Final_-_F2_-_2017-I_-_Solución

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UNIVERSIDAD DE PIURA 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
CURSO: FÍSICA GENERAL II 
Examen Final 
Fecha: Martes, 18 de julio del 2017. 
Sólo formularios y calculadora simple NOMBRE: ________SOLUCIÓN_________ 
HORA: 8:00 am a 11:00 am 
INSTRUCCIONES: Utilizar todas las caras del cuadernillo simple para resolver sus ejercicios. Se 
revisarán únicamente las respuestas ubicadas en el espacio asignado. Trabajar con limpieza. 
 
TEORÍA 
Realizar la demostración de la obtención de las expresiones del Efecto Doppler para los siguientes casos: 
(4 puntos) 
 
CASO 1: Observador y fuente en reposo_________ (0.1 p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (0.9 p) 
 
 
 
CASO 2: Fuente en reposo y el observador se acerca (0.1 p) 
 
 (0.9 p) 
CASO 3: Fuente en reposo y el observador se aleja (0.1 p) 
 
 
(0.9 p) 
 
CASO GENERAL: Ambos se mueven 
Ahora λ es diferente (0.2 p) 
 
CASO 4: El observador se acerca por delante (0.1 p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(0.8 p) 
CASO 5: El observador se acerca por delante (0.1 p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(0.8 p) 
2 
 
EJERCICIOS 
1.- Un motor de cuatro cilindros, de 5 L, que opera en un ciclo ideal Diesel tiene una relación de 
compresión de 16.8 y una relación de cierre de admisión de 2.8. El aire está a 65°C y 103 kPa al principio 
del proceso de compresión. a) Usando las suposiciones de aire estándar frío, determine cuánta potencia 
entregará el motor a 1800 rpm (3.5 puntos) b) Si la temperatura al principio del proceso aumenta 5°C, 
¿cuál sería la potencia entregada? (0.25 puntos) c) Si la temperatura al principio del proceso aumenta 7°C, 
¿cuál sería la potencia entregada? (0.25 puntos) 
Solución 
a) 
𝑇2 = 𝑇1 (
𝑣1
𝑣2
)
𝑘−1
= (338𝐾)(16.8)0.4 = 1044.82𝐾 
𝑃3𝑣3
𝑇3
=
𝑃2𝑣2
𝑇2
→ 𝑇3 =
𝑇2𝑣3
𝑣2
= (2.8)(1044.82𝐾) = 2925.50𝐾 
𝑇4 = 𝑇3 (
𝑣3
𝑣4
)
𝑘−1
= 2925.5𝐾 (
2.8
16.8
)
0.4
= 1428.70𝐾 
 
𝑚 =
𝑃1𝑉1
𝑅𝑇1
=
(103𝑘𝑃𝑎)(0.005𝑚3)
(0.287𝑘𝑃𝑎.
𝑚3
𝑘𝑔
. 𝐾) (338𝐾)
= 5.31𝑥10−3𝑘𝑔 
𝑄𝑒𝑛 = 𝑚𝑐𝑝(𝑇3 − 𝑇2) = 5.31𝑥10
−3𝑘𝑔 (
1.005𝑘𝐽
𝑘𝑔.𝐾
) (2925.5𝐾 − 1044.82𝐾) = 10.04𝑘𝐽 
𝑄𝑠𝑎𝑙 = 𝑚𝑐𝑣(𝑇4 − 𝑇1) = 5.31𝑥10
−3𝑘𝑔 (
0.718𝑘𝐽
𝑘𝑔. 𝐾
) (1428.7𝐾 − 338𝐾) = 4.16𝑘𝐽 
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 10.04𝑘𝐽 − 4.16𝑘𝐽 = 5.88𝑘𝐽/𝑟𝑒𝑣 
Al ser un motor de 4 tiempos desarrolla el trabajo neto cada dos vueltas del cigüeñal. El motor da 1800 
vueltas por minuto por lo tanto solamente entregará trabajo 900 de las 1800 vueltas. 
�̇�𝑛𝑒𝑡.𝑠𝑎𝑙 = �̇�𝑊𝑛𝑒𝑡.𝑠𝑎𝑙 =
900 𝑟𝑒𝑣 
60 𝑠
(5.88
𝑘𝐽
𝑟𝑒𝑣
) = 88.2 𝑘𝑊 
b) y c) Evaluamos fórmulas genéricas con la incógnita de 𝑇1 
𝑇2 = 𝑇1 (
𝑣1
𝑣2
)
𝑘−1
= 𝑇1(16.8)
0.4 
𝑇3 =
𝑇2𝑣3
𝑣2
= (2.8)𝑇1(16.8)
0.4 
𝑇4 = 𝑇3 (
𝑣3
𝑣4
)
𝑘−1
= (2.8)𝑇1(16.8)
0.4 (
2.8
16.8
)
0.4
 
𝑚 =
𝑃1𝑉1
𝑅𝑇1
=
(103𝑘𝑃𝑎)(0.005𝑚3)
(0.287𝑘𝑃𝑎.
𝑚3
𝑘𝑔
. 𝐾) 𝑇1
 
𝑄𝑒𝑛 =
(103𝑘𝑃𝑎)(0.005𝑚3)
(0.287𝑘𝑃𝑎.
𝑚3
𝑘𝑔
. 𝐾) 𝑇1
(
1.005𝑘𝐽
𝑘𝑔. 𝐾
) ((2.8)𝑇1(16.8)
0.4 − 𝑇1(16.8)
0.4) = 10.03𝑘𝐽 
3 
 
𝑄𝑠𝑎𝑙 =
(103𝑘𝑃𝑎)(0.005𝑚3)
(0.287𝑘𝑃𝑎.
𝑚3
𝑘𝑔
. 𝐾) 𝑇1
(
0.718𝑘𝐽
𝑘𝑔. 𝐾
) ((2.8)𝑇1(16.8)
0.4 (
2.8
16.8
)
0.4
− 𝑇1) = 4.16𝑘𝐽 
 
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 5.87𝑘𝐽 
 
�̇�𝑛𝑒𝑡.𝑠𝑎𝑙 = �̇�𝑊𝑛𝑒𝑡.𝑠𝑎𝑙 =
900 𝑟𝑒𝑣 
60 𝑠
(5.87
𝑘𝐽
𝑟𝑒𝑣
) = 88.05 𝑘𝑊 
Por lo tanto, llegamos a la conclusión que la potencia entregada siempre será la misma para cualquier 
temperatura inicial del proceso. En este caso hay una pequeña variación por los redondeos en los resultados 
previos. 
a) 
Pregunta Respuesta Puntaje 
𝑇2 1044.82𝐾 0.25 p 
𝑇3 2925.50𝐾 0.25 p 
𝑇4 1428.70𝐾 0.25 p 
𝑄𝑒𝑛 10.04𝑘𝐽 0.5 p 
𝑄𝑠𝑎𝑙 4.16𝑘𝐽 0.5 p 
Potencia entregada 88.2 𝑘𝑊 1.75 p 
 
b) 
Pregunta Respuesta Puntaje 
Potencia entregada 88.05 𝑘𝑊 0.25 p 
 
c) 
Pregunta Respuesta Puntaje 
Potencia entregada 88.05 𝑘𝑊 0.25 p 
 
2.- Se tiene tres péndulos, el péndulo A tiene una masa total 5M y consiste en una barra de longitud L que 
posee la mitad de la masa total y dos esferas; la primera es una esfera hueca de pared delgada con masa M 
y de radio 
3
8
𝐿, cuyo centro está ubicado a 
3
7
𝐿 del extremo superior, y la segunda es una esfera sólida de 
radio 
1
8
𝐿 que se encuentra en el extremo de la barra con la masa restante. El péndulo B tiene una masa total 
6M. Este consiste en dos placas rectangulares iguales con longitud 
3
2
𝐿 de su lado mayor y longitud 
𝐿
3
 en su 
lado menor, además en sus extremos cuelga un cilindro sólido de radio 
1
6
𝐿 y longitud L como se muestra 
en la imagen. Se sabe que en el péndulo B, la tercera parte de la masa está en el cilindro y el resto de masa 
en las placas. Si el péndulo A tiene 𝜔 = 3 𝑠−1, se pide calcular el periodo del péndulo A y el periodo del 
péndulo B. Considerar la gravedad = 9.81 𝑚 𝑠2⁄ (4 puntos) 
NOTA: Dar la respuesta de centro de gravedad e inercias en función de M y L 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Tanto el péndulo A como el péndulo B son considerados péndulos físicos por las características del 
enunciado donde la masa no se concentra en un único punto del cuerpo. 
Para el péndulo A debemos hallar la ubicación de su centro de masa, tenemos: 
𝑌𝐴𝑐𝑚 =
𝑚 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎(𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎) + 𝑚 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎1(𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎1) + 𝑚 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎2(𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎)2
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
𝑌𝐴𝑐𝑚 =
2.5𝑀𝑥
𝐿
2
+ 𝑀𝑥
3
7
𝐿 + 1.5𝑀𝑥(𝐿 +
1
8
𝐿)
5𝑀
=
377
560
𝐿 
Ahora debemos calcular el momento de inercia del péndulo A, para ello tenemos: 
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐼𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 + 𝐼𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎1 + 𝐼𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎2 
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝑀
𝐿2
3
+
2
3
𝑀 (
3
8
𝐿)
2
+ 𝑀 (
3
7
𝐿)
2
+
2
5
1.5𝑀 (
1
8
𝐿)
2
+ 1.5𝑀 (𝐿 +
1
8
𝐿)
2
= 2.852𝑀𝐿2 
NOTA: Para la barra usamos su momento de inercia respecto al eje en un extremo y para la esfera usamos 
el teorema de ejes paralelos. 
Tenemos que 𝜔 = 3.5 𝑠−1, entonces de la siguiente expresión calculamos el valor de L 
𝜔 = √
𝑚𝑔𝑑
𝐼
⟹ 𝜔2 =
𝑚𝑔𝑑
𝐼
⟹ (3)2 =
5𝑀(9.81) (
377
560
𝐿)
2.852𝑀𝐿2
⟹ 𝐿 = 1.286 𝑚 
El periodo de un péndulo físico está dado por: 
𝑇𝐴 = 2𝜋√
𝐼
𝑚𝑔𝑑
 
𝑇𝐴 = 2𝜋√
2.852𝑀𝐿2
5𝑀(9.81) (
377
560
𝐿)
 
𝑇𝐴 = 2.094 𝑠 
Para el péndulo B debemos hallar la ubicación de su centro de masa, tenemos: 
Péndulo A 
Péndulo B 
5 
 
𝑌𝐵𝑐𝑚 =
𝑚 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎1(𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎1) + 𝑚 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎2(𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎2) + 𝑚 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜(𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜)
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
𝑌𝐵𝑐𝑚 =
2𝑀𝑥 (
3
4
𝐿) + 2𝑀𝑥 (
3
4
𝐿) + 2𝑀𝑥 (
3
2
𝐿 +
1
6
𝐿)
6𝑀
=
19
18
𝐿 
Ahora debemos calcular el momento de inercia del péndulo B, para ello tenemos: 
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐼𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎1 + 𝐼𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎2 + 𝐼𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝑀
(
3𝐿
2
)
2
3
+ 2𝑀
(
3𝐿
2
)
2
3
+ 𝑀 (
1𝐿
6
)
2
+ 2𝑀 (
3
2
𝐿 +
1
6
𝐿)
2
=
103
12
𝑀𝐿2 
El periodo de un péndulo físico está dado por: 
𝑇𝐵 = 2𝜋√
𝐼
𝑚𝑔𝑑
 
𝑇𝐵 = 2𝜋√
103
12
𝑀𝐿2
6𝑀𝑔 (
19
18
𝐿)
= 2𝜋√
103𝐿
76𝑔
 
𝑇𝐵 = 2𝜋√
103𝐿
76𝑔
= 2𝜋√
103(1.286 𝑚)
76(9.81 𝑚/𝑠2)
 
𝑇𝐵 = 2.648 𝑠 
Péndulo A 
Pregunta Respuesta Puntaje 
𝑌𝐴𝑐𝑚 
 
377
560
𝐿 0.5 p 
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 2.852𝑀𝐿
2 0.5 p 
𝐿 1.286 𝑚 0.5 p 
𝑇𝐴 2.094 0.5 p 
 
Péndulo B 
Pregunta Respuesta Puntaje 
𝑌𝐵𝑐𝑚 
19
18
𝐿 0.5 p 
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
103
12
𝑀𝐿2 0.5 p 
𝑇𝐵 2.648 𝑠 0.1 p 
 
3.- La forma de una cuerda delgada tensa que está atada por ambos extremos y oscila en su tercer armónico 
se describe con la ecuación: 
6 
 
𝑦(𝑥, 𝑡) = (5.60 𝑐𝑚) 𝑠𝑒𝑛 [ (0.0340
𝑟𝑎𝑑
𝑐𝑚
) 𝑥 ] 𝑠𝑒𝑛 [ ( 50.0
𝑟𝑎𝑑
𝑠
) 𝑡 ] 
Donde el origen está en el extremo izquierdo de la cuerda, el eje x está a lo largo de la cuerda y el eje y es 
perpendiculara la cuerda. 
 
a) Calcule la amplitud de las dos ondas viajeras que constituyen esta onda estacionaria. (0.5 puntos) 
b) ¿Qué longitud tiene la cuerda? (1 punto) 
c) Calcule la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la rapidez de las ondas viajeras. (1 punto) 
d) Calcule la rapidez transversal máxima de la cuerda. (0.5 puntos) 
e) ¿Qué ecuación 𝑦(𝑥, 𝑡) tendría esta cuerda si vibrara en su octavo armónico? (1 punto) 
 
Solución: 
Sabemos que la ecuación de una onda estacionaria en una cuerda está dada por: 
𝑦(𝑥, 𝑡) = ( 𝐴𝑠𝑤 sin 𝑘𝑥) sin 𝜔𝑡 
Sabiendo que 𝐴𝑠𝑤 = 2𝐴, entonces 𝐴 =
𝐴𝑠𝑤
2
=
(5.60 𝑐𝑚)
2
= 2.80 𝑐𝑚 
Según dato nos encontramos en el tercer armónico, además la ecuación para obtener la longitud de cuerda 
es 𝐿 = 𝑛𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑜 (
𝜆
2
), obteniendo entonces: 𝐿 = 3 (
𝜆
2
), además se conoce que 𝑘 = 2𝜋/𝜆 por lo tanto 𝜆 =
2𝜋/𝑘. 
De la ecuación dada obtenemos que 𝑘 = 0.0340 𝑟𝑎𝑑/𝑐𝑚, entonces: 
𝜆 =
2𝜋
0.0340
𝑟𝑎𝑑
𝑐𝑚
= 184.8 𝑐𝑚 
𝐿 = 3 (
𝜆
2
) = 277 𝑐𝑚 
La longitud de onda sería 𝜆 = 185 𝑐𝑚 
De la ecuación dada se tiene que 𝜔 = 50.0 𝑟𝑎𝑑/𝑠, entonces 𝑓 =
𝜔
2𝜋
= 7.96 𝐻𝑧 
Periodo 𝑇 =
1
𝑓
= 0.126 𝑠 
𝑣 = 𝑓𝜆 = 1470 𝑐𝑚/𝑠 
 
Para obtener una ecuación de la velocidad, derivamos la expresión dada respecto al tiempo. 
𝑉𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝜔𝐴𝑠𝑤 sin 𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 
𝑉𝑦,𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐴𝑠𝑤 = (50.0
𝑟𝑎𝑑
𝑠
) (5.60 𝑐𝑚) = 280 𝑐𝑚/𝑠 
Para poder evaluar la ecuación 𝑦(𝑥, 𝑡) que tendría esta cuerda si vibrara en su octavo armónico, primero 
hallamos la frecuencia fundamental. 
𝑓3 = 7.96 𝐻𝑧 = 3𝑓1, entonces 𝑓1 = 2.65 𝐻𝑧 es el fundamental 
Luego hallamos la frecuencia del octavo armónico. 
 𝑓8 = 8 𝑓1 = 21.2 𝐻𝑧; 𝜔8 = 2𝜋𝑓8 = 133 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝜆 =
𝑣
𝑓
=
(1470
𝑐𝑚
𝑠
)
21.2 𝐻𝑧
= 69.3 𝑐𝑚 y 𝑘 =
2𝜋
𝜆
= 0.0906 𝑟𝑎𝑑/𝑐𝑚 
Reemplazando en la ecuación general tenemos: 
𝑦(𝑥, 𝑡) = (5.60𝑐𝑚)sin ([0.0906
𝑟𝑎𝑑
𝑐𝑚
] 𝑥)sin ([133
𝑟𝑎𝑑
𝑠
] 𝑡) 
 
Pregunta Respuesta Puntaje 
Amplitud 2.80 𝑐𝑚 0.5 p 
𝜆 184.8 𝑐𝑚 0.25 p 
Longitud de la cuerda 277 𝑐𝑚 1 p 
Periodo 0.126 𝑠 0.25 p 
Frecuencia 7.96 𝐻𝑧 0.25 p 
7 
 
Rapidez 1470 𝑐𝑚/𝑠 0.25 p 
Velocidad máxima 280 𝑐𝑚/𝑠 0.5 p 
Ecuación en el octavo 
armónico 
𝑦(𝑥, 𝑡) = (5.60𝑐𝑚)sin ([0.0906
𝑟𝑎𝑑
𝑐𝑚
] 𝑥)sin ([133
𝑟𝑎𝑑
𝑠
] 𝑡) 
 
1p 
 
4.- Los murciélagos de herradura emiten sonidos por las fosas nasales y luego escuchan la frecuencia del 
sonido reflejado de su presa para determinar la rapidez de ésta. Una noche en la cual se tiene una 
temperatura de 19°C, un murciélago de herradura que vuela de norte a sur con una rapidez 𝑣𝑚𝑢𝑟 emite 
sonidos con frecuencia 𝑓𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜 logrando detectar dos presas. La primera presa es un insecto que vuela 
con velocidad 𝑣𝑖𝑛𝑠 hacia el murciélago y de la cual oye una frecuencia de 85.4 kHz. La segunda presa es 
otro insecto que vuela con velocidad 2𝑣𝑖𝑛𝑠 también hacia el murciélago y de la cual oye una frecuencia de 
87.3 kHz. Como información adicional se sabe que las presas en cierto momento están separados 15 metros 
entre ellas, en ese mismo instante la presa más lejana está separada 65 metros del murciélago y las 
velocidades constantes que poseen los tres animales permiten conocer que a partir de ese instante 
transcurrirá el mismo tiempo para que lleguen a encontrarse en un mismo punto. Considerando que toda la 
noche el viento sopló en la dirección noroeste a 18 km/h. Calcular la frecuencia del sonido que emite el 
murciélago. (4 puntos) 
NOTA: Utilice la expresión C=20.1𝑇
1
2 m/s para calcular la velocidad de propagación del sonido en el aire 
en función de la temperatura ambiental. 
Solución: 
Determinamos la velocidad de propagación de las ondas en el aire 
𝑁𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑎 𝑠𝑢𝑟 ⟹ 𝐶′ = 20.1𝑇
1
2 − 𝑉𝑣𝐶𝑜𝑠45° = 20.1(273 + 19)
1
2 − 5𝐶𝑜𝑠45° = 339.93 𝑚/𝑠 
𝑆𝑢𝑟 𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑡𝑒 ⟹ 𝐶′′ = 20.1𝑇
1
2 + 𝑉𝑣𝐶𝑜𝑠45° = 20.1(273 + 19)
1
2 + 5𝐶𝑜𝑠45° = 347 𝑚/𝑠 
Para la primera presa tenemos: 
𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎1 = 𝑓𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜1 (
𝑣′′ + 𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐í𝑒𝑙𝑎𝑔𝑜
𝑣′′ − 𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
) = 𝑓𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜 (
𝑣′ + 𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑣′ − 𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜
) (
𝑣′′ + 𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐í𝑒𝑙𝑎𝑔𝑜
𝑣′′ − 𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
) 
Despejando la frecuencia del murciélago tenemos: 
𝑓𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜 =
𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎1
(
𝑣′+𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑣′−𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜
) (
𝑣′′+𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐í𝑒𝑙𝑎𝑔𝑜
𝑣′′−𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
)
 
Para la segunda presa tenemos: 
𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎2 = 𝑓𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜2 (
𝑣′′ + 𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐í𝑒𝑙𝑎𝑔𝑜
𝑣′′ − 2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
) = 𝑓𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜 (
𝑣′ + 2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑣′ − 𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜
) (
𝑣′′ + 𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐í𝑒𝑙𝑎𝑔𝑜
𝑣′′ − 2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
) 
Despejando la frecuencia del murciélago tenemos: 
𝑓𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜 =
𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎2
(
𝑣′+2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑣′−𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜
) (
𝑣′′+𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐í𝑒𝑙𝑎𝑔𝑜
𝑣′′−2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
)
 
Igualando las expresiones de frecuencia del murciélago tenemos: 
𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎2
(
𝑣′+2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑣′−𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜
) (
𝑣′′+𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐í𝑒𝑙𝑎𝑔𝑜
𝑣′′−2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
)
=
𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎1
(
𝑣′+𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑣′−𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜
) (
𝑣′′+𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐í𝑒𝑙𝑎𝑔𝑜
𝑣′′−𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
)
 
𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎2 (
𝑣′ + 𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑣′′ − 𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
) = 𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎1 (
𝑣′ + 2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑣′′ − 2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
) 
8 
 
87.3 (
339.93 + 𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
347 − 𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
) = 85.4 (
339.93 + 2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
347 − 2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
) 
𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜 = 3.779 𝑚/𝑠 
Los tres animales se encuentran al mismo tiempo entonces aplicando cinemática tenemos: 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣 ⟹ ∫ 𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
= ∫ 𝑣𝑑𝑡 ⟹
𝑡
0
 𝑥 = 𝑣𝑡 + 𝑥0 
La posición final de la presa 1 será: 𝑥1 = 𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑡 + 𝑎 
La posición final de la presa 2 será: 𝑥2 = 2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑡 + 𝑏 
2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑡 + 𝑏 = 𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑡 + 𝑎 
𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑡 = 15 ⟹ 𝑡 = 3.969 𝑠 
Para determinar la velocidad del murciélago tenemos: 
∫ 𝑑𝑥
30
65
= ∫ −𝑣𝑑𝑡 ⟹
3.969
0
− 35 = −𝑣𝑚𝑢𝑟𝑡 ⟹ 𝑣𝑚𝑢𝑟 = 8.818 𝑚/𝑠 
Entonces la frecuencia del murciélago será: 
𝑓𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜 =
𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎2
(
𝑣′+2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑣′−𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜
) (
𝑣′′+𝑣𝑚𝑢𝑟𝑐í𝑒𝑙𝑎𝑔𝑜
𝑣′′−2𝑣𝑖𝑛𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜
)
 
𝑓𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜 =
87.3
(
339.93+2(3.779)
339.93−8.818
) (
347+8.818
347−2(3.779)
)
 
𝑓𝑚𝑢𝑟𝑐𝑖é𝑙𝑎𝑔𝑜 = 79.5 𝑘𝐻𝑧 
Pregunta Respuesta Puntaje 
Velocidad de insecto 3.779 𝑚/𝑠 0.75 p 
Velocidad de 
murciélago 
8.818 𝑚/𝑠 0.75 p 
Tiempo de encuentro de 
los tres animales 
3.969 𝑠 0.75 p 
Frecuencia del 
murciélago 
79.5 𝑘𝐻𝑧 1.75 p