CONTINUIDAD

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CONTINUIDAD DE UNA 
FUNCIÓN 
 
UNIDAD 
TEMÁTICA 
5 
 
 
 
 
 
Contenidos 
Continuidad de una función en un punto 
Discontinuidades: clasificación 
Continuidad de una función en intervalos 
Propiedades de funciones continuas 
 
 
 
 
En la naturaleza y en la vida cotidiana se presentan numerosos fenómenos que tienen un 
comportamiento continuo como por ejemplo el desplazamiento de un vehículo o el volumen del 
agua que fluye de un recipiente. 
Pero también se presentan discontinuidades en muchas situaciones, como las corrientes eléctricas. 
Si bien muchos procesos físicos son continuos, alrededor de 1920 se descubrió que los átomos que 
vibran en una molécula de hidrógeno pueden oscilar sólo en niveles de energía discretos y que los 
átomos al ser calentados, emiten luz en frecuencias discretas y no en espectros continuos. Como 
resultado de estos 
descubrimientos y dado que en informática y en estadística hacen un intenso uso de funciones 
discretas, la continuidad ha adquirido una gran importancia1 
 
 
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CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
5.1 Definición intuitiva 
 Una función es CONTINUA cuando no presenta saltos ni interrupciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso contrario la función es DISCONTINUA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2 Definición de función continúa en un punto 
- Una función f es continua en un punto de abscisa c si: 
a)  f (c) 
b)  (x)fl
cx
ím

 
c) (x)fl
cx
ím

 = f (c) 
 
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5.3 Definición de función discontinua en un punto 
Una función f es discontinua en un punto de abscisa c (x = c) si no se verifica por lo menos una 
de las tres condiciones de continuidad en un punto. 
 
5.4 Tipos de discontinuidades 
Las discontinuidades se clasifican en: 
1) Evitables cuando existe el límite en el punto: Existe f(x) lim 
cx
 
2) o Evitables o Inevitables cuando no existe el límite: No Existe f(x) lim 
cx
 
Pueden presentarse los distintos casos: 
a) Finitas: cuando existen los límites laterales pero no son iguales 
b) Infinitas: cuando al menos uno de los límites laterales es +∞ o - ∞ (el límite no existe) 
 
Evitable Evitable No evitable finita No evitable infinita 
 
 
5.5 Definición de función continua en un intervalo abierto 
Una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si 
es continua en todos los puntos de ese intervalo 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Sea 
3
)(


x
x
xf analice la continuidad de f en los intervalos (-1, 4) y (3, 7) 
El  3 Rdomf . El único valor para la cual la función no está definida es para x = 3. 
 Como 4) (-1, x  3 f es discontinua en (-1, 4). 
 Como (3,7) x  3 f es continua en (3,7). 
 
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5.6 Definición de función continua en un intervalo cerrado 
Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es: 
 
i) Continua en todos los puntos del intervalo abierto (a, b). 
ii) Continua por la derecha de a, es decir 
 a fxf
ax


)(lim 
iii) Continua por la izquierda de b, es decir 
 b fxf
bx


)(lim 
 
Ejemplo: 
Sea 







1 x si 1 -x
1x si x
xf
1
)(
2
 analice la continuidad de f   3, 2 
1) Se estudia si f es continua en  3,2  
Las funciones 12  xy xy  son continuas en todo su dominio o sea en R. Por tanto queda analizar 
si f es continua en x = 1. 
1 x en cont inua esf ent onces xf
1x
lim f(1) iii
xf
1x
lim exist e ent onces exist e xf
1x
lim 
exist e xf
-1x
lim ii
 f i)










0)()
0)(011)(
01
2
1)()
01
2
1)1(
 
Por tanto decimos que f es continua en el intervalo abierto (-2, 3), cumpliéndose 5.6.i 
 
2) Se estudia si es continua a la derecha de x = -2 
2 -x de derecha la a continua esf entonces 
x
lim ; 2 -f 

 31
2
)2(
2
31
2
)2()(
 
3) Se estudia si es continua a la izquierda de x = 3 
 3x de izquierda la a continua esf entonces 
x
lim ; 3f 

 213
3
213)(
 
Como se cumplen todas las condiciones, 
 f es continua en [-2, 3] 
 
 
 
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5.7 Propiedades de funciones continuas 
Teorema 1 
Si )(: xfyf  y )(: xgyg  son funciones continuas en x = c , también son continuas en c las 
siguientes funciones: 
a) )(xf . ky  con k constante 
b) g(x) xf y  )( 
c) g(x) xf y .)( 
d) 0 g(c) con 
xg
xf 
y 
)(
)(
 
e) Si g(x) es continua en x = c y )(xf es continua en )(cg , entonces la función compuesta 
fog es continua en x = c 
 
Teorema 2 
Las funciones Algebraicas Enteras (polinomiales) son continuas en el conjunto de los números 
reales. 
 
Teorema 3 
Las funciones Algebraicas Fraccionarias son continuas para todo valor de x, excepto para 
aquellos valores que anulan el polinomio denominador. 
 
5.8 Teoremas de funciones continuas en intervalos cerrados 
Los siguientes teoremas enuncian resultados importantes de funciones continuas en intervalos 
cerrados que se aplicarán más adelante en el Cálculo Diferencial y en el Cálculo Integral. 
 
5.8.1 Teorema de Bolzano 
Sean a,b ∈ R con a < b y f una función continua en [a, b], verificando que f(a) < 0 y f(b) > 0 (o 
f(a)>0 y f(b) < 0). Entonces existe c ∈ (a ,b) tal que f(c) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.8.2 Teorema del Valor Intermedio 
Sea y = f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y k un número cualquiera 
entre f (a) y f (b), entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que f(c) = k 
 
 
 
 
 
 
 
5.7.3 Teorema de Weierstrass 
Toda función continua en el intervalo cerrado [a, b], tiene al menos un máximo y mínimo 
absolutos en [a, b].