índices de Miller

Vista previa del material en texto

Índices de Miller 
 
En los cristales de red periódica regular, a menudo es necesario indicar el sistema 
de planos dentro del cristal que corren en diferentes direcciones, cortando varios 
conjuntos de átomos. De tal manera que, las capas con empaquetamiento 
compacto de las redes cúbicas centradas en la cara y hexagonal con 
empaquetamiento compacto, forman sistemas muy definidos e importantes de 
planos cristalinos. La orientación de estos sistemas de planos dentro del cristal se 
especifica mediante tres números denominados índices de Miller, que se pueden 
determinar de la siguiente manera: 
1. Se toma como origen cualquier átomo del cristal y se levantan ejes de 
coordenadas a partir de dicho átomo en las direcciones de los vectores base. 
2. Se encuentran las intersecciones de un plano que pertenece al sistema, 
expresándolos como múltiplos enteros de los vectores base a lo largo de los 
ejes cristalinos. 
3. Se sacan los recíprocos de estos números y se reducen a la tríada más 
pequeña de enteros h, k, l, que tienen la misma relación. De donde, la 
cantidad (hkl) constituye los índices de Miller de dicho sistema de planos. 
 
Notación abreviada de las estructuras superficiales simples 
 
 
Por ejemplo, en la Ilustración 4 se muestra un plano cuyas intersecciones son el 
doble de la distancia reticular a, tres veces la distancia reticular b y 4 veces la 
distancia reticular c. Los índices de Miller de la familia a la que pertenece este 
plano se obtienen sacando los recíprocos de estos números, es decir, ½, 1/3,1/4, 
y reproduciéndolos e la tríada más pequeña posible de enteros que tengan la 
misma relación. Esto se logra multiplicando cada uno de los recíprocos por doce, 
que en este caso dan 6, 4, y 3. Los índices de Miller se escriben simplemente 
encerrando estos tres números entre corchetes; en este ejemplo, el plano forma 
parte de una familia de planos [643] o sea, un plano (McKelvey, 1996). 
 
 
Ilustración 4.- Plano cristalográfico y las intersecciones en la red. 
Deberán observarse varios puntos acerca del uso de los índices de Miller para las 
direcciones: 
1. Dado que las direcciones son vectores, una dirección y su negativo no son 
idénticas; [100] y [100] no son iguales. Representan a la misma línea, pero 
su dirección es opuesta. 
2. Una dirección y su múltiplo son idénticos; [100] es la misma dirección que 
[200]. Simplemente se omitió hacer la reducción a mínimos enteros. 
3. Ciertos grupos de direcciones son equivalentes; sus índices particulares 
dependen de cómo se construyen las coordenadas. Por ejemplo, en un 
sistema cúbico, una dirección [100] es equivalente a [010] si se redefine el 
sistema de coordenadas. Es posible referirse a grupos de direcciones 
equivalentes como familias de direcciones. Se utilizan los paréntesis 
angulares <> para indicar este conjunto. 
Ciertos planos de átomos en un cristal también son significativos; por ejemplo, los 
metales se deforman a lo largo de aquellos planos de átomos que están 
empaquetados más estrechamente (Askeland, 1998). Se utilizan los índices de 
Miller como una notación abreviada para identificar estos planos importantes, tal 
como se describe en el procedimiento siguiente: 
1. Identifique los puntos en los cuales el plano interseca los ejes de 
coordenadas x, y, y z en función del número de parámetros de red. Si el plano 
pasa a través del origen, el origen del sistema de coordenadas deberá 
moverse. 
2. Tome los recíprocos de estas intersecciones. 
3. Elimine las fracciones, pero no reduzca a los mínimos enteros. 
 
4. Encierre los números resultantes entre paréntesis. De nuevo, los números 
negativos se escribirán con una barra sobre los mismos. 
 
La red inversa 
 
 
La red inversa o recíproca es una estructura reticular de puntos, que está 
relacionada en cierta forma con la red cristalina real. La condición de Bragg para la 
difracción de rayos X se puede expresar de una forma sencilla con ayuda de la red 
recíproca (Pavplov, 1985). Si a, b y c son los vectores primitivos de translación de 
una red cristalina real, los vectores primitivos de translación de la red recíproca, a*, 
b* y c* se definen mediante las siguientes relaciones: 
a* · a = b* · b = c* · c = 1 
y 
a* · b = a* · c = b* · c = b*· a = c* · a = c* · b = 0 
Dado que a* · b = a* · c = 0, el vector a* es perpendicular al plano determinado por 
b y c. En consecuencia, es paralelo al vector b x c y se puede expresar como un 
múltiplo de ese vector, es decir 
a* = A (b x c), 
donde A es una constante escalar. Sin embargo 
a* · a = A (b x c) · a = 1 
de donde, resolviendo para A y sustituyendo el valor así obtenido se tiene que 
a* = (b x c) / (a · b x c) 
De la misma manera se puede demostrar que 
b* = (c x a) / (a · b x c) 
y 
c* = (a x b) / (a · b x c) 
Si se utiliza el mismo planteamiento general, se pueden obtener las siguientes 
transformaciones inversas (Pavplov, 1985): 
 
a = (b* x c*) / (a* · b* x c*) 
b = (c* x a*) / (a* · b* x c*) 
y 
c = (a* x b*) / (a* · b* x c*) 
 
 
Difracción sobre las superficies 
 
 
En 1912 von Laue descubrió los efectos de la difracción de los rayos X en muestras 
de un monocristal, también predijo que los átomos de un espécimen monocristalino 
producirían la difracción de un haz de rayos X monocromático y paralelo, originando 
una serie de haces difractados cuyas direcciones e intensidades dependerían de la 
estructura de la red y la composición química del cristal. Estas predicciones se 
verificaron en un plazo muy corto, gracias a los trabajos de Friedrich y Knipping. En 
la Ilustración 5 se observa un diagrama de representativo del arreglo experimental 
correspondiente. La ubicación de los máximos de difracción fue explicada por W. L. 
Bragg, a base de un modelo muy simple en el que se supone que la radiación X se 
refleja especularmente desde los planos sucesivos de los diversos sistemas (hkl) 
del cristal, y en el que los máximos de difracción sólo se encuentran para direcciones 
de incidencia y reflexión tales que las reflexiones de los planos adyacentes de un 
sistema interfieran en forma constructiva, con diferencias de fase de 2πn radianes, 
en donde n es un numero entero (McKelvey, 1996). 
 
 
Ilustración 5.- Diagrama representativo de la difracción de rayos X según Laue 
 
Según este experimento, la diferencia de trayectoria para reflexiones sucesivas 
sería igual a un número entero de longitudes de onda de los rayos X. Sin embargo, 
esta diferencia de trayectoria, es 2d sen θ, en donde d es el espaciamiento entre los 
planos atómicos adyacentes, y θ es el ángulo de incidencia entre el plano atómico 
y el haz incidente (McKelvey, 1996). De tal manera que, los haces fuertemente 
difractados deben propagarse, fuera del cristal, en direcciones para las que se 
satisface la ecuación de Bragg 
nλ= 2d sen θ 
Los rayos X se pueden producir fácilmente permitiendo que electrones de alta 
energía choquen contra un ánodo metálico que constituye el blanco. Los rayos X 
producidos de esta forma poseen, además de un espectro de fondo continuo, 
algunas líneas espectrales muy intensas y casi monocromáticas cuya frecuencia es 
característica de del material blanco. Estas líneas se originan debido al paso de 
electrones de capas internas del átomo a estados de mayor energía de los cuales 
se apartan para volver al estado base original con la consecuente emisión de rayos 
X (McKelvey, 1996). 
 
 
Difracción de electrones de baja energía 
 
 
Para un voltaje de 10 KV se indica que la longitud de onda mínima de rayos X que 
se puede excitar es 1.24 x 10-8 cm, es decir, 1.24 unidades Ångstrom. Esta magnitud 
es del orden de las distancias interatómicas de cristales reales y, de acuerdo con la 
ecuación de Bragg, es la apropiada para producir efectos de difracción observables 
sin recurrir a valores extremos de d y θ. Por tanto, en un tubo de rayos X en el que 
los electronesse aceleran mediante un potencial de unas cuantas decenas de 
kilovoltios, se puede considerar satisfactorio para producir rayos X apropiados para 
el trabajo de difracción de cristalográfica. 
Cuando los átomos de un cristal están sometidos a una radiación electromagnética, 
por ejemplo, los rayos X, se ejercen sobre ellos fuerzas eléctricas debidas a la 
interacción de las partículas cargadas de átomos con el vector del campo eléctrico 
de la onda electromagnética. Debido a esto, los electrones atómicos vibran 
armónicamente a la frecuencia de la radiación incidente sufriendo una aceleración. 
Estas cargas aceleradas vuelven a irradiar energía electromagnética, de acuerdo 
con la teoría electromagnética, a la frecuencia de vibración, es decir, a la de la onda 
incidente. A las frecuencias de la luz visible en donde la longitud de onda incidente 
es mucho mayor que las distancias interatómicas, la superposición de las ondas 
dispersas en esta forma por los átomos individuales del cristal, produce solamente 
los efectos bien conocidos de la refracción y la reflexión ópticas. Sin embargo, a las 
frecuencias de los rayos X, la longitud de onda incidente es comparable al 
espaciamiento interatómico y se puede observar la difracción de la radiación de los 
átomos del cristal. 
 
Estructura de las superficies a escala atómica 
 
 
Con el desarrollo de tecnología se ha logrado obtener materiales de dimensiones 
muy pequeñas (de unas cuantas micras, o nanómetros) que tienen propiedades 
distintas a las que tiene un materiales de misma composición pero a escala 
macrométrica, por lo que dicho confinamiento condiciona al material para obtener 
 
propiedades específicas; sin embargo, es muy difícil realizar observaciones a simple 
vista, por lo que se han desarrollado instrumentos que permiten la caracterización 
de dichos materiales, desde un análisis morfológico y morfométrico, hasta análisis 
químicos y energéticos, como es el caso de la microscopía electrónica, y las 
diversas espectroscopias. 
 
 
Referencias 
McKelvey. (1996). Física del Estado Sólido y de Semiconductores. México: Grupo 
Noriega Editores. 
Pavplov, P. V. (1985). Física del Estado Sólido. URSS: Mir Moscú.