
𝑥 + 𝑦 = 1
 l ) {
2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
𝑥 + 𝑦 = 10
6𝑥 − 7𝑦 = 8
 
 m) {
𝑘𝑥 + 7𝑦 − 7 = 0
𝑥 = −1
𝑦 = 2
 
 
2. Plantear y resolver cada uno de los siguientes problemas: 
a) En una alcancía hay 32 monedas de $0,25 y $0,05 si en total hay $5, ¿cuántas monedas de 
cada valor hay en la alcancía? 
b) 300 litros de aceite se envasan en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de 
cada clase se utilizan? 
c) En un paralelogramo, la suma entre la mitad de uno de sus ángulos y la tercera parte de 
otro, no opuesto con el primero, es igual a 79o. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos 
interiores al paralelogramo? Realizar figura de análisis. 
d) Dos ángulos suplementarios son tales que la amplitud de uno de ellos tiene 12º más que 
el doble de la amplitud del otro. Cuánto mide cada ángulo. 
e) Juan se compró un auto P 0km que vale $50.000 y pierde $2.500 de su valor por año. 
Martín se compró un auto G 0km que vale $40.000 y pierde $1.500 de su valor por año. 
¿En algún momento los autos valdrán lo mismo? 
f) Una mosca se dirige hacia un objetivo y su altura (en metros) en cada instante t (en 
segundos) es f(t)=30-0.5t. Una araña se mueve mientras teje y su altura en cada instante 
puede modelarse con la función g(t)=2+0.2t. ¿Existe algún instante en el cual ambos 
insectos se encuentran a igual altura? 
g) Dos hermanos ahorran el dinero que reciben semanalmente de sus padres, si el mayor 
recibe $25 por semana y el menor recibe $15 por semana y se sabe que el mayor no 
empieza con reserva y el menor comienza con una reserva de $50, ¿existe alguna semana 
en la cual ambos poseen la misma cantidad de dinero? 
h) El perímetro de un rectángulo mide 44cm. Si la mitad de un lado más un tercio del otro 
suman 9. ¿Cuánto mide cada lado? 
 
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Ejercitación 2022 
 
 
11 
 
3. La recta 𝑦 + 2 = 𝑚(𝑥 + 3) pasa por le punto de intersección de las rectas 2𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0 y 
5𝑥 − 2𝑦 − 16 = 0. Calcular m. 
4. Hallar los valores de a para que el punto (4000,3000) sea la solución del sistema: {
𝑦 = 0,75𝑥
𝑦 = 𝑎𝑥 + 500
 
5. Dadas las siguientes ecuaciones de rectas: {
2𝑥 − 4𝑦 = 0
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
 decidir para que valores de a y de b las 
rectas tienen: 
 a) Un punto en común b) Ninguno común c) Todos sus puntos en común 
 
Sistema de ecuaciones no lineales 
6. Hallar las raíces de las siguientes funciones y esbozar el gráfico de cada una de ellas mediante la 
ayuda de una tabla de valores. 
a) y = x3 − x 
b) y =
−3x+6
2
 
c) y =
1
2
√x
3
 - 3 
d) 𝑦 = |𝑥| − 3 
e) 𝑦 = − 𝑥3 + 8 
 
7. Plantear y resolver cada uno de los siguientes problemas. 
a) Encontrar dos números enteros cuya suma sea 26 y cuyo producto resulte 165. 
b) Determinar las dimensiones de un rectángulo si tiene 80cm2 de área y su perímetro es de 
48cm. Realizar figura de análisis. 
c) Determinar las dimensiones de un rectángulo si tiene 48cm2 de área y sus diagonales 
miden 10cm. Realizar figura de análisis. 
d) El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son? 
e) Una habitación tiene forma de rombo. Si su superficie es de 42 m2, y la suma de sus 
diagonales es de 20 m, hallar las medidas de sus lados. Realizar figura de análisis. 
Dato: Área Rombo (D.d)/2 
 
8. Dadas las funciones 
4
12
1
+
==
x
)x(fy e 22 xx
2
3
xfy −== )( 
a) Hallar analíticamente la intersección entre ambas. Indicar las coordenadas del o de los 
puntos donde se intersecan. 
b) Graficarlas en un mismo sistema de referencias. 
9. Dada la función 
3
25
)(
2xx
xfy
−
== 
a) Hallar analíticamente la intersección con el Eje X. Dar dominio y conjunto imagen. 
b) Trazar la gráfica aproximada de la función. 
c) Determinar analíticamente el o los puntos donde la gráfica de )x(f corta a la gráfica de 
ecuación .
3
2
1 xy −= 
10. Dada la función de segundo grado ,122)( 2 +−−== xxxfy 
a) Hallar dominio, rango, vértice, raíces e intersección con el eje Y. 
b) Graficar. 
c) Hallar analíticamente los puntos intersección entre f(x) y 42 2 −= x)x(g 
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12 
 
11. Dada la función de segundo grado xx)x(fy 42 −−== . Hallar analíticamente los puntos 
intersección entre f(x) y .42)( 2 −= xxg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13 
 
Respuestas “Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales” 
Sistemas de Ecuaciones Lineales 
1. 
a) 𝑥 = −1; 𝑦 = 2 
b) S.C.I: las rectas son coincidentes 
c) S.I: las rectas son paralelas 
d) 𝑥 = 2; 𝑦 = 1 
e) 𝑥 =
5
2
 ; 𝑦 = −
3
4
 
f) 𝑥 =
1
2
 ; 𝑦 = −
1
4
 
g) 𝑥 = 0; 𝑦 = 5 
h) 𝑥 = −4; 𝑦 = 0 
i) S.I: las rectas no son concurrentes 
j) 𝑥 = 0; 𝑦 = 0 
k) 𝑥 = 3; 𝑦 = −2 
l) S.I: las rectas no son concurrentes 
m) 𝑥 = −1; 𝑦 = 2; 𝑘 = 7 
2. 
a) Hay 17 monedas de $0,25 y 15 de $0,05 
b) Hay 100 botellas de dos litros y 20 botellas de cinco litros. 
c) x=66º e y= 114º 
d) x= 124º, y=56º 
e) Si, 10 años después de comprados ambos autos valdrán $25000 
f) Sí, a los 40 segundos ambos estarán a una altura de 10 metros. 
g) Sí, luego de 5 semanas ambos tendrán $125. 
h) 10 cm y 12 cm. 
3. 𝑚 = −
1
5
 , el punto de intersección es P(2,-3) 
 
4. 𝑎 =
5
8
 
 
5. 
a) Tienen un punto en común: 𝑎 ≠
1
2
 . El punto común es 𝑥 =
2𝑏
1−2𝑎
; 𝑦 =
𝑏
1−2𝑎
 
b) Ningún punto en común: 𝑎 =
1
2
 𝑦 𝑏 ≠ 0 
c) Todos sus puntos en común: 𝑎 =
1
2
 𝑦 𝑏 = 0 (los puntos serán x=2y) 
 
Sistema de ecuaciones no lineales 
6. 
a) x1=0; x2=1, x3=-1 
b) x=2 
c) x=216 
d) x1=3; x2=-3 
e) x=2 
7. 
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14 
 
a) Los números son 11 y 15. 
b) Los lados del rectángulo miden 20 cm y 4 cm. 
c) Los lados del rectángulo miden 6 cm y 8 cm. 
d) Dos soluciones: P1(1 , 4), P2(-1 , -4) 
e) Lado: √58 𝑚 ≅ 7,61 𝑚 (Diagonal mayor 14 m, diagonal menor 6 m) 
8. a) x=0,5 ; y=0,5 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. 
a) Intersección con el Eje X: P1(0; 0) y P2(5/2; 0). 
Dominio: ℝ 
CI: (−∞;
25
24
] 
b) Gráfica aproximada de la función: 
c) A (
1
2
;
2
3
) B (3; −1) 
10. 
a) Dominio: ℝ 
 Rango: (−∞; 13] 
 Vértice: V (−1; 13) 
 Raíces: 𝑥1 = −1 − √13; 𝑥2 = −1 + √13 
 Intersección con el eje Y: P(0;12) 
 
b) Gráfica c) 𝐴 (−
8
3
 ; 
92
9
) ; 𝐵(2 ; 4 ) 
 
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1511. 𝐴(−2,4) ; 𝐵 (
2
3
; −
28
9
 ) 
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Ejercitación 2022 
 
14 
 
Trigonometría 
 
Razones trigonométricas de un ángulo agudo. 
 sen(α) =
cateto opuesto
hipotenusa
=
AB̅̅ ̅̅
OB̅̅ ̅̅
 cosec(α) =
hipotenusa
cateto opuesto
=
OB̅̅ ̅̅
AB̅̅ ̅̅
 
 
 cos(α) =
cateto adyacente
hipotenusa
=
OA̅̅ ̅̅
OB̅̅ ̅̅
 sec(α) =
hipotenusa
cateto adyacente
=
OB̅̅ ̅̅
OA̅̅ ̅̅
 
 tg(α) =
cateto opuesto
cateto adyacente
=
AB̅̅ ̅̅
OA̅̅ ̅̅
 cotg(α) =
cateto adyacente
cateto opuesto
=
OA̅̅ ̅̅
AB̅̅ ̅̅
 
 
Conversión de ángulos 
 360 ° _____________ 2 ∙ 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
Círculo trigonométrico 
 sen(α) =
AB̅̅ ̅̅
OB̅̅ ̅̅
=
AB̅̅ ̅̅
1
= AB̅̅ ̅̅ cosec(α) =
OB̅̅ ̅̅
AB̅̅ ̅̅
=
1
AB̅̅ ̅̅
=
1
sen(α)
 
 
 cos(α) =
OA̅̅ ̅̅
OB̅̅ ̅̅
=
OA̅̅ ̅̅
1
= OA̅̅ ̅̅ sec(α) =
OB̅̅ ̅̅
OA̅̅ ̅̅
=
1
OA̅̅ ̅̅
=
1
cos(α)
 
 tg(α) =
AB̅̅ ̅̅
OA̅̅ ̅̅
=
sen(α)
cos(α)
 cotg(α) =
OA̅̅ ̅̅
AB̅̅ ̅̅
=
cos(α)
sen(α)
=
1
tg(α)
 
 
Identidades trigonométricas 
 sen2(α) + cos2(α) = 1 
 sen(α + β) = sen(α) ∙ cos(β) + cos(α) ∙ sen(β) cos(α + β) = cos(α) ∙ cos(β) − sen(α) ∙ sen(β) 
 
 
 
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Ejercitación 2022 
 
15 
 
Ejercitación: TRIGONOMETRÍA I 
Sistemas de medición de ángulo. Relaciones trigonométricas. Resolución de triángulos. 
 
1. Expresar la medida en radianes de los ángulos que en grados miden: 
a) 30° b) 37° 20’ c) 25° 36’ 48” 
 
2. Expresar la medida en grados, minutos y segundos de los siguientes ángulos medidos en radianes: 
 a) 1 b) 

4
 c) 
3
2

 
 
3. Indicar si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas. Justificar en cada caso. 
a) cosec(x) =
1
cos (x)
 
b) sen(2) ≈ 0.909297 
c) tg (
π
2
) = 0 
d) cotg(60°) =
√3
3
 
 
e) π ∙ cos(π) = −180 
f)  x tal que 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 2 
g) 0 ≤ cos x ≤ 1 ∀ 𝑥 
h) 2 ∙ π ∙ tg(45°) = 2 ∙ π 
i) cotg(90°)=1
 
4. Indicar en qué cuadrante (o cuadrantes) queda localizado el (o los) ángulos  para que se satisfagan 
las siguientes condiciones: 
a) tg () > 0 y sen() < 0. 
b) tg() y cos() tienen el mismo signo. 
c) sen() y cos() tienen el mismo signo. 
d) Todas las funciones trigonométricas tienen el mismo signo. 
 
5. Mediante la utilización de la circunferencia trigonométrica (centrada en el origen y radio 1), deducir 
las siguientes relaciones 
a) 𝑐𝑜𝑠(−𝛼) = cos (𝛼) 
b) 𝑠𝑒𝑛(180° − 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 
c) 𝑡𝑔(180° + 𝛼) = 𝑡𝑔(𝛼) 
 
6. La distancia entre los edificios A y B es de 120 m. Si el edificio A mide 98 m. 
de altura y el ángulo de elevación desde el punto más alto del edificio A al 
punto más alto del edificio B es de 31º; hallar la altura del edificio B. 
 
7. Calcular la superficie y el perímetro de un campo rectangular sabiendo que el alambrado que lo 
atraviesa diagonalmente mide 649 m. y forma con uno de los lados limítrofes un ángulo de 37º26’. 
 
8. Hallar el ancho CD del río (ver figura), si  = 20º,  = 51º, AB = 30m. 
 
9. Hallar  sabiendo que: 
a) tg= 1 y sen  > 0 
b) tg=
1
3
 y cos  < 0 
c) tg=2, con  comprendido entre 0º y 360º 
 
10. Determinar el perímetro del parque cuyos datos se consignan en el siguiente 
croquis. Datos: A = 11 m, B = √26 m, D = 9 m, β = 110°. 
 
 
 31º 
 
 
 120m 
A=98m B 
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16 
 
11. La altura de la torre de la figura es de 35,08 m. Calcular la 
distancia BD entre las dos posiciones sucesivas de un 
observador, si:  = 50º12’ y  = 32º54’. 
 
 
 
 
12. Cierta tarde soleada, Ramiro y su papá fueron a la costa a remontar un barrilete. En un momento 
dado, Ramiro notó que ya no quedaba hilo en su carretel de 40 m, en 
tanto que su padre, ubicado a 25m de distancia miraba el barrilete 
formando un ángulo de 70⁰ respecto del piso. Asumiendo la situación 
según se ilustra en la figura de la derecha, calcular los ángulos α y  que 
completan el triángulo mayor y determinar la altura h del cometa. 
 
 
13. Un avión se comunica con su aeropuerto de destino A indicando que dispone de combustible 
sólo para volar 400 km. Como su distancia al 
aeropuerto es de 500 km. solicita instrucciones para 
modificar su plan de vuelo para no caerse al mar. 
Desde el aeropuerto A saben que una alternativa de 
aterrizaje es el Aeropuerto B que se encuentra a 600 
km. de distancia y miden un ángulo de 45⁰ entre el 
avión, A y B (ver figura de la derecha). 
a. Calcular la distancia del avión al aeropuerto B y la 
distancia mínima del avión a la playa. 
b. Determinar si el avión debe dirigirse al aeropuerto 
B o a la playa o si su caída al mar es inevitable. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 h 
 
   
 D B M 
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17 
 
Respuestas “Trigonometría I” 
1. a) 
𝜋
6
 b) 0,652 c) 0,447 
 
2. a) 57° 17’ 44” b) 45° c) 270° 
 
3. 
a) Falso: 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
 
b) Verdadero 
c) Falso: 𝑡𝑔 (
𝜋
2
) no existe 
d) Verdadero 
e) Falso: 𝜋 ∙ cos 𝜋 = −𝜋 
f) Falso: −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) ≤ 1 ∀ 𝑥 ∈ ℜ 
g) Falso: −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ≤ 1 ∀ 𝑥 ∈ ℜ 
h) Verdadero 
i) Falso: cotg(90°) no existe 
 
4. 
a) III cuadrante 
b) I o II cuadrante 
c) I o III cuadrante 
d) I cuadrante 
 
6. El edificio B tiene una altura aproximada de 170,1 metros. 
 
7. La superficie del campo es aproximadamente 203300,42 m2 y el perímetro 1819,68 m. 
 
8. El ancho del río es aproximadamente 26,13 m. 
 
9. a) α = 45° 
b) α = 210° 
c) α1 = 63° 26’ 5” ; α2 = 243° 26’ 5” 
 
10. P ≈ 35,32 [m] 
11. La distancia BD es de 25 metros. 
12. α=74°, =36°, h=38,45 m 
13. a. D(B)=431,6 km, Dmin=353,55 km 
 b. Debe dirigirse a la playa. 
 
 
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Ejercitación: TRIGONOMETRÍA II 
Relaciones trigonométricas de un mismo ángulo. Ecuaciones trigonométricas. 
 
1. Utilizando la Relación Pitagórica, 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 
- Expresar el 𝑠𝑒𝑛(𝛼) en función del 𝑐𝑜𝑠(𝛼) 
- Expresar el 𝑐𝑜𝑠(𝛼) en función del 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 
 
2. Calcular las relaciones trigonométricas, en forma exacta, en cada caso siguiente: 
a) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
7
25
 y 𝑡𝑔(𝛼) > 0 
b) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = −
4
5
 y 𝛼  3er. Cuadrante 
 
c) 𝑡𝑔(𝛼) =
√5
20
 , 0 ≤ 𝛼 ≤
𝜋
2
 
d) 𝑠𝑒𝑐(𝛼) =
5√6
12
 y 𝛼  4to. Cuadrante. 
3. Probar las siguientes identidades. 
a) 
𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼)
=
1
sec (𝛼)
 
b) cos(𝛼) . 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼). 𝑡𝑔(𝛼) = 1 
c) 
𝑠𝑒𝑛2(𝛼)
cos (𝛼)
 + cos(𝛼) = sec (𝛼) 
d) 𝑠𝑒𝑛2(𝛼) − 𝑠𝑒𝑛2(𝛼). cos2(𝛼) = 𝑠𝑒𝑛4(𝛼) 
e) [1 + 𝑡𝑔(𝛼)]2 + [1 − 𝑡𝑔(𝛼)]2 = 2sec2 (𝛼) 
f) 
𝑠𝑒𝑐(𝛼)−cos (𝛼)
cos ec(𝛼)−𝑠𝑒𝑛(𝛼)
= 𝑡𝑔3(𝛼) 
g) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) ∙ cos(𝛼) ∙ 𝑡𝑔(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼) ∙ 𝑠𝑒𝑐(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼) = 1 
h) 𝑡𝑔(𝛼) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼) = 𝑠𝑒𝑐(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼) 
i) 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝛼) = 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝛼) ∙ cos2(𝛼) + [𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼) ∙ sen(𝛼)]2 
 
4. Hallar todos los valores de x en 0 ≤ 𝑥 ≤2𝜋 : 
a) −1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 
b) cos(2𝑥) =
1
2
 
c) cos2(𝑥) − sen2(𝑥) = 1 
d) 𝑡𝑔(2𝑥) − 1 = 0 
e) 4𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) 
f) 2𝑠𝑒𝑛2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 1 
g) 3𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 
 
5. Para las ecuaciones de los ejercicios 4.a), d), g) dar las soluciones en todos los reales 
 
6. Sabiendo que 
𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos(𝛽) + cos(𝛼) 𝑠𝑒𝑛(𝛽) y 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼) cos(𝛽) − sen(𝛼) 𝑠𝑒𝑛(𝛽) 
 -Expresar 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) y 𝑐𝑜𝑠(2𝛼) en función de 𝑠𝑒𝑛(𝛼), 𝑐𝑜𝑠(𝛼) 
 -Expresar 𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) en función de 𝑠𝑒𝑛(𝛼), 𝑐𝑜𝑠(𝛼), 𝑠𝑒𝑛(𝛽) y 𝑐𝑜𝑠(𝛽) 
 -Expresar 𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) en función de 𝑡𝑔(𝛼), 𝑡𝑔(𝛽) 
 -Expresar 𝑡𝑔(2𝛼), en función de 𝑡𝑔(𝛼) 
 
7. Mostrar que: 
a) cos(
𝜋
2
+ 𝛼) = −𝑠𝑒𝑛(𝛼) 
b) cos2(𝛼) =
cos(2𝛼)+1
2
 
c) [𝑐𝑜𝑠(𝛼) + 𝑠𝑒𝑛(𝛼)]2 = 1 + 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) 
d) cos(𝜋 + 𝛼) = −cos (𝛼) 
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Ejercitación 2022 
 
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Respuestas “Trigonometría II” 
1. 
• 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = ±√1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) 
• cos(𝛼) = ±√1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝛼) 
 
 
 
2. 
a) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) =
24
25
; 𝑡𝑔(𝛼) =
7
24
; 𝑠𝑒𝑐(𝛼) =
25
24
; 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼) =
25
7
; 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼) =
24
7
 
b) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = −
3
5
; 𝑡𝑔(𝛼) =
3
4
; 𝑠𝑒𝑐(𝛼) = −
5
4
; 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼) = −
5
3
; 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼) =
4
3
 
c) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) =
4√5
9
; 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
1
9
; 𝑠𝑒𝑐(𝛼) =
9
4√5
=
9√5
20
; 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼) = 9; 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼) =
20
√5
= 4√5 
d) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) =
12
5√6
=
2√6
5
; 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = −
1
5
; 𝑡𝑔(𝛼) = −
√6
12
; 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼) = −5; 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼) = − 12
√6
= −2√6 
 
4. 
a) 𝑥 =
𝜋
2
 
b) 𝑥1 =
𝜋
6
; 𝑥2 =
5𝜋
6
; 𝑥3 =
7𝜋
6
; 𝑥4 =
11𝜋
6
 
c) 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 𝜋, 𝑥3 = 2𝜋 
d) 𝑥1 =
𝜋
8
; 𝑥2 =
5𝜋
8
; 𝑥3 =
9𝜋
8
; 𝑥4 =
13𝜋
8
 
 
e) 𝑥1 = 0; 𝑥2 =
𝜋
12
; 𝑥3 =
5𝜋
12
; 𝑥4 = 𝜋; 
𝑥5 =
13𝜋
12
; 𝑥6 =
17𝜋
12
; 𝑥7 = 2𝜋 
f) 𝑥1 =
𝜋
2
; 𝑥2 =
7𝜋
6
; 𝑥3 =
11𝜋
6
 
g) 𝑥1 =
𝜋
6
; 𝑥2 =
5𝜋
6
; 𝑥3 =
7𝜋
6
; 𝑥4 =
11𝜋
6
 
 
5. 
a) 𝑥 = 2𝑘𝜋 + 
𝜋
2
 , 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 
d) 𝑥 = 𝑘
𝜋
2
+
𝜋
8
, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 
g) 𝑥1 = 𝑘𝜋 +
𝜋
6
, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 
 𝑥2 = 𝑘𝜋 +
5𝜋
6
, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 
6. 
• 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) = 2𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos(𝛼) 
• 𝑐𝑜𝑠(2𝛼) = 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) − sen2(𝛼) 
• 𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) =
𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos(𝛽)+𝑠𝑒𝑛(𝛽)cos (𝛼)
cos(𝛼) cos(𝛽)−sen(𝛼)𝑠𝑒𝑛(𝛽)
 
• 𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) =
𝑡𝑔(𝛼)+𝑡𝑔(𝛽)
1−𝑡𝑔(𝛼)𝑡𝑔(𝛽)
 
• 𝑡𝑔(2𝛼) =
2𝑡𝑔(𝛼)
1−𝑡𝑔2(𝛼)
 
 
 
7. a) Reemplazamos en la ecuación 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼) cos(𝛽) − sen(𝛼) 𝑠𝑒𝑛(𝛽), con 𝛽 =
𝜋
2
; 
𝑐𝑜𝑠 (𝛼 +
𝜋
2
) = cos(𝛼) cos (
𝜋
2
) − 𝑠𝑒𝑛(𝛼)𝑠𝑒𝑛(
𝜋
2
) 
Pero cos (
𝜋
2
) = 0 𝑦 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) = 1 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 +
𝜋
2
) = −𝑠𝑒𝑛(𝛼)