24_Anexo_E_Formulas

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GUÍA DE FÓRMULAS ESTADÍSTICAS 
 
 
 
En esta guía no se presentan todas las fórmulas que contiene el libro. Esto se 
debe a que el alumno podrá disponer de la misma durante las evaluaciones. 
Las fórmulas que no están consignadas en esta guía deben ser conocidas, de 
memoria, por el alumno al realizar su evaluación. 
 
Medidas de Tendencia Central 
 
Media Aritmética: 
 
n
x
x
n
i
i
 1 (datos no agrupados) 
 




n
i
i
n
i
ii
fa
fax
x
1
1
*
 (datos agrupados en serie de frecuencias) 
 




n
i
i
n
i
ii
fa
fam
x
1
1
*
 (datos agrupados en intervalos de clase) 
 
Mediana: 
 2/)1(
~
 nxx (datos no agrupados, nro. impar de observaciones) 
 
2
~ 12/2/  nn
xx
x (datos no agrupados, nro. par de observaciones) 
 
 
i
i
i
i h
fa
Fan
Lx
12/~  (datos agrupados en intervalos de clase) 
 
Modo: 
 ii h
dd
d
Lx
21
1ˆ

 (datos agrupados en intervalos de clase) 
 
 
 




n
i
ii
n
i
i
a
xfa
fa
x
1
1
/
 (datos agrupados en serie de frecuencias) 
Nota: Para datos agrupados en intervalos de clase, sustituir xi por mi. 
 
Fractil j-ésimo: 
 Fractilj = 
   
i
i
i
i h
fa
Fankj
L
1/ 
 k = 4,10,100 
 
Medidas de Dispersión 
 
Medidas de Dispersión Absoluta 
 
 
Variancia: 
 
 
n
xx
S
n
i
i


 1
2
2 (datos sin agrupar) 
 
 






n
i
i
n
i
ii
fa
faxx
S
1
1
2
2
*
 (datos agrupados en serie de frec.) 
Nota: Para datos agrupados en intervalos de clase, sustituir xi por mi. 
 
Desviación Típica: 
 
 
2
1
1
2
1
2
2
**
x
fa
fax
n
faxx
SS
n
i
i
n
i
ii
n
i
ii






 
 (para datos agrupados en serie de frecuencias) 
Nota: Para datos agrupados en intervalos de clase, sustituir xi por mi. 
 
Medidas de Dispersión Relativa 
Coeficiente de Variación: 100*
x
S
CV  
 
Medidas de Asimetría o Sesgo 
1º Coeficiente de Sesgo de Pearson: 
S
xx
SP
ˆ
1

 
2º Coeficiente de Sesgo de Pearson: 
 
S
xx
SP
~3
2

 
 
Medidas de Curtosis 
Coeficiente de Curtosis Percentílico: 
 1090
13
2 PP
QQ
CC


 
Nota: Para la distribución normal, CC = 0.263 
 
Probabilidad 
Teorema de Bayes:  
   
   


n
j
jj
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP
1
/*
/*
/ 
 
Valores Característicos de Variables Aleatorias 
 
Esperanza Matemática: 
      XRX XPXXE * (v.a. discreta) 
    


 dXXfXXE ** (v.a. continua) 
 
Variancia: 
          2222 XEXEXEXEXV X  
       222 **    XPXXPXXV XRXX (discreta) 
      
2
22 ****



 




dXXfXdXXfXXV X (continua) 
 
Desviación Típica: 
    XVXD X   
 
 
Distribuciones Discretas de Probabilidad 
 
Distribución Discreta Uniforme 
 f(xi) = 1/k i = 1,2,...,k 
 
Distribución Binomial 
Función de Probabilidad y Función de Distribución: 
     xnxnx qpxXP  x = 0,1,...,n 
 
 
Distribución Hipergeométrica 
Función de Probabilidad:  
  
 Nn
N
xn
N
xxXP
21
 
N: tamaño del lote, N1: nro. de elementos de la clase 1 en el lote 
N2: nro. de elementos de la clase 2 en el lote, n: tamaño muestral 
Esperanza Matemática:  
N
N
nxE 1 
Variancia:  
 
 1
***
2
21



NN
nNNNn
xV 
 
Distribución de Poisson 
Función de Probabilidad:  
!
*
x
e
xXP
x
 x = 1,2,... 
Esperanza Matemática y Variancia: 
      XXVXE
2 
La distribución de Poisson como límite de la binomial: 
  
!0 x
e
qpLim
x
xnxn
x
p
n
 




 
 
Distribuciones Continuas de Probabilidad 
 
 
Distribución Normal o de Gauss 
Función de Densidad de Probabilidad:  
2
2
1
2
1 




 

 


x
exf 
 
 
 
Distribuciones de Muestreo 
 
Distribución en el Muestreo de la Media 
  XE 
  nXD / 
 
Distribución en el Muestreo de la Proporción 
 E(p) =  
  
 
n
pD
 

1
 (muestreo con reposición) 
  
 
1
.
1



N
nN
n
pD

 (muestreo sin reposición) 
 
Distribución en el Muestreo de la Variancia 
   22 1
n
n
SE

 
2
12
2
~ 

n
Sn


 o 
  2
12
2
~
´1


n
Sn


 
 
Estimación de Parámetros 
 
Intervalo de Confianza para la Media Poblacional 
 
1. Población normal y  conocido: 






 
n
zx

 .2/1 
Nota: En el caso en que las muestras se tomen sin reposición de una 
población finita de tamaño N, debe emplearse el factor de corrección finita. 











 
1
..;
1
.. 2/12/1
N
nN
n
zx
N
nN
n
zx

 
Tamaño de la muestra: 
2
22
2/1 .
e
z
n
 
 
2. Población normal,  desconocido y n  30: 
  






  1.. 2/12/1
n
S
zx
n
S
zxP 
 
3. Población normal,  desconocido y n < 30: 
  






  1
'
.
'
. 1,2/11,2/1
n
S
tx
n
S
txP nn 
  









  1
1
.
1
. 12/11,2/1
n
S
tx
n
S
txP nn 
 
Intervalo de Confianza para la Proporción Poblacional 
 
Muestreo con reposición: 
 
   





 


 
n
pp
zp
n
pp
zp
1
.;
1
. 2/12/1  n > 30 
Nota: Para n  30, dividir por n – 1 en lugar de por n. 
 
Muestreo sin reposición: 
 
   











 
1
.
1
.;
1
.
1
. 2/12/1
N
nN
n
pp
zp
N
nN
n
pp
zp  
 
Tamaño de la muestra: 
 
2
2
2/1 1
e
z
n
   
 
Intervalo de Confianza para la Variancia Poblacional 
 
 


 













1
..
2
1,
2
2
2
2
1,
2
1
2
nn
SnSn
P 
Nota: Si n > 30   22 1, 322/1  nzn  
 
Intervalo de Confianza para el Desvío Poblacional: 
 


 













1
..
2
1,
2
2
2
1,
2
1
2
nn
SnSn
P 
 
Prueba de Hipótesis 
 
Prueba de Hipótesis para la Media Poblacional ( conocida, n > 30, 
Teorema Central del Límite válido) 
 
1. Ensayo de dos colas o bilateral 
Probar H0:  = 0 contra H1:  = 1  0 
Criterio de decisión: Rechazar 
n
zxH

  2/100  
Probabilidad de error tipo II: 
(1) = 















  2/1
10
2/1
10
//





z
n
zPz
n
zP 
Tamaño de muestra: 
 
 
2
2
10
2
2/1






zz
n o 
 
 
2
2
01
2
2/1






 zz
n 
 
2. Ensayo unilateral a derecha 
Probar H0:  = 0 contra H1:  = 1 > 0 
Criterio de decisión: Rechazar 
n
zxH

  100 
Probabilidad de error tipo II: (1) = 







 


1
10
/
z
n
zP 
Tamaño de muestra: 
 
 
2
2
01
2
11






 zz
n 
 
3. Ensayo unilateral a izquierda 
Probar H0:  = 0 contra H1:  = 1 < 0 
Criterio de decisión: Rechazar 
n
zxH

  00 
Probabilidad de error tipo II: (1) = 







 


z
n
zP
/
1 10 
Tamaño de muestra: 
 
 
2
2
01
2
1






zz
n 
 
Prueba de Hipótesis para la Proporción Poblacional 
 
1. Ensayo de dos colas o bilateral 
Probar H0:  = 0 contra H1:  = 1  0 
Criterio de decisión: Rechazar pzpH   2/100  
Probabilidad de error tipo II: 
(1) = 

































2
1
11
10
2
1
11
10
)1()1(





z
n
zPz
n
zP 
 
2. Ensayo unilateral a derecha 
Probar H0:  = 0 contra H1:  = 1 > 0 
Criterio de decisión: Rechazar pzpH   100 
Probabilidad de error tipo II: (1) = 















 


1
11
10
)1(
z
n
zP 
 
3. Ensayo unilateral a izquierda 
Probar H0:  = 0 contra H1:  = 1 < 0 
Criterio de decisión: Rechazar pzpH   00 
Probabilidad de error tipo II: (1) = 















 


z
n
zP
)1(
1
11
10 
 
Prueba de Hipótesis para la Variancia Poblacional 
 
1. Ensayo de dos colas o bilateral 
Probar H0: 
2
 = 0
2
 contra H1:
2
 = 1
2
  0
2
 
Criterio de decisión: Aceptar 
  2
1,2/12
0
2
2
1,2/0
1'
 

 nn
nS
H  

 
 
2. Ensayo unilateral a derecha 
Probar H0: 
2
 = 0
2
 contra H1: 
2
 = 1
2
 > 0
2
 
Criterio de decisión: Rechazar 
1
'
22
1,12
0



n
SH
n  
 
 
3. Ensayo unilateral a izquierda 
Probar H0: 
2
 = 0
2
 contra H1: 
2
 = 1
2
 < 0
2
 
Criterio de decisión: Rechazar 
1
'
22
1,12
0



n
SH
n  
 
 
Regresión y correlación 
 
Pendiente de la recta de regresión de Y en X 
 
  
  
 



22
xixin
yixixiyin
b 
 
Ordenada al origen de la Recta de Regresión de Y en X 
 
xby
n
xi
b
n
yi
n
xibyi
a 


 
 
 
Coeficiente de correlación r de Pearson 
 
  
     
 



2222 yiyinxixin
yixixiyin
r 
 
Coeficiente de determinación entre X e Y 
 
r
2 
 = 




2
2
)(
)'(
YY
YY
 
 
Ensayo sobre  
Estadístico de prueba t(obtenido) = 
21
2
r
n
r

