Practica Recta y Función

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ANALISIS MATEMATICO I 
PRACTICA DE ANALISIS DE FUNCIÓN Y RECTA TANGENTE/NORMAL 
 
Dada la siguiente función 𝑓(𝑥) =
𝑥
3−𝑥2
 , determinar: 
• Dominio. 
 
Al ser una función fraccionaria debemos analizar el denominador: 
3 − 𝑥2 = 0 → 𝑥2 = 3 → 𝑥 = ±√3 𝑫𝒐𝒎 = 𝓡 − {−√𝟑, √𝟑} 
 
• Extremos Relativos. 
 
Para encontrar los extremos debemos saber cuáles son los puntos críticos, para ello: 
 
𝑓′(𝑥) = 0 → 𝑓′(𝑥) =
1. (3 − 𝑥2) − 𝑥. (0 − 2𝑥)
(3 − 𝑥2)2
= 0 
𝑓′(𝑥) =
3 − 𝑥2 + 2𝑥2
(3 − 𝑥2)2
= 0 → 𝑥2 + 3 = 0 → 𝒙 = √−𝟑 ∄ 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝑹𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 
 
∴ 𝑁𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐶𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 
 
• Intervalos de Crecimiento/Decrecimiento. 
 
Para conocer el o los intervalos de Crecimiento/Decrecimiento vamos a tomar valores de prueba que 
estén dentro del dominio de la función y reemplazarlos en la 1° derivada para analizar su signo. 
 
INTERVALO V. PRUEBA 1° DERIVADA CONCLUSION 
(−∞, −√3) -2 
(−2)2 + 3
[3 − (−2)2]2
> 0 Creciente 
(−√3, √3) 0 
02 + 3
[3 − 02]2
> 0 Creciente 
(√3, ∞) 2 
22 + 3
[3 − 22]2
> 0 Creciente 
 
La función es totalmente creciente 
 
• Puntos de Inflexión. 
 
Para saber si la función presenta puntos de inflexión debemos utilizar la 2° derivada e igualarla a cero. 
 
𝑓′(𝑥) =
3 + 𝑥2
(3 − 𝑥2)2
 
 
𝑓′′(𝑥) =
(0 + 2𝑥). (3 − 𝑥2)2 − (3 + 𝑥2). 2. (3 − 𝑥2). (0 − 2𝑥)
[(3 − 𝑥2)2]2
=
2𝑥3 + 18𝑥
(3 − 𝑥2)3
= 0 
 
2𝑥3 + 18𝑥 = 0 → 2𝑥. (𝑥2 + 9) = 0 {
2𝑥 = 0 → 𝒙 = 𝟎
𝑥2 = −9 → ∄ 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝓡
 
 
∴ 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑃(0,0) 
 
• Intervalos de Concavidad 
 
Para analizar los intervalos tomamos el punto de inflexión, mas las restricciones de dominio que tenga 
la 2° derivada. 
 
INTERVALO V. PRUEBA 2° DERIVADA CONCAVIDAD 
(−∞, −√3) -2 
2(−2)3 + 18(−2)
(3 − (−2)2)3
> 0 
(−√3, 0) -1 
2(−1)3 + 18(−1)
(3 − (−1)2)3
< 0 
(0, √3) 1 
2. 13 + 18.1
(3 − 12)3
> 0 
(√3, ∞) 2 
2. 23 + 18.2
(3 − 22)3
< 0 
 
 
• Grafica. 
 
 
 
 
• Rango. 
𝑹𝒈𝒐 = 𝓡 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dada la siguiente función 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑒𝑥
 se pide: 
• Dominio. 
A pesar de ser una función fraccionaria vemos que 𝑒𝑥 = 0 solo cuando 𝑥 → −∞, por lo tanto, 
podríamos decir que el dominio será: 
𝑫𝒐𝒎 = 𝓡 
• Puntos Críticos. 
 
Para encontrar el o los extremos relativos debemos encontrar los Puntos Críticos. Lo cual hacemos 
igualando a 0 la Primera Derivada. 
 
𝑓′(𝑥) = 0 → 𝑓′(𝑥) =
1. 𝑒𝑥 − 𝑥. 𝑒𝑥
(𝑒𝑥)2
= 0 
 
𝑓′(𝑥) =
𝑒𝑥 − 𝑥. 𝑒𝑥
(𝑒𝑥)2
= 0 → 𝑒𝑥 − 𝑥. 𝑒𝑥 = 0 → 𝑒𝑥. (1 − 𝑥) = 0 {
𝑒𝑥 ≠ 0
1 − 𝑥 = 0 → 𝑥 = 1
 
 
Reemplazando este valor de (x) en la función principal obtendremos la coordenada (y) del Punto. 
 
𝑦(1) =
1
𝑒1
≅ 0,37 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑟á 𝑷𝒄(𝟏; 𝟎, 𝟑𝟕) 
 
• Intervalos de Crecimiento/Decrecimiento y Extremos Relativos. 
 
INTERVALO V. PRUEBA 1° DERIVADA CONCLUSION 
(−∞, 1) 0 
𝑒0 − 0. 𝑒0
(𝑒0)2
> 0 Creciente 
(1, ∞) 2 
𝑒2 − 2. 𝑒2
(𝑒2)2
< 0 Decreciente 
 
Razón por la cual podemos afirmar que en Pc tenemos un Máximo Relativo 
Nota: Otra forma de determinar si el extremo es un Máximo o Mínimo es utilizando la Segunda Derivada, bajo 
la condición de que: 
𝑦′′(𝑃) > 0 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑟á 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
𝑦′′(𝑃) < 0 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑟á 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
• Puntos de Inflexión. 
 
Para encontrar el o los Puntos de Inflexión debemos encontrar la Segunda Derivada e igualarla a 0. 
𝑓′(𝑥) =
𝑒𝑥 − 𝑥. 𝑒𝑥
𝑒2𝑥
 
𝑓′′(𝑥) =
(𝑒𝑥 − 1. 𝑒𝑥 − 𝑥. 𝑒𝑥). 𝑒2𝑥 − (𝑒𝑥 − 𝑥. 𝑒𝑥). 2. 𝑒2𝑥
𝑒4𝑥
= 0 
𝑓′′(𝑥) =
−𝑥. 𝑒3𝑥 − 2. 𝑒3𝑥 + 2. 𝑥. 𝑒3𝑥
𝑒4𝑥
=
𝑥. 𝑒3𝑥 − 2. 𝑒3𝑥
𝑒4𝑥
= 0 
𝑒3𝑥(𝑥 − 2)
𝑒4𝑥
= 0 → 
𝑥 − 2
𝑒𝑥
= 0 → 𝒙 = 𝟐 
Reemplazando este valor de (x) en la función principal obtendremos la coordenada (y) del Punto. 
𝑦(1) =
2
𝑒2
≅ 0,27 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑟á 𝑷𝒊(𝟐; 𝟎, 𝟐𝟕) 
• Intervalos de Concavidad. 
 
Para analizar los intervalos tomamos el punto de inflexión, más las restricciones de dominio que tenga 
(en este caso no hay restricciones) la 2° derivada. 
 
INTERVALO V. PRUEBA 2° DERIVADA CONCAVIDAD 
(−∞, 2) 0 
0 − 2
𝑒0
< 0 
 
(2, ∞) 3 
3 − 2
𝑒3
> 0 
 
 
• Grafica. 
 
 
 
• Rango. 
𝑹𝒈𝒐 = (−∞; 𝟎, 𝟑𝟔𝟖 ) 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 8: 
a. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función 𝑦 = −6𝑥4 + 2𝑥3 + 5 en el punto 
P(-1, -3). 
 
Primero debemos encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva, sabiendo que el punto P 
pertenece a la misma. En consecuencia: 
 
𝑦′ = 𝑚 = −24𝑥3 + 6𝑥2 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃 𝑦′(−1) = −24(−1)3 + 6(−1)2 
 
𝒚′ = 𝒎 = 𝟐𝟒 + 𝟔 = 𝟑𝟎 
 
A continuación, vamos a utilizar la ecuación de la Recta que pasa por un Punto y con Pendiente conocida. 
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0) 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 
 
𝑦 − (−3) = 30. [𝑥 − (−1)] → 𝑦 = 30𝑥 + 30 − 3 → 𝒚 = 𝟑𝟎𝒙 + 𝟐𝟕 𝑹. 𝑻𝒂𝒏𝒈 
 
Teniendo en cuenta que para la ecuación de la Recta Normal debemos hacer 𝑚𝑁 = −
1
𝑚
 
 
𝑦 − 𝑦0 = −
1
𝑚
. (𝑥 − 𝑥0) 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 
 
𝑦 − (−3) = −
1
30
. [𝑥 − (−1)] → 𝑦 = −
1
30
𝑥 −
1
30
− 3 → 𝒚 = −
𝟏
𝟑𝟎
𝒙 −
𝟗𝟏
𝟑𝟎
 𝑹. 𝑵𝒐𝒓𝒎 
 
 
 
 
 
 
Determine las coordenadas del o los puntos de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥 en los que la pendiente de la 
recta tangente es igual a 5 y encuentre la o las ecuaciones de las mismas. 
 
Lo que vamos a hacer es derivar nuestra función e igualarla a 5, para poder encontrar el valor de (x). 
 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 7 = 5 → 3𝑥2 = 12 → 𝒙𝟏,𝟐 = ±𝟐 
 
Con estos valores podemos encontrar las coordenadas (y) reemplazando en la función original. 
 
𝑦1(2) = 2
3 − 7.2 = −𝟔 𝑦2(−2) = (−2)
3 − 7. (−2) = 6 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑟á𝑛 
 
𝑷𝟏(𝟐, −𝟔) 𝒚 𝑷𝟐(−𝟐, 𝟔) 
 
Para encontrar las rectas utilizamos la ecuación de la Recta que pasa por un Punto y con Pendiente conocida 
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0) 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 
 
𝑦 − (−6) = 5. (𝑥 − 2) → 𝑦 = 5𝑥 − 10 − 6 → 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟏𝟔 𝑹. 𝑻𝒂𝒏𝒈𝟏 
 
𝑦 − 6 = 5. [𝑥 − (−2)] → 𝑦 = 5𝑥 + 10 + 6 → 𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟏𝟔 𝑹. 𝑻𝒂𝒏𝒈𝟐