84-7-0904201517924

Vista previa del material en texto

Análisis Matemático I – CIBEX
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de La Plata
Unidad 3: Derivadas y sus aplicaciones
2015 - Primer Cuatrimestre
Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana Alonso
Equipo Coordinador
UNIDAD 3
Derivadas y sus aplicaciones
Contenidos de la Unidad 3: Razón de cambio. Derivada en un punto. Recta tangente y
diferenciabilidad. Derivadas laterales en un punto. Función derivada. Reglas de deriva-
ción para la suma, producto, cociente y composición (regla de la cadena) de funciones
derivables. Crecimiento y decrecimiento. Extremos locales y absolutos. Teoremas so-
bre funciones con derivada continua en intervalos cerrados y sus consecuencias. Puntos
críticos. Problemas de optimización.
El cálculo de derivadas de funciones de variable real ha sido, históricamente, el comienzo del cálculo
moderno. Sus aplicaciones como herramienta en el análisis de funciones son tan poderosas que hoy en
día el cálculo in�nitesimal es una asignatura central en el primer año de carreras de ciencias, economía,
ingeniería, tecnicaturas, arquitectura, etc.
Podemos decir que el uso de derivadas en el modelado matemático de situaciones reales, más que
una herramienta, constituye una manera de pensar la Naturaleza. Esperamos que este curso los ayude,
llegado el momento de usarlas en otras asignaturas, a pensar con derivadas.
Clase 3.1. Razón de cambio y Derivada
Contenidos de la clase: Incrementos en las variables y razón de cambio de una función.
Derivada de una función en un punto.
3.1.1. Incrementos y razón de cambio
Ya sabemos que una función expresa de qué manera una magnitud depende de otra. Si cambiamos
el valor de la variable independiente, veremos que se produce un cambio en la variable dependiente.
En muchos casos es más importante conocer cuánto cambia el valor de una función, que el valor en sí.
Vamos a desarrollar los conceptos de incremento y razón de cambio en un ejemplo.
Al conducir un auto por un camino de montaña la altura será función de la distancia horizontal
recorrida. Las características de la marcha no se relacionan sensiblemente con la altura, sino con la
pendiente del camino: cuántos centímetros subimos (o bajamos) por cada metro recorrido. Con esta
información decidimos qué marcha utilizar, cuánto apretar el acelerador o cuánto apretar el freno.1
Llamemos h a la altura respecto del nivel del mar, y l a la distancia horizontal recorrida. Una
función h = f(l) describe cómo depende la altura de la distancia; supongamos que l se mide en metros
y que h se mide en centímetros. Podemos gra�car un per�l del camino:
1Incluso nuestro cuerpo reacciona distinto a las subidas y bajadas. Y aunque no manejemos, sentimos que el funcio-
namiento del vehículo depende de la pendiente del camino.
119
CLASE 3.1. RAZÓN DE CAMBIO Y DERIVADA 120
Analicemos el proceso en el cual la posición horizontal l cambia desde l1 hasta l2 > l1, y en
consecuencia la altura cambia desde h1 = f(l1) hasta h2 = f(l2). Vamos a llamar
∆l = l2 − l1
al incremento del valor de l, y
∆h = h2 − h1
al incremento del valor de h (que puede ser positivo en una subida, negativo en una bajada, o nulo en
un camino horizontal).
El cociente del incremento de altura ∆h sobre la distancia recorrida ∆l describe la pendiente del
camino: cuánto cambia el valor de la función h con respecto a un cambio en la variable l. Este cociente,
llamada razón de cambio2, es la forma apropiada de comparar ambos incrementos. Se calcula como
razón de cambio de h respecto de l =
∆h
∆l
Actividad 3.1.1. Consideren la función h = 800 cm+10 cmm l, que describe la altura del camino
mientras 0 ≤ l ≤ 100m. Completen la siguiente tabla
l1 l2 ∆l h1 h2 ∆h ∆h/∆l
0m 100m
0m 50m
50m 100m
0m 1m
Gra�quen la función h = 800 cm+ 10 cmm l y los incrementos ∆l y ∆h entre cada par de puntos
dados.
Actividad 3.1.2. Consideren ahora un camino dado por la función h = 800 cm+20 cmm l−
1
5
cm
m2
l2,
que describe la altura mientras 0 ≤ l ≤ 100m. Completen la tabla
2La razón entre dos cantidades se de�ne como su cociente; en problemas de proporcionalidad, o de regla de tres
simple, seguramente habrán escrito que la razón entre cantidades a y b proporcionales se mantiene constante usando
expresiones como
a′
b′
=
a
b
.
CLASE 3.1. RAZÓN DE CAMBIO Y DERIVADA 121
l1 l2 ∆l h1 h2 ∆h ∆h/∆l
0m 100m
0m 50m
50m 100m
0m 1m
Gra�quen la función h = 800 cm + 20 cmm l −
1
5
cm
m2
l2 y los incrementos ∆l y ∆h entre cada par
de puntos dados.
En la actividad 3.1.1 la razón de cambio es 10 cm/m, independientemente del tramo de elegido. El
camino va en subida, ascendiendo 10 cm por cada metro avanzado. La pendiente se mantiene constante
porque el camino es una recta.
En la actividad 3.1.2 el camino no es recto, y la razón de cambio depende del tramo elegido:
en el recorrido de 0m a 100m no hay ascenso neto, la razón de cambio da 0 cm/m.
en el recorrido de 0m a 50m hay un ascenso neto de 500 cm, la razón de cambio es positiva y
vale 10 cm/m.
en el recorrido de 50m a 100m hay un descenso neto de 500 cm, la razón de cambio es negativa
y vale −10 cm/m.
en el recorrido de 0m a 1m hay un ascenso neto pequeño de 19.8 cm, en un tramo corto, la
razón de cambio es positiva y vale más que en los otros tramos, 19.8 cm/m.
el grá�co muestra que el camino es una loma con forma de parábola: empieza en subida, con
la mayor pendiente del recorrido, luego la pendiente es más suave hasta que se llega a la parte
más alta y luego hay un tramo en bajada. En promedio, entre la subida y la bajada, el cambio
de altura es nulo.
Esta actividad nos muestra que la razón de cambio en un intervalo dado no es representativa del ritmo
de cambio local de la altura (es decir, en cada punto del tramo recorrido). Solamente cuando la altura
es una función lineal la razón de cambio es siempre la misma, para cualquier tramo del camino.
En un caso general, la razón de cambio en un determinado intervalo nos da la pendiente de un
camino ideal que fuera en línea recta desde el punto inicial al punto �nal de ese intervalo. Es decir, nos
da solamente la pendiente promedio de un tramo del camino, sin distinguir los detalles intermedios.
La pregunta que surge del ejemplo es: ¾cómo podemos calcular una pendiente que sea representativa
del ritmo de cambio local de la altura respecto de la distancia recorrida?
Pero ¾qué queremos decir con "ritmo de cambio local"? Necesariamente, para hablar de cambio
tenemos que proponer un recorrido. Un tramo de 100m puede ser representativo para quien conduce
un auto, pero no para quien anda en bicicleta. Un tramo de 1m puede ser representativo para una
bicicleta, pero no para un caracol. Quizás 1cm alcance para estudiar el movimiento de un caracol, pero
no será apropiado para estudiar el transporte de hidratos de carbono en una membrana celular.
Antes de encarar estas preguntas, vamos a pasar del ejemplo a un planteo general.
3.1.2. Presentación formal: Incrementos y razón de cambio. Recta secante.
En esta sección vamos a plantear en general la situación discutida en el ejemplo anterior para
poder aplicarla a otros casos. El proceso de enseñanza-aprendizaje que permite sintetizar lo que ya se
ha comprendido y darle estructura formal para que sea útil en otras situaciones es de suma importancia
en la Ciencia, y en particular en la Matemática. Se conoce como abstracción.
Para acostumbrarse al lenguaje formal, que van a encontrar en muchos textos de Matemática,
les sugerimos relacionar cada paso de esta sección con el ejemplo anterior e imaginar otros ejemplos
similares.
Consideremos una magnitud x que experimenta cierto proceso de cambio. Nos interesa comparar
su valor antes del proceso, digamos x0, con su valor x1 después del proceso. Recordemos que en la
Clase 1.1 hemos llamado incremento ∆x al desplazamiento de su valor, calculado como
∆x = x1 − x0.
CLASE 3.1. RAZÓN DE CAMBIO Y DERIVADA 122
Reforzemos la memoria destacando la
Definición 3.1.3. Cuando una magnitud x experimenta cierto proceso, cambiando su valor desde
x0 hasta x1, llamaremos incremento∆x al desplazamiento de su valor, calculado como
∆x = x1 − x0
Consideremos una magnitud y que depende de otra magnitud x. Es decir, consideremos una función
y = f(x).
En todo proceso, real o simulado, si se cambia el valor de x se obtiene un cambio en el valor de y.
Digamos que el valor de x pasa de una cantidad x0 una cantidad x1 y que el valor de y pasa de y0 a
y1. Nos interesa el incremento que experimenta cada magnitud.
La información que describe el proceso se puede organizar en una tabla:
valor original valor cambiado incremento
x x0 x1 ∆x = x1 − x0
y y0 = f(x0) y1 = f(x1) ∆y = y1 − y0
También se puede visualizar en la grá�ca de la función:
El valor relativo del incremento de y ante un incremento de x se calcula como el cociente ∆y/∆x.
El cociente o razón de cambio nos indica la comparación entre ambos incrementos.
Definición 3.1.4. Cuando la variable independiente x de una función y = f(x) experimenta un
incremento ∆x = x1−x0 en cierto proceso y en consecuencia la variable dependiente experimenta
un incremento ∆y = f(x1) − f(x0) llamamos razón de cambio de la función f en el proceso
dado al cociente entre el incremento de la variable dependiente y el incremento de la variable
independiente,
∆y
∆x
=
f(x1)− f(x0)
x1 − x0
Observación 3.1.5. Nomenclatura: también se llama cociente incremental al cociente ∆y∆x .
Consideremos la recta que pasa por el punto inicial y el punto �nal del proceso. Es decir, constru-
yamos la ecuación de la recta que pasa por (x0,f(x0)) y por (x1,f(x1)):
CLASE 3.1. RAZÓN DE CAMBIO Y DERIVADA 123
Recordando la forma de la recta que pasa por dos puntos dados
y − f(x0) =
f(x1)− f(x0)
x1 − x0
(x− x0)
vemos que la función lineal que pasa por el punto inicial y el punto �nal del proceso es
y(x) =
(
f(x1)− f(x0)
x1 − x0
)
(x− x0) + f(x0)
y tiene pendiente m01 =
f(x1)−f(x0)
x1−x0 (en este caso anotamos m01 para indicar la pendiente m entre el
punto inicial x0 y el �nal x1).
La recta que pasa por dos puntos dados de una curva se llama recta secante a la curva en esos
puntos. Llegamos a la siguiente conclusión:
Propiedad 3.1.6. La razón de cambio de una función y = f(x) en cierto proceso coincide con la
pendiente de la recta secante que pasa por el punto inicial y el punto �nal del proceso.
3.1.3. Razón de cambio local
Vamos a volver a la pregunta ¾qué queremos decir con "ritmo de cambio local" de una función?
¾Qué incremento habría que proponer en la variable independiente para que sea representativo del
ritmo de cambio en un dado punto de la grá�ca de la función (en lugar de ser representativo de un
intervalo)?
Si proponemos un incremento pequeño en la variable independiente, siempre podremos considerar
otro más pequeño (por ejemplo un décimo del anterior). Nunca un incremento �nito va a ser su�cien-
temente pequeño.
Necesitamos considerar un incremento arbitrariamente pequeño. Tenemos un recurso para hacerlo:
proponer un incremento de la variable independiente y tomar el límite cuando el incremento tiende a
cero. Llamaremos a razón de cambio local (o instantánea) al límite de la razón de cambio, calculada
para un incremento variable, cuando ese incremento tiende a cero.
Observación 3.1.7. El incremento de una variable x que cambia desde x0 hasta x1 depende de
los dos valores, digamos inicial y �nal. Para tomar el límite cuando el incremento tiende a cero vamos
a mantener �jo el valor inicial x0 y hacer tender x1 hacia x0.
Vamos a llamar x0 al valor �jo y simplemente x al valor �nal, que queda como variable hasta
que tomemos el límite. El cálculo del límite vamos a anotarlo como
ĺım
x→x0
o bien ĺım
∆x→0
CLASE 3.1. RAZÓN DE CAMBIO Y DERIVADA 124
Ejemplo 3.1.8.
Sigamos analizando el ejemplo del camino de montaña, y en particular la actividad 3.1.2 donde
la altura del camino está dada por
h(l) = 800 cm+ 20
cm
m
l − 1
5
cm
m2
l2
para 0 ≤ l ≤ 100m.
La razón de cambio local, en este ejemplo, representa la pendiente del camino. Queremos calcular
la razón de cambio local del camino cuando ya se han avanzado 25m. Consideramos l0 �jo (25m)
y consideramos otro punto l distinto de l0 para calcular la razón de cambio
∆h
∆l
=
(
800 + 20 l − 15 l
2
)
−
(
800 + 20 l0 − 15 l
2
0
)
l − l0
Por simplicidad dejemos de lado las unidades, recordando que el cociente incremental queda expre-
sado en
cm
m
. Reemplazando l0 = 25 y dejando l libre obtenemos
∆h
∆l
=
−15 l
2 + 20l − 375
l − 25
Observemos que este cociente incremental es función de l solamente. La estrategia es tomar ahora
el límite para l→ 25.
Como tenemos un cociente, primero miramos por separado el numerador y el denominador. Ob-
viamente el denominador tiende a cero: intencionalmente estamos haciendo tender este incremento
a cero. El numerador también tiende a cero (veri�quen), por lo que se trata de un límite indeter-
minado del tipo "0 sobre 0". Tenemos que factorear el numerador, para intentar simpli�car con el
denominador 3. Encontramos que
−1
5
l2 + 20l − 375 = −1
5
(l − 25) (l − 75)
y la razón de cambio (o cociente incremental), simpli�cando, resulta
∆h
∆l
= −1
5
(l − 75)
siempre que l 6= 25. Hemos salvado la indeterminación, es decir que ahora resulta más fácil tomar
el límite. Simplemente
ĺım
l→25
∆h
∆l
= −1
5
50 = −10
Volviendo a anotar las unidades, tenemos que
ĺım
l→25m
∆h
∆l
= 10
cm
m
Conclusión: la estrategia de calcular la pendiente del camino tomando incrementos genéricos y
luego hacerlos tender a cero nos dice que cuando luego de haber avanzado 25m la pendiente (en ese
lugar) es de 10 cmm . Es decir, a partir de ese lugar se subirían 10 cm al avanzar 1m.
Observación 3.1.9. Cuando se recorre 1m, desde los 25m hasta los 26m del camino, ¾se ascienden
10 cm? ¾Cuánto se asciende en realidad?
¾Podrían explicar la diferencia?
Actividad 3.1.10. Siguiendo la misma estrategia, calculen la pendiente del camino cuando
ya se han recorrido 50m y 75m (si lo pre�eren, pueden trabajar sin unidades, con la función
h = f(l) = 800 + 20l − 15 l
2 que da la altura en centímetros siempre que pongan el valor de l en
metros). Comenten si en esos lugares encuentran una subida o una bajada, o un punto neutro.
CLASE 3.1. RAZÓN DE CAMBIO Y DERIVADA 125
Observación 3.1.11. Aunque pensamos en avanzar en el camino, al tomar el límite l → 25m no
hemos hecho distinción entre l > 25m (es decir avanzar en el camino) y l < 25m (es decir retroceder
en el camino). Como el límite existe, también existen los límites laterales y ambos dan 10 cmm . Vamos a
revisarlo el caso de l < 25m:
- Intenten gra�car la situación de un desplazamiento negativo, retrocediendo en el camino a partir
del punto l = 25m.
¾Qué signo tienen ∆l y ∆h? ¾Qué signo tiene la razón de cambio? ¾Cuánto da el ĺıml→25m−
∆h
∆l ?
- Ahora hagan lo mismo con un desplazamiento positivo. ¾Cuánto da el ĺıml→25m+
∆h
∆l ?
- Discutan el signi�cado de cada resultado por separado. ¾Podemos hablar de la pendiente con que
se llega a un punto del camino, y de la pendiente con que se avanza a partir de un punto del camino?
Actividad 3.1.12. En nuestro camino de montaña dado por
h = 800 cm+ 20
cm
m
l − 1
5
cm
m2
l2
para 0 ≤ l ≤ 100m,
- ¾Con qué pendiente se avanza al comienzo?
- ¾Con qué pendiente se llega al �nal?
3.1.4. Presentación formal: Derivada de una función en un punto
En esta sección vamos a formalizar la de�nición de derivada de una función en un punto. Verán que
se trata de abstraer lo discutido en la sección anterior, con el cuidado necesario de que sea aplicable
en general.
Al plantear un caso general, hay que tener el cuidado de precisar las condiciones en las cuales la
teoría sea aplicable. Por ejemplo, la función que discutimos en la sección anterior es continua en todo
su dominio, pero en otros casos nos tocará trabajar con funciones que presenten discontinuidades. Para
hacer una teoría útil, es muy importante enunciar las condiciones en las cuales se la podrá aplicar.
Consideremos una función f : D → R con regla de asignación y = f(x). Elijamos un punto x0 en
el dominio D e intentemosconstruir la razón de cambio entre x0 y puntos vecinos x. Para que esto
sea posible, necesitamos que esos puntos vecinos estén en D. Como además queremos tomar el límite
x→ x0 necesitamos mover x tanto por derecha como por izquierda de x0 y mantenernos dentro de D.
Es decir, necesitamos que algún entorno E(x0, r) esté dentro del dominio D. No importa si ese entorno
es pequeño, ya que �nalmente vamos a tomar el límite x→ x0, sólo importa que tenga un radio r 6= 0.
Se dice que x0 es interior al dominio. Dado un punto en ese entorno, x ∈ E(x0, r), vamos a anotar
x = x0 + ∆x
para destacar que x es un valor desplazado en un incremento ∆x alrededor de x0. Tengamos presente
que ∆x puede ser positivo o negativo, o sea que x puede estar a la derecha o a la izquierda de x0.
Con estos elementos ya podemos dar la de�nición de derivada:
CLASE 3.1. RAZÓN DE CAMBIO Y DERIVADA 126
Definición 3.1.13. Dada una función y = f(x), de�nida en un entorno de un punto x0, se dice
que f es derivable en x0 siempre que exista el límite de la razón de cambio
ĺım
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
En ese caso, se llama derivada de f en el punto x0 a dicho límite, y se anota
f ′(x0) = ĺım
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
(y se lee "f prima en x0")
a
aHay otras notaciones de uso corriente para la derivada. Aquí usamos la notación de Lagrange.
Podemos ilustrar el proceso de límite para de�nir la derivada en un punto en el grá�co de la función.
Elijamos primero un punto �jo x0. Las líneas punteadas indican el movimiento de cada elemento cuando
∆x tiende a cero:
La recta que pasa por (x0, f(x0)) y por (x0 + ∆x, f(x0 + ∆x))), con ∆x 6= 0 es una recta secante a
la grá�ca de f(x). Cuando ∆x tiende a cero la recta secante tiende a una recta que llamaremos recta
tangente 4.
Definición 3.1.14. Si una función y = f(x) es derivable en x0,a se llama recta tangente a la
grá�ca de f en el punto (x0, f(x0)) a la recta que pasa por (x0, f(x0)) con pendiente m = f
′(x0).
aCuando decimos que y = f(x) es derivable en x0, o que existe f
′(x0), damos por entendido que están dadas las
condiciones para calcular la derivada, es decir que x0 ∈ Dom f y que existe un entorno E(x0, r) ⊂ Dom f .
Según esta de�nición, si f es derivable en x0 podemos construir la ecuación de la recta tangente a
la grá�ca de f en el punto (x0, f(x0)) como
y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0).
Es importante notar que x e y son las variables (independiente y dependiente) de una ecuación lineal,
pero f(x0) y f ′(x0) son valores �jos asociados al punto de tangencia (x0, f(x0)).
Observación 3.1.15. Cuando f(x) es derivable en x0, la función y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0) es la
función lineal que más se parece a la función y = f(x), al menos cuando la variable x se mueve cerca de
x0. Si hacemos un zoom muy ampliado de la grá�ca veremos que la función y su recta tangente parecen
coincidir. Se puede decir que una función derivable es localmente similar a una recta. Técnicamente
4No se debe confundir recta tangente con la función trigonométrica tan.
CLASE 3.1. RAZÓN DE CAMBIO Y DERIVADA 127
se dice que la función es diferenciable. Más adelante usaremos esta idea para aproximar funciones
diferenciables por funciones lineales, que son mucho más sencillas de trabajar.
Por estas consideraciones, al cálculo con derivadas se lo llama cálculo diferencial. (vean por ejemplo
http://es.wikipedia.org/wiki/Cálculo_diferencial)
Observación 3.1.16. Dada una función f(x) derivable en x0, el valor de la derivada f ′(x0) nos da
información sobre el aspecto de su grá�ca. La derivada, o razón de cambio local en x0, es la pendiente
de la recta tangente a la curva en el punto (x0, f(x0)). Esto signi�ca, por ejemplo, que cuando la
derivada es positiva la pendiente de la recta tangente es positiva, o sea inclinada hacia arriba. Se dice
que la función es creciente en ese punto.
De la misma manera, cuando la derivada es negativa, la recta tangente está inclinada hacia abajo.Se
dice que la función es decreciente en ese punto.
Además, si la derivada (en valor absoluto) es grande la curva es más empinada, o sea que los valores
de y cambian rápidamente. Cuando la derivada es pequeña, la curva es menos empinada y el valor de
y cambia más lentamente.
Observación 3.1.17. Al calcular una derivada entran en juego incrementos arbitrariamente pe-
queños. A un incremento de cierto tamaño se le dice �nito, y a un incremento arbitrariamente pequeño
se le dice in�nitesimal.
En realidad no existe un dado incremento arbitrariamente pequeño; cuando se habla de un incre-
mento in�nitesimal se quiere decir que se piensa en un incremento �nito que eventualmente se tomará
tan pequeño como haga falta, según las circunstancias del modelo que se trate. Si bien suena impreciso,
cuando uno se acostumbra a pensar con derivadas es común hablar de incrementos in�nitesimales. Lo
harán en muchas materias de sus carreras. Cuando les hablen de incrementos in�nitesimales, estén
seguros que �nalmente las fórmulas prácticas van a contener derivadas.
Por estas consideraciones, al cálculo con derivadas también se lo llama cálculo in�nitesimal.
Uso de GeoGebra 3.1.18. Es muy instructivo visualizar con GeoGebra el proceso de calcular
una derivada.
Parte geométrica:
- Elijan una función f (que no sea lineal) y elijan un punto x0 en su dominio.
- Veri�quen que haya un entorno de x0 en el dominio de f .
- Ubiquen el punto P = (x0, f(x0)) sobre la grá�ca de f y un segundo punto Q = (x1, f(x1))
distinto del primero.
- Tracen la recta que pasa por esos dos puntos, con la herramienta "Recta que pasa por Dos
Puntos".
- Con el mouse, muevan el segundo puntoQ tan cerca del primero como puedan sin que coincidan.
Si la función que eligieron es derivable en el x0 elegido, observarán cómo la recta secante se va
acercando a la noción geométrica de una recta tangente.
CLASE 3.1. RAZÓN DE CAMBIO Y DERIVADA 128
- Seguramente funciona. No es que hayan tenido mucha suerte, ½la mayoría de las funciones que
trabajamos son derivables en casi todo su dominio!
- Hagan una ampliación del grá�co alrededor del punto P (conviene mostrar los números con
varios decimales, busquen Opciones y luego Redondeo). Con mucho zoom, mientras Q no coincida
con P llegarán a distinguir entre la recta "casi tangente" y la función.
- Para ver la verdadera recta tangente (es decir la que hemos de�nido en 3.1.14) pueden usar
la herramienta "Tangentes". Deben hacer click primero en el punto P y luego sobre la grá�ca de la
función.
Parte algebraica:
- Pueden rescatar las coordenadas de cada punto. En la línea de entrada escriban
x0=x(P)
y verán en el panel de vista algebraica la coordenada x del punto P . Escriban
y0=y(P)
y tendrán la coordenada y del punto P . Hagan lo mismo con el punto Q.
- Para calcular la razón de cambio, escriban la expresión
m=(y1-y0)/(x1-x0)
y verán en el panel de vista algebraica el resultado de la razón de cambio.
- Muevan el segundo punto Q tan cerca del primero como puedan sin que coincidan5, y estarán
explorando el límite de la razón de cambio para Q→ P .
Podrán construir algo como
3.1.5. Derivadas laterales
La derivada está de�nida como un límite. Por lo tanto, puede existir o no existir. O puede existir
por derecha y no por izquierda (o viceversa).
Cuando la derivada existe signi�ca que la razón de cambio se mantiene estable, cerca de un valor �jo,
para incrementos arbitrariamente pequeños tanto positivos como negativos. Intuitivamente, podemos
pensar que la función se comporta como una recta, o que se estabiliza tan cerca de una recta como
queramos, para incrementos su�cientemente pequeños. Dicha recta es la que llamamos recta tangente.
Cuando el límite de la razón de cambio no existe, todavía podemos explorar si existen los límites
laterales:
CLASE 3.1. RAZÓN DE CAMBIO Y DERIVADA 129
Si existe el límite cuando ∆x→ 0+, se dice que la función es derivable en x0 por derecha
y se anota
f ′+(x0) = ĺım
∆x→0+
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
Geométricamente, signi�ca que hay una semirrecta tangente que describe la pendiente
de la grá�ca desdeel punto (x0, f(x0)) hacia la derecha, es decir la pendiente con que la
función avanza a partir de x0.
Si existe el límite cuando ∆x→ 0−, se dice que la función es derivable en x0 por izquierda
y se anota
f ′−(x0) = ĺım
∆x→0-
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
Geométricamente, signi�ca que hay una semirrecta tangente que describe la pendiente de
la grá�ca desde el punto (x0, f(x0)) hacia la izquierda, es decir la pendiente con que la
función llega a x0.
Si encontramos que existen las derivadas por izquierda y por derecha, y que son iguales,
signi�ca que existe la derivada.
Un caso importante en que interesan las derivadas laterales es el caso de funciones de�nidas en
intervalos con extremos cerrados. Por ejemplo, si tenemos f : [a, b] → R, en x0 = a sólo podemos
calcular la derivada por derecha y en x0 = b sólo podemos calcular la derivada por izquierda.
Ejemplo 3.1.19. En la actividad 3.1.12, revisen lo que hicimos para l = 0m y para l = 100m;
es un ejemplo de derivadas laterales.
También es natural calcular derivadas laterales en el caso de funciones de�nidas a trozos.
Ejemplo 3.1.20. Consideremos la función valor absoluto f(x) = |x|, que de�nimos como
f(x) =
{
−x, si x ≤ 0
x, si x > 0
.
Gra�quen la función y traten de dibujar una posible recta tangente en (0, 0), pensando en rectas
secantes por la derecha y por la izquierda del grá�co.
En x = 0, el cociente incremental es diferente según los incrementos sean positivos o negativos,
ya que la función a izquierda y a derecha de 0 tiene distinta de�nición. Calculemos:
f ′−(0) = ĺım
∆x→0−
f(0 + ∆x)− f(0)
∆x
= ĺım
∆x→0−
−∆x− 0
∆x
= −1
f ′+(0) = ĺım
∆x→0+
f(0 + ∆x)− f(0)
∆x
= ĺım
∆x→0+
∆x− 0
∆x
= 1.
Es decir, existen las derivadas laterales pero son diferentes; por lo tanto el valor absoluto no es
derivable en x = 0. No existe recta tangente en dicho punto.
3.1.6. Ejercitación
Ejercicio 3.1.1. Para �jar los conceptos de derivada y recta tangente, les proponemos calcular
algún caso por de�nición. En la próxima clase veremos reglas prácticas para conocer los resultados con
menos esfuerzo.
Consideren la función f(x) = x2:
Estimen grá�camente si es derivable en x0 = 1. Para eso hagan la grá�ca y vean si pueden
trazar una recta tangente (siendo una función bien conocida, pueden hacerlo en papel o con
GeoGebra).
CLASE 3.1. RAZÓN DE CAMBIO Y DERIVADA 130
Si les parece derivable, estimen grá�camente el valor de la derivada. Para eso, lean del grá�co
la pendiente m de la recta tangente trazada.
Averigüen por de�nición si f(x) = x2 es derivable en x0 = 1. Es decir, escriban el cociente
incremental y operen algebraicamente la expresión para poder calcular el límite:
f(1 + ∆x)− f(1)
∆x
=
(1 + ∆x)2 − 1
∆x
=
1 + 2∆x+ (∆x)2 − 1
∆x
=
∆x(2 + ∆x)
∆x
= 2 + ∆x
(donde en cada expresión, incluso la última, ∆x 6= 0). ¾Cuánto vale f ′(1)?
Comparen los resultados grá�cos con los resultados analíticos (es decir, los que obtengan ha-
ciendo los cálculos). ¾Les parecen razonables? ¾Les resulta signi�cativo que la derivada valga
2?
Ejercicio 3.1.2. Estudiemos ahora la derivada en un punto genérico, es decir en un x0 dado sin
decir su valor.
Consideren de nuevo la función f(x) = x2:
Estimen grá�camente si es derivable en distintos puntos x0. Para eso, vean sobre la grá�ca si
pueden trazar rectas tangentes (en papel o con GeoGebra) en distintos puntos.
Lean del grá�co las pendientes de las rectas tangentes trazadas. ¾Tienen todas la misma pen-
diente? ¾De qué depende la pendiente? ¾En qué regiones/puntos la pendiente de la recta tan-
gente es positiva, negativa o nula? ¾Dónde es mayor la pendiente?
Averigüen por de�nición si f(x) = x2 es derivable en un x0 cualquiera. Es decir, calculen el
cociente incremental:
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
=
(x0 + ∆x)
2 − x20
∆x
=
x20 + 2x0∆x+ (∆x)
2 − x20
∆x
=
∆x(2x0 + ∆x)
∆x
y tomen el límite. Si f(x) es derivable, ¾cuánto vale f ′(x0) en los distintos x0?
Comparen los resultados grá�cos con los resultados analíticos. ¾Les parecen razonables? ¾Les
resulta signi�cativo que la derivada sea positiva cuando x0 > 0? ¾Y que la derivada sea negativa
cuando x0 < 0? ¾Cuánto vale la derivada cuando x0 = 0 y cómo es la recta tangente en ese
punto?
Veri�quen que los resultados del ejercicio anterior se recuperan cuando x0 = 1. ¾Qué les parece
más conveniente para analizar una función: calcular la derivada repetidas veces en cada punto
de interés o calcularla en forma genérica?
Ejercicio 3.1.3. Calculen, si es posible, las derivadas laterales en x0 = 0 de las siguientes funciones:
f(x) = 2x2 si x ≥ 0
g(x) = 4x2 si x > 0
h(x) =
{
x2, si x ≥ 0
0, si x < 0
Ejercicio 3.1.4. Calculen las derivadas laterales de f(x) en x0 = 1, para
f(x) =
{
x+ 1, si x ≤ 1
x2 + 1, si x > 1
¾Existe f ′(1)? Interpreten grá�camente.
CLASE 3.2. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS 131
Clase 3.2. Reglas prácticas para el cálculo de derivadas
Contenidos de la clase: Dominio de derivabilidad. Función derivada. Tabla de derivadas
básicas. Álgebra de derivadas: reglas de derivación para la suma, producto, cociente y
composición de funciones derivables. Relación entre derivabilidad y continuidad. Deri-
vadas laterales para dominios con extremos cerrados y funciones de�nidas a trozos.
La noción de derivada tiene muchas aplicaciones importantes, en realidad varias ramas de las Cien-
cias Exactas no se habrían desarrollado sin derivadas. Su uso marca la diferencia entre el Análisis
Matemático y el Álgebra.
Para calcular derivadas en forma e�ciente utilizaremos reglas prácticas, siempre que las mismas
puedan aplicarse. Como les habrá sucedido con las tablas de multiplicar en la escuela, necesitarán un
poco de memoria y mucha ejercitación para derivar con seguridad. En esta clase trabajaremos esas
reglas.
3.2.1. Dominio de derivabilidad
Hemos visto que una función puede ser derivable en distintos puntos de su dominio. Para analizar
una función siempre será importante distinguir dónde es derivable, y dónde no lo es. Para ponernos de
acuerdo necesitamos precisar algunos nombres.
Para referirnos a un conjunto de valores de la variable independiente donde una función es derivable,
usaremos la expresión "derivable en un conjunto":
Definición 3.2.1. Dada una función f y un conjunto A dentro de su dominio, se dice que es
derivable en el conjunto A siempre que f sea derivable en cada punto de A.
Recordemos que cuando decimos que f es derivable en un punto dado, asumimos que f está de�nida
al menos en un entorno de ese punto (es decir en el punto dado, un poco más a la izquierda y un poco
más a la derecha de ese punto).
Para indicar el mayor conjunto donde una función es derivable se de�ne el "dominio de derivabili-
dad":
Definición 3.2.2. Dada una función f : D → R, se llama dominio de derivabilidad de f al
conjunto de puntos de D donde la función f es derivable,
Domf ′ = {x0 ∈ D : existe f ′(x0)}
3.2.2. Función derivada
Ya sabemos que la derivada de una función se calcula en un punto x0, y que toma distintos valores
según en qué punto se calcule (si es que existe). Conviene de�nir una nueva función que asigne a cada
número x0 del dominio de derivabilidad el valor de la derivada f ′(x0) en ese punto.
Puede parecer que no de�nimos nada nuevo: desde que empezamos con derivada ya escribimos
f ′(x0) con notación de función, indicando el número x0 entre paréntesis. Y en varias actividades
sugerimos variar el valor de x0. Lo que hacemos ahora es coleccionar los resultados de la derivada en
distintos puntos x. Usaremos f ′ como una nueva función, para referirnos al valor que toma la derivada
en puntos x que tratamos como variable independiente:
Definición 3.2.3. Dada una función f : D → R, derivable en Domf ′, se llama función derivada
de f a una nueva función
f ′ : Domf ′ → R
con regla de asignación
x0 → f ′(x0)
CLASE 3.2. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS 132
Según esta de�nición, cuando evaluemos la función f ′ en un punto dado x0 estaremos obteniendo
el valor de la derivada de f en ese punto6.
Ejemplo 3.2.4. Si han resueltoel ejercicio 3.1.2, sabrán que la función derivada de f(x) = x2
es f ′(x) = 2x.
Cuando interese conocer, por ejemplo, f ′(5) podemos calcular la derivada por de�nición (como
límite de un cociente incremental), o recordar la fórmula de f ′ y calcular f ′(5) = 2 · 5 = 10.
¾Cuál procedimiento les resulta más fácil?
¾Vale la pena, entonces, recordar que (x2)′ = 2x?
3.2.3. Otras notaciones para la derivada
El concepto de derivada fue desarrollado por varios matemáticos y cientí�cos. Como estaban in-
ventando algo realmente nuevo, diseñaron incluso la forma de anotar sus desarrollos. Cada uno usó
distintas notaciones, y hoy en día se usan varias de ellas. Según la aplicación que se esté trabajando,
algunas puede ser más conveniente que otras. La notación con "prima" que venimos usando se llama
notación de Lagrange.
Otra notación muy usual es la de Leibniz: dada una función y = f(x) se anota
df
dx
a la función derivada, y se lee "derivada de f respecto de x". Esta notación está inspirada en el cociente
incremental, pero una vez que se toma el límite debemos reconocer que la derivada no es una división
de dos objetos distintos; dfdx se debe leer como un bloque, sin desarmarlo
7. La notación de Leibnitz es
práctica para la función derivada, pero es incómodo escribir la derivada en un punto. Si uno anota
df(x0)
dx
no es claro si quiere derivar f y luego evaluar en x0 o si quiere evaluar f(x0) y luego derivar ese valor
(constante, ya no depende de x). Por eso se usa una notación particular
f ′(x0) =
df
dx
∣∣∣∣
x=x0
que se lee "derivada de f respecto de x evaluada en x0".
Por comodidad, y si el contexto permite entender sin confusión, se usan notaciones más informales.
Por ejemplo, dada y = f(x) será lo mismo anotar
y′(x) = f ′(x) =
dy
dx
=
df
dx
=
d
dx
f(x)
para referirse a la función derivada.
3.2.4. Tabla de derivadas básicas
En lugar de pasar por el cociente incremental y tomar límites, en la práctica utilizaremos derivadas
de funciones conocidas y algunas reglas para construir nuevas derivadas.
El primer paso es construir y recordar una tabla con la derivada de funciones básicas (como las que
repasamos en las clases 1.2 y 1.5). Como sucede con las tablas de multiplicar, cuando se las necesita
uno no se detiene a pensar cómo se calcula 7 × 8, simplemente recuerda que da 56. Y resultan útiles
porque uno sabe qué signi�ca multiplicar y cuándo hay que hacerlo.
Los resultados que vamos a enunciar provienen de usar la de�nición de derivada y resolver los
límites indeterminados correspondientes (tipo cero sobre cero). En la Clase de Integración 3.3 vamos a
6Queremos destacar que, por de�nición, la derivada de una función se construye en cada punto x0, tratándolo como
�jo cuando se toma el límite para x1 → x0.
7Más adelante de�niremos df y dx por separado, se los llama "diferencial de f" y "diferencial de x".
CLASE 3.2. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS 133
discutir algunos de ellos; otros estarán discutidos en nuestro sitio web y en los libros pueden ver cada
caso elaborado en detalle.
Función constante. Dada f : R → R con regla de asignación f(x) = c, donde c es un número
dado, se encuentra que es derivable en todo R y que f ′(x) = 0.
Este resultado es fácil de demostrar: para cualquier a ∈ R,
f ′(a) = ĺım
∆x→0
f(a+ ∆x)− f(a)
∆x
= ĺım
∆x→0
c− c
∆x
= ĺım
∆x→0
0
∆x
= 0
Conviene recordar como regla que
(c)′ = 0
Función identidad. Dada f : R → R con regla de asignación f(x) = x, se encuentra que es
derivable en todo R y que f ′(x) = 1. Este resultado también es fácil de demostrar: para cualquier
a ∈ R,
f ′(a) = ĺım
∆x→0
f(a+ ∆x)− f(a)
∆x
= ĺım
∆x→0
a+ ∆x− a
∆x
= ĺım
∆x→0
∆x
∆x
= 1
Conviene recordar como regla que
(x)′ = 1
Función potencia de exponente natural. Dada f : R → R con regla de asignación f(x) = xn,
donde n es un número natural, se encuentra que es derivable en todo R y que f ′(x) = nxn−1. Dejamos
la demostración para los ejercicios.
Conviene recordar como regla que
(xn)′ = nxn−1
Por ejemplo, si f(x) = x2, tenemos que f ′(x) = 2x1 = 2x. Comparen con el cálculo hecho en el
ejercicio 3.1.2.
Actividad 3.2.5. Encuentren por de�nición la derivada de x3.
Escriban por reglas la función derivada de x3, x4, x5.
Escriban la función derivada de x0 y x1 (funciones constante e identidad), y comparen con las
reglas correspondientes.
Se suele decir que "se baja el exponente multiplicando y se le resta 1 al exponente".
Función raíz de índice natural.
Comencemos con la raíz cuadrada:
Dada f : [0,+∞) → R con regla de asignación f(x) =
√
x, se encuentra que es derivable en
(0,+∞) y que f ′(x) = 1
2
√
x
.
En x0 = 0, que es un extremo cerrado del dominio, se puede analizar sólo la derivada por
derecha. Podemos comprobar que el límite de la razón de cambio no existe, ya que
ĺım
∆x→0+
f(0 + ∆x)− f(0)
∆x
= ĺım
∆x→0+
√
∆x
∆x
= ĺım
∆x→0+
1√
∆x
= +∞
Observen entonces que la raíz cuadrada está de�nida pero no es derivable en x0 = 0.
Conviene recordar como regla que
(√
x
)′
=
1
2
√
x
existe solamente para x > 0
CLASE 3.2. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS 134
Sigamos con la raíz cúbica:
dada f : (−∞,+∞)→ R con regla de asignación f(x) = 3
√
x, se encuentra que es derivable en
(−∞, 0) ∪ (0,+∞) y que f ′(x) = 1
3( 3
√
x)
2 .
Observen que la raíz cúbica está de�nida pero no es derivable en x0 = 0. En ese punto se puede
analizar tanto la derivada por derecha como por izquierda, pero el límite de la razón de cambio
no existe, sino que por ambos lados tiende a +∞.
En general, si n es par la función f(x) = n
√
x tiene dominio [0,+∞) y es derivable en (0,+∞)
pero no en x = 0. Y si n es impar la función f(x) = n
√
x tiene dominio (−∞,+∞) y es
derivable en todo punto real menos en x = 0. Para recordar más fácil las fórmulas de las
derivadas conviene escribir las raíces n-ésimas como potencias de exponente fraccionario 1/n:
dada f(x) = n
√
x ≡ x1/n donde existe la derivada vale f ′(x) = 1nx
1
n
−1 .
Conviene recordar como regla que para índice n(
n
√
x
)′ ≡ (x 1n)′ = 1
n
x
1
n
−1
existe solamente para x > 0 si n es par, y para x 6= 0 si n es impar.
Usando la notación de exponente fraccionario se puede decir, igual que con las potencias de expo-
nente natural, que "se baja el exponente multiplicando y se le resta 1 al exponente".
Actividad 3.2.6. Escriban la función derivada de
√
x, 3
√
x, 4
√
x, 5
√
x, etc. Usen la forma de
exponente fraccionario pero vuelvan a escribir el resultado con raíces y potencia naturales.
Función recíproca. Dada f : (−∞, 0) ∪ (0,+∞) → R con regla de asignación f(x) = 1x , se
encuentra que es derivable en (−∞, 0)∪(0,+∞) y que f ′(x) = − 1
x2
. Este resultado es fácil de demostrar:
para cualquier a 6= 0,
f ′(a) = ĺım
∆x→0
1
a+∆x −
1
a
∆x
= ĺım
∆x→0
a−∆x− a
∆x (a+ ∆x) a
= ĺım
∆x→0
−1
(a+ ∆x) a
= − 1
a2
Conviene recordar como regla que(
1
x
)′
= − 1
x2
existe solamente para x 6= 0
Función potencia de exponente natural negativo. Dada f : (−∞, 0) ∪ (0,+∞) → R con
regla de asignación f(x) = 1xn , donde n es un número natural, se encuentra que es derivable en
(−∞, 0) ∪ (0,+∞) y que f ′(x) = − n
xn+1
.
Actividad 3.2.7. Escriban la función derivada de x−2, x−3, x−4, x−5, etc.
Escriban la función derivada de x−1, y comparen con las reglas de la función recíproca.
Observación 3.2.8. Si escriben f(x) = 1/xn como f(x) = x−n pueden ver que f ′(x) = −nx−n−1.
Usando la notación de exponente negativo se puede decir que "se baja el exponente multiplicando y se
le resta 1 al exponente", como en los casos anteriores.
Conviene recordar como regla que(
1
xn
)′
≡
(
x−n
)′
= −nx−n−1
CLASE 3.2. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS 135
Funciones trigonométricas. Dada la función sen : R→ R, se encuentra que es derivable en todo
R y que sen′(x) = cos(x).
Noten que las funciones trigonométricas tienen nombre propio. Usamos la comilla que indica la derivada
directamente después del nombre de la función. También es usual escribirlo sin paréntesis.
Conviene recordar como regla quesen′ x = cosx
Dada la función cos : R→ R, se encuentra que es derivable en todo R y que cos′(x) = − sen(x).
Conviene recordar como regla que
cos′ x = − senx
Dejaremos como ejercicio el cálculo de estos resultados.
Función exponencial. Dada la función exp : R → R, se encuentra es derivable en todo R y que
exp′(x) = exp(x).
Conviene recordar como regla que
(ex)′ = ex
Función logaritmo natural. Dada la función ln : (0,+∞)→ R, se encuentra que es derivable en
(0,+∞) y que ln′(x) = 1/x.
Conviene recordar como regla que
(lnx)′ =
1
x
Observación 3.2.9. Recuerden que no hemos dado todavía de�niciones precisas de las funciones
exponencial y logaritmo natural. Por eso mismo, no estamos en condiciones de calcular sus derivadas
por de�nición. De todas formas, para seguir adelante necesitarán memorizar estas reglas.
3.2.5. Álgebra de derivadas
El paso siguiente consiste en calcular las derivadas de funciones más elaboradas, reconociéndolas
como operaciones entre funciones sencillas. Las funciones que manejamos en modelos matemáticos se
construyen como sumas, restas, productos, cocientes y/o composición de las funciones que acabamos
de repasar. Eventualmente aparecerán otras funciones especiales, que habrá que estudiar en cada caso
y agregar a la tabla básica.8
Vamos a presentar reglas para calcular la función derivada en cada caso, precisando el conjun-
to donde son válidas. Recordemos que evaluando la función derivada en un número obtendremos la
derivada en ese punto; nunca usen una regla en un punto donde no sea válida.
Como la derivada se calcula como el límite del cociente incremental, algunas reglas se demuestran
sin mucha di�cultad, utilizando las propiedades de los límites que ya hemos estudiado en la unidad
anterior. A �n de ser prácticos, ahora sólo las vamos a enunciar. Pueden ver las justi�caciones de estas
reglas en los libros de nuestra bibliografía.
8Las llamadas funciones especiales han surgido de algún problema sin solución algebraica, tienen nom-
bres y notación particular. Cuando las necesiten conviene consultar algún manual y hacer un resu-
men de sus propiedades (como hemos hecho en la clase 1.5). Pueden encontrar excelente información en
http://mathworld.wolfram.com/topics/SpecialFunctions.html. Además se las encuentra en programas de cálculo numé-
rico y grá�co, como GeoGebra.
CLASE 3.2. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS 136
Derivada de una constante por una función.
Supongamos que la fórmula de una función se escribe como producto de una constante por una
función conocida f(x) en un conjunto A. Si f es derivable en A podemos calcular la derivada del
producto con la siguiente regla
Propiedad 3.2.10. Derivada de una constante por una función: si c es una constante y
f(x) es una función derivable en un conjunto A, entonces c · f(x) es derivable en A y la derivada
vale
(c · f(x))′ = c · f ′(x)
Se suele decir que "la constante sale fuera de la derivada".
Comprobemos este resultado por de�nición: Si llamamos g(x) = c f(x), el cociente incremental se
escribe como
g(x+ ∆x)− g(x)
∆x
=
c f(x+ ∆x)− c f(x)
∆x
=c
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
Como f es derivable, existe el límite de su razón de cambio. Entonces
g′(x) = ĺım
∆x→0
g(x+ ∆x)− g(x)
∆x
=c ĺım
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= c f ′(x)
Ejemplo 3.2.11. Calculemos la derivada de g(x) = 5x3. Como x3 es derivable en todo el eje
real,
g′(x) =
(
5x3
)′
= 5
(
x3
)′
= 5 · 3x2 = 15x2
es la derivada de g(x) en todo el eje real.
Derivada de una suma de funciones.
Si una función aparece escrita como suma de dos funciones conocidas, se puede derivar con la regla
siguiente
Propiedad 3.2.12. Derivada de una suma de funciones: si dos funciones f(x) y g(x) son
derivables en un conjunto A, entonces f(x) + g(x) es derivable en A y la derivada vale
(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)
La justi�cación de esta regla se puede contar en dos pasos: en primer lugar, para cualquier a ∈ A,
organizamos la razón de cambio como
(f(a+ ∆x) + g(a+ ∆x))− (f(a) + g(a))
∆x
=
(f(a+ ∆x)− f(a)
∆x
+
g(a+ ∆x)− g(a)
∆x
En segundo lugar, notamos que existe el límite para ∆x→ 0 de cada cociente por separado, ya que f
y g son derivables en x = a; luego,
(f + g)′(a) = ĺım
∆x→0
f(a+ ∆x)− f(a)
∆a
+ ĺım
∆x→0
g(a+ ∆x)− g(a)
∆x
= f ′(a) + g′(a)
Noten que lo mismo vale para una resta, ya que f(x)− g(x) ≡ f(x) + (−g(x)).
Ejemplo 3.2.13. Calculemos la derivada de h(x) = x2 +
√
x. Como x2 es derivable en todo el
eje real pero
√
x es derivable solamente en (0,+∞), tenemos que
h′(x) =
(
x2 +
√
x
)′
=
(
x2
)′
+
(√
x
)′
= 2x+
1
2
√
x
es la derivada de h(x) solamente en (0,+∞).
CLASE 3.2. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS 137
Derivada de un producto de funciones (regla de Leibniz). La regla para derivar un producto
es menos intuitiva, por eso requiere un esfuerzo extra de memoria:
Propiedad 3.2.14. Derivada de un producto de funciones: si dos funciones f(x) y g(x)
son derivables en un conjunto A, entonces f(x) · g(x) es derivable en A y la derivada vale
(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
Dejamos la demostración de esta regla como un ejercicio. Para no atarse a las letras f y g, se suele
recordar que la derivada de un producto de funciones es "la derivada de la primera por la segunda sin
derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda".
Ejemplo 3.2.15. Calculemos la derivada de y(x) = ex cosx. Como ex y cosx son derivables en
todo el eje real, tenemos que
(ex cosx)′ = (ex)′ cosx+ ex (cosx)′ = ex cosx− ex senx
es la derivada y′ en todo el eje real.
Derivada de un cociente de funciones. La regla para derivar un cociente es un poco más ela-
borada. Además, hay que tener cuidado de que el denominador no se anule.
Propiedad 3.2.16. Derivada de un cociente de funciones: si dos funciones f(x) y g(x)
son derivables en un conjunto A, entonces f(x)/g(x) es derivable en todo número de A donde
g(x) 6= 0. En esos puntos la derivada vale
(f(x)/g(x))′ =
f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
(g(x))2
Ejemplo 3.2.17. Calculemos la derivada de y =
(
x3 − 1
)
/(x+ 1). Primero vemos que x3− 1 y
x+ 1 son derivables en todo el eje real, ya que por la regla de la suma
(
x3 − 1
)′
= 3x2 − 0 = 3x2 y
(x+ 1)′ = 1 + 0 = 1 . Además x+ 1 = 0 cuando x = −1. Por lo tanto, tenemos que(
x3 − 1
x+ 1
)′
=
(
x3 − 1
)′ · (x+ 1)− (x3 − 1) · (x+ 1)′
(x+ 1)2
=
3x2(x+ 1)− (x3 − 1)
(x+ 1)2
=
2x3 + 3x2 + 1
(x+ 1)2
es la derivada de
(
x3 − 1
)
/(x+ 1) en todo el eje real excepto en x = −1.
Derivada de una composición de funciones (regla de la cadena). En muchos casos tendremos
que hallar la derivada de una función compuesta, de la forma y = g(f(x)). Hay una regla importante
para este caso, llamada "regla de la cadena". Para enunciarla vamos a usar la letra u para la variable
intermedia: digamos que y = g(u), donde u = f(x).
Propiedad 3.2.18. Derivada de una función compuesta: dadas dos funciones f(x) y g(u),
tales que f es derivable en x y que g es derivable en u = f(x), entonces la función compuesta
(gof)(x) = g(f(x)) es derivable en x, y la derivada se calcula como
(g(f(x))′ = g′(u) f ′(x)
donde g′(u) es la derivada de g con respecto a la variable u.
Observen que no pudimos escribir fácilmente el conjunto donde g(f(x)) es derivable; en cada caso
habrá que revisar los puntos x tales que f es derivable en x y que g es derivable en u = f(x).
CLASE 3.2. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS 138
Para recordar la regla de la cadena se suele decir que la derivada de g(f(x)) es igual a "la derivada
de la función de afuera evaluada en la de adentro, por la derivada de la función de adentro".
Ejemplo 3.2.19. Calculemos la derivada de y = sen(2x). Para empezar, reconocemos la compo-
sición de la función 2x con la función seno. El dominio natural de esta función son todos los números
reales. La "función de adentro" u = 2x es derivable para todo valor de x y la "función de afuera"
y = senu es derivable para todo real u. La derivada se calcula como
y′(x) = (senu)′ · u′(x)
pero hay que entender bien la notación: (senu)′ es la derivadade la función seno respecto de su
variable u, que debe hallarse antes de reemplazar u = f(x), y u′(x) es la derivada de la función de
adentro respecto de x. Tenemos que
y′(x) = cosu(x).u′(x)
= cos(2x)(2)
= 2. cos(2x)
válido para todo x.
La regla de la cadena suele costar un poco, por lo que merece otro ejemplo:
Ejemplo 3.2.20. Calculemos la derivada de y =
√
1− x². Para empezar, reconocemos la com-
posición de un polinomio con la raíz cuadrada. El dominio natural de esta función es el conjunto
{x : 1− x2 ≥ 0}, es decir el intervalo [−1, 1]. La "función de adentro" u = 1− x2 es derivable para
todo valor de x, pero la "función de afuera" y =
√
u es derivable sólo para u ∈ (0,+∞), o sea para
1− x2 > 0. La derivada se calcula como
y′(x) = (
√
u)′ · u′(x)
y′(x) =
1
2
√
u(x)
u′(x)
=
1
2
√
1− x2
(0− 2x)
= − x√
1− x2
válido para 1− x2 > 0, o sea en el intervalo abierto (−1, 1).
Recomendaciones. Con la tabla de derivadas básicas y las reglas para derivar funciones construidas
mediante sumas y restas, productos, cocientes y composición deberíamos estar en condiciones de encarar
el cálculo práctico de cualquier derivada, al menos mirando la guía.
En el resto del curso, y de sus estudios, las derivadas aparecerán permanentemente. En las materias
correlativas se entiende que ustedes podrán interpretar y operar con facilidad cualquier derivada.
Necesitarán mucha ejercitación para hacerlo con e�ciencia y seguridad, y este es el momento de practicar
y memorizar las reglas.
Como consejo para encarar el cálculo de una derivada, recomendamos que primero revisen la
estructura de la expresión que quieran derivar. La primer pregunta que deben hacerse es ¾cuál es la
operación principal9 de la expresión: sumas y restas, o un producto de factores, o un cociente, o una
composición? Según el caso, decidan qué regla usar.
En muchos casos tendrán que derivar expresiones con una estructura fácil de reconocer, pero que
involucra funciones nada sencillas. En esos casos hay que proceder desde afuera hacia adentro (como
para desarmar una cebolla).
9Nos referimos a la operación externa, es decir la última que hay que hacer para llegar al resultado.
CLASE 3.2. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS 139
Ejemplo 3.2.21. Calculemos la derivada de
y = cos(x+ 2).(x2 − 2x)2
En este caso, la operación principal es un producto de funciones y existe la derivada de cada
factor. Luego, aplicando la regla del producto tenemos
y′ = (cos(x+ 2))′ .(x2 − 2x)2 + cos(x+ 2).
(
(x2 − 2x)2
)′
Para seguir el ejercicio necesitamos calcular las dos derivadas que aparecen en esta expresión.
Primero tenemos que derivar la función compuesta cos(x + 2), donde u = x + 2 es derivable para
todo x y cosu es derivable para todo u. Aplicando la regla de la cadena:
(cos(x+ 2))′ = − sen(x+ 2).(x+ 2)′ = − sen(x+ 2).(1 + 0)
Luego tenemos que derivar la función compuesta (x2 − 2x)2, donde v = x2 − 2x es derivable
para todo x y v2 es derivable para todo v. Aplicando la regla de la cadena:(
(x2 − 2x)2
)′
= 2(x2 − 2x)1.(x2 − 2x)′ = 2(x2 − 2x).(2x− 2)
Finalmente, reemplazando tendremos
y′ = − sen(x+ 2).(x2 − 2x)2 + cos(x+ 2).2(x2 − 2x).(2x− 2)
Ejemplo 3.2.22.
La estrategia de este ejemplo es la misma, aunque resulte más largo. Tratemos de calcular la
derivada de
y = cos
(
3
√
x2 − 4
x4 − 1
)
respecto de x.
En primer lugar, para que la función esté bien de�nida debemos pedir que x4−1 6= 0 (por qué?).
Veri�quen que el dominio es (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,+∞). Para derivar la expresión, observemos
que la operación principal es una composición, es decir queremos calcular la derivada del coseno de
algo. El coseno es la función de afuera, que es derivable en todo su dominio, y el argumento del
coseno es la función de adentro. Sin importar que la función de adentro se vea complicada, tenemos
que aplicar la regla de la cadena. Obtenemos que
y′ = − sen
(
3
√
x2 − 4
x4 − 1
)
·
(
3
√
x2 − 4
x4 − 1
)′
donde hicimos la derivada del coseno y multiplicamos por la derivada de la función de adentro, pero
dejamos indicada la derivada esta última. Ahora tenemos que hacer la derivada que quedó indicada,
y vemos que se trata de la derivada de un cociente. Copiamos lo que ya está listo y aplicamos la
regla del cociente:
y′ = − sen
(
3
√
x2 − 4
x4 − 1
)
·

(
3
√
x2 − 4
)′
·
(
x4 − 1
)
− 3
√
x2 − 4 ·
(
x4 − 1
)′
(x4 − 1)2

Sucede que no conocemos al golpe de vista la derivada de 3
√
x2 − 4 , y quizás nos cueste la de x4−1,
por eso las dejamos indicadas para hacerlas con cuidado. Podemos calcular aparte las derivadas que
faltan, o escribirlas sobre la expresión completa. Hagamos los cálculas aparte. Teniendo en cuenta
que 3
√
u es derivable para u 6= 0, y que el polinomio x2 − 4 es derivable para todo x,(
3
√
x2 − 4
)′
=
((
x2 − 4
)1/3)′
=
1
3
·
(
x2 − 4
) 1
3
−1 (
x2 − 4
)′
=
2x
3 (x2 − 4)2/3
, si x2 − 4 6= 0
Por otro lado
(x4 − 1)′ = 4x3
CLASE 3.2. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS 140
donde usamos desde afuera hacia adentro las reglas necesarias. Reemplazando, tenemos
y′ = − sen
(
3
√
x2 − 4
x4 − 1
)
·
 2x3(x2−4)2/3 (x4 − 1)− 3√x2 − 4.4x3
(x4 − 1)2

Para que la derivada esté bien de�nida, además de pertencer al dominio de la función, debemos
pedir x2 − 4 6= 0, es decir x 6= ±2. Por lo tanto, el dominio de la función derivada es (−∞,−2) ∪
(−2,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2,+∞).
Observación 3.2.23. Es muy importante haber encontrado en el ejemplo que, además de no estar
de�nida en x = ±1, la función no es derivable en x = ±2. Grá�camente, en esos dos puntos no hay
recta tangente con pendiente bien de�nida. Intenten verlo con GeoGebra.
3.2.6. Relación entre funciones derivables y funciones continuas
Existe una relación directa entre continuidad y derivabilidad, expresada por un importante teorema:
Teorema 3.2.24. Si una función es derivable en un punto x = a, entonces también es continua
en ese punto.
La demostración formal es sencilla. Esencialmente hay que calcular el límite ĺımx→a (f(x)− f(a))
y comprobar que da cero. Escribamos
ĺım
x→a
(f(x)− f(a)) = ĺım
x→a
f(x)− f(a)
x− a
(x− a) = ĺım
x→a
f(x)− f(a)
x− a
ĺım
x→a
(x− a) = f ′(a) 0 = 0
donde todos los pasos están bien justi�cados (discutan por qué). Luego, existe ĺımx→a f(x) = f(a), es
decir que f es continua en x = a.
El resultado se visualiza grá�camente: si una función f(x) es derivable en un número a sabemos
que admite recta tangente en el punto (a, f(a)), es decir que es localmente parecida a una recta que
pasa por (a, f(a)). Como la recta es continua, la función también es continua.
Actividad 3.2.25. Proponemos un análisis conceptual:
- Gra�quen esquemáticamente una función f derivable en un punto x0 de su dominio. ¾Está
de�nido el valor de f(x0)? ¾Cómo pueden justi�carlo, si no tienen la fórmula de f(x)?
- Tracen la recta tangente a la grá�ca de f en el punto (x0, f(x0)). Discutan qué posibilidades
ven para ĺımx→x0 f(x).
El Teorema 3.2.24 nos resulta útil en dos situaciones prácticas:
Cuando sabemos que una función es derivable en cierto punto, porque hemos usado las reglas
de derivación y hemos revisado en qué puntos son válidas, automáticamente sabemos que la
función es continua en dicho punto. Como justi�cación, corresponde citar este teorema.
Cuando sabemos que una función no es continua en cierto punto, porque hemos visto que falla
alguna de las condiciones de la de�nición 2.3.2, podemos estar seguros de que no es derivable
en ese punto. Es decir, no es necesario mirar otra regla ni calcular la derivada por de�nición,
podemos asegurar que la derivada no existe y justi�carlo con este teorema.
Actividad 3.2.26. Gra�quemos la función
f(x) =
{
0 si x < 0
1 si x ≥ 0
- ¾Es continua en x = 0? ¾Cuál condición falla en la de�nición 2.3.2?
- ¾Es derivable en x = 0? Si no conociera el teorema 3.2.24, ¾cómo se darían cuenta de que no
es derivable?
CLASE 3.2. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS 141
Observación 3.2.27. El teorema 3.2.24 no funciona al revés: si una función es continua en un
punto, podríaser derivable o no ser derivable en ese punto. Simplemente no lo sabemos, hasta que lo
estudiemos con cuidado. Por ejemplo, hemos visto que f(x) = |x| no es derivable en x = 0, aunque sí
es continua en dicho punto (recuerden el Ejemplo 3.1.20).
3.2.7. Derivadas y continuidad laterales.
Recuerden que cuando hablamos de límite, continuidad o derivabilidad en un punto consideramos el
comportamiento de la función tanto a izquierda como a derecha del punto. Cuando el comportamiento
por cada lado es distinto (como en funciones de�nidas a trozos o funciones de�nidas en intervalos
cerrados) se pueden estudiar límites laterales, continuidad lateral y derivadas laterales.
Una versión más detallada del teorema 3.2.24 nos asegura el siguiente enunciado:
Propiedad 3.2.28. Si una función es derivable por derecha en un punto, entonces también es
continua por derecha en ese punto.
Si una función es derivable por izquierda en un punto, entonces también es continua por izquierda
en ese punto.
Actividad 3.2.29. Revisen la actividad anterior para discutir continuidad y derivabilidad por
derecha y por izquierda de f(x) = |x| en x = 0.
3.2.8. Ejercitación
Ejercicio 3.2.1. Indiquen en cada caso el dominio de derivabilidad, y calculen la función derivada
usando reglas apropiadas.
f(x) = 5x2 − 3x+ 2
f(x) = 2
√
x+ 12x3
Ejercicio 3.2.2. Indiquen en cada caso el dominio de derivabilidad, y calculen la función derivada
usando reglas apropiadas.
f(x) = 3x cosx
f(x) = x2ex
Ejercicio 3.2.3. Indiquen en cada caso el dominio de derivabilidad, y calculen la función derivada
usando reglas apropiadas.
y =
5x2 − 3x+ 2
x3 − 8
y =
3
x2
+
5
x4
y = tanx =
senx
cosx
y =
(3x− 2) ex
x+ 1
Ejercicio 3.2.4. Indiquen en cada caso el dominio de derivabilidad, y calculen la función derivada
usando reglas apropiadas.
y =
(
x2 + 1
)3
y =
√
x2 + 4x+ 5
y = sen(x2)
y = e
2x
x
y = −3x ln(3x)
CLASE 3.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 142
Clase 3.3. Actividades de integración
Contenidos de la clase:
- Práctica de derivación por reglas.
- Derivadas por de�nición.
- Construcción de rectas tangentes y rectas normales.
3.3.1. Algunas derivadas aplicando reglas
Ejercicio 3.3.1. Indiquen en cada caso el dominio natural y el dominio de derivabilidad y calculen
la función derivada usando reglas apropiadas.
1. f(x) = (x2 + 1)/(x− 2)
2. g(x) =
2x3 − 7x
2x
(además: distribuir primero y derivar después para veri�car que se obtiene
el mismo resultado)
3. h(x) =
x1/3
x− 1
4. k(x) = tan(x)
Ejercicio 3.3.2. Indiquen en cada caso el dominio natural y el dominio de derivabilidad y calculen
la función derivada usando reglas apropiadas.
1. f(x) = (x3 + 1)2 (además: desarrollar primero el cuadrado y derivar después para veri�car
que se obtiene el mismo resultado)
2. g(x) =
√
1− x2
3. h(x) = sen(3x)
4. k(x) = e−x
5. r(x) = senh
(
x2/3
)
Ejercicio 3.3.3. Dadas f(x) =
√
x y g(x) = lnx,
1. Indiquen el dominio de g ◦ f(x) y de f ◦ g(x) y calculen sus expresiones
2. Indiquen el dominio de (g ◦ f) ´ (x) y de (f ◦ g) ´ (x) y calculen sus expresiones
3.3.2. Algunas demostraciones
Desafío (para pensar más) 3.3.4. Las reglas prácticas que usamos son el resultado de un
trabajo teórico. Les proponemos:
Demostrar la regla de derivación de un producto, calculando el límite del cociente incremental
y justi�cando cada paso.
Demostrar la regla de derivación de potencias naturales xn, por inducción completa.
Demostrar la regla de derivación de un cociente, justi�cando cada paso.
Demostrar que (sen x)′ = cosx
(ayuda: planteen el cociente incremental y desarrollen sen(x + ∆x) como seno de una suma.
Luego calculen el límite recurriendo a algunos límites especiales vistos en la Unidad 2)
Demostrar que cos (x)′ = −sen x.
Ante un desafío teórico, es aconsejable consultar algún libro de los que mencionamos en la bibliografía.
CLASE 3.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 143
Algunas situaciones en que la tabla de derivadas no alcanza
Las derivadas que presentamos como tabla, para memorizar y aplicar, sirven bajo una condición
elemental: que la función esté de�nida con la misma fórmula en el punto x0 donde se calcula la derivada
y en algún entorno de x0. Es decir, que la fórmula de la función valga en el punto, al menos un poco
a la izquierda y al menos un poco a la derecha. Esto queda claro cuando se las demuestra, tomando el
límite de la razón de cambio para x→ x0 tanto por izquierda como por derecha.
En el caso de funciones de�nidas a trozos, en un punto donde se cambia de fórmula
no podemos usar estos resultados. Cuando no se pueden usar las reglas prácticas tendremos que
trabajar con la de�nición. Y por tratarse de funciones de�nidas a trozos habrá que calcular por separado
los límites laterales del cociente incremental. Comentaremos otra técnica al �nal de la clase 3.4.
Ejercicio 3.3.5.
Hallar la derivada de
f(x) =
{
−2x+ 3, si x < 0
x+ 3, si x ≥ 0
en todos los puntos en que sea posible trabajar con reglas y discutir su existencia donde no sea posible.
Gra�car.
Hallar la derivada de
f(x) =
{
−x2, si x < 0
x2, si x ≥ 0
en todos los puntos en que sea posible trabajar con reglas y discutir su existencia donde no sea posible.
Gra�car.
Hallar la derivada de
f(x) =
{
−1, si x < 0
1, si x ≥ 0
en todos los puntos en que sea posible trabajar con reglas. Sin hacer cuentas, comprobar que f(x) no
es derivable en x = 0. ¾Existen las derivadas laterales en x = 0? Gra�car.
Ejercicio 3.3.6. Determinen en qué puntos son derivables las siguientes funciones y hallen la
expresión de la función derivada:
(a) f(x) =
{
3x3 − 5x, si x < 1
2x2 − 4, si x ≥ 1
(b) g(x) =
{
e2x, si x ≤ 0
2x2 + 1, si x > 0
Ejercicio 3.3.7. Sea la función
f(x) =
{
2x+ 1, si x < 1
x+ a, si x ≥ 1
Determinen el valor de a para que la función sea continua en x = 1.
Calculen, si es que existen, las derivadas laterales en x = 1.
¾Es f(x) derivable en x = 1?
3.3.3. Interpretación del signo y valor de la derivada
Para hacer estos ejercicios, deben recordar qué signi�ca la derivada. Es decir, cómo es que la
derivada mide el ritmo de cambio de una función. Los grá�cos se deben hacer con computadora.
Ejercicio 3.3.8. Consideren la función dada por la fórmula y(x) = 13x
3 + 12x
2− 6x+ 3 y calculen
la función derivada y′(x).
Gra�quen en un mismo sistema de ejes la función y su derivada. Observen:
CLASE 3.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 144
si donde la grá�ca de y(x) tiene recta tangente horizontal, encuentran que la grá�ca de y′(x)
corta al eje x.
si donde la función es creciente, encuentran que la grá�ca de la función derivada está por encima
del eje x.
Ahora miren dos puntos del eje x donde la función sea creciente. ¾Es cierto que donde la curva
es más empinada la función derivada toma un valor más grande?
Repitan la comparación con otro par de puntos.
Ejercicio 3.3.9. Consideren una función f(x) desconocida, cuya función derivada sea
f ′(x) = 6x2 − 1.
Mirando el grá�co de f ′(x), piensen las siguientes preguntas:
¾cuál es la pendiente de la recta tangente a la grá�ca en el punto (1, f(1))?
¾dónde es mayor el ritmo de crecimiento, en x = 1 o en x = 2?
La función desconocida era f(x) = 2x3 − x. Grafíquenla y revisen sus respuestas.
3.3.4. Recta tangente
Hemos visto (de�nición 3.1.14) que cuando una función es derivable en un punto x0 de su dominio,
se puede construir la recta tangente a la grá�ca de la función en el punto (x0, f(x0)).
Ejercicio 3.3.10. Hallar la ecuación de la recta tangente a la grá�ca de los siguientes funciones
en los puntos indicados. En cada caso gra�car y dar las coordenadas del punto de tangencia.
f(x) = x2 − 2x+ 1, en el punto de abcisa x0 = −1.
g(x) =
√
2x− 1, en el punto de abcisa x0 = 2 y en el punto de abcisa x0 = 3. Discutir la
existencia de recta tangente en x0 = 1/2.
h(x) = ln(2x), en el punto de abcisa x0 = 1.
k(x) = sen(x), en el punto de abcisa x0 = 0 y en el punto de abcisa x0 = π/2.
Un problema geométrico interesante es encontrar rectas tangentes a una grá�ca, que pasen por un
punto exterior a dicha grá�ca. Por ejemplo, tangentesa la parábola de ecuación y = x2 que pasen por
P = (1,−1).
Ejercicio 3.3.11.
(a) Gra�quen con cuidado la función f(x) = x2 y el punto P = (1,−1). Tracen dos rectas que
pasen por P y se vean tangentes a la parábola.
(b) Resuelvan analíticamente el problema planteado: encuentren las ecuaciones de las rectas y los
puntos de tangencia.
Ayuda: si llamamos x0 al punto de tangencia, buscamos una recta y = mx+ b que pase por (1,−1)
y por el punto (x0, f(x0)) y que además tenga la pendiente adecuada, es decir m = f ′(x0).
También sabemos escribir la pendiente a partir de los dos puntos de la recta: m =
f(x0)− (−1)
x0 − 1
(si x0 6= 1).
Igualando las expresiones para m podrán obtener el valor de x0 (en este caso obtendrán dos valores
diferentes).
Ejercicio 3.3.12. Para la misma parábola y = x2, encuentren la (o las) ecuación(es) de rectas
tangentes que pasen por el punto (−1,−1).
Repitan el trabajo para el punto (2, 0).
Resuelvan en forma grá�ca y analítica.
Ejercicio 3.3.13. ¾Existe alguna recta tangente a la parábola y = x2 que pase por (0, 1)? Resuel-
van en forma grá�ca y analítica.
CLASE 3.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 145
Ejercicio 3.3.14. Encuentren todas las rectas que sean paralelas a la recta y = 34x y tangentes a
la grá�ca de f(x) = x3. Resuelvan en forma grá�ca y analítica.
3.3.5. Recta normal
Dos rectas de pendiente m1 y m2 son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es −1,
m1.m2 = −1
Podemos aprovechar esta propiedad para encontrar rectas normales a la grá�ca de una función deri-
vable.
Si f(x) es derivable en un punto x0 de su dominio, y f ′(x0) 6= 0, se llama recta normal a la que
pasa por el punto (x0, f(x0)) de la grá�ca y tiene pendiente m = −1/f ′(x0), es decir es una recta
perpendicular a la recta tangente y pasa por el punto (x0, f(x0)). Para la función f(x) = x3 y x0 = 0.5
trabajando por ejemplo con GeoGebra se vería así:
Ejercicio 3.3.15. Encuentren la ecuación y gra�quen la recta normal a la grá�ca de f(x) =
3 sen(2x) en el punto de abcisa x0 = π.
Ejercicio 3.3.16. ¾Qué sucede con la recta normal cuando f ′(x0) = 0? Analicen f(x) = 3 sen(2x)
en el punto de abcisa x0 = π/4.
Ejercicio 3.3.17. Hallen la ecuación de las rectas indicadas en las siguientes situaciones, y gra�-
quen:
1. Encuentren las rectas tangentes horizontales a la curva y = x3 − 3x− 2. Determinen también
las ecuaciones de las rectas normales a la curva en los puntos de tangencia hallados.
2. Encuentren las rectas tangentes a la serpentina de Newton, de ecuación y = 4x/(x2 + 1), en el
origen y en (1, 2). Comprueben que la función es impar y construyan, sin repetir las cuentas,
la recta tangente en (−1,−2).
3. Encuentren la recta tangente a la grá�ca de y = sen x en el punto de abcisa x = π/4. Gra�quen
con computadora la función y la recta tangente para veri�car lo hallado. ¾Es cierto que la recta
corta a la grá�ca una sola vez?
4. Encuentren las ecuaciones de todas las rectas tangentes a la curva y = (x− 1) / (x+ 1) paralelas
a la recta x− 2y = 2.
Derivadas y tangentes en GeoGebra
Ahora que han trabajado bastante a mano, vamos a ver que GeoGebra es capaz de calcular derivadas
y rectas tangentes: el programa reconoce las funciones básicas, las operaciones entre ellas, y opera con
las mismas reglas que ya hemos aprendido.
CLASE 3.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 146
Uso de GeoGebra 3.3.1. Una vez que tenemos construida una función f(x), pedimos su función
derivada con la entrada
f'(x)
Verán que la función derivada aparece en la Vista Algebraica, con nombre f'(x), y gra�cada en
la Vista Grá�ca.
También podemos pedir el valor de la derivada en un punto dándole valores a x. Por ejemplo,
f'(2)
En este caso verán en la Vista Algebraica una variable numérica con el valor de la derivada; esta
variable se puede usar por su nombre en otras cuentas.
Actividad 3.3.2. Veri�quen con GeoGebra algunas de las derivadas calculadas en el ejercicio 3.3.2.
Observen las grá�cas de la función y de la función derivada (conviene que estén en distinto color),
relacionen el ritmo de crecimiento con el valor de la derivada.
Uso de GeoGebra 3.3.3. Procedimiento para generar la recta tangente a una función en un
punto de la grá�ca:
- una vez que tenemos construida una función f(x), ubicamos un punto sobre su grá�ca (con la
herramienta Punto en Objeto, o con Nuevo Punto)
- seleccionamos la herramienta Tangentes y seguimos las instrucciones: click en el punto y click en
la función.
Verán la ecuación de la recta tangente y su grá�ca. Pueden mover el punto y la recta tangente se
irá adaptando al punto que elijan.
Si corren el punto con el mouse podrán obtener su abcisa con la entrada x(A), donde A es el
nombre del punto.
Actividad 3.3.4. Veri�quen con GeoGebra algunas de las rectas tangentes calculadas en el ejercicio
3.3.10 (miren el grá�co y la ecuación de la recta tangente)
Comparen la pendiente (m) de la recta tangente con el valor (f ′(x0)) de la derivada en el punto
de tangencia.
Uso de GeoGebra 3.3.5. Se pueden generar rectas tangentes a una curva que pasen por un
punto exterior a ella. En la versión actual del programa esto sólo funciona para curvas con ecuaciones
cuadráticas: parábolas, circunferencias, elipses e hipérbolas (llamadas cónicas, como habrán visto en
Algebra).
El procedimiento es el siguiente:
- se construye la curva entrando su ecuación cartesiana. Por ejemplo,
y=x^2
- se ubica un punto fuera de la grá�ca (con la herramienta Nuevo Punto).
- seleccionamos la herramienta Tangentes y seguimos las instrucciones: click en el punto y click en
la grá�ca.
Verán la ecuación de la recta tangente y su grá�ca. Si la ecuación de la recta aparece en forma
general (Ax+By = C) pueden cambiarla a la forma explícita (y = mx+ b) eligiendo Propiedades ->
Algebra.
Como siempre, pueden mover el punto con el mouse; la(s) recta(s) tangente(s) se irá(n) adaptando
al punto que elijan.
Actividad 3.3.6. Veri�quen con GeoGebra las rectas tangentes calculadas en el ejercicio 3.3.11.
CLASE 3.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 147
Derivada en modelos aplicados. Interpretación y unidades.
En los modelos de situaciones reales las variables son magnitudes con unidades. La derivada de una
función con unidades va a heredar las unidades de las variables de la función, en forma de cociente; es
decir, tiene las mismas unidades que la razón de cambio.
Repasemos el ejemplo del comienzo de esta clase: describimos la altura del camino h en función
de la distancia horizontal recorrida l. La variable independiente representa una longitud, medida en
m y la variable dependiente representa una longitud, medida en cm. La derivada describe el ritmo de
cambio de la altura respecto de la distancia recorrida, y se la considera una nueva magnitud que mide
el cambio de altura "en unidades de" distancia recorrida. En este caso la nueva magnitud se llama
pendiente del camino y se mide en cm/m.
Veamos otros ejemplos:
El �ujo de corriente eléctrica a través de un axón mide la cantidad de carga eléctrica que circula
por unidad de tiempo. En un extremo del axón se podría medir la cantidad de carga Q recibida
en función del tiempo t transcurrido. La carga se mide en microCoulombs (µC) y el tiempo
en segundos. La corriente se de�ne como la derivada de la carga recibida respecto del tiempo,
I(t) =
dQ
dt
, y se mide en µC/s.
En la práctica es más sencillo medir directamente la corriente eléctrica que medir la carga
recibida, y se usan unidades apropiadas llamando microAmpere a µA = 1µC/s.
Este es un ejemplo interesante en que la derivada de una función es más representativa que la
función en sí misma.
En una reacción química un conjunto de sustancias A se transforma en un conjunto de sustan-
cias B, o viceversa. El proceso se simboliza en general como
A→ B
La cinética química describe la velocidad instantánea de reacción mediante la derivada vR =
−d[A]
dt
, donde [A] es la concentración molar de A medida en moles por litro, y depende del
tiempo. Si esta velocidad es positiva, la reacción está convirtiendo A en B; si fueranegativa,
se estaría convirtiendo B en A. La velocidad de reacción se expresa típicamente en mol/(l.s)
(moles por litro y por segundo). En muchos casos la concentración molar de cada sustancia
sigue una ley exponencial:
Para describir el movimiento de un objeto a lo largo de una recta se estudia su coordenada x
en función del tiempo t leído en un cronómetro, mediante una función x(t). La magnitud que
mide x es una longitud, y la que mide t es un tiempo. La derivada
dx
dt
es una nueva magnitud
que en este caso se llama velocidad, y se mide con unidades de longitud por unidad de tiempo.
Según las unidades que se usen para la posición y el tiempo, podemos obtener la velocidad en
m/s, km/h, m/min, millas/hora, etc. Todas estas expresiones son convertibles entre sí, porque
miden la misma magnitud.
CLASE 3.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 148
Ejercicio 3.3.18. Una piedra se lanza hacia arriba alcanzando una altura y que depende del
tiempo según la función cuadrática
y(t) = 2m+ 10
m
s
t− 5m
s2
t2
contando el tiempo con un cronómetro desde t = 0 s hasta que vuelve al piso (altura y = 0m).
Calculen su velocidad en función del tiempo.
¾Cuál es el signo de la velocidad cuando la piedra va subiendo? ¾Y cuando va bajando?
¾En qué intervalo de tiempo se desarrolla la subida?
¾En qué intervalo de tiempo se desarrolla la bajada?
Gra�quen la función y(t) y gra�quen el recorrido (siempre vertical) de la piedra.
CLASE 3.4. TEOREMA DE ROLLE. ESTUDIO DEL CRECIMIENTO. 149
Clase 3.4. Teorema de Rolle. Estudio del crecimiento.
Contenidos de la clase: Teorema de Rolle. Aplicación al crecimiento y decrecimiento de
funciones.
La derivada de una función y = f(x) nos permite apreciar su ritmo de cambio. Si la derivada existe
en un punto x = a y es positiva, la información más inmediata que obtenemos es que, cuando la
variable aumenta una cantidad in�nitesimal, el valor de la función crece en una cantidad in�nitesimal.
En cambio, si la derivada existe en un punto x = b y es negativa, sabemos que, cuando la variable
aumenta una cantidad in�nitesimal, el valor de la función decrece en una cantidad in�nitesimal.
Sin embargo, el valor de la derivada en un punto no alcanza para predecir hasta cuándo una función
se mantiene creciente o decreciente. El Teorema de Rolle (demostrado en 1691) es un resultado central
del Análisis Matemático que permite usar la derivada como herramienta para estudiar el crecimiento
de funciones en intervalos.
3.4.1. Crecimiento en intervalos
Ya mencionamos la noción de crecimiento y decrecimiento de una función en la Unidad 1. Anali-
cemos ahora la de�nición precisa:
Definición 3.4.1. Dada una función f : D → R y un intervalo I de números reales incluido en
el dominio D,
se dice que f es creciente en I cuando para todo par de números x1 y x2 de I se veri�ca
que si x1 < x2 entonces f(x1) ≤ f(x2).
se dice que f es decreciente en I cuando para todo par de números x1 y x2 de I se veri�ca
que si x1 < x2 entonces f(x1) ≥ f(x2).
Observación 3.4.2.
El intervalo I puede ser abierto, semiabierto o cerrado (estos casos incluyen también intervalos
no acotados, por ejemplo (1,+∞)).
En las de�niciones anteriores, cuando para todo par de puntos en cierto intervalo I se veri�ca
f(x1) < f(x2) se dice que la función es estrictamente creciente en I.
Similarmente, si se cumple que f(x1) > f(x2) se dice que la función es estrictamente decreciente
en dicho intervalo.
Ejemplo 3.4.3. Podemos ilustrar los dos casos en distintos intervalos del dominio de la función
derivable f(x) = 14x
2:
es estrictamente creciente en el intervalo [2, 3].
es estrictamente decreciente en el intervalo (−4,−2].
CLASE 3.4. TEOREMA DE ROLLE. ESTUDIO DEL CRECIMIENTO. 150
En cambio, en el intervalo [−1, 1] la función no es creciente, y tampoco es decreciente.
La función del ejemplo anterior es derivable, pero no siempre será así.
Ejemplo 3.4.4. Podemos ilustrar en este ejemplo el crecimiento de una función que no es
derivable en todo su dominio. Gra�quen
f(x) =

x+ 2, si x < 0
2, si 0 ≤ x < 1
x+ 1, si x ≥ 1
y veri�quen que es creciente en todo el eje real.
Observen también que f(x) es estrictamente creciente en (−∞, 0) y en (1,+∞).
3.4.2. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio
El Teorema de Rolle y su generalización inmediata, conocida como Teorema del Valor Medio, son la
llave para establecer condiciones para a�rmar si una función es creciente o decreciente en un intervalo.
Nos vamos a referir a funciones continuas en intervalos cerrados, que incluye la noción de continuidad
lateral en los extremos del intervalo. Asegúrense de recordar la de�nición 2.5.11.
Comencemos planteando la siguiente situación: imaginen la grá�ca de una función f(x) continua
en un intervalo cerrado [a, b], y derivable al menos en el intervalo abierto (a, b). Asuman además que
la función toma el mismo valor en los bordes del intervalo, es decir f(b) = f(a).
No hablamos de una función determinada: podría ser que la función crezca en algún tramo, pero
entonces deberá volver a decrecer; podría que decrezca en algún tramo, pero entonces deberá volver a
crecer; o podría ser simplemente una función constante. En todo caso el crecimiento neto de la función
en el intervalo [a, b] es nulo: la función termina en x = b a la misma altura que al comienzo, en x = a.
Si trazamos la recta que pasa por el punto inicial (a, f(a)) y el punto �nal (b, f(b)), encontramos que
es horizontal (su pendiente m =
f(b)− f(a)
b− a
es cero) .
Como la función es derivable en (a, b), existe la recta tangente en cada punto del intervalo abierto.
Puede ser que en algunos puntos la recta tangente tenga pendiente positiva, y que en otros puntos tenga
pendiente positiva. Y resulta intuitivo que, en algún punto intermedio, la recta tangente necesariamente
será horizontal. Es decir, debe existir un valor x = c tal que f ′(c) = 0.
Esto es lo que a�rma el
CLASE 3.4. TEOREMA DE ROLLE. ESTUDIO DEL CRECIMIENTO. 151
Teorema 3.4.5. (de Rolle).
Sea f(x) continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable al menos en el intervalo abierto (a, b).
Si f(b) = f(a), entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que f ′(c) = 0.
En el grá�co de arriba vemos dos puntos del intervalo (a, b), qua anotamos c y c′, donde las rectas
tangentes son horizontales.
El Teorema no dice dónde están estos puntos. Tampoco dice si hay uno o más. Sólo asegura que
existe al menos uno.
Ahora, consideremos una situación un poco más general: vuelvan a imaginar la grá�ca de una
función f(x) continua en un intervalo cerrado [a, b], y derivable al menos en el intervalo abierto (a, b),
esta vez con f(b) 6= f(a).
El crecimiento neto de la función no es nulo: la función termina en x = b a una altura distinta que
al comienzo, en x = a. La recta que secante que pasa por el punto inicial (a, f(a)) y el punto �nal
(b, f(b)) tiene pendiente m =
f(b)− f(a)
b− a
distinta de cero. Como sabemos, esta es la razón de cambio
de f(x) en el intervalo [a, b].
Como la función es derivable en (a, b), existen las rectas tangentes en cada punto del intervalo
abierto. Resulta intuitivo que, al menos en algún x = c intermedio, la recta tangente debe ser paralela
a la recta que pasa por el punto inicial y el punto �nal. Es decir, debe existir un valor x = c tal que
f ′(c) = m =
f(b)− f(a)
b− a
. Dicho de otro modo, la razón de cambio de f entre a y b resulta igual a la
derivada f ′(c).
Esta situación, con recta secante inclinada, generaliza el resultado del teorema de Rolle. Bajo las
mismas condiciones que el teorema anterior, se enuncia el
Teorema 3.4.6. (del Valor Medio).
Sea f(x) continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable al menos en el intervalo abierto (a, b).
Entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que f ′(c) = (f(b)− f(a))/(b− a).
En el grá�co de arriba vemos un punto del intervalo (a, b), que anotamos c, tal que la recta tangente
en (c, f(c)) (línea llena) tiene la misma pendiente que la recta secante que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b))
(línea punteada).
Nuevamente, el teorema no indica