INTEGRAL INDEFINIDA

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INFORMACIÓN 
 
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
 INTRODUCCIÓN 
 
 PRIMITIVA ANTIDERIVADA 
 
 DEFINICIÓN 
 
 PROPIEDADES 
 
 NOTACIÓN 
 
 INTEGRALES 
INMEDIATAS 
 
 MÉTODOS DE 
INTEGRACIÓN 
 
 SUSTITUCIÓN o 
CAMBIO de VARIABLE 
 
 POR PARTES 
 
 INTEGRALES 
TRIGONOMÉTRICAS 
 
 SUSTITUCIÓN 
TRIGONOMÉTRICA 
 
 DESCOMPOSICIÓN 
EN FRACCIONES PARCIALES 
 
 INTEGRACIÓN CON 
CONDICIONES INICIALES 
 
 
 
 
INTEGRAL INDEFINIDA 
 
UNIDAD 
TEMÁTICA 
 9 
 Pág. 2 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
Dos importantes pensadores de finales del siglo XVII y principios del 
XVIII fueron Sir ISAAC NEWTON (1642-1727), y Gottfried Wilhelm 
Leibniz (1646- 1716). Cada uno trabajó en otros campos 
diferentes a las matemáticas. NEWTON es un conocido 
científico que hizo grandes descubrimientos en los campos de 
física y matemáticas. Por otra parte LEIBNIZ destaco en las 
matemáticas y la filosofía. Los dos son personajes destacados 
en la historia de las matemáticas que mantuvieron un conflicto 
por defender la autoría de la invención y desarrollo del CALCULO. 
 
 
 
 
 
NEWTON consideraba las variables en función del tiempo, en cambio ´ LEIBNIZ 
tenía un enfoque diferente. El pensaba que las variables tomaban secuencias 
de valores infinitamente cercanos, de aquí las notaciones dx y dy (donde x , y 
son variables) que representan las diferencias entre valores consecutivos de las 
secuencias. 
Sobre la integración, para NEWTON se basaba en encontrar la relación entre 
lo que denomina fluxiones, es decir, las derivadas. De esta forma implica que 
la integración es la operación inversa a la derivación. LEIBNIZ usa la integral 
como una suma de infinitesimales, en cambio NEWTON usaba velocidades 
finitas. Aunque ninguno de ellos usaba las funciones tal como se usan 
actualmente, más bien pensaban en términos de gráficas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 3 
 
CONTENIDOS 
TEÓRICOS 
 
 
 
10.1.- PRIMITIVA o ANTIDERIVADA 
10.1.1. INTRODUCCIÓN 
Estamos familiarizados con algunas operaciones inversas: 
- La suma y la resta, 
- la multiplicación y la división, 
- la exponenciación y el logaritmo 
- la potenciación y la radicación 
Ahora, conoceremos otra operación inversa: 
“la derivación o diferenciación y la antiderivación o antidiferenciación o integración”. 
 
 
 
 
 
 
10.1.2 DEFINICIÓN 
 
Toda función F(x) diferenciable en un intervalo I se llama Primitiva o Antiderivada de la función f(x) 
en dicho intervalo si 
 I x f(x)(x)' F  
 
 
Si F es la función definida por 3)( 2  xxF entonces )(2)( xfxx' F  entonces: 
- f es la derivada de F y 
- F es la antiderivada de f. 
 
Si G es la función definida por 8)( 2  xxG entonces )(2)( xfxx' G  o sea que G también es 
una antiderivada de f. 
En realidad, cualquier función H definida por CxxH  2)( , donde C es una constante, es una 
antiderivada de f. 
 FUNCIÓN DERIVADA
A 
Cálculo Diferencial 
Cálculo Integral 
Ejemplo Explicativo 
 Pág. 4 
 
10.1.3. ANTIDERIVADA GENERAL 
 
Todas las PRIMITIVAS o ANTIDERIVADAS difieren en una constante, o sea que F(x)= x2 no es nada 
más que una PRIMITIVA PARTICULAR de f. 
Esto nos lleva a enunciar la siguiente Propiedad: 
 
Si F es una antiderivada o primitiva particular de f en el intervalo I, 
toda antiderivada o antiderivada general de f en I está dada por 
F(x) + C 
con C: constante de integración. 
 
La operación consistente en obtener la PRIMITIVA de una función 
dada se denomina integración, que es la inversa de la derivación. 
 
 
10.1.4. NOTACIÓN 
El símbolo  denota la operación de antiderivación o integración y 
se escribe: 
  C F(x) dx xf )( 
 
donde 
  dx xfdx xFF(x)d y xfx F )()(')()('  
 
La notación,  , de una S alargada para denotar la operación integración, fue introducida por 
el matemático y filósofo alemán por Gottfried Leibniz a finales del siglo XVII. El símbolo se basó en 
el carácter ſ (S larga), y se escogió debido a que una integral es el límite de una suma. 
 
En la expresión:   C F(x) dx xf )( 
 
x : variable de integración 
f(x) : integrando 
F(x) + C : Integral Indefinida de f 
 
 
 
 Pág. 5 
 
10.1.4. PROPIEDADES - INTEGRALES INMEDIATAS 
Integrales inmediatas son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente, sin más que 
considerar las reglas de derivación. Las integrales inmediatas de uso más frecuente son: 
 
N° Porque la diferencial de… es 
 
1 
  Cx dx   dxxd .1 
2 
  dxc dx c . 
3      dx xg dx xf dx xgxf )()()()( 
4 
-1n con C
n
nx
dx nx 


 1
1
 
 
dxxdx xn
nn
x
d nn
n













).1.(
1
1
1
1
 
5 
 Cx lndx 
x 
1
 
  dx 
x
. 
x
x
x
xd
1
1.
1
ln  
6 
 Cxedx xe  dxeed xx . 
7 
 1 ay 0 a con C
a
a
dx a
x
x  ln
 
dxadx. aa
aa
a
d xx
x









ln..
ln
1
ln
 
8 
 Cx cosdxenx s    dxsenxdxsenxxd .).(cos  
9 
 Cx sendxx cos    dxxsenxd .cos 
10 
 Ctgxdx
x
dx xecs 2   2cos
1
   dxxtgxd .sec2 
11 
 Cgxdx
x
dx xec2   cot
sec
1
cos
2
 
  dx xecdxxecgxd 22 cos).cos(cot 
 
12 
 Carctgxdx 
x
 
 21
1
 
  dx
x
arctgxd .
1
1
2
 
13 
 Carcsenxdx 
x
 
 21
1
 
  dx
x
arcsenxd .
1
1
2
 
 Pág. 6 
 
 
Aplicando las propiedades contenidas en la Tabla de Integrales Inmediatas, resuelva: 
 


 
















Cxln 23x
3
4
 -x cos 5dx 
x
x 4 -x sen 
Cxln 
3x
 4 -x cos 5 
dx
x
 dxx4 -dx senx 5 
dx
x
 dx4x -dx senx 5dx 
x
x 4 -x sen 
2
 
2
22
2
5
2
3
1
2
22
5
 
 
 F = Primitiva de f 
 
Verificación 
 
xd 
x
224x5senx 
xd 
x
224x5senx 
xd 
x
1
2.2.3x
3
4
5senx 

































xln 23x
3
4
 -x cos 5d
xln 23x
3
4
 -x cos 5d
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 1 
 Pág. 7 
 
10.2 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 
Cuando la antiderivada o Primitiva de la función no puede determinarse aplicando Integrales 
Inmediatas, se emplean métodos. Los que se estudiaran en el curso son: 
 Método de Sustitución o cambio de variable 
 Método de Integración por partes 
 Método por Sustitución Trigonométrica 
 Método de Descomposición en fracciones simples o parciales 
 
10.2.1. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE 
Sea la integral  dx f(x)I donde f es una función compuesta en la variable x. 
Para determinar la antiderivada de f se tomará una nueva variable, por ejemplo u tal que x = g(u) 
con el objeto de reducir el problema de integrar una composición de funciones a integrar una 
función simple. 
Como du (u)g' dx ugx  )( 
Sustituyendo en I :  du (u)g' f(g(u))I 
De esta manera se ha transformado la integral indefinida en otra, función de la nueva variable u. 
Si la elección de la variable u fue acertada, la integral resultante es más sencilla de integrar. 
C uFdu (u)g' f(g(u))I   )( 
Una vez obtenida la función Primitiva F(u) y más precisamente el conjunto de Primitivas F(u) + C, 
se sustituye u = g(x):     C   I x Fdx . x f 
 
 
C1)(3x cos 
6
1
 
3xu 
dx x 13x sen
2
2
2









 


 - 
C u cos 
6
1
 - du u sen 
6
1
6
du
 u sen
dxx
6
du
 
dx 6xdu.
1
 
Ejercicio 2 
 Pág. 8 
 
10.2.2 MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES 
10.2.2.1 INTRODUCCIÓN 
Este método permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como el producto 
de una función por la derivada de otra función. 
     dx x ln 1)(x ; dx 
2 xxe ;dx senx x … 
    dx x
2sen ; dx 2)-(x ln ; dx x arctg ;dx senx xe … 
 
10.2.2.2 FÓRMULA EMPLEADA EN EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES 
Sean u(x) y v(x) funciones en la variable x, entonces 
 
  du (x)v - v(x) . (x)u dv (x)u 
donde: 
du = u’(x) dx (diferencial de la función u(x) ) 
dv = v’(x) dx (diferencial de la función v(x) ) 
 
Demostración 
Sean u(x) y v(x) funciones derivables en la variable x. 
El diferencial del producto de las funciones es: 
   
dx (x)v' . )x(u dx (x)v . )x('u 
dx (x)v' . )x(u (x)v . )x('u (x)v . )x(u xd


 
 Integrando miembro a miembro: 
  dx (x)v' . )x(u dx (x)v . )x('u (x)v . )x(u xd    
Reemplazando (1) en (2): 
 
   
 


vd . u du v v . u d
 dx v' . u dxu v v . u d
x(x)(x)xx
dv
(x)x
du
x(x)(x)xx
)()(
)()()( ' 
 
Aplicando propiedades:   vd . )x(u du (x)v (x)v . )x(u 
y despejando: 
 
  du (x)v- (x) v. (x)u dv . (x)u
 
 
(1) 
 Pág. 9 
 
La expresión obtenida, denominada fórmula de integración por partes, se utiliza para transformar una integral 
en otra. Transformación que será útil como método de integración cuando la integral del segundo miembro 
sea inmediata o, al menos, más sencilla que la del primer miembro. 
 
10.2.2.3 MÉTODO PRÁCTICO PARA ELEGIR LA FUNCIÓN u(x) 
 
Un método práctico para elegir la función u(x) es con la palabra 
 I L A T E 
 
 
 
 
 
 x u :ello por que antes está ILATE palabra la En 
 . ricatrigonomét : x sen ; algebraica : xdx senx x


ricatrigonométalgebraica 
 xln u : ello por que antes está ILATE palabra la En 
alogarítmic : x ln ; algebraica :1)(x dx x ln )x(


algebraicaalogarítmic
1
 
 
 
C3x
9
1
 -.lnx
3
3x
dx lnx 2x 









 
dx 2x
3
1
.lnx
3
3x
 
dx 
x
1
.
3
3x
.lnx
3
3x
dx lnx 2x
3
3x
 v dx 2 x dv 
dx
x
1
 du x ln u 
dx lnx 2x
 
inversa 
logarítmica 
algebraica 
trigonométrica 
exponencial 
Ejercicio 3 
Ejemplo Explicativo 
 Pág. 10 
 
10.2.3 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS USADAS FRECUENTEMENTE 
 
10.2.3.1 INTEGRALES DE FUNCIONES y= senx ; y=cos x 
a)   Inmediatas Integrales C x sen dx x cos ; Cxcosdx senx 
 
b)   ax z con nSustitució de Método aplica Se dx (ax) cos ; dx ax sen  
 
 
C 5x sen 
5
1
 


 

 
C z sen 
5
1
dz z
5
1
 dx 5xcos
dxdz
5
1
 dx; 5 dz 5xz dx 5xcos
cos 
 
c) dx x cos ; dx x sen nn  
n es impar se utiliza la identidad 1cos
22  xxsen 
n es par se utiliza la identidad 22
cos(2x)1
x2cos ; 
cos(2x)-1
x2sen

 
 
 
 
 
 
C x cos . x sen 
2
1
x
2
1
 dx xsen 
C(2x) sen 
2
1
x 
2
1
 dx xsen
2
(2x) sen
2
z sen
.dz z cos 
2
1
 dx (2x) cos 
 
2
dz
dxdx 2 dz 
x 2 z 
dx cos(2x) dx 
2
1
 dx 
2
(2x) cos-1
 dx xsen
2
 cosx . 2.senx
2
2























 
  

 
Ejercicio 4 
Ejercicio 5 
 Pág. 11 
 
 
Cxcos
3
1
cosx dxx sen 33 








 

 
x
3
1
z
3
1
 - 
 zd zdx senx x 
dx senx - dz ; x cos z 
dx senx x 
 dx senx xxdx sen 
dx senxxcos-(1 dx x ens . x ens dx x ens 223
33
22
2
2
cos
..cos
.cos
.cos
).
 
 
d) dx xcos x.sen nm 
 
si m o n es impar se utiliza la identidad: 1cos
22  xxsen 
si m y n son pares se utiliza la identidad: 22
cos(2x)1
x2cos ; 
cos(2x)-1
x2sen

 
 
 
 
dx x cos xsen dx xxsen2 -dx x cos 
 dx x cosxsenxsen 2-1 dx xxsen-1 dx x cos xxdx
 
 dx xxsen -dx x cos dx xxsen-(1 dx x cos xxdx
 
xdxxdxcos dx x cos x xdxcos . x ens
2 ejercicio en como proceder
42
22
2 ejercicio en como proceder
22
3332
  
   
    
 





 










  
  
.cos.
cos..coscos
cos.cos)..coscos
cos).cos1(
4
2
25
23
52
 
 
Ejercicio 6 
Ejercicio 7 
 Pág. 12 
 
10.2.3.2. INTEGRALES DE FUNCIONES y= tgx ; y=cotg x 
 
a)  dx x cotg ; dx x gt 
 
recuerde que: 
 
 
 
Ccosxln dxx tg 






 
 Cz
z
dz
 - 
dx x sen - dz x cos z 
 dx
x cos
x sen
 dx x gt
ln
 
 
 
b) 
 dx x 
ncotg ; dx x ngt
 
 
 
 
int egra. sey ident idad la emplea se ... x
2
t g . x
2
t g x
3
t g t gx . x
2
t g x
3
t g
 x
2-n
cot g . x
2
cot g dx x 
n
cot g 
 
 x
2-n
t g . x
2
t g dx x 
n
t g 
int egra sey x
2
cosec x
2
cot g 
 1-x
2
sec x
2
t g :ident idad la emplea se 
 :Ej
 





 :descompone se 2 n Si
 2 n Si
 
 
 
 
 
x sen
x cos
 x otgc ; 
x cos
x sen
 x gt 
Ejercicio 8 
 Pág. 13 
 
 
 
C x -x tg dxx tg2 





 



 C x -x tg 
 dx dx x 
 dx x dx x gt
x x t g
2
  
2
2
sec
.1sec
 
 
 
 
 
C x cos ln-xtg
2
1
 dxx tg 23 







 






 
 
 en doreemplazan
x dx x tgxdxsecdu x tgu 
xtgu
duudx x gt . x 
 
(1) dx x tg dx x gt . x dx x tg x 
 dx tgx . xgt dx x gt
2
3
:)1(
cosln
22
.sec
sec.1sec
22
2
22
2
 
 
Ejercicio 9 
Ejercicio 10 
 Pág. 14 
 
10.2.3.3. INTEGRALES DE FUNCIONES y=secx ; y=cosec x 
 
a)  dx x cosec ; dx x sec 
Se multiplica y se divide la función dada por: 
 nsustitució aplica se y 
 x cotg x cosec xcosec ; x tg x sec xsec 
 
 
 
 
 

 







 







C x tg secx ln dx x sec 
Cu
u
du
xdx 
 en doreemplazan
dx xsectgxxdu 
 x tgxu 
 (1) dx 
tgxx
tgxxx
 dx 
x tg x sec
 tgx secx
 . x ecs dx x ecs
2
lnsec
:)1(
.sec
sec
sec
.secsec2
 
 
 
 
b)   Inmediatas Integrales C x cotg -dx x cosec ; C x tg dx x 
22sec 
 
 
 
c)  dx x 
3cosec ; dx x 3sec 
se integra por partes
 
 
Ejercicio 11 
 Pág. 15 
 
 
 
  Cx tg x sec ln x tg .x sec
2
1
xdxsec3 














 
 

 x tg x sec ln x tg . x sec dx x
dx x sec dx x -x tg . xxdx
dx xsec . 1-x sec -x tg . xdx xsec . x tg -x tg . xxdx
x tg v 
 dx xdv 
 
dx x tg xsec du 
 x secu 
 dx x ecs . x ecs dx x ecs
22
23
3
33
3
2
sec2
secsecsec
secsecsec
sec
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 12 
VERIFICA CON GEOGEBRA 
 Pág. 16 
 
10.2.4 MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 
Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, permite integrar cierto tipo de 
funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas, 
Si un integrando contiene una expresión de la forma 
2x2a  2x2a  2a-2x 
donde a > 0, una sustitución trigonométrica adecuada transforma la integral original en una que 
contiene funciones trigonométricas, que son más fáciles de resolver. 
 
Las sustituciones adecuadas son: 
Expresión en el integrando Sustitución Trigonométrica 
I 2x2a  θ sen . ax  
II 2x2a  θ gt . ax  
III 2a-2x θ sec . ax  
 
 
dx  22 x16.x
1
 La integral responde a la forma del caso I, y el cambio de variable 
 correspondiente es:  sen 4 sen ax  . 
 
y se puede construir el siguiente triángulo. 
 
 
 
 2x16 


d cos 4.dx
 4.cos x-16 senx 2

 .4 
 
C
x
x16
 .
16
1 2






 
 cotg d ec
16
1
 
d 
sen
1
16
1
 
 cos 4. . sen 16.
d cos 4. 
x16 x
dx
222




16
1
cos 2
2
 
 
4 
x 
 
Ejercicio 13 
 Pág. 17 
 
 
 
dx 25-x.x
1
22
 
 
La integral responde a la forma del caso III, y el cambio de variable 
correspondiente es:  sec 5 ax  sec. 
 
 
y se puede construir el siguiente triángulo. 
 
 25
2x  
 
 
 


d tg . sec 5.dx
 5.tgx x 2

 25sec.5
 
 
 
C
x
25x
 .
25
1
C
x
25x
 .
25
1
2
2















 
x x
dx
 
 sen d 
25
1
 
d 
 sec
1
25
1
 
 
 tg 5.. sec 25.
d tg . sec 5.
 
x x
dx
2
22
25
25
1
cos
25
2
2





 
 
x 
5 
 
Ejercicio 14 
 Pág. 18 
 
10.2.5. MÉTODO POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES 
10.2.5.1 INTRODUCCIÓN 
Este método permitirá integrar funciones de la forma 
)(
)(
xg
xf
 donde f y g son funciones 
polinomiales. 
dx
xx
x
 

4
45
3
 dx
xx
x
 

4
1
2
2
 dx
xx
xx
 

42
7
2
3
 
 
10.2.5.2 CLASIFICACIÓN 
De acuerdo al grado de f y g las fracciones racionales pueden ser: 
 
a) FRACCIONES RACIONALES PROPIAS 
)(
)(
xg
xf
 es Fracción racional propia si: g(x) de grado f(x) de grado el  
Ejemplo: dx
xx
xx
 

4
123
3
2
 
 
b) FRACCIONES RACIONALES IMPROPIAS 
)(
)(
xg
xf
 es Fracción racional Impropia si: g(x) de grado f(x) de grado el  
Ejemplo: dx
xx
xx
 

4
123
2
2
 ; dx
xx
xx
 

4
123
2
3
 
 
10.2.5.3 CASOS 
Al factorear el denominador de la función racional fraccionaria, se presentan los siguientes casos: 
 
a) Raíces reales simples:     reales constantes son by a donde b-x axxg )( 
 
b) Raíces reales múltiples:     reales constantes son by a donde b-x axxg mn)( 
 En este caso, teniendo además en cuenta la descomposición en fracciones parciales: 
 
c) Raíces imaginarias simples:     bix aixxg )( 
d) Raíces imaginarias múltiples:     bix aixxg mn )( 
 
En este curso se trabajará con raíces reales, por tanto no se verán el 3° y 4° caso. 
 
 
 Pág. 19 
 
 
Previamente recordemos 
 Toda fracción racional propia se puede descomponer en fracciones racionales simples: 

simples fracciones propiafracción
 5 5
4
6
1
.6
29
30
29

 
 En forma análoga se podrá descomponer la función dada 
)(
)(
xg
xf
 en fracciones simples, y 
la integral  dxxg
xf
)(
)(
 podrá expresarse como suma de integrales de fracciones simples. 
 En el 1° caso: dx
bx
B
dx
ax
A
dx
g(x)
f(x)
 
bx
B
ax
A
xg
xf
 )(
)(
 
 
 En el 2° caso: 
   
 
bx
B
ax
A
xg
xf
mn





)(
)(
 
 
           
dx
bx
F
dx
bx
E
dx
bx
D
dx
ax
C
dx
ax
B
dx
ax
A
dx
g(x)
f(x)
mmnn    ...... 11
 
 
 
 
 

dx 
2x-xx
32x
23
 cumple con la condición (1) 
 
1°) Se factorea el denominador 
caso) (1 simples reales raíces t res son 2)(x . 1)-(x . x xx . x xxx Q(x) 23 



  222
 
2°) Se descompone la integral dada en una suma de tres integrales de fracciones de polinomios 
de menor grado 
    

dx
x
C
 dx
x
B
 dx
x
A
 .dx
x1-xx
32x
 
212
 (2) 
 
Ejercicio 15 
Ejemplo Explicativo 
 Pág. 20 
 
3°) Determinación de constantes 
 
Se trabaja conlas funciones de ambos miembros: 
  
 
2x
C
 
x
B
 
x
A
x1-x x
32x






12
 
 
Se realiza la suma del segundo miembro: 
  
      
   2xx . x
1-xx C2x x. BxxA
 
x1-x x
32x





1
21
2
 
 
Como los denominadores de ambos miembros son iguales se simplifican: 
       1-xx C2x x. BxxA 32x  21 (3) 
 
Se particulariza (3) para cada uno de los valores de las raíces y se obtienen los valores de A, B y C: 
1/6 - C C00 3 (-2)2, ; 2 - x si
 5/3 B 0 3B0 32.1 ; 1 x si
 
2
3
 - A 002A - 3 2.0 ; 0 x si



6
 
 
4°) Se reemplazan las constantes en (2) y se resuelven las integrales 
  
2ln
2
ln
2
1ln
1
ln
1
2
1
6
1
1
1
2





















x
x
dx
 
t
t
dt
x
dx
 dxdt ; 2x t 
x
x
dx
 
t
t
dt
x
dx
 dxdt ; 1-x t 
AUXILIARES CÁLCULOS 
dx
x
 dx
x3
5
 dx
x
1
 
2
3
 -.dx
x1-xx
32x
 
C 2 x ln 
6
1
 - 1-xln 
3
5
dx 
2x-xx
32x
 
23



 x ln2
3
 
 
 
 Pág. 21 
 
 
  dx xx-x
5
2345 x
 cumple con la condición (1) 
 
1°) Se factorea el denominador 
 
    caso) (2 simple 1y mult iples reales raíces 2 son xxx 
1-x.x .x 
 )(x -1)-.(x x . x xxx . x xxxx Q(x) 
2
cuadrado de diferencia
22
grupos porfact oreo
22
comun fact or
325





 



 



 
11.
1
11
2
2234

    
 
 
2°) Se descompone la integral dada en una suma de cinco integrales de fracciones de polinomios 
de menor grado 
         dxx
E
dx
x
D
dx
x
C
dx
x
B
 
 
dx
x
A
.dx
x1-x 
2
x
.dx
xxx
5
x 111 221.2
5
234
5
 (2) 
 
 
3°) Determinación de constantes 
 
Se trabaja con las funciones de ambos miembros: 
      111221.2
5






 x
E
 
x
D
 
x
C
 
x
B
 
x
A
x1-x 
2
x
 
 
Se realiza la suma del segundo miembro: 
   
               
    x 1-x x
1-x.x Ex 1-x.x Dx.x Cx 1-xx. BxxA
 
x 1-x x 2
2222
2 1
11111
1
5
2
22
2




 
 
 
Como los denominadores de ambos miembros son iguales se simplifican: 
 
                1-x.x Ex 1-x.x Dx.x Cx 1-xx. BxxA 5 2222  11111 22 (3) 
 
Ejercicio 16 
 Pág. 22 
 
Se particulariza (3) para cada uno de los valores de las raíces y se obtienen los valores de A, B y C: 
 5/4 E E 5; 1 - x si
 5/2 B 2C 5; 1 x si
 5 A A 5; 0 x si



4
 
 
Como faltan los valores de 2 constantes y ya se usaron los valores de las tres raíces, se dan dos 
valores cualesquiera de x: 
(5) 40 -12D4C - 
4
5
12DC
2
5
18.9.5 - 5; 36E12DCB9A - 5; 2 - x si
(4) 30 -12D12C 
4
5
4.12D12C
2
5
6. 3.5 5; 4E12D12C6B 3A 5; 2 x si


.364418
 
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones (4) y (5): 
 
8
25
Dy 
8
5
 C 
DC
DC








40124
301212
 
 
 
4°) Se reemplazan las constantes en (2) y se resuelven las integrales 
 
 
  














dx
x
dx
x
dx
x
.dx
xxx
5
x
dx
x
dx
x
dx
x
 
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
 
1
1
22
1
22
5
234
5
4
5
1
1
8
25
1
1
8
51
2
5
5
1
4/5
1
8/25
1
8/52/5
 
 
Cálculo Auxiliares 
 
  1
1
1
1
1
2
22








xx
dx
 
tt
dt
x
dx
 dxdt ; 1-x t 
 
 Pág. 23 
 
1ln
1
ln
1
1
1ln
1
ln
1














x
x
dx
 
t
t
dt
x
dx
 dxdt ; x t 
x
x
dx
 
t
t
dt
x
dx
 dxdt ; 1-x t 
 
 
 
    dxxdxxdxxdxx 
 
dx
x
.dx
xxx
5
x 1
1
4
5
1
1
8
25
1
1
8
51
2
5
5
22
1
234
5 
 
 
 
C1xln 1-xln
8
25
 
1)-(x 8
5
 xln 
2
5
dx 
 4
5
 
x
5
xxxx
5
2345
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VERIFICA CON GEOGEBRA 
 Pág. 24 
 
10.3 INTEGRACIÓN CON CONDICIONES INICIALES 
En la sección 10.1.3 se vio que la ecuación  dxxfy )( admite infinitas soluciones que difieren 
en una constante que llamamos C. Esto significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de 
f son traslaciones verticales una de la otra. Por ejemplo, en la figura de la izquierda mostramos 
varias gráficas de primitivas de la forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una solución particular de esta ecuación será una única primitiva, es decir, conocemos el valor de 
la constante C. 
En muchas aplicaciones de la integración, hay información suficiente como para conocer este 
valor particular de C. Esta información se llama condición inicial. 
Por ejemplo, en el caso anterior, la condición inicial, sería que la curva pasa por el punto (0,-1). 
 
 
 
Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 20m/s y desde una altura inicial de 24m. 
a) Hallar la función posición que describe la altura s en función del 
tiempo t. 
b) Cuando llega la pelota al suelo? 
 
 
 
 
 
Ejercicio 17 
 Pág. 25 
 
 
Solución 
En el instante t = 0 la pelota se encuentra a 24m de altura lo que se puede expresar la primera 
condición inicial (0, 24) 
En ese tiempo, la velocidad es 20m/s y como )(' ts
dt
ds
v  diremos que otra condición inicial es 
s’(0) = 19,2 m/s. 
Por otra parte, la aceleración de la gravedad es 9,8m/s2 y cómo )('' ts
dt
dt
ds
dt
dv
a  y por lo 
tanto la última condición inicial es s’’(0) = - 9,8m/s2 (el signo negativo se debe a que la pelota 
asciende) 
 
1C t 9,8 - ts 
 dt 9,8- dttsts

  
)('
)('')('
 
Como s’(0) =19,2 m/s. reemplazando: 
2,191
2,19)0('


C
C 0 . 9,8 - s 1
 
 
2
2
21
2
1
C t t 4,9 - s(t ) 
C t C t 4,9 - ts 
 dtC t 9,8- dttsts


  
2,19
)(
)(')(
 
Como s(0) = 24 m. reemplazando: 
24
24
2
)0


C
C 0 19,2. 0 . 4,9 - s 2 (
 
Entonces la Función posición es: 
24 t 19,22t 4,9 - s(t)  
b)Para determinar cuando la pelota llega suelo, resolvemos la ecuación obtenida ya que s = 0 
5s2s 

 ; 1s -t)(1s
024 t 2,912t 4,9 - s(t)
 
Por tanto la pelota tarda 5 s al llegar al piso.