-PIA-Mecanica-Materiales

Vista previa del material en texto

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de 
Estudios Superiores Plantel Aragón 
 
INGENIERIA INDUSTRIAL 
 
 
CLASE “ mecánica de materiales” 
 
 
 
trabajo 
 
 
 
 
GRUPO:2804 
 
 
 
NOMBRE DE LA PROFESORA: MARTHA BERENICE FUENTES 
FLORES 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
 
 
 
 FECHA DE ENTREGA: 13 DE FEBRERO DEL 2023 
 
 
 
 
 
 
 
INDICE 
 
 
CONCEPTOS ............................................................................................................................. 1 
• Conceptos Básicos .................................................................................................... 1 
• Mecánica de Materiales. ............................................................................................... 1 
• Resistencia de Materiales. ............................................................................................ 1 
• Fuerza. ........................................................................................................................... 1 
• Área. .............................................................................................................................. 2 
• Esfuerzo. ........................................................................................................................ 2 
• Momento....................................................................................................................... 2 
• Ecuaciones de equilibrio ............................................................................................... 3 
• Fuerzas Internas ........................................................................................................ 3 
• Fuerza axial .................................................................................................................... 3 
• Fuerza Cortante ............................................................................................................. 4 
• Momento de flexión ...................................................................................................... 4 
• Deformación Simple ................................................................................................. 4 
• Zonas de la gráfica de esfuerzo vs deformación ........................................................... 5 
• Modulo elástico ............................................................................................................. 6 
• Ley de Hooke ................................................................................................................. 7 
• Tipos de Cargas .......................................................................................................... 7 
• Carga máxima ................................................................................................................ 7 
• Factor de seguridad ....................................................................................................... 8 
• Carga permisible ............................................................................................................ 8 
• Vigas ................................................................................................................................ 9 
• Carga puntual o concentrada. ....................................................................................... 9 
• Carga distribuida ........................................................................................................... 9 
• Clasificación de vigas. .................................................................................................. 10 
• Vigas estáticamente determinadas. ............................................................................ 10 
• Viga simplemente apoyada ......................................................................................... 11 
• Viga con un tramo en voladizo .................................................................................... 11 
• Viga en voladizo .......................................................................................................... 12 
• Vigas estáticamente indeterminadas. ......................................................................... 12 
• Viga continua ............................................................................................................... 13 
• Viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro extremo .................................. 13 
• Viga empotrada ........................................................................................................... 14 
• Diagrama de Fuerzas Cortantes y Momentos Flexionantes........................................ 15 
 
• Curva elástica .............................................................................................................. 16 
• Perfil de Viga ............................................................................................................... 18 
• Perfil compuesto de viga. ............................................................................................ 18 
• Perfil común de viga .................................................................................................... 19 
• Centroide ..................................................................................................................... 19 
• Momento de Inercia de Área ...................................................................................... 21 
• Eje Neutro ................................................................................................................... 22 
• Teorema de los ejes paralelos ..................................................................................... 22 
OBJETIVO: ............................................................................................................................. 23 
REALIZACIÓN DEL PROBLEMA..................................................................................... 26 
• Análisis de Cargas ................................................................................................... 26 
• Análisis de Perfil de la Viga ................................................................................ 33 
• Esfuerzos de Tensión y Compresión debido a la flexión de la viga .. 37 
INDICE DE FIGURAS ...................................................................................................... 38 
 
 
 
 
 
 
 
1 
CONCEPTOS 
 
• Conceptos Básicos 
 
• Mecánica de Materiales. 
 
La Mecánica de Materiales es una rama de la mecánica 
aplicada que trata del comportamiento de los cuerpos 
sólidos sometidos a varios tipos de carga. La Mecánica 
de materiales involucra métodos analíticos para 
determinar la resistencia, la rigidez (características de 
deformación), y la estabilidad de varios miembros en un 
sistema estructural 
 
Fuente: 
INGENIERIA Y DOCENCIA. Mecánica de materiales 
https://ingenieriaydocencia.wordpress.com/resistencia-de-materiales/ 
 
• Resistencia de Materiales. 
 
Entendemos como Resistencia de Materiales la parte de 
la Mecánica que estudia el comportamiento de los 
sólidos sometidos a cargas exteriores. La Resistencia de 
Materiales, más concretamente, estudia y establece las 
relaciones entre las cargas exteriores aplicadas, sus 
efectos en el interior de los sólidos y las deformaciones 
que en ellos se producen. 
Fuente: 
RESISTENCIA DE MATERIALES. 
https://ibiguridp3.wordpress.com/res/ 
 
• Fuerza. 
 
La fuerza es una magnitud vectorial que representa toda 
causa capaz de modificar el estado de movimiento o de 
reposo de un cuerpo o de producir una deformación en 
él. Su unidad en el Sistema Internacional es el Newton 
(N). Un Newton es la fuerza que al aplicarse sobre una 
masa de 1 Kg le provoca una aceleración de 1 m/s2. 
https://www.fisicalab.com/apartado/aceleracion
 
 
2 
Fuente: 
FISICALAB. Las fuerzas. 
https://www.fisicalab.com/apartado/las-fuerzas#contenidos• Área. 
 
Un área es la extensión que podría presentar 
una figura geométrica y la que debe ser medida. Es 
posible saber cuánto mide una superficie mediante una 
serie de fórmulas. 
 
Fuente: 
CONCEPTO DEFINCION DE. Que es Área. 
http://conceptodefinicion.de/area/ 
 
 
• Esfuerzo. 
El esfuerzo es una fuerza que 
actúa sobre el área unitaria en 
la que se aplica, existen 
esfuerzos de tensión, flexión, 
compresión y cortantes. 
 
Fuente: 
CONCEPTO DEFINCION DE. Que es Esfuerzo. 
http://conceptodefinicion.de/efuerzo/ 
 
• Momento 
La propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al 
cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos 
torque o momento de la fuerza. 
Entonces, se 
llama torque o momento de 
una fuerza a la capacidad de 
dicha fuerza para producir un 
giro o rotación alrededor de 
un punto. 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
Fig. 1 Esfuerzo 
Fig. 2 Llave generando un Momento 
http://conceptodefinicion.de/figura/
http://conceptodefinicion.de/saber/
 
 
3 
• Ecuaciones de equilibrio 
Estas ecuaciones se resuelven para determinar las 
fuerzas desconocidas, de las que pueden calcularse los 
esfuerzos y deformaciones requeridas. 
 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
• Fuerzas Internas 
Estas fuerzas internas serán la resultante de esfuerzos 
distribuidos en la sección trasversal 
(tensiones) y se introducen para 
caracterizar la ley de distribución de 
las fuerzas internas en la sección 
transversal, como una medida de la 
intensidad de las fuerzas internas. 
Fuente: 
EcuRed. Resistencia de materiales. 
https://www.ecured.cu/Resistencia_de_materiales 
 
• Fuerza axial 
Esta fuerza actúa 
perpendicularmente al 
área. Se desarrolla 
siempre que las cargas 
externas tienden a 
empujar o jalar sobre 
los dos segmentos del 
cuerpo. 
Fuente: 
mecánica de materiales. 
 http://carolupegg.blogspot.mx/ 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3 Fuerzas internas 
Fig. 4 Fuerza Normal 
 
 
4 
• Fuerza Cortante 
Se encuentra en el plano del área y se desarrolla cuando 
las cargas externas tienden a ocasionar que los dos 
segmentos del cuerpo se deslicen uno sobre el otro. 
 
 
 
 
 
 
Fuente: 
mecánica de materiales. 
 http://carolupegg.blogspot.mx/ 
 
• Momento de flexión 
Se denomina momento flector(o también "flexor"), o 
momento de flexión, a un momento de 
fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre 
una sección transversal de un prisma 
mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al 
eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión. 
Es una solicitación típica 
en vigas y pilares y también 
en losas ya que todos estos 
elementos suelen deformarse 
predominantemente por flexión. 
Fuente: 
Momento Flexión. 
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flector 
 
 
• Deformación Simple 
 
Se puede definir como la relación existente entre la 
deformación total y la longitud inicial del elemento, la 
cual permitirá determinar la deformación del elemento 
sometido a esfuerzos de tensión o compresión axial. 
Fig. 5 Figura con esfuerzo cortante aplicado 
Fig. 6 Flexión en una viga 
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_resultante
https://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nico
https://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nico
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_placas_y_l%C3%A1minas
https://es.wikipedia.org/wiki/Viga
https://es.wikipedia.org/wiki/Pilar
https://es.wikipedia.org/wiki/Placas_y_l%C3%A1minas
https://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_(ingenier%C3%ADa)
 
 
5 
Fuente: 
mecánica de materiales. 
 http://carolupegg.blogspot.mx/ 
 
• Zonas de la gráfica de esfuerzo vs deformación 
 
a) Límite de proporcionalidad: 
Se observa que va desde el origen O hasta el punto 
llamado límite de proporcionalidad, es un segmento de 
recta rectilíneo, de donde se deduce la tan conocida 
relación de proporcionalidad entre la tensión y la 
deformación enunciada en el año 1678 por Robert 
Hooke. Cabe resaltar que, más allá la deformación deja 
de ser proporcional a la tensión. 
b) Limite de elasticidad o limite elástico: 
Es la tensión más allá del cual el material no recupera 
totalmente su forma original al ser descargado, sino que 
queda con una deformación residual llamada de 
formación permanente. 
c) Punto de fluencia: 
Es aquel donde en el aparece un considerable 
alargamiento o fluencia del material sin el 
Fig. 7 Zonas de la gráfica de esfuerzo vs deformación 
 
 
6 
correspondiente aumento de carga que, incluso, puede 
disminuir mientras dura la fluencia. Sin embargo, el 
fenómeno de la fluencia es característico del acero al 
carbono, mientras que hay otros tipos de aceros, 
aleaciones y otros metales y materiales diversos, en los 
que no manifiesta. 
d) Esfuerzo máximo: 
Es la máxima ordenada en la curva esfuerzo-
deformación. 
e) Esfuerzo de Rotura: 
Verdadero esfuerzo generado en un material durante la 
rotura. 
Fuente: 
Diagrama esfuerzo deformación. 
http://mecatronica4b.blogspot.mx/2011/11/diagrama-esfuerzo-deformacion-
unitaria.html 
 
• Modulo elástico 
El módulo de elasticidad (E), también llamado módulo 
de Young, es un parámetro característico de cada 
material que indica la relación existente (en la zona de 
comportamiento elástico de dicho material) entre los 
incrementos de tensión aplicados (ds) en el ensayo de 
tracción y los incrementos de deformación longitudinal 
unitaria (de) producidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8 Grafica de esfuerzo vs 
deformación (E= Modulo de Young) 
http://www.mecapedia.uji.es/tension.htm
http://www.mecapedia.uji.es/ensayo_de_traccion.htm
http://www.mecapedia.uji.es/ensayo_de_traccion.htm
http://www.mecapedia.uji.es/deformacion_longitudinal_unitaria.htm
http://www.mecapedia.uji.es/deformacion_longitudinal_unitaria.htm
 
 
7 
 
Fuente: 
Diagrama esfuerzo deformación. 
http://mecatronica4b.blogspot.mx/2011/11/diagrama-esfuerzo-deformacion-
unitaria.html 
• Ley de Hooke 
La ley de Hooke establece que en un material elástico 
sometido a una única fuerza en una dirección, 
la deformación longitudinal unitaria (ε) en dicha 
dirección es proporcional a la tensión aplicada (σ) 
resultante de dicha fuerza: 
 
El coeficiente de proporcionalidad es el módulo de 
elasticidad del material. 
 La ley de Hooke debe su nombre a Robert Hooke que 
observó la proporcionalidad entre la fuerza F aplicada 
sobre un cuerpo elástico y su deformación DL, dando 
origen al desarrollo de los resortes helicoidales: 
 
Fuente: 
Diagrama esfuerzo deformación. 
http://www.mecapedia.uji.es/ley_de_Hooke.htm 
 
• Tipos de Cargas 
 
• Carga máxima 
 
Carga que causa la fractura en un ensayo 
de tracción, compresión, flexión o torsión. En los 
ensayos de tracción de materiales de láminas finas o de 
materiales en forma de alambre de pequeño diámetro es 
difícil distinguir entre la carga de rotura y la carga 
máxima desarrollada, por tanto, esta última es la que se 
considera carga de rotura. 
 
Fuente: 
Carga Máxima. 
http://www.construmatica.com/construpedia/Carga_de_Rotura 
 
http://www.mecapedia.uji.es/deformacion_longitudinal_unitaria.htm
http://www.mecapedia.uji.es/tension.htm
http://www.mecapedia.uji.es/modulo_de_elasticidad.htm
http://www.mecapedia.uji.es/modulo_de_elasticidad.htm
http://www.mecapedia.uji.es/resorte.htm
http://www.construmatica.com/construpedia/Tracci%C3%B3n
http://www.construmatica.com/construpedia/Compresi%C3%B3n
http://www.construmatica.com/construpedia/Flexi%C3%B3n
http://www.construmatica.com/construpedia/Torsi%C3%B3n
 
 
8 
• Factor de seguridad 
Si se tiene que evitar una falla estructural, las cargas 
que una estructura es capaz de soportar deben ser 
mayores que las cargas a lasque se va a someter 
cuando este en servicio. Como la Resistencia es la 
capacidad de una estructura para resistir cargas, el 
criterio anterior se puede replantear como sigue: 
la resistencia real de una estructura debe ser mayor que 
la resistencia requerida. La relación de la resistencia 
real entre la resistencia requerida se llama 
factor de seguridad. 
 
 
 
Fuente: 
Factor de Seguridad y Esfuerzo admisible. 
https://www.academia.edu/23012894/FACTOR_DE_SEGURIDAD_Y_ESFUERZO_DE_DI
SE%C3%91O_PERMISIBLE_ESFUERZO_DE_TRABAJO 
 
• Carga permisible 
La carga admisible (llamada también carga permisible o 
carga segura) es igual al esfuerzo admisible por el área 
sobre la que actúa. 
Para barras de tensión y comprensión directas (sin 
pandeo), esta ecuación se transforma en 
Siendo el esfuerzo normal admisible y A la sección 
transversal de la barra. Sila barra tiene un orificio que 
la atraviese, el área neta se usa en el caso normal, 
cuando la barra está en tensión. El área neta es el área 
transversal bruta o total, menos el área eliminada por el 
orificio. Para la comprensión se puede usar el área bruta 
si el orificio se ocupa con un tornillo o pasador que 
pueda transmitir los esfuerzos de comprensión. 
Fuente: 
Factor de Seguridad y Esfuerzo admisible. 
https://www.academia.edu/23012894/FACTOR_DE_SEGURIDAD_Y_ESFUERZO_DE_DI
SE%C3%91O_PERMISIBLE_ESFUERZO_DE_TRABAJO 
 
 
 
 
 
9 
• Vigas 
 
Una viga es una serie de miembros estructurales que se 
extienden desde el borde 
hasta el perímetro, 
diseñada para soportar 
la cubierta del techo o el 
tipo de carga, asociados 
con los elementos que 
componen el techo de un 
edificio. 
 
Fuente: 
ARQUITECTURA ¿Qué es viga? 
http://www.arqhys.com/construccion/quees-
viga.html 
 
 
• Carga puntual o concentrada. 
 
La carga transversal de una viga 
puede consistir en cargas 
concentradas P1, P2,..., 
expresadas en newtons, libras o 
sus múltiplos, kilonewtons y kips 
(figura 10) 
 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
 
• Carga distribuida 
w, expresada en N/m, kN/m, lb/ft o 
kips/ft (figura 11), o una 
combinación de ambas. Cuando la 
carga w por unidad de longitud 
tiene un valor constante a lo largo 
de parte de la viga (como entre A y 
Fig. 9 Ejemplo de Viga 
Fig. 10 Ejemplo de cargas 
concentradas 
Fig. 11 Ejemplo de una carga distribuida 
 
 
10 
B en la figura 11), se dice que la carga está 
uniformemente distribuida en dicha parte de la viga. 
 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
 
 
• Clasificación de vigas. 
 
Las vigas se clasifican de acuerdo con la manera en la 
que se encuentran apoyadas. Varios tipos de vigas 
utilizadas con frecuencia se presentan en la figura 12. 
 
 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
 
 
 
 
 
• Vigas estáticamente determinadas. 
Note que las reacciones en los soportes de las vigas en 
las partes a, b y c de la figura 13 involucran un total de 
sólo tres incógnitas y, por lo tanto, pueden determinarse 
empleando métodos estáticos. Tales vigas se conocen 
como estáticamente determinadas 
Fig. 12 Clasificación de Vigas 
 
 
11 
 
 
 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
 
 
• Viga simplemente apoyada 
Viga que esta soportada por apoyos simples en los 
extremos y que permiten el libre movimiento de 
dilatación y flexión. 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
 
 
• Viga con un tramo en voladizo 
Viga apoyada con un extremo en voladizo, que permite 
reducir el momento positivo en el centro del tramo, 
mientras que en el extremo se desarrolla un momento 
negativo. 
 
 
 
 
Fig. 13 Vigas estáticamente determinadas 
Fig. 14 Viga simplemente 
apoyada 
 
 
12 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
 
• Viga en voladizo 
Viga en la que uno de sus extremos se encuentra 
empotrado mientras que el otro se encuentra libre o en 
voladizo. 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill 
 
• Vigas estáticamente indeterminadas. 
Las propiedades de las vigas con respecto a su 
resistencia a las deformaciones deben tomarse en 
cuenta. Tales vigas se denominan estáticamente 
indeterminadas 
Fig. 17 Vigas estáticamente indeterminadas 
Fig. 15 Viga con un tramo en voladizo 
Fig. 16 Viga en voladizo 
 
 
13 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
 
• Viga continua 
Viga soportada por dos o más apoyos para lograr una 
mayor rigidez, de modo que se puede calcular el efecto 
que una carga tendría sobre vigas individuales de 
iguales luces. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill 
 
• Viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro 
extremo 
Las vigas apoyadas en un extremo y empotradas en el 
otro son vigas hiperestáticas, ya que con las ecuaciones 
de equilibrio no se pueden determinar las reacciones en 
los enlaces, siendo 3 el número de incógnitas, dos en el 
empotramiento y una en el apoyo. Se trata de un 
sistema hiperestático de primer grado (3 incógnitas- 2 
ecuaciones de equilibrio=1er grado). 
 
 
 
 
 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill 
 
 
Fig. 18 Viga continua 
Fig. 19 Viga empotrada en un 
extremo y simplemente apoyada 
en el otro extremo 
 
 
14 
• Viga empotrada 
Las vigas empotradas son vigas hiperestáticas, de 4 
incógnitas, dos en cada empotramiento. Por tanto, es un 
sistema hiperestático de segundo grado, son cuatro 
incógnitas y dos ecuaciones de equilibrio. Por tratarse 
de estructuras hiperestáticas, además de utilizar las 
ecuaciones de equilibrio, se han de considerar las 
ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones. Los 
métodos para calcular las vigas empotradas también 
son los mismos que en las vigas articuladas y 
empotradas. El formulario se ha realizado aplicando el 
método basado en los teoremas de Mohr, y el método de 
superposición 
 
 
 
 
 
 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
 
 
 
• Claro. 
La distancia L mostrada en distintas 
partes de la figura 15 se denomina el 
claro. 
 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
 
 
 
 
Fig. 21 Claro de la Viga 
Fig. 20 Viga empotrada 
 
 
15 
• Diagrama de Fuerzas Cortantes y Momentos 
Flexionantes 
Primero se obtienen las reacciones en los soportes a 
partir del diagrama de cuerpo libre de la viga entera 
(figura 22); se encuentra que la magnitud de cada 
reacción es igual a P/2. 
 
A continuación, se corta la viga en un punto D entre A y 
C y se dibujan los diagramas de cuerpo libre de AD y de 
DB (figura 23). Suponiendo que el corte y el momento 
flector son positivos, se dirigen las fuerzas internas V y 
Vy los pares internos M y M´ como se indica en la figura 
22. Considerando el cuerpo libre AD y escribiendo que 
la suma de las componentes verticales y que la suma de 
momentos alrededor de D de las fuerzas que actúan 
sobre el cuerpo libre son cero, se encuentra que V 
=+P/2 y que M=+Px/2. Tanto el cortante como el 
momento flector son, por lo tanto, positivos. Esto puede 
verificarse observando que la reacción en A tiende a 
cortar y a flexionar la viga en D como se indica en las 
figuras 23 y c. Ahora se grafican V y M entre A y C 
(figuras 25 y e); el cortante tiene un valor constante V = 
P/2 mientras que el momento flector aumenta 
linealmente desde M = 0 en x = 0 hasta M = PL/4 en x = 
L/2.Fig. 22 Reacciones de la viga 
Fig. 23 Viga cortada 
 
 
16 
 
Cortando ahora la viga en el punto E entre C y B y 
considerando el diagrama de cuerpo libre EB (figura 
5.9c) se escribe que la suma de los componentes 
verticales y la suma de los momentos con respecto a E 
actuando en el cuerpo libre son cero. Se obtiene V =- 
P/2 y M= P(L - x)/2. El cortante es, por lo tanto, 
negativo y el momento flector, positivo. Esto puede 
verificarse observando que la reacción en B flexiona a la 
viga en E como se indica en la figura 24 pero que tiende 
a cortarla en una manera opuesta a la mostrada en la 
figura 23. Ahora es posible completar los diagramas de 
cortante y de momento flector de las figuras 25 y e; el 
corte tiene un valor constante V =- P/2 entre C y B, 
mientras que el momento flector disminuye linealmente 
desde M = PL/4 en x = L/2 hasta M = 0 en x = L. 
 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
• Curva elástica 
La curva elástica es la deformada por flexión del eje 
longitudinal de una viga recta, la cual se debe a la 
aplicación de cargas transversales en el plano x, y sobre 
la viga. 
La curva de corte es, por tanto, una recta oblicua que 
cruza el eje x en x =L/2 (figura 25). Considerando, 
ahora, el momento flector, primero se observa que MA = 
Fig. 24 Diagramas de fuerzas cortantes y de 
momentos 
https://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Eje_longitudinal
https://es.wikipedia.org/wiki/Eje_longitudinal
https://es.wikipedia.org/wiki/Viga
 
 
17 
0. El valor M del momento flector a cualquier distancia x 
desde A puede obtenerse de la ecuación, se tiene la 
curva del momento flector es una parábola. El máximo 
valor del momento flector que ocurre cuando x =L/2, ya 
que V (y por tanto dM/dx) es cero para tal valor de x. 
Sustituyendo x =L/2 en la última ecuación, se obtiene 
Mmáx = wL2/8 
 
En la mayoría de las aplicaciones ingenieriles, se 
necesita saber el valor del momento flector sólo en unos 
cuantos puntos específicos. Una vez que se ha dibujado 
el diagrama de cortante, y después de que ha sido 
determinando M en uno de los extremos de la viga, el 
valor del momento flector puede obtenerse en cualquier 
punto dado calculando el área bajo la curva de cortante 
y utilizando la ecuación. 
 
Fuente: 
Beer, F., & Johnston, E. (1981). 
Mechanics of materials. 
New York: McGraw-Hill. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 25 Diagrama de fuerzas cortantes y 
diagrama de momentos de fuerza 
 
 
18 
• Perfil de Viga 
Los perfiles estructurales o vigas son un tipo de 
productos que se crean por laminación en caliente de 
acero. El tipo del perfil que vaya a tener la viga de acero, 
así como sus cualidades, son determinantes a la hora de 
elegirlos para su aplicación y uso en la ingeniería y la 
arquitectura. Entre sus propiedades clave destacan su 
forma o perfil, su peso, 
sus particularidades y 
la composición química 
del material con que 
está hecho y su 
longitud. 
 
Fuente: 
Perfiles de Viga. 
http://ferroslapobla.com/tipos-de-perfiles-estructurales-o-vigas/ 
 
 
• Perfil compuesto de viga. 
Los perfiles estructurales de hierro son perfectos cuando 
se va a generar una tensión alta debida a grandes 
cargas y, por tanto, se necesita un material con rigidez 
en su capacidad de carga, pero, a su vez, con cierta 
flexibilidad. Se utilizan no solo en vigas, también en 
pilares, paneles prefabricados y forjados 
 
 
Fig. 26 Ejemplo de perfiles de vigas 
 
 
19 
 
Perfiles de Viga. Fuente: 
http://ferroslapobla.com/tipos-de-perfiles-estructurales-o-vigas/ 
 
• Perfil común de viga 
En estas vigas su perfil se conforma solamente de una 
figa geometríca ya sea cuadrado, circular, triangular o 
inclusive la mitad de dichas figuras para su uso 
requerido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuente: 
Perfiles de Viga. 
http://ferroslapobla.com/tipos-de-perfiles-estructurales-o-vigas/ 
 
• Centroide 
El Centroide es una palabra que pertenece a la familia 
centro. En la mecánica racional es la coordenada de un 
punto que pertenece a una figura. Al igual que el centro, 
el centroide tiene coordenadas de acuerdo con la 
posición que ocupe en el espacio. Existen centroides de 
línea, de área y de volumen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 27 Perfiles de Viga 
Compuesto 
Fig. 28 Perfiles de viga común 
 
 
20 
 FIGURA CARACTERÍSTICAS 
 
 
 
Área = 1/2 b*h 
 
Coordenadas centroidales a partir del 
ángulo 90º 
 
X = b/3 
 
Y = h/3 
 
 
 
 
 
 
Área = b*h 
 
 
Coordenadas centroidales a partir del 
ángulo 90º 
 
 
X = b/2 
 
 
Y = b/2 
 
 
 
Área = PI*R2 
 
Coordenadas centroidales 
 
X = R 
 
Y = R 
 
 
 
Área = (1/2) * PI*R2 
 
Coordenadas Centroidales 
 
X = R 
 
Y = (4/3)*(R/PI) 
 
Área = (1/4) * PI*R2 
 
Coordenadas Centroidales a partir del ángulo 90º 
 
X = (4/3)*(R/PI) 
 
Y = (4/3)*(R/PI) 
http://4.bp.blogspot.com/-xU5iwsW9piQ/VGtLVoDLs4I/AAAAAAAAAQs/DOI7-eptrUI/s1600/centroide%2Bde%2Brectangulo.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-G3bxVFi1U9I/VGtK3ORV_aI/AAAAAAAAAQk/U6GUZn5WDY8/s1600/centroide%2Bde%2Btriangulo.jpg
http://1.bp.blogspot.com/-CIJ2M3m_saU/VGtLqLi_GkI/AAAAAAAAAQ0/YYlbxpXikHo/s1600/centroide%2Bde%2Bcirculo.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-vQyRxaT9CE0/VGtL4_wK8eI/AAAAAAAAAQ8/O8Y-7uTFhvY/s1600/centroide%2Bmedio%2Bcirculo.jpg
 
 
21 
 
Fig. 29 Tabla de figuras geométricas comunes con su centroide 
 
Fuente: 
Centroide. 
http://larryherreracentroide.blogspot.mx/ 
• Momento de Inercia de Área 
El Momento de Inercia también denominado Segundo 
Momento de Área; Segundo Momento de Inercia o 
Momento de Inercia de Área, es una propiedad 
geométrica de la sección transversal de los elementos 
estructurales. 
Tomando en cuenta, un 
cuerpo alrededor de un eje, 
el momento de inercia, es la 
suma de los productos que 
se obtiene de multiplicar 
cada elemento de la masa 
por el cuadrado de su 
distancia al eje. El momento 
de inercia refleja la 
distribución de masa de un 
cuerpo o de un sistema de 
partículas en rotación, 
respecto a un eje de giro El 
momento de inercia 
desempeña un papel 
análogo al de la masa 
inercial en el caso del 
movimiento rectilíneo y 
uniforme. Es el valor 
escalar del momento 
angular longitudinal de un 
Fig. 30 Tabla de Momentos de Inercia en 
diferentes perfiles 
http://4.bp.blogspot.com/-T0nybKEeF7s/VGtMKMVllkI/AAAAAAAAARE/o5ew2x6Carw/s1600/centroide%2Bcuarto%2Bde%2Bcirculo.jpg
 
 
22 
sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo 
depende de su forma (más bien de la distribución de su 
masa), y de la posición del eje de rotación. Aun para un 
mismo cuerpo, el momento de inercia puede ser distinto, 
si se considera ejes de rotación ubicados en distintas 
partes del cuerpo. Un mismo objeto puede tener 
distintos momentos de inercia,dependiendo de dónde se 
considere el eje de rotación. Mientras más masa está 
más alejada del eje de rotación, mayor esel momento de 
inercia. El momento de inercia tiene unidades de 
longitud al cuadrado. Ejemplo: cm4 , m4 , pulg4. 
 
Fuente: 
Momento de Inercia. 
http://larryherreracentroide.blogspot.mx/ 
 
 
• Eje Neutro 
Es la línea horizontal (eje x) que pasa por el centroide de 
alguna figura geométrica o figura compuesta. 
 
Fig. 31 Eje neutro de una viga con perfil cuadrado 
Fuente: 
Momento de Inercia. 
http://larryherreracentroide.blogspot.mx/ 
 
 
 
• Teorema de los ejes paralelos 
 
 
23 
El Teorema de Steiner nos va a permitir calcular 
momentos/productos de inercia con respecto a unos 
ejes a partir de los momentos/productos de inercia 
respecto a los ejes que pasan por el centro geométrico. 
Si se conoce el momento de inercia de una superficie 
respecto de un eje que pasa por el centro geométrico de 
la figura, , se puede hallar el momento de inercia 
respecto a otro eje que sea paralelo al anterior, , 
sumando al primermomento de inercia el producto de 
la superficie, , por el cuadrado de la distancia existente 
entre los dos ejes, . 
Es decir que para los momentos y producto con respecto 
a los ejes e tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO: 
 
Fig. 32 Representación gráfica de Teorema de Steiner 
 
 
24 
En el presente PIA de la correspondida clase de 
Mecánica de Materiales, se presentará el siguiente 
problema a analizar el cual trata de una viga con una 
carga distribuida que cuenta con las siguientes 
características: 
Como observamos en la figura a analizar, la viga es una 
viga con un tramo en voladizo, la cual cuenta con un 
claro de 8 m, presenta una reacción de apoyo a 0m y 
otra segunda reacción de apoyo a 6m la cuales 
deberemos de obtener para el sistema de ecuaciones de 
equilibrio. También cuenta con una carga distribuida de 
400 N/m ubicada 1m después del inicio de la viga 
midiendo esta carga distribuida es de 3m. Al final de la 
viga cuenta con una carga puntual de 600 N ubicado a 
8m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta misma viga también se analizará su perfil, el cual 
es un perfil compuesto formado de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 33 Viga propuesta a analizar 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este perfil 
observamos 
es un perfil compuesto, de manera que se observan dos 
rectángulos, el objetivo también será obtener su 
centroide realizando las operaciones debidas y también 
su momento de Inercia 
generado en el eje neutro de la viga. 
 
Por último se obtendrán los diferentes esfuerzos de 
compresión y tensión debido a la flexión de la viga 
mediante sus respectivas formulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 34 Perfil de viga a analizar 
 
 
26 
REALIZACIÓN DEL PROBLEMA 
 
• Análisis de Cargas 
 
Primeramente, retomamos los datos principales de la 
viga los cuales son: en la figura a analizar, la viga es 
una viga con un tramo en voladizo, la cual cuenta con 
un claro de 8 m, presenta una reacción de apoyo a 0m y 
otra segunda reacción de apoyo a 6m la cuales 
deberemos de obtener para el sistema de ecuaciones de 
equilibrio. También cuenta con una carga distribuida de 
400 N/m ubicada 1m después del inicio de la viga 
midiendo esta carga distribuida es de 3m. Al final de la 
viga cuenta con una carga puntual de 600 N ubicado a 
8m. 
 
Teniendo los datos 
importantes de la viga 
procedemos a obtener su 
sistema de ecuaciones de 
equilibrio en el cual 
obtendremos las dos 
reacciones faltantes. 
 
 
Como vemos la viga cuenta con una carga distribuida, 
esta carga distribuida se tendrá que transforma en una 
carga puntual para poder realizar el sistema de 
ecuaciones. Para hacerlo tenemos que ubicar esa carga 
puntual a la mitad de la carga distribuida, en este caso 
estaría ubica a 2.5m. 
 
 
Fig. 35 (Rep. fig. 33 Viga a analizar) 
 
 
27 
Teniendo ahora si la carga puntual, pondremos el valor 
de esta carga puntual el cual se obtiene sacando el área 
de la carga distribuida el cual seria la multiplicación de 
base (3m) por el valor de la carga distribuida (400N/m) 
el cual tendría un valor de 1200N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedemos a obtener las reacciones faltantes por medio 
del sistema de ecuaciones de equilibrio. 
 
Realizando las sumatorias de fuerzas en los puntos 
podemos obtener la reacción 1 y 2 donde R1=1300N y 
R2=500N 
 
Después colocamos las reacciones, cargas puntuales e 
inicio y fin de la viga con puntos representando cada 
uno una letra, empezando de izquierda a derecha del 
claro. 
 
Fig. 36 Viga con carga puntual de la 
carga distribuida 
Fig. 37 Obtención de las reacciones 
 
 
28 
 
Procedemos ahora a obtener el diagrama de fuerzas 
cortantes (DFC). Para esto tenemos que graficar las 
fuerzas cortantes que se presentan, esto quiere decir, 
graficar debajo de la viga presentada haciendo líneas 
rectas basándonos en los puntos realizados donde se 
encuentran todos las reacciones y cargas puntuales, de 
la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 38 Viga con puntos seleccionados 
Fig. 39 Diagrama de Fuerzas Cortantes de 
la viga 
 
 
29 
 
 
 
 
Para poder comprobar que los datos obtenidos en la 
grafica estén correctos se procede a realizar los 
siguientes cálculos, que son la obtención de cada área 
que se presentan en la grafica, en pocas, palabra la 
obtención del área de cada una de las figuras que se 
forman en esa grafica, la multiplicación de la base (m) 
por la altura (N). Quedaria de la siguiente manera: 
 
Como vimos los resultados fueron similares en los dos 
casos. 
Despues obtendremos el diagrama de Momentos de 
Fuerza, en este caso seria algo similar, la diferencia es 
que aquí se graficaran la suma de las áreas obtenidas 
en la grafica de esfuerzos cortante, quedando de la 
siguiente manera: 
 
Fig. 40 Comprobación de resultados 
Fig. 41 Diagrama de Momentos de Fuerza de la viga 
 
 
30 
Como podemos ver, la parte curva es la sección de la 
parte lineal en la grafica de esfuerzo cortantes porque 
cuanta con la carga distribuida, y gráficamente tiene ese 
efecto. La parte donde se Inter secciona la grafica con el 
eje x quiere decir que en esa parte no hay momento. 
Este método también tiene una comprobación la cual es 
sacar todos los Momentos en cada punto y observar si 
son los mismos resultados obtenidos en la grafica: 
 
Se puede observar en la figura que los momentos se 
realizaron para el lado que mas convenga ya sea 
izquierda o derecha para evitar realizar mas 
operaciones. El punto F es donde el M=0 tambien se 
toma en cuenta como un ponto ya que es donde se 
divide la curva elástica presentada. 
Las operaciones realizadas obtuvieron resultados 
iguales al de la grafica realizada. 
 
Por ultima para terminar el Analisis de las cargas, se 
realiza una representación de la curva elástica que 
tendría esta viga de la siguiente manera: 
Fig. 42 Obtención de los momentos en cada 
punto 
 
 
31 
Como vemos y se menciono anteriormente, en la parte 
del punto F donde el M=0 es donde se hace la división 
dela curva, una de manera hacia arriba y la otra de 
manera hacia abajo. Para saber de que forma se doblara 
la viga nos basamos en la grafica de DMF en el cual la 
parte de la grafica con área posistiva en la curva elastica 
toma forma de U, y en la parte del área negativa de la 
grafica de momentos de fuerza, la curva toma forma de 
u invertida, quedando de la forma presentada. 
 
El análisis completo de las cargas se mostraría de la 
siguiente forma: 
 
 
 
 
Fig. 43 Representación de la curva 
elástica 
 
 
32 
 
De esta forma es la manera mas sencilla de analizar las 
cargas en una viga, mediante las realización de estas 
graficas como asi mismo el comprobar que los 
resultados sena correctos mediante el calculo de los 
mismos. 
 
 
 
 
 
 
 
33 
• Análisis de Perfil de la Viga 
 
Como ya vimos el análisis de las cargas en la viga, 
procedemos a hacer el análisis del perfil, el cual como 
mencionamos en el objetivo, es un perfil compuesto 
formado de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este perfil observamos es un perfil compuesto, de 
manera que se observan dos rectángulos, el objetivo 
también será obtener su centroide realizando las 
operaciones debidas y también su momento de Inercia 
generado en el eje neutro de la viga. 
 
Para realizar el análisis, primero debemos de obtener el 
centroide de dicho perfil. 
 
Para realizar el centroide del perfil debemos obtener el 
centroide de cada perfil común conformado del perfil 
compuesto, en este caso los dos rectángulos, 
primeramente debemos trazar un eje cartesiano (x,y) en 
la parte izquierda inferior del perfil de la viga, ese eje 
seria nuestra referencia para poder obtener las 
Fig. 44 (Fig.34 Repetida)34 
cordenadas del centroide de cada perfil común, asi de la 
siguiente forma: 
 
 
La obtención de las coordenadas de cada figura es en 
base al inicio del eje cartesiano las cuales son: 
 
Después proseguimos a sacar el área de cada rectángulo 
basándonos en la figura presentada: 
 
 
Fig. 45 Perfil de viga con centroides de cada rectángulo 
 
 
35 
Teniendo las áreas de cada uno de los rectángulos 
podemos obtener el centroide de todo el perfil mediante 
la formula que se presentara a continuación, siendo Xt 
la coordenada x del centroide y Yt la coordenada y del 
centroide: 
Se continua representando el centroide en el perfil y 
justo en el centroide trazar una línea horizontal que 
divida el perfil, el cual seria el Eje Neutro, en el cual se 
calculara la Inercia que presenta. 
 
 
Fig. 46 Análisis del centroide del perfil 
 
 
36 
Para continuar analizando el perfil de a viga, se realiza 
la obtención del momento de inercia en el eje neutro ya 
teniendo todos los datos necesarios. Se utiliza la 
siguiente ecuación: 
 
 
Como resultado tenemos que la Inercia en el Eje Neutral 
es de 141,440,000mm^4 
 
Y así es como se realiza un análisis completo de un 
perfil de una viga Compuesta, este método aplica para 
cualquiera de esos perfiles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
• Esfuerzos de Tensión y Compresión debido a la 
flexión de la viga 
 
La viga, como mencionamos, sufre una deformación 
elastica como se represento en la curva elastica. 
Esta viga presenta diferentes esfuerzos dependiendo de 
la forma que se aplique, en este caso obtendremos el 
valor del esfuerzo de tenision y compresión a dos 
formas. La viga se someterá a compresión y 
obtendremos el esfuerzo a compresión y el esfuerzo a 
tensión debido a la flexión que sufre, y de igual forma 
pero la viga sometida a tensión. 
 
De esta manera se realizan los cálculos para poder sacar 
los esfuerzos, estando la viga a tensión y compresión: 
 
 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σ𝐶 =
(1.2𝑥106𝑁𝑚)(190𝑚𝑚)
141,440,000𝑚𝑚4
=1.61Nm 
σ𝑇 =
(1.2𝑥106𝑁𝑚)(90𝑚𝑚)
141,440,000𝑚𝑚4
=0.76Nm 
 
 
38 
INDICE DE FIGURAS 
 
Fig. 1 Esfuerzo ............................................................................................................................... 2 
Fig. 2 Llave generando un Momento ............................................................................................ 2 
Fig. 3 Fuerzas internas ................................................................................................................... 3 
Fig. 4 Fuerza Normal ..................................................................................................................... 3 
Fig. 5 Figura con esfuerzo cortante aplicado ................................................................................ 4 
Fig. 6 Flexión en una viga .............................................................................................................. 4 
Fig. 7 Zonas de la gráfica de esfuerzo vs deformación .................................................................. 5 
Fig. 8 Grafica de esfuerzo vs deformación (E= Modulo de Young) ............................................... 6 
Fig. 9 Ejemplo de Viga ................................................................................................................... 9 
Fig. 10 Ejemplo de cargas concentradas ....................................................................................... 9 
Fig. 11 Ejemplo de una carga distribuida ...................................................................................... 9 
Fig. 12 Clasificación de Vigas ....................................................................................................... 10 
Fig. 13 Vigas estáticamente determinadas ................................................................................. 11 
Fig. 14 Viga simplemente apoyada ............................................................................................. 11 
Fig. 15 Viga con un tramo en voladizo ........................................................................................ 12 
Fig. 16 Viga en voladizo ............................................................................................................... 12 
Fig. 17 Vigas estáticamente indeterminadas .............................................................................. 12 
Fig. 18 Viga continua ................................................................................................................... 13 
Fig. 19 Viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro extremo ................ 13 
Fig. 20 Viga empotrada ............................................................................................................... 14 
Fig. 21 Claro de la Viga ................................................................................................................ 14 
Fig. 22 Reacciones de la viga ....................................................................................................... 15 
Fig. 23 Viga cortada ..................................................................................................................... 15 
Fig. 24 Diagramas de fuerzas cortantes y de momentos ............................................................ 16 
Fig. 25 Diagrama de fuerzas cortantes y diagrama de momentos de fuerza.............................. 17 
Fig. 26 Ejemplo de perfiles de vigas ............................................................................................ 18 
Fig. 27 Perfiles de Viga Compuesto ............................................................................................. 19 
Fig. 28 Perfiles de viga común ..................................................................................................... 19 
Fig. 29 Tabla de figuras geométricas comunes con su centroide ............................................... 21 
Fig. 30 Tabla de Momentos de Inercia en diferentes perfiles ..................................................... 21 
Fig. 31 Eje neutro de una viga con perfil cuadrado ..................................................................... 22 
Fig. 32 Representación gráfica de Teorema de Steiner .............................................................. 23 
Fig. 33 Viga propuesta a analizar ................................................................................................ 24 
Fig. 34 Perfil de viga a analizar .................................................................................................... 25 
Fig. 35 (Rep. fig. 33 Viga a analizar)............................................................................................. 26 
Fig. 36 Viga con carga puntual de la carga distribuida ................................................................ 27 
Fig. 37 Obtención de las reacciones ............................................................................................ 27 
Fig. 38 Viga con puntos seleccionados ........................................................................................ 28 
Fig. 39 Diagrama de Fuerzas Cortantes de la viga ....................................................................... 28 
Fig. 40 Comprobación de resultados ........................................................................................... 29 
Fig. 41 Diagrama de Momentos de Fuerza de la viga ................................................................. 29 
Fig. 42 Obtención de los momentos en cada punto ................................................................... 30 
Fig. 43 Representación de la curva elástica ................................................................................ 31 
Fig. 44 (Fig.34 Repetida) .............................................................................................................. 33 
Fig. 45 Perfil de viga concentroides de cada rectángulo ............................................................ 34 
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924521
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924522
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924523
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924524
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924525
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924526
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924527
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924528
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924529
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924530
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924531
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924532
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924533
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924534
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924535
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924536
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924537
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924538
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924539
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924540
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924541
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924542
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924543
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924544
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924545
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924546
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924547
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924548
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924550
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924552
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924553
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924554
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924555
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924556
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924557
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924558
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924559
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924560
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924561
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924562
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924563
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924564
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924565
 
 
39 
Fig. 46 Análisis del centroide del perfil ....................................................................................... 35 
 
file:///C:/Users/sala/Documents/PIA%20Mecanica%20Materiales.docx%23_Toc514924566