Teoria de la probabilidad

Vista previa del material en texto

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
UNIVERSIDAD ALEJANDRO DE HUMBOLDT
ASIGNATURA: ESTADISTICA I
SECCIÓN: 302 
Teoría de la probabilidad
Profesora: Alumnas:
María Veloso Valentina Marcano 
 V-26.818.642
 Francis Regalado
 V-26.022.636 
Caracas, 27 de Marzo del 2017
Índice
pág.
INTRODUCCIÓN………………………………………………...……….….…...3
TEORIA DE LA PROBABILIDAD
 Probabilidad
 Concepto…………………………………………..………….…………….4
 Origen.………………………………………………………………………4
 Cálculo……………………………...………………………....................…4
 Historia………………….……………………………..………..............…..5
 Importancia y uso…………………………………………….…............….7
 Características……………………………………………………….……..8
 Conceptos básicos
 Sucesos………………………………………………....………………......8
 Eventos…………………………………………………………………….10
 Espacio muestral………………………………...….………………....….11
 Probabilidad clásica………………………………………………………12
 Propiedades
 Propiedad de la suma…………………………………………...……......12
 Propiedad de la multiplicación…………………………………….….…13 
 Diagrama de Venn………………………………………………….………...14 
 Teorema de Bayes……………………………………………………………14
CONCLUSIÓN……………………………………………………………….…….16
BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………17
 
 
 
Introducción
 En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz.. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.
 En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre. 
 La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar con situaciones de este tipo; Por otra parte, cuando aplicamos las técnicas estadísticas a la recogida, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al importante papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística, es necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el objetivo del presente tema.
¿Qué es la probabilidad?
 La probabilidad es un sistema que se utiliza para medir o determinar la periodicidad con la que ciertos actos y eventos sucedieron o podrán suceder en un futuro en un contexto determinado. Este sistema es básicamente matemático, y se realiza mediante cálculos cerrados. La probabilidad nos dice con lógica de qué forma y cómo se pueden producir ciertos resultados que a simple vista parecen desordenados y complejos de comprender. Es así como la casualidad y el azar también se mide de una manera efectiva.
 Existen por lo menos dos estados de realidad muy diferentes para los que se utiliza el término probabilidad. En cuestiones sociales o climatológicas se suelen medir tendencias acerca del comportamiento de las personas o de los vientos, pero nada tiene que ver con lo explicado en el primer párrafo. La medición de las probabilidades que se calculan se usa en los ámbitos de las matemáticas, la física, la estadística y la filosofía.
Origen de la probabilidad
 El origen de las probabilidades se inicia en el año de 1654 cuando el matemático francés Blaise Pascal hacia un viaje con el apasionado jugador de dados y cartas, conocido como “El Caballero de Mere”, quien era noble e ilustrado. Este creía que había encontrado una falsedad en los números al analizar el comportamiento de los dados, era diferente cuando se utilizaba un dado, que cuando se utilizaban dos dados. Esta presunción era una comparación errónea, entre las probabilidades de sacar un seis en un solo dado o de sacar un seis con dos dados.
Cálculo de probabilidades
 Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente fórmula:
 Probabilidad = Casos favorables Casos posibles
 El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje.
 Ejemplo: Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:
Casos favorables: 1 (que salga "cara")
Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "sello")
Probabilidad = 1 =0.5* 100= 50%2
Historia de la teoría de la probabilidad
 El mundo se rige por múltiples situaciones en las que se involucra el azar. Los eventos que involucran al ser humano o a los fenómenos naturales que caracterizan al mundo actual y a su dinámica social, no pueden ser predeterminados; es decir, no se puede saber de antemano qué resultado dentro de los posibles va a suceder.
 Desde la antigüedad, los juegos de azar han interesado al hombre; se sabe que el uso de las tabas es tan antiguo como la humanidad y parece ser el antecesor de los dados y de la ruleta. El cálculo de probabilidades inició muy  lentamente a formar parte del campo de las matemáticas.
 El primer documento conocido donde se analizan los juegos de azar en forma sistemática fue escrito por Gerolamo Cardano “Liber de ludo aleae”, alrededor de 1521. Galileo Galilei, se interesó por los juegos de azar y escribió un folleto titulado “Sopra le scopere dei dadi”  publicado en 1718. 
 Pero la Probabilidad como teoría, se origina en la mitad del siglo XVII, asociando los trabajos de Christian Hygens, Blasie Pascal, Pierre y James Bernoulli. Hygens se destaca por su obra: “De Ratiocinitis in  ludo aleae”, primer trabajo publicado sobre juegos de azar. Posteriormente aplicó su teoría a la esperanza de vida humana.
 Algunos de los trabajos más importantes de James Beroulli fueron publicados póstumamente en 1713 en la obra “Ars Conjectandi” que, entre otros tópicos, contiene su teoría de las permutaciones y combinaciones, y sus escritos sobre probabilidades. Esta obra es considerada como el comienzo de la teoría de las probabilidades. 
 Desde la mitad del siglo XIX hasta la segunda década del siglo pasado, esta teoría fue impulsada por el trabajo de científicos rusos, entre ellos Andrei Nikolaevich Kolmogorov.
 Los precursores de esta escuela fueron Tchebyshev,  Andréi Andréievich Markov y Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, pero fue Kolmogorov el máximo exponente de este movimiento, éste evaluó en su primer trabajo, los estudios sobre probabilidades efectuados entre los siglos XV y XVI, apoyándose en los trabajos de Thomas Bayes.
 En 1927, una vez completas sus investigaciones sobre suficiencia y condiciones necesarias de la ley de los grandes números, iniciada por James Bernoulli. En 1930 se hace eco de la Ley
 Fuerte de los grandes números de Cantelli y trabaja para mejorarla y generalizarla. En 1950 finaliza uno de los trabajos más importantes en Estadística.
 Los principales exponentes de la escuela estadounidense especializada en esta rama son William Feller, quien se destacó por sus numerosos  estudios acerca del teorema central del límite, de igual manera sobresale Nortber Wiener, quien desarrolló una medida de las probabilidades para conjuntos de trayectorias que son diferenciables en ningún punto, asociando una probabilidad a cada conjunto de trayectorias.
 La escuela francesa se formó con Meyer y su grupo de Estrasburgo y también con Nevev y Fortret de París, aunque sin duda sobresale la figura de Paul Levy. Los estudios más importantes referidos a este movimiento, se remitena Laurent Schwartz que generaliza el concepto de diferenciación utilizando la teoría de las distribuciones. Esta aportación fue de vital importancia, ya que en la actualidad no es posible dar explicaciones rigurosas de probabilidad sin utilizar estos conceptos.
Importancia y uso de la probabilidad
La importancia de la probabilidad radica en que, mediante este recurso matemático, es posible ajustar de la manera más exacta posible los imponderables debidos al azar en los más variados campos tanto de la ciencia como de la vida cotidiana.
 En efecto, la probabilidad es una estrategia mediante la cual se intenta estimar la frecuencia con la que se obtiene un cierto resultado en el marco de una experiencia en la que se conocen todos los resultados posibles.
 La teoría de la probabilidad, en especial en el marco de sistemas más complejos, se aplica en áreas variadas del conocimiento, como las ciencias exactas (estadística, matemática pura y aplicada, física, química, astronomía), las ciencias sociales (sociología, psicología social, economía), la astronomía, la meteorología y, en especial en forma más reciente, la biomedicina.
 La importancia esencial de la aplicación de los métodos de cálculo de la probabilidad reside en su capacidad para estimar o predecir eventos. Cuanto mayor sea la cantidad de datos disponibles para calcular la probabilidad de un acontecimiento, más preciso será el resultado calculado. Dada la complejidad de los sistemas en los que suele aplicarse la teoría de la probabilidad, se requiere de modelos informáticos y estadísticos de gran elaboración, que serían imposibles de no contarse con los modernos recursos tecnológicos relacionados con la computación.
 Por lo tanto, la probabilidad es una herramienta fundamental en la planificación estratégica de los movimientos sociales, económicos y laborales de toda la comunidad.
Características de la probabilidad
· La probabilidad de un suceso es mayor o igual que cero.
· La probabilidad del suceso seguro es uno.
· La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de sus probabilidades.
Conceptos básicos
1. Sucesos
 Un suceso es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
 Ejemplo: Al lanzar una moneda salga cara.
 Tipos de sucesos:
· Suceso elemental: Es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
 Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5 {5}
· Suceso compuesto: Es cualquier subconjunto del espacio muestral.
 Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera impar {1, 3,5}
· Suceso seguro: Es el suceso que está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).
 Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7 
· Suceso imposible: Denotado con el símbolo, es el suceso que no tiene ningún elemento.
 Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.
· Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
 Ejemplo: Si A es sacar numero par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.
· Sucesos incompatibles: Dos sucesos son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.
 Ejemplo: Si A es sacar número par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.
· Suceso contrario: El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por .
2. Eventos
 Un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabilísticos.
 Tipos de eventos:
· Eventos independientes: Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.  Es decir; Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro. 
· Evento dependiente: Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado.
· Eventos mutuamente excluyentes: Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).
· Eventos mutuamente no excluyentes: Cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra el otro
3. Espacio Muestral
 Dentro de la estadística de probabilidades, el espacio muestral se define como el conjunto de todos los resultados posibles que se obtienen al realizar un experimento aleatorio (aquel del que no se puede predecir su resultado). La denotación más habitual del espacio muestral es mediante la letra griega omega: Ω o la letra S.
 Tipos de espacios muestral.
· Espacio muestral discreto finito: Consta de un número finito de elementos, por ejemplo lanzar un dado.
· Espacio muestral discreto infinito: Consta de un número infinito numerable de elementos, por ejemplo lanzar un dado hasta que salga un cinco.
· Espacio muestral continuo: Consta de un número infinito no numerable de elementos, por ejemplo todas las medidas posibles de espárragos extraídos aleatoriamente de una población..
4. Probabilidad clásica
 Es el número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles. Asignación de probabilidad "a priori", si necesidad de realizar el experimento.
 La probabilidad clásica o teórica se aplica cuando cada evento simple del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir.
Fórmula para obtener la probabilidad clásica o teórica:
 Numero de resultados en los que presenta el evento
Probabilidad de un evento= _________________________________________Número total de resultados posibles
Propiedades
Propiedades de la suma
 La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
 Si A y B son mutuamente excluyente: P(AUB)= P(A) + P(B) 
 Ejemplo: Se tienen cinco libros de distintas materias: Matemática, Biología, Química, Física y Lenguaje. Si se toma uno de ellos ¿Cuál es  la probabilidad de que este sea de matemática o de física? 
 Evento A= Tomar el libro de Matemáticas.
 Evento B= Tomar el libro de Física. 
 Como A y B son eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad pedida nos queda: 
 P(A∩B) = 1 + 1 = 25
5
5
 Si A y B son no excluyentes: P(AUB) = P(A) + P(B) − P(A∩B) 
 Ejemplo: Sea A el suceso un As de una baraja de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo, las probabilidades que tenemos son:
P(A)= 4/52
P(B)= 13/52
P(A y B)=1/52
16
1
13
4
P (as o corazón) =____+_____-_____=_____52
52
52
52
Propiedad de la multiplicación
 Si se tienen varios eventos sucesivos e independientes entre sí, la probabilidad de que ocurran todos ellos a la vez corresponde a la multiplicación de las probabilidades de cada uno de los eventos.
 Si los eventos de independientes: (A y B) = P( A∩B ) = P(A)P(B)
 Si los eventos son dependientes: P(A y B) = P(A)P(B/A)
 Ejemplo: Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primeracanica sea azul y la segunda canica sea verde?
Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica {9} y es cambiado para la segunda canica {8} así los eventos son dependientes.
Entonces…
 P(A y B) 
                          
Diagrama de Venn
 Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la matemática conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan.
 Con ayuda de los diagramas de Venn podemos dar los primeros pasos para la comprensión del cálculo de probabilidades de distintos  sucesos de un espacio muestral.
 Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. 
Teorema de Bayes
 El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información. Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVII, el teorema de Bayes es una extensión de lo que ha aprendido hasta ahora acerca de la probabilidad condicional.
 Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriori y es:
P(Ai/B)= P(Ai)*P(B/Ai)P(B)
Dónde:
P(Ai)= Probabilidad a priori
P(B/Ai)= Probabilidad condicional
P(B)= Probabilidad total
P(Ai/-b-9= Probabilidad a posteriori
Conclusión
 Con el paso del tiempo el hombre siempre busca la forma o la manera de descubrir lo desconocido, por consiguiente llegamos a esta teoría “La teoría de la probabilidad” que juega un papel muy importante en la vida del hombre, puesto que es cien por ciento útil en todos los campos de estudio y aprendizaje en que se necesite condiciones de azar. 
 Debemos tomar los puntos clave, tener el espacio muestral o un resultado ya esperado en una determinada posición y poder dar un valor a ese ejemplo por lo cual cave analizar cada paso a realizar para obtener un resultado más específico y saber algunas ecuaciones que nos ayudan a dar las respuestas a ellos de una manera más rápida y clara
Bibliografía
· http://concepto.de/probabilidad-2/#ixzz4cYPpTOSG
· http://gbbbprobyest.blogspot.com/2012/11/breve-historia-de-la-probabilidad.html
·  http://www.monografias.com/trabajos102/origen-e-importancia-probabilidades/origen-e-importancia-probabilidades.shtml#ixzz4cYSkbbJt
· https://www.importancia.org/probabilidad.php
· http://www.definicionabc.com/ciencia/espacio-muestral.php
· http://marcylissetheliasvasquez.blogspot.com/2008/09/eventos.html
· http://probabilidadmitad1.blogspot.com/p/blog-page_3906.html
· http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?id=137669
· http://www.monografias.com/trabajos89/probabilidad-total-y-teorema-bayes/probabilidad-total-y-teorema-bayes.shtml#teoremadea#ixzz4cZ9iGXvW
· http://probabilidad2013a.blogspot.com/2013/05/eventos-dependientes-e-independientes.html
· https://es.slideshare.net/jacpier/ensayo-de-teoria-de-probabilidad-estadistica