Capitulo 10 - Mov periodico 2014-II

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MOVIMIENTO PERIÓDICO 
 
Material elaborado 
Mgtr. Ing. Raúl La Madrid Olivares 
1 
SECCION FÍSICA 
www.udep.edu.pe 
Av Ramón Mugica 131. Piura. Perú 
2 
3 
Péndola de reloj 
Pistón motor de 
combustión interna 
Un cuerpo con movimiento periódico se caracteriza por una posición de 
equilibrio estable. Cuando se le aleja de esa posición y se suelta, entra en 
acción una fuerza o torca para volverlo al equilibrio. Para cuando llega ahí 
ya ha adquirido cierta energía cinética que le permite continuar su 
movimiento hasta detenerse del otro lado de donde será impulsado 
nuevamente hacia su posición de equilibrio. 
4 
5 
DESCRIPCIÓN DE LA OSCILACIÓN 
0Fy liso 
Masa del resorte 
despreciable 
x 
y 
x 
Fx 
x : Desplazamiento respecto al equilibrio 
: Fuerza que el resorte ejerce sobre el cuerpo. Fuerza de restitución ya 
que tiende a regresar al cuerpo a su posición de equilibrio. 
xF
xa : Componente x de la aceleración 
6 
ANALIZANDO 
1. 
2. 
3. 
Si no hay fricción o fuerza que elimine la energía mecánica del sistema el 
movimiento se repetirá eternamente ya que la fuerza de restitución tirará 
perpetuamente del cuerpo hacia la posición de equilibrio. 
7 
AMPLITUD, PERIODO, FRECUENCIA Y FRECUENCIA ANGULAR 
Amplitud (A) : es la magnitud máxima del desplazamiento con respecto al 
equilibrio, es decir |𝑥|. Un ciclo estará conformado por el desplazamiento de 
“A” a “–A” y luego de nuevo a A. 
8 
Periodo (T) : tiempo que dura un ciclo, su unidad es el segundo ó 
“segundos por ciclo”. 
Frecuencia (f) : es el número de ciclos en una unidad de tiempo, su unidad 
es el hertz . 
111 1 1
ciclo
hertz Hz s
s
  
Frecuencia angular( 𝜔 ): es 2 𝜋 la frecuencia. 
2 f 
Se puede deducir: 
1
f
T

1
T
f

2
T

 
9 
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) 
Sucede cuando se cumple la Ley de Hooke. 
xF kx  (fuerza de restitución ejercida por 
el resorte) 
Si la fuerza de restitución es directamente 
proporcional al desplazamiento con respecto al 
equilibrio como en la Ley de Hooke, la 
oscilación se denomina movimiento armónico 
simple (MAS), donde: 
La aceleración y el desplazamiento siempre 
tienen signos opuestos. Esta aceleración no es 
constante. 
2
2
x
x
Fd x k
a x
dt m m
   
1
0 
¿Porqué es importante el movimiento armónico simple? 
 
No todos los movimientos periódicos son armónicos simples, en general, la 
relación entre la fuerza de restitución y el desplazamiento es más complicada 
que la relación vista anteriormente. 
 
A pesar de que no todos los movimientos periódicos son armónicos simples, 
sí es posible utilizar este modelo cuando la amplitud es muy pequeña, por 
ello lo podemos utilizar para casos como la vibración de un mineral de 
cuarzo, de un reloj de pulso, un circuito de corriente alterna y las vibraciones 
de átomos en moléculas y sólidos. 
11 
MOVIMIENTO CIRCULAR 
Y 
 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) 
Hay que tener en cuenta que la aceleración del movimiento periódico 
no es constante. 
 
Por lo tanto no se podrán utilizar las fórmulas, vistas en movimiento con 
aceleración constante. Sin embargo, se puede observar que el movimiento 
periódico guarda relación con un movimiento visto es física 1 el 
movimiento circular. A partir de allí se puede obtener x(t) y luego derivando 
se obtiene v(t) y a(t). 
12 
Se demostrará que el movimiento armónico simple es la proyección del 
movimiento circular uniforme sobre un diámetro. 
a) Relación entre movimiento circular uniforme y movimiento armónico simple. b) La 
sombra de la esfera se mueve exactamente como un cuerpo que oscila unido a un 
resorte ideal 
13 
„x‟ es la coordenada de la sombra P, que es la proyección de Q sobre el eje „x‟. 
Por lo tanto, la velocidad „x‟ de la sombra P en el eje „x‟ es igual a la componente 
„x‟ del vector de velocidad del punto de referencia Q (figura izq) y aceleración „x‟ 
de P es igual a la componente „x‟ del vector de aceleración de Q (figura 1der). 
Puesto que Q está en movimiento circular uniforme, su vector de aceleración 
siempre apunta hacia O. 
a) Uso del círculo de referencia para 
determinar la velocidad „x‟ del punto P 
b) Uso del círculo de referencia para 
determinar la aceleración „x‟ del punto P 
14 
Al vector giratorio usado (OQ) se 
le llama fasor, es una herramienta 
matemática muy útil que será vista 
con mas profundidad en EMT. 
La componente x del fasor en el 
instante t es la coordenada x del 
punto Q: 
cosx A 
Pero como: 
t 
Entonces expresamos x en función 
de t 
( ) cos( )x t A t
Podemos obtener v(t) y a(t) muy fácilmente derivando respecto de t la expresión 
anterior. 
( ) sin( )v t A t  
2( ) cos( )a t A t  
15 
Pero como ya se había demostrado para el MAS, la aceleración se expresa 
como: 
( ) ( )
k
a t x t
m
 
Entonces: 
2( ) ( )a t x t 
Igualando: 
2 k
m
 
k
m
 
1
2
k
f
m
 2
m
T
k

Reemplazando en las expresiones anteriores se obtiene: 
16 
PERIODO Y AMPLITUD EN MAS 
En el MAS tanto el periodo como la 
frecuencia no dependen de la amplitud A. 
 
Se concluye que para valores dados de m y 
k, el tiempo de una oscilación completa es el 
mismo, sea la amplitud grande o pequeña. 
 
Por ejemplo una mayor amplitud, implica 
valores más grande de lxl y por tanto las 
fuerza de restitución serán mayores. Así se 
aumenta la rapidez media del cuerpo 
durante un ciclo completo, lo cual compensa 
la necesidad de recorrer una mayor 
distancia, de modo que el tiempo total es el 
mismo. 
además
x
x
A x F
v T cte
  
  
1
2
k
f
m
 2
m
T
k

A aumenta, mismas k y m 
17 
EJEMPLO 
Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo. Conectando 
una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia la derecha (ver figura), 
determinamos que la fuerza de estiramiento es proporcional al desplazamiento y 
que una fuerza de 6.0 N causa un desplazamiento de 0.03 m. Quitamos la 
balanza y conectamos un deslizador de 0.50 kg al extremo, tiramos de él hasta 
moverlo 0.020 m por una pista de aire sin fricción, lo soltamos y vemos cómo 
oscila. 
a) Determine la constante de fuerza del resorte. 
b) Calcule la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo de la oscilación. 
18 
EJEMPLO 
a) Determine la constante de fuerza del resorte 
b) Calcule la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo de la oscilación 
19 
DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN MAS 
Para un se tiene que: t   
cos( )x A t  
Las tres curvas muestran el MAS con los mismo periodo T y amplitud A, 
pero ángulos de fase ϕ distintos. 
20 
Variaciones del movimiento armónico simple para 0 
La constante ϕ las ecuaciones 
anteriores es el ángulo de fase que nos 
indica en que punto del ciclo se 
encontraba el movimiento cuando t=0. 
 
En t=0 se obtiene: 0 cosx A 
2
m
T
k

a) Si m aumenta, misma A y k 
 La masa m aumenta de la curva 
1 a la 2 a la 3; incrementar m 
solo aumenta el periodo 
b) Si k aumenta, misma A y m 
 La constante de fuerza k aumenta de la 
curva 1 a la 2 a la 3; incrementar k 
solo reduce el periodo 
21 
Gráficas para el MAS: a) de x vs t, b) de vx vs t y 
c) de ax vs t. En estas gráficas, ϕ=π/3 
22 
Cómo varían la velocidad vx y la aceleración 
ax durante un ciclo en un MAS 
23 
Teniendo: 
cos( )x A t  
Se obtiene: 
sin( )xv A t    
2 cos( )xa A t    
Luego: 
maxv A 
2
maxa A 
Para t=0 se tiene: 
0 sinxv A  
Entonces, dividiendo se obtiene: 
0
0
sin
tan
cos
xv A
x A
 
 


  
0
0
arctan x
v
x


 
  
 
Despejando ϕ se obtiene la expresión 
del ángulo de fase de MAS 
CÁLCULO DEL ANGULO DE FASE Y LA AMPLITUD 
Hallando x0 y elevando al 
cuadrado: 
cos( )x A t  
Ahora: 
sumando: 
 
2
2 20
2
sinx
v
A 


2 2 2
0 cos ( )x A 
0sinxv A  
 
2
2 2 2 2 2 0
0 2
cos ( ) sin x
v
A A x 

  
2
2 0
0 2
xvA x

 
 
2
2 2 2 2 0
0 2
cos ( ) sin x
v
A x 

    
24 
EJEMPLO 
Volvamos al sistema de masa y resorte horizontal que consideramos en el 
ejemplo anterior, con k=200 N/m y m=0.50 kg. Esta vez impartiremos al cuerpo 
un desplazamiento inicial de +0.015 m y una velocidad inicial de +0.40 m/s. 
a) Determine el periodo, la amplitud y el ángulo de fase del movimiento. 
b) Escriba ecuaciones para desplazamiento, velocidad y aceleración en 
función del tiempo. 
Solución 
a) Determine el periodo, la amplitud y el ángulo de fase del movimiento 
25 
b) Escriba ecuaciones para desplazamiento, velocidad y aceleración en 
función del tiempo. 
26 
ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
Gráfica de E ( energía mecánica), K (energía cinética) y U (energía potencia del resorte) contra 
desplazamiento en un MAS. 
27 
Pero puesto que la energía total es 
constante, se puede reemplazar en 
cualquier otro punto: 
2 21 1
2 2
xE mv kx const  
21
2
E kA
2 2 21 1 1
2 2 2
xE mv kx kA const   
No hay fuerzas no conservativas así que la 
energía total del sistema es E=K+U 
Cuando x=A o x=-A, se detiene 
momentáneamente y v=0, siendo la 
energía total: 
28 
Igualando podemos obtener la velocidad 
para cierto desplazamiento x 
2 2
x
k
v A x
m
  
El signo  indica que el cuerpo se puede 
estar moviendo en cualquiera de las dos 
direcciones 
Se puede observar que la velocidad 
máxima se da cuando x=0 
máx
k
v A A
m
 
29 
30 
31 
EL PÉNDULO SIMPLE 
Un péndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa 
puntual suspendida de un cordón sin masa y no estirable. Si la masa se 
mueve a un lado de su posición de equilibrio (vertical), oscilará alrededor de 
dicha posición. 
sinF mg  
32 
Serie de Taylor: 
 
 
2 1
0
1
2 1 !
n
n
n
sen x
n








Entonces 
3 5
3! 5!
sen
 
   
Para ángulos pequeños (menor 10°) 
sen 
33 
El péndulo simple 
sinF mg  
F mg  
Por taylor 
El arco del círculo es 
x L
mg
F x
L
  
Entonces 
Comparando con las ecuaciones del MAS 
xF kx 
mg
F x
L
  
k
m
 
1
2
k
f
m

2
m
T
k

g
L
 
1
2
g
f
L

2
L
T
g

34 
EL PÉNDULO FÍSICO 
Es cualquier péndulo de tamaño real que usa 
un cuerpo de tamaño finito a diferencia del 
péndulo simple, en el cual toda la masa se 
concentra en un punto. 
 
Si las oscilaciones son pequeñas, el análisis 
del movimiento de un péndulo real es tan sencillo 
como el de uno simple. 
 
La siguiente figura muestra un cuerpo 
irregular que puede girar sin fricción alrededor de 
un eje que pasa por el punto „O‟. En la posición 
de equilibrio, el centro de gravedad está 
directamente abajo del pivote y en la posición 
mostrada el cuerpo se encuentra desplazado del 
equilibrio con cierto ángulo que usamos como 
coordenada para el sistema. 
35 
z zI 
  sinz mg d  
De la segunda ley de Newton 
ahora 
  sin zmg d I  
igualando 
  
2
2
sin
d
mg d I
dt

 
El péndulo físico 
entonces 
  2
2
sinmg dd
Idt
 

De manera similar al caso anterior 
 sin 10     
Obteniéndose 
2
2
d mgd
Idt

 
Comparando 
2
2x
d x k
a x
dt m
  
36 
Comparando con las ecuaciones del MAS 
2
2x
d x k
a x
dt m
  
2
2
d mgd
Idt

 
k
m
 
1
2
k
f
m

2
m
T
k

mgd
I
 
1
2
mgd
f
I

2
I
T
mgd

37 
Momentos de inercia de diversos cuerpos 
Teorema de lo ejes paralelos 
2
p cmI I Md 
Donde: 
Donde: 
 
Icm: Momento de inercia de un 
cuerpo que pasa por el centro de 
masa 
 
Ip: Momento de inercia alrededor de 
cualquier otro eje paralelo al original 
 
M: Masa del cuerpo 
 
d: distancia desplazada 
38 
Todos los animales que caminan, incluido el ser humano, tienen un ritmo (paso) natural 
para caminar, un número de pasos por minuto, que es más cómodo que un ritmo más 
rápido o más lento. Suponga que este ritmo natural corresponde a la oscilación de las 
piernas como un péndulo físico. 
a) ¿Cómo depende el paso natural de la longitud L de la pierna, medida de la 
cadera al pie? Considere la pierna como una varilla uniforme con pivote en la 
cadera. 
b) Pruebas fósiles demuestran que el Tyrannosaurus rex , un dinosaurio bípedo que 
vivió hace 65 millones de años al final del periodo Cretácico, tenía una longitud 
de pierna L=3.1 m y una longitud de paso (la distancia de una huella a la 
siguiente del mismo pie (ver figura) S =4.0 m. Estime la rapidez con que 
caminaba el T. rex. 
EJEMPLO: Tyrannosaurus Rex y el péndulo físico 
39 
EJEMPLO: Tyrannosaurus Rex y el péndulo físico 
40 
a) ¿Cómo depende el paso natural de la longitud L de la pierna, medida de 
la cadera al pie? Considere la pierna como una varilla uniforme con 
pivote en la cadera. 
21
23
2 2 2
3
2
ml
I l
T
lmgd g
mg
  
 
 
   
 
 
 
En consecuencia: T proporcional a l
De manera que la frecuencia de caminar de animales de piernas cortas 
(un “l” pequeño) como los ratones o perros chihuahueños caminan con un 
ritmo más rápido, en comparación, con los seres humanos, las jirafas y 
otros animales con piernas más largas (un valor de “l” grande) los que 
caminan más lentamente. 
EJEMPLO: Tyrannosaurus Rex y el péndulo físico 
41 
42 
OSCILACIONES AMORTIGUADAS 
Hasta ahora hemos visto sistemas oscilantes idealizados (sin fricción), donde 
no habían fuerzas no conservativas y por tanto la energía mecánica es 
constante haciendo que el sistema oscilara eternamente sin disminuir su 
amplitud. 
 
En la vida real siempre existen fuerzas disipadoras que hacen que las 
oscilaciones cesen con el tiempo a menos de que haya un mecanismo que 
reponga la energía mecánica disipada. 
Si una campana que 
oscila se deja de 
impulsar, tarde o 
temprano las fuerzas 
amortiguadoras 
(resistencia del aire y 
fricción en el punto de 
suspensión) harán 
que deje de oscilar 
43 
44 
45 
La disminución de la amplitud causada por las 
fuerzas disipadoras se llama amortiguamiento, y el 
movimiento correspondiente se llama oscilación 
amortiguada. 
 
El caso mas sencillo para un análisis detallado es el 
de un oscilador armónico simple, cuya fuerza de 
amortiguamiento por fricción es directamente 
proporcional a la velocidad del cuerpo oscilante. 
 
Así, sobre el cuerpo actúa una fuerza adicional 
debida a la fricción: 
x xF bv 
x
dx
v
dt

Donde, b=constante que describe la intensidad de 
la fuerza amortiguadora [kg/s] 
x xF kx bv  
x xkx bv ma  
( /2 ) cos( ' )b m tx Ae t  
2
2
'
4
k b
m m
  
La fuerza total que actúa sobre el cuerpo es 
Por la segunda Ley de Newton 
Esta ecuación diferencial se resuelve de manera sencilla, pero los detalles los 
verán en Análisis Matemático 3. Si la fuerza de amortiguamiento es relativamente 
pequeña: 
La frecuencia angular de oscilación (ω‟) está dada por: 
46 
2
2
dx d x
kx b m
dt dt
  
47 
Gráfica de desplazamiento contra tiempo para un oscilador con poco amortiguamiento y ángulo de 
fase ϕ=0. Se muestran curvas para dos valores de la constante de amortiguamiento b [kg/s]. 
( /2 ) cos( ' )b m tx Ae t  
48 
La frecuencia angular ya no es sino un poco menor y se vuelve 
cero cuando b es tan grande que: 
k
m
 
2
2
0 2
4
k b
ó b km
m m
  
Se puede observar que la amplitud ya no es constante sino que ahora 
disminuye conforme pasa el tiempo. También se puede observar que cuanto 
mayor sea b, menor sea la amplitud 
NOTA: 
Las unidades de la constante de amortiguamiento “b” son [kg/s] 
49 
2b kmb) se llama amortiguamiento crítico, el cuerpo vuelve a su 
posición de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y se le suelta. 
De esto se observa que si: 
a)se llama sub-amortiguamiento y el sistema oscila con 
amplitud constantemente decreciente 
2b km
 En este caso: , 
 
 Donde C1 y C2 son constantes que dependen de las condiciones 
 iniciales y a1 y a2 son constantes determinadas por m, k y b. 
1 2
1 2
a t a tx C e C e  
2b km
1 2
1 2
a t a tx C e C e  
c) se llama sobre-amortiguamiento, tampoco hay oscilación 
pero el sistema regresa al equilibrio mas lentamente que con 
amortiguamiento crítico. 
50 
Graficas de posición contra tiempo para 
(a) un oscilador sub-amortiguado 
(b) un oscilador críticamente amortiguado 
(c) un oscilador sobre-amortiguado 
2b km
2b km
2b km
51 
52 
53 
ENERGÍA DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS 
En oscilaciones amortiguadas, la fuerza amortiguadora no es conservativa, 
la energía mecánica del sistema no es constante sino que se acerca a cero 
después de un tiempo largo. 
 
La expresión para la energía mecánica total en cualquier instante esta dada 
por 
 
 
 
Derivamos respecto al tiempo 
 
 
 
 
Pero y 
2 21 1
2 2
xE mv kx 
x
x
dvdE dx
mv kx
dt dt dt
 
x
x
dv
a
dt
 x
dx v
dt

54 
Pero como entonces, 
( )x x
dE
v ma kx
dt
 
x x
dxma kx b bv
dt
    
2( )x x x
dE
v bv bv
dt
   
El miembro derecho de la ecuación es negativo, siempre que el cuerpo 
que oscile esté en movimiento, sea la velocidad vx negativa o positiva. 
Esto indica que conforme el cuerpo se mueve la energía disminuye, 
aunque no con rapidez uniforme. 
55 
OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA 
Un oscilador dejará de moverse tarde o 
temprano; no obstante podemos mantener 
una oscilación de amplitud constante 
aplicando una fuerza que varíe con el tiempo 
periódica o cíclicamente, con periodo y 
frecuencia definidos. 
 
Por ejemplo imagina a tu primo en el 
columpio, tu los puedes mantener oscilando 
con una amplitud constante dándole un 
empujoncito a la vez en cada ciclo. 
 
Esta fuerza adicional recibe el nombre de 
fuerza impulsora. 
56 
OSCILACIÓN AMORTIGUADA CON UNA FUERZA IMPULSORA 
PERIÓDICA 
Si aplicamos una fuerza impulsora que varíe 
periódicamente con frecuencia angular 
impulsadora ωd a un oscilador armónico 
amortiguado, el movimiento resultante se llama 
oscilación forzada o impulsada (Forced 
Oscillations) y es diferente del movimiento que 
se da cuando el sistema se desplaza del 
equilibro y luego se deja suelto, en cuyo caso el 
sistema oscilará con una frecuencia angular 
natural ω0. 
 
Es decir, la amplitud y, por lo tanto, la energía 
de un sistema en estado estacionario, no sólo 
depende de la amplitud del sistema impulsor 
sino también de su frecuencia. 
57 
   max dF t F sen tx
 
y
 
 
2
2máx d
F ma
dx d x
F sen t b kx m
dt dt


  

Cuyo resultado es: 
   
2 2
2 2 22
2 2
0
máx
máx
d d d
d
Sears
Serway
F
FmA
b k m b
m
  
 
 
   
   
 
Donde: 
 cos dx A t  
Aplicando la segunda Ley de Newton 
0
k
m
  Es la frecuencia natural para un 
oscilador no amortiguado 
58 
En una oscilación forzada, la frecuencia angular con la que la masa oscila es 
igual a la frecuencia angular impulsora ωd, la cual NO tiene que ser igual a 
la frecuencia angular natural con la que la fuerza oscilaría sin una fuerza 
impulsora. 
Experimento puedes coger diapasones. Si tienes dos diapasones de la misma nota y 
tocáis uno cerca del otro, los dos vibrarán. Sin embargo si la nota de los diapasones es 
distinta no vibrará el segundo. 
59 
Gráfica de la amplitud A de oscilación forzada en función de la frecuencia 
angular ωd de la fuerza impulsadora. El eje horizontal indica el cociente ωd 
entre la frecuencia angular ω0=(k/m)^(-1/2) de un oscilador no amortiguado. 
Cada curva tiene un valor distinto de la constante de amortiguamiento b. 
60 
RESONANCIA Y SUS CONSECUENCIAS 
El hecho de que haya un pico de amplitud a frecuencias impulsoras cercanas 
a la frecuencia natural del sistema se denomina resonancia. 
 
La resonancia en los sistemas mecánicos puede ser destructiva. Una 
compañía de soldados una vez destruyó un puente marchando sobre el al 
mismo paso, la frecuencia de sus pasos era igual a la frecuencia natural del 
puente, y la oscilación resultante tuvo suficiente amplitud para desgarrar el 
puente.