Practica Recta y Optimización

Vista previa del material en texto

ANALISIS MATEMATICO I 
PRACTICA DE RECTA TANGENTE/NORMAL Y OPTIMIZACIÓN 
 
Recta Tangente trazada desde un Punto Exterior a la curva 
 
Dado un punto 𝑃(𝑥, 𝑦), el cual no pertenece a la función; y una función 𝑦 = 𝑓(𝑥). A modo de ejemplo 
 
 
Pudiendo igualar ambas expresiones con la finalidad de encontrar las coordenadas de los puntos de tangencia. 
EJERCICIO 14 
Determine las ecuaciones de las Rectas Tangentes que pasan por el punto 𝑃(1, −5) que son Tangentes a la 
función de ecuación 𝑦 = 𝑥2 − 2 
1° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 ∈ 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
𝑚 = 𝑓′(𝑃0) = 2𝑥 = 2𝑥0 (1) 
2° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑚) 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑃 𝑦 𝑃0 
𝑚 =
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
 → 𝑚 =
−5 − 𝑦0
1 − 𝑥0
 
3° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
2𝑥0 =
−5 − 𝑦0
1 − 𝑥0
 → 2𝑥0. (1 − 𝑥0) = −5 − 𝑦0 → 𝑦0 = 2𝑥0
2 − 2𝑥0 − 5 (2) 
4° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 
2𝑥0
2 − 2𝑥0 − 5 = 𝑥0
2 − 2 → 𝑥0
2 − 2𝑥0 − 3 = 0 {
𝑥1 = 3
𝑥2 = −1
 
5° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑛 (2) 
𝑦1 = 2𝑥1
2 − 2𝑥1 − 5 → 𝑦1 = 7 → 𝑃1(3, 7) 
𝑦2 = 2𝑥2
2 − 2𝑥2 − 5 → 𝑦2 = −1 → 𝑃2(−1, −1) 
 
Vamos a tomar un punto que pertenezca a la 
Función y además a la Recta al que llamamos 
P0, recordemos que la derivada de la Función 
en P0 es equivalente a decir Pendiente (m). 
𝑚 = 𝑓′(𝑃0) 
Por otro lado, la Pendiente (m) de la Recta 
que pasa por 2 dos puntos, P0 y P1, es: 
𝑚 =
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
 
6° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑛 (1) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 
𝑚1 = 2𝑥1 = 6 𝑚2 = 2𝑥2 = −2 
7° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎𝟏. (𝒙 − 𝒙𝟏) 
𝒚 − 𝟕 = 𝟔. (𝒙 − 𝟑) → 𝒚 = 𝟔𝒙 − 𝟏𝟏 
𝒚 − 𝒚𝟐 = 𝒎𝟐. (𝒙 − 𝒙𝟐) 
𝒚 + 𝟏 = −𝟐. (𝒙 + 𝟏) → 𝒚 = −𝟐𝒙 − 𝟑 
 
 
OPTIMIZACIÓN 
 
Prob. 1: Se inscribe un rectángulo en la elipse de ecuación 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1. Cuáles son las dimensiones del 
rectángulo de área máxima que puede inscribirse y cuál sería su área. 
 
 
Tengamos presente que el punto P al pertenecer a la elipse debe verificarla, para ello voy a despejar una de 
ellas: 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 → 𝑦 = √
𝑎2𝑏2 − 𝑏2𝑥2
𝑎2
 → 𝒚 =
𝒃
𝒂
√𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 (𝟐) 
Dados los datos, planteamos la gráfica de una elipse 
y un rectángulo inscripto en ella. Tomamos un punto 
P (x, y) perteneciente a la elipse y siendo además uno 
de los vértices del rectángulo. 
De acuerdo a esto podemos decir que el Área del 
rectángulo puede expresarse como: 
𝑨 = 𝟐𝒙. 𝟐𝒚 = 𝟒𝒙𝒚 (1) 
Esta es el Área que debe ser máxima 
P (x, y) 
x 
y 
Podemos reemplazar este valor en (1) 
𝑨 = 𝟒𝒙.
𝒃
𝒂
√𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 
De esta manera el Área quedo en función de una sola variable. Además, como tenemos un extremo 𝐴′ = 0 
𝐴′ = 4.
𝑏
𝑎
. (1. √𝑎2 − 𝑥2 + 𝑥.
1
2. √𝑎2 − 𝑥2
. −(2𝑥)) = 4.
𝑏
𝑎
. (
𝑎2 − 𝑥2 − 𝑥2
√𝑎2 − 𝑥2
) = 0 
Tenemos un producto que tiene como resultado el valor 0. 
𝑎2 − 𝑥2 − 𝑥2
√𝑎2 − 𝑥2
= 0 → 2𝑥2 = 𝑎2 → 𝒙 =
𝒂
√𝟐
 
Reemplazamos en (2) 
𝒚 =
𝒃
𝒂
√𝒂𝟐 − (
𝒂
√𝟐
)
𝟐
 → 𝒚 =
𝒃
√𝟐
 
Reemplazamos en (1) 
𝐴 = 4.
𝑎
√2
.
𝑏
√2
 → 𝑨 = 𝟐. 𝒂. 𝒃 
 
Prob. 2: Considere un circulo de radio r centrado en el origen. Se inscribe un rectángulo en ese circulo y se 
hace rotar ambas figuras alrededor del eje y. esta rotación genera una esfera y un cilindro: 
a. Encuentre el volumen del cilindro generado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Encuentre las dimensiones del cilindro de volumen máximo. 
 
Como vemos, si tomamos la diagonal del rectángulo generador del cilindro, esta vale 2R y si utilizamos 
Pitágoras: 
(2𝑅)2 = (2𝑥)2 + (2𝑦)2 si despejamos (x) 
 
𝑥2 =
4𝑅2 − 4𝑦2
4
 → 𝒙𝟐 = 𝑹𝟐 − 𝒚𝟐 (𝟏) 
 
Reemplazamos en el Volumen 
P (x, y) 
x 
y 
Tener presente que, para resolver un problema de 
optimización, debemos entender cuál es la 
función a optimizar, en nuestro caso el Volumen. 
Vamos a tomar un punto que pertenezca a la 
esfera y al cilindro; a partir de esta hipótesis 
podemos decir que: 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝝅. 𝒙𝟐. 𝟐𝒚 = 𝟐. 𝝅. 𝒙𝟐. 𝒚 
Pero depende de 2 variables. 
R 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝟐. 𝝅. (𝑹𝟐 − 𝒚𝟐). 𝒚 → 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝟐𝝅𝑹𝟐𝒚 − 𝟐𝝅𝒚𝟑 
 
Derivamos el Volumen e igualamos a 0, puesto que allí tenemos un extremo. 
 
𝑽′ = 𝟐𝝅𝑹𝟐 − 𝟔𝝅𝒚𝟐 = 𝟎 
 
𝟐𝝅. (𝑹𝟐 − 𝟑𝒚𝟐) = 𝟎 → 𝒚 =
𝑹
√𝟑
 
 
Reemplazar en (1) para encontrar el valor de (x): 
 
𝒙𝟐 = 𝑹𝟐 −
𝑹
𝟑
𝟐
 → 𝒙 = √
𝟐
𝟑
. 𝑹 
 
 
c. Qué relación hay entre los volúmenes. 
 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝑬𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝑪𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐
=
𝟒
𝟑 . 𝝅. 𝑹
𝟑
𝟒
𝟑. √𝟑
. 𝝅. 𝑹𝟑
=
𝟏
𝟏
√𝟑
 
 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝑬𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = √𝟑. 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝑪𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐