Guia EXANI II GM

Todas las Asignaturas

•

UV

Maria Aba

3/8/2023

¡Este material tiene más páginas!

Entonces, ¿te gustó este material?

Ayude a animar a otros estudiantes a mejorar el contenido

¿Te gustó este material? ¡Compartir! 🧡

Todas las Asignaturas

8543 Materiales compartidos

Descarga la aplicación para disfrutar aún más

Lea materiales sin conexión, sin usar Internet. Además de muchas otras características!

Vista previa del material en texto

GUIA EXANI II INGRESO A LA LICENCIATURA
Índice
Aritmética.........................................................................................................................................
• Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división .......................................................

Suma.......................................................................................................................................
Resta.......................................................................................................................................
Multiplicación ...........................................................................................................................
Division ...................................................................................................................................
• Cálculo de porcentajes, regla de tres, potencias y raíces ...........................................................

Porcentaje ...............................................................................................................................
Regla de tres ...........................................................................................................................
potencia y raiz .........................................................................................................................
• Propiedades de los números .....................................................................................................
Álgebra ............................................................................................................................................
• Literales y exponentes ...............................................................................................................

Reglas de los Exponentes: ......................................................................................................

• Productos notables y factorización .............................................................................................

• Ecuaciones de primer y segundo grados ...................................................................................

• Proporciones y desigualdades ...................................................................................................
Geometría........................................................................................................................................
• Cálculo de perímetros, áreas y volúmenes.................................................................................
Probabilidad y estadística básica .................................................................................................
• Población, muestra, medidas de tendencia central, desviación estándar y varianza ...................

• Eventos dependientes e independientes, combinaciones y permutaciones ................................
Precálculo ........................................................................................................................................
• Propiedades de los números reales ...........................................................................................

• Desigualdades...........................................................................................................................

• Función y límite .........................................................................................................................
Español ...........................................................................................................................................
• Ortografía general (incluye acentuación y homófonos) ...............................................................

• Puntuación ................................................................................................................................
Gramática y vocabulario ..............................................................................................................
• Concordancia y discordancia de las partes de la oración ...........................................................

• Autores y obras importantes de la literatura clásica....................................................................
Ciencias naturales ...........................................................................................................................
• Física ........................................................................................................................................

Mecánica .....................................................................................................................................
Electromagnetismo ......................................................................................................................
Acústica.......................................................................................................................................
Óptica ..........................................................................................................................................
Termodinámica ............................................................................................................................
• Química.....................................................................................................................................
Propiedades de la materia ...........................................................................................................
Estequiometría ............................................................................................................................
Química orgánica.........................................................................................................................
Termodinámica ............................................................................................................................
• Biología .....................................................................................................................................
Biología celular y molecular .........................................................................................................
Anatomía y fisiología....................................................................................................................
Genética ......................................................................................................................................
Bioquímica...................................................................................................................................
Ciclos metabólicos .......................................................................................................................
Salud y enfermedad.....................................................................................................................
• Psicología..................................................................................................................................
Ciencias sociales .............................................................................................................................
• Historia universal y de México....................................................................................................
Historial universal ........................................................................................................................
México: historia............................................................................................................................
• Geografía universal y de México ....................................................................................................

Geografía física ...........................................................................................................................Geografia Politica ........................................................................................................................
Geografía humana .......................................................................................................................
México: geografía ........................................................................................................................
• Civismo .....................................................................................................................................

• Filosofía.....................................................................................................................................

• Economía ..................................................................................................................................

• Sociología .................................................................................................................................

• Ética ..........................................................................................................................................
Mundo contemporáneo ....................................................................................................................
• Hitos o acontecimientos, políticos, económicos, sociales y culturales.........................................

• Siglas, acrónimos y funciones de organismos importantes .........................................................

• Problemas y hechos significativos en el campo de la ecología, la salud y los deportes...............
Razonamiento verbal .......................................................................................................................

• La comprensión de lectura. ........................................................................................................

• El establecimiento de relaciones entre palabras y frases sinónimas y antónimas .......................

• El establecimiento de completamientos o interpretaciones de razonamientos lógicos y
analógicos ...................................................................................................................................

• La elaboración de inferencias lógicas y silogísticas ....................................................................

• El establecimiento de relaciones: ...............................................................................................

— causa-consecuencia .......................................................................................................

— oposición-semejanza ......................................................................................................

— general-particular............................................................................................................

— ejemplificativas ...............................................................................................................

— explicativas, comparativas ..............................................................................................

— analógicas ......................................................................................................................
Razonamiento matemático...............................................................................................................

Matemática: Es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones
entre ellas. Algunos matemáticos se refieren a ella como la «Reina de las Ciencias».

Según los Sabios, se dice que la matemática abarca tres ámbitos:
Aritmética.
Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas.

Ánálisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra,
la geometría analítica y el cálculo.

Aritmética

Aritmética es la parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con
ellos.

Las cuatro operaciones básicas de la Aritmética son:
Suma
Resta
Multiplicación
División
• Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división

Todas estas operaciones se verifican a través de su operación inversa: la suma con la resta, la
multiplicación con la division

Suma

Se utiliza para juntar, agregar, unir, etc, 2 o mas cantidades contables de la misma magnitud
(categoría)

La suma o adición es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales,
enteros, racionales, reales y complejos) y también sobre estructuras asociadas a ellos, como
espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan
su imagen en ellos.

En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar la operación
formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un módulo
que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de grupos
para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se
trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación
con la suma habitual en números, funciones, vectores...

Propiedades de la suma

Propiedad conmutativa: si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado, de
esta forma, a+b=b+a.

Propiedad asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c

Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.

Elemento opuesto. Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un
número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto,
y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.

Estas propiedades pueden no cumplirse en casos de sumas infinitas.
Notación

Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más). Con esto, la
suma de los números 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7.

También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los
términos, se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los
números omitidos. Por ejemplo:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros números naturales.

2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.

En sumas largas e incluso sumas infinitas se emplea un nuevo símbolo, que se llama sumatorio y
se representa con la letra griega Sigma mayúscula (Σ). Por ejemplo:

es la suma de los cien primeros números naturales.

es la suma de las diez primeras potencias de 2.
Suma de fracciones
Hay dos casos:

Fracciones que tienen el mismo denominador; Fracciones que tienen el distinto denominador
Primer caso: la suma de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla,
sólo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador común.

Segundo caso: la suma de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos
sencilla.

Pasos

1º. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores

2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por
denominador antiguo
3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mimos denominador)
Resta

Se utiliza para restar, descontar, disminuir, etc., 2 o mas cantidades contables de la misma
magnitud (categoría)

La resta o substracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, y se trata
básicamente de la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c-b=a.

En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado
de la resta se denomina diferencia.

En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos númerossi el minuendo es
mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición
estaría excluido del conjunto. Esto es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los
números reales positivos.

En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras,
no se tiene a - b sino a + (-b), donde -b es el elemento opuesto de b respecto de la suma

Resta de fracciones

Resta de fracciones que tienen el mismo denominador

Para restar dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador, sólo hay que restar los
numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo:

Resta de fracciones con distinto denominador

1. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores:

(mínimo común múltiplo de 4 y 2)

2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador antiguo (6) x denominador común (4) y
dividido por denominador antiguo (4)

( 6*4/4=6 )

Numerador antiguo (1) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (2) (
1*4/2= 2 )

3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones
tienen el mismo denominador)

Multiplicación

Se utiliza para resolver problemas donde se suman “n” veces las mismas cantidades.

El producto o la multiplicación es una operación aritmética que se puede explicar como una
manera de sumar números idénticos.

El resultado de la multiplicación de números se llama producto. Los números que se multiplican se
llaman factores o coeficientes, e individualmente como multiplicando (número a sumar) y
multiplicador (veces que se suma el multiplicando).

La multiplicación se suele indicar con el aspa × o el punto centrado ·. En ausencia de estos
caracteres se suele emplear el asterisco *, sobre todo en computación

Definición

La multiplicación de dos números enteros n y m se define como:

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión "sumar m a sí mismo n veces". Puede
facilitar la comprensión el expandir la expresión anterior:

m×n = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Así que, por ejemplo:

5×2 = 5 + 5 = 10

2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

4×3 = 4 + 4 + 4 = 12

m×6 = m + m + m + m + m + m

Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación.
Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es
irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos
números cualesquiera x e y:

x·y = y·x

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números
cualesquiera x, y y z, se cumple:

(x·y)z = x(y·z)

En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben
ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.

La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:

x(y + z) = xy + xz

Asimismo:

(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo:

1·x = x

es decir, la multiplicación tiene un elemento identidad que es el 1.

¿Qué ocurre con el cero? La definición inicial no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. De
hecho, es más fácil definir el producto por cero utilizando la segunda definición:

m·0 = m + m + m +...+ m

donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, así que
m·0 = 0
sin importar lo que valga m, siempre que sea finito.

El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el
número -1. Para cualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un
número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede
representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir
es el producto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

De esta forma, se define la multiplicación de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a
conjuntos cada vez mayores de números: primero el conjunto de las fracciones o números
racionales, después a todos los números reales y finalmente a los números complejos y otras
extensiones de los números reales.

el producto vacío, es decir, multiplicar cero factores, vale 1.

Una definición recursiva de la multiplicación puede darse según estas reglas:

x·0 = 0

x·y = x + x·(y-1)

donde x es una cantidad arbitraria e y es un número natural. Una vez el producto está definido para
los números naturales, se puede extender a conjuntos más grandes, como ya se ha indicado
anteriormente.

Division

Se utiliza para determinar “n” partes iguales de una cantidad determinada, dividir una magnitud en
partes iguales.

En matemáticas, especificamente en aritmética elemental, la división es una operación aritmética
que es la inversa de la multiplicación y a veces puede interpretarse como una resta repetida.

En otras palabras, consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en
otro número (el dividendo). En la división de números enteros además del dividendo y el divisor
intervienen otros números. Así al resultado entero de la división se le denomina cociente y si la
división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el
dividendo, la operación tendrá un resto, donde:

resto = dividendo - cociente × divisor

Orden de Operaciones

Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas:

1. Primero resolver todo lo que esté dentro de simbolos de agrupación.

2. Evaluar las expresiones exponenciales.

3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.

4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.
Ejemplo:

Propiedades de los Números Reales:

Conmutativa de adición:

La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado
siempre es el mismo.

Por ejemplo:

4 + 2 = 2 + 4

Conmutativa de multiplicación:

Por ejemplo:

4 . 2 = 2 . 4

Asociativa de adición:

La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.

Por ejemplo:

(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)
Asociativa de multiplicación:

Por ejemplo:

4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9

Distributiva de multiplicación sobre adición:

Por ejemplo:

4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9

Reglas de los Signos:

1. En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el
mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo
del mayor.

Ejemplo:

5 + 8 = 13

5 + -8 = -3

2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos
diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

5 - 8 = -3

5 - (-8) = 13

3. En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los
números son signos opuestos, el resultado es negativo.

Ejemplo:

5 x 8 = 40

5 x -8 = -40

• Cálculo de porcentajes, regla de tres, potencias y raíces

Porcentaje

Un porcentaje es una forma de expresar una proporción o fracción como una fracción de
denominador 100, es decir, como una cantidad de centésimas. Es decir, una expresión como
"45%" ("45 por ciento") es lo mismo que la fracción 45/100.

"El 45% de la población humana..." es equivalente a: "45 de cada 100 personas..."

Un porcentaje puede ser un número mayor que 100. Por ejemplo, el 200% de un número es el
doble dedicho número, o un incremento del 100%. Un incremento del 200% daría como resultado
el triple de la cantidad inicial. De esta forma, se puede apreciar la relación que existe entre el
aumento porcentual y el producto.

Confusión en el uso de los porcentajes

Surgen muchas confusiones en el uso de los porcentajes debido a un uso inconsistente o a un mal
entendimiento de la aritmética elemental.

Cambios

Debido a un uso inconsistente, no siempre está claro por el contexto con qué se compara un
porcentaje. Cuando se habla de una subida o caída del 10% de una cantidad, la interpretación usual
es que este cambio es relativo al valor inicial de la cantidad: por ejemplo, una subida del 10% sobre
un producto que cuesta 100$ es una subida de 10$, con lo que el nuevo precio pasa a ser
110$. Para muchos, cualquier otra interpretación es incorrecta.

En el caso de los tipos de interés, sin embargo, es práctica común utilizar los porcentajes de otra
manera: supongamos que el tipo de interés inicial es del 10%, y que en un momento dado sube al
20%. Esto se puede expresar como una subida del 100% si se calcula el aumento con respecto del
valor inicial del tipo de interés. Sin embargo, mucha gente dice en la práctica que "los tipos de
interés han subido un 10%", refiriéndose a que ha subido en un 10% sobre el 100% adicional al
10% inicial (20% en total), aunque en la expresión usual de los porcentajes debería querer decir
una subida del 10% sobre el 10% inicial (es decir, un total del 11%).

Para evitar esta confusión, se suele emplear la expresión "punto porcentual". Así, en el ejemplo
anterior, "los tipos de interés han subido en 10 puntos porcentuales" no daría lugar a confusión,
sino que todos entenderían que los tipos están actualmente en el 20%. También se emplea la
expresión "punto base", que significa la centésima parte de un punto porcentual (es decir, una
parte entre diez mil). Así, los tipos de interés han subido en 1000 puntos base.

Cancelaciones

Un error común en el uso de porcentajes es imaginar que una subida de un determinado porcentaje
se cancela con una caída del mismo porcentaje. Una subida del 50% sobre 100 es 100
+ 50, o 150, pero una reducción del 50% sobre 150 es 150 - 75, o 75. En general, el efecto final de
un aumento seguido de una reducción proporcionalmente igual es:
(1 + x)(1 - x) = 1 - x²
es decir, una reducción proporcional al cuadrado del cambio porcentual.

Los que tenían acciones punto como en el momento de la crisis acabaron comprendiendo que,
aunque una acción haya caído un 99%, puede volver a caer otro 99%. Además, si sube por un
porcentaje muy grande, seguirá perdiéndolo todo si un día la acción reduce su valor en un 100%,
porque entonces no valdrá nada.

Regla de tres

La regla de tres es una relación que se establece entre tres (o más) valores conocidos y una
incógnita. Normalmente se usa cuando se puede establecer una relación de linealidad
(proporcionalidad) entre todos los valores involucrados (análogo para proporcionalidad inversa).

Normalmente se representa de la siguiente forma:
A - B
X - C

Siendo A, B y C valores conocidos y X la incógnita cuyo valor queremos averiguar. Esto se lee de
la siguiente manera: A es a B como X es a C. La posición de la incógnita puede variar, por
supuesto.

Así por ejemplo para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres:

360º - 2 × π

60º - X

potencia y raiz

Notación Exponencial

La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número. Es la
elevación a la enésima potencia (n) de una base (X).

Ejemplos:

Raíz cuadrada

En matemáticas, la raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo
que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de x se denota por √x. Por ejemplo, √16 = 4,
ya que 4 × 4 = 16, y √2 = 1,41421... . Las raíces cuadradas son importantes en la resolución de
ecuaciones cuadráticas.

La generalización de la función raíz cuadrada a los números negativos da lugar a los números
imaginarios y al campo de los números complejos.

El símbolo de la raíz cuadrada se empleó por primera vez en el siglo XVI. Se ha especulado con que
tuvo su origen en una forma alterada de la letra r minúscula, que representaría la palabra latina
"radix", que significa "raíz".

Propiedades

Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números positivos x, y:

para todo número real x (véase valor absoluto)

La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; √x
es racional si y sólo si x es un número racional que puede escribirse como fracción de dos
cuadrados perfectos. Si el denominador es 1² = 1, entonces se trata de un número natural. Sin
embargo, √2 es irracional.

La función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.

• Propiedades de los números

Un número es un símbolo que representa una cantidad. Los números son ampliamente utilizados
en matemáticas, pero también en muchas otras disciplinas y actividades, así como de forma más
elemental en la vida diaria.

El número es también una entidad abstracta con la que se describe una cantidad. Los números
más conocidos son los números naturales 0, 1, 2, ..., que se usan para contar. Si añadimos los
números negativos obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales.
Si incluimos todos los números que son expresables con decimales pero no con fracciones de
enteros, obtenemos los números reales; si a éstos les añadimos los números complejos, tendremos
todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Podemos ampliar aún
más los números, si añadimos los infinitos y los transfinitos. Entre los reales, existen números que
no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica. Reciben el nombre de
transcendentales. El ejemplo más famoso de estos números es π (Pi), otro ejemplo fundamental e
igual de importante es e, base de los logaritmos naturales. Estos dos números están relacionados
entre si por la identidad de Euler, también llamada la fórmula más importante del mundo.

Existe toda una teoría de los números. Se distinguen distintos tipos de números:

Números naturales . conjunto de numeros que utilizamos para contar cantidades enteras
positivas

o Tiene como primer elemento el cero

o Cualquier numero puede ser escrito con los numero del sistema decimal

o Es un conjunto infinito

o Todos los numeros tienen su siguente

o No existen numeros intermedios entre un numero y sus siguiente

o Todos los numeros naturales cumplen con las relaciones de orden y comparación.
Número primo
Números compuestos

Números perfectos
Números enteros
Números pares
Números impares
Números racionales
Números reales
Números irracionales
Números algebraicos
Números trascendentes
Números complejos
Cuaterniones
Números infinitos

Números transfinitos

Números fundamentales: π y e

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de
tipos de números, la mayoría sin un interés matemático específico. A continuación se indican
algunos:

Narcisista: Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus
dígitos. Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.

Omirp: Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son
primos.

Vampiro: Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus
dígitos. Ejemplo: 2187 = 27 x 81.

Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más
práctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El
sistemaque se ha impuesto universalmente es la numeración de posición gracias al invento del
cero, con una base constante.

Álgebra

El Álgebra es la rama de las matemáticas que tiene por objeto de estudio la generalización del
cálculo aritmético mediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras).

Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala)رجب (yebr)
(al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos
luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de los vectores en el plano y en el espacio
tridimensional cartesiano. Aquí, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud (o
magnitud) y dirección. Los vectores pueden entonces utilizarse para representar ciertas
magnitudes físicas, como las fuerzas, pueden sumarse y ser multiplicados por escalares, formando
entonces el primer ejemplo de espacio vectorial real.

Hoy día, el álgebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensión arbitraria o
incluso de dimensión infinita. Un espacio vectorial de dimensión n se dice que es n-dimensional. La
mayoría de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones pueden extenderse al caso n-
dimensional. A mucha gente le resulta imposible la visualización mental de los vectores de más de
tres dimensiones (o incluso los tridimensionales). Pero los vectores de un espacio n-dimensional

pueden ser útiles para representar información: considerados como n-tuplas, es decir, listas
ordenadas de n componentes, pueden utilizarse para resumir y manipular información
eficientemente. Por ejemplo, en economía, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u
8-tuplas para representar el Producto Interno Bruto de 8 países diferentes. Se puede simplemente
mostrar el PIB en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo,
(Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia), utilizando un
vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición.

Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos
probar teoremas, es parte del álgebra abstracta, y está bien integrado en ella. Por ejemplo, con la
operación de composición, el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo
(endomorfismos) tiene estructura de anillo, y el subconjunto de las aplicaciones lineales que son
invertibles (los automorfismos) tiene estructura de grupo. El Álgebra Lineal también tiene un papel
importante en el cálculo, sobre todo en la descripción de derivadas de orden superior en el análisis
vectorial y en el estudio del producto tensorial (en física, buscar momentos de torsión) y de las
aplicaciones antisimétricas.

Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como el de los números reales o en el de los
números complejos. Una aplicación (u operador) lineal hace corresponder los vectores de un
espacio vectorial con los de otro (o de él mismo), de forma compatible con la suma o adición y la
multiplicación por un escalar definidos en ellos. Elegida una base de un espacio vectorial, cada
aplicación lineal puede ser representada por una tabla de números llamada matriz. El estudio
detallado de las propiedades de las matrices y los algoritmos aplicados a las mismas, incluyendo
los determinantes y autovectores, se consideran parte del álgebra lineal.

En matemáticas los problemas lineales, aquellos que exhiben linealidad en su comportamiento, por
lo general pueden resolverse. Por ejemplo, en el cálculo diferencial se trabaja con una
aproximación lineal a funciones. La distinción entre problemas lineales y no lineales es muy
importante en la práctica.

Algunos Teoremas Útiles

Todo espacio lineal tiene una base (Esta afirmación es lógicamente equivalente al Axioma de
elección)

Una matriz A no nula con n filas y n columnas es no singular (inversible) si existe una matriz B que
satisface AB = BA = I donde I es la matriz identidad.

Una matriz es inversible si y solo si su determinante es distinto de cero.

Una matriz es inversible si y solo si la transformación lineal representada por la matriz es un
isomorfismo (vea también matriz inversible para otras afirmaciones equivalentes)

Una matriz es positiva semidefinida si y solo si cada uno de sus eigenvalores son mayores o
iguales a cero

Una matriz es positiva definida si y solo si cada uno de sus eigenvalores son mayores a cero.

• Literales y exponentes

Una literal es una representación general de una cierta magnitud.

Por ejempo: el area de un rectangualo es igual a : A= bh donde A, b y H son literales.

Expresiones Algebraicas

Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.
monomio = un solo término.

Por ejemplo:

binomio = suma o resta de dos monomios.
Por ejemplo:

trinomio = suma o resta de tres monomios.
Por ejemplo:

polinomio = suma o resta de cualquier número de monomios.

Reglas de los Exponentes:

Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes
son enteros positivos diferentes.

Ejemplo:

Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se
queda igual.

Ejemplo:

En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se
restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos , m > n.

Ejemplo:

En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere
es su coeficiente numérico.

• Productos notables y factorización

Productos Notables

Cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el
doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el
doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad menos el cuadrado de la segunda

Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple del
cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera mas
el segundo al cubo.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple
del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera
menos el segundo al cubo.

Cocientes Notables

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las
cantidades

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de las cantidades es
igual a la diferencia de las cantidades.

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a la
suma de las cantidades.

Factorización de Polinomios

Factorizar un polinomio es el primer método para obtener las raíces o ceros de la expresión. Para
factorizar se comienza con una regla que te permite desarrollar la destreza, para aplicarla a
ejercicios de mayor dificultad. Se buscan dos factores o números cuyo producto sea el último
término y a la vez sumados o restados den como resultado el coeficiente del término del medio.
Esta regla aplica solo a ecuaciones cuadráticas cuyo coeficiente de la variableelevado al cuadrado
es 1. Si el coeficiente de la variable elevada al cuadrado no fuese 1, la manera de factorizar sería
tanteando hasta poder lograr la factorización. Muchas veces la factorización es simplemente
reconocer factores comunes.

Se puede utilizar también la inversa de las fórmulas de productos especiales. O sea, expresamos
el polinomio como una multiplicación o un producto, usando las fórmulas a la inversa.

Completando el Cuadrado

Completando el cuadrado es el segundo método para obtener las raíces o ceros de un polinomio.
El proceso es el siguiente:

1. Primero mueves el tercer término con signo opuesto al lado contrario de la
igualdad.

2. Luego, vas a calcular el término que te permite crear tu cuadrado de la siguiente
forma: selecciona el coeficiente de la variable que está elevada a la 1, se divide
entre dos y elevarlo al cuadrado.

3. Este resultado lo sumarás a ambos lados de la expresión.

4. Después, la raíz cuadrada del primer término, el operador (signo) del medio y la
raíz cuadrada del último termino, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la
derecha.

5. Luego, sacas raíz cuadrada a ambos lados, observando que hay dos posibles
soluciones, el caso positivo y el caso negativo.

6. Por último despejas por la variable y esas son las raíces o ceros del polinomio.
Como ejemplo vamos a utilizar el ejercicio .

Casos de factorización

Caso 1 - Factor común

Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término
común, entonces se puede sacar este término como factor común.

Caso 2 - Factor por agrupación de términos

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de
paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos
de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o
mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los

paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el
mismo y este será el factor común.

Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto

Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el
primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el
segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del
segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta
expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos
por la suma de los dos.

Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos términos de la diferencia contenga mas de
un término.

Caso especial: Se puede dar una expresión de cuatro términos donde tres de ellos formen un
trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto término se convierta
en una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis términos que formen dos trinomios cuadrados
perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados.

Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y
tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de
las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para
cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma
se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia
de cuadrados.

Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el término que hace falta para formar un
trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, así tendremos un
trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados.

Caso 6 - Trinomio de la forma
x
2
+bx+c
Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:

El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.

El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.
El tercer término es independiente (no contiene la variable).
Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer
término de cada binomio es la variable y el segundo término en cada uno de los factores
(paréntesis), son dos números , uno en cada paréntesis de tal forma que la suma de los dos del

coeficiente del segundo término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del
trinomio, el signo del segundo término de cada factor depende de lo siguiente:

° Si el signo del tercer término es negativo, ento nces uno será positivo y el otro negativo, el
mayor de los dos números llevara el signo del segundo término del trinomio y el otro número
llevara el signo contrario.
° Si el signo del tercer término es positivo, enton ces los dos signos serán iguales (positivos
o negativos), serán el signo del segundo término del trinomio.

Caso 7 - Trinomio de la forma

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término puede tener
coeficiente diferente de 1.

Se procede de la siguiente forma:

Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un
trinomio de la forma:

y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y
se simplifica con el número que esta como denominador.

Caso 8 - Cubo perfecto de binomios

Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes
condiciones:

Posee cuatro términos

° El primer y cuarto término son cubos perfectos (t ienen raíces cúbicas exactas).

° El segundo termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado
por la raíz cúbica del último término.

° El tercer termino sea el triple del cuadrado de l a raíz cúbica del último término -multiplicado
por la raíz cúbica del primer término.

° Los signos son todos mas o también podría ser pos itivo el primero y el tercero y negativo el
segundo y el cuarto.

Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del
binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último
término. El signo del segundo término es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si
los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.

Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos
factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos
dados, el segundo factor esta formado por tres términos así: la priemra raíz al cuadrado, la primera
raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos formas acuerdo a
lo siguiente:

Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales
Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:
Para an-bn con n = par o impar la factorización será:

Para an-bn con n = par la factorización será:

Para an+bn con n = impar la factorización será:

• Ecuaciones de primer y segundo grados

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados
mediante operaciones matemáticas.

Por ejemplo: 3x - 2y = x
2
+ 1

Son ecuaciones con una incógnitacuando aparece una sóla letra (incógnita, normalmente la x).
Por ejemplo: x
2
+ 1 = x + 4
Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto
a 1).

Ejemplos :

3x + 1 = x - 2

1 - 3x = 2x - 9.
x - 3 = 2 + x.

x/2 = 1 - x + 3x/2

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas son aquellas en las que la variable está elevada al
cuadrado, el siguiente es un ejemplo de una ecuación cuadrática:

La ecuación solo tiene una incógnita, y ésta se encuentra elevada a la 1 y al cuadrado, además
hay términos independientes (números). Las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones
o ninguna. Este es un ejemplo de una ecuación cuadrática completa, ya que posee coeficientes
distintos de cero en los términos cuadráticos (x^2), lineales (x^1) e independientes (x^0).

Veamos entonces algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

Esta ecuación es muy fácil de resolver, ya que no se encuentra presente el término lineal:

Pero las ecuaciones cuadráticas tienen siempre dos soluciones, o bien ninguna, así que en este
caso una raíz cuadrada genera dos soluciones, una con signo positivo y otra negativo:

Y esto es cierto ya que tanto 2 como -2 elevados al cuadrado dan 4, así que siempre que
calculemos la solución de una raíz cuadrada se debe tener en cuenta que ésta genera dos signos.
Esto suele expresarse de la siguiente manera:

Esto es un poco confuso pero en realidad nos dice que hay dos soluciones, vemos que ambas
soluciones verifican la ecuación inicial. Veamos ahora otro caso, si la ecuación tiene términos
cuadráticos y lineales, pero no tiene términos independientes:

En este caso sacamos factor común X y razonamos de la siguiente forma:

Para que el primer miembro se haga 0 solo hay 2 alternativas: x es igual a 0 o (x+4) es igual a 0.
De aquí se obtienen las dos soluciones (que llamamos X1 y X2):

Vemos que las soluciones verifican. Finalmente vamos al caso más complejo que es el que
teníamos inicialmente:

Es muy difícil despejar x de esta ecuación (pero no imposible como veremos más adelante). Para
resolverla se utiliza una fórmula muy famosa, la fórmula de las soluciones de la ecuación de
segundo grado, la cual es atribuída a un indú de apellido Baskara, en primer lugar hay que pasar
todos los términos a un lado de la expresión de manera que quede igualada a cero. En segundo
lugar se identifican tres coeficientes llamados a, b y c (a=coeficiente cuadrático, b=coeficiente
linearl, c=término independiente).

La ecuación debe expresarse de la forma:

Por lo tanto operamos con la ecuación hasta llevarla a este formato (a, b y c son números en
definitiva).

Comparando encontramos que:

La fórmula que da las soluciones es la siguiente:

Fórmula de Baskara

Así que reemplazando los valores a, b y c:

Con lo cual obtenemos 2 soluciones, (ambas verifican la ecuación), una con el signo + y otra con el
-

Puede darse el caso que la ecuación no tenga solución (cuando queda una raíz negativa).

El tema es: de dónde sacó Baskara esta fórmula?, bueno, en realidad es sencillo, él encontró la
forma de construir un trinomio cuadrado perfecto (tercer caso de factoreo), aplicando algunos
"truquillos".

Fórmula de Baskara - Demostración

Ahora viene la parte divertida, la demostración. En primer lugar hay que llevar la ecuación a la
forma:

Luego se multiplica todo por 4a (la igualdad se mantiene desde luego):

Ahora sumamos y restamos b^2, de esta manera no cambia nada tampoco:

Ahora observemos los primeros 3 términos, se trata de un trinomio cuadrado perfecto, así que
factoreando se obtiene:

Y ahora es fácil despejar X:

Pero como vimos antes una raíz arroja 2 resultados, uno positivo y uno negativo así que queda:

Esta última es la famosa fórmula que nos da las soluciones para X.

• Proporciones y desigualdades
Desigualdades algebraicas
Definiciones:

Ley de la tricotomía:

"Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones:

Propiedades de las desigualdades

Teorema1-Propiedad transitiva:

Ejemplo ilustrativo:
Teorema2-Suma:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema3-Multiplicación por un número positivo:
Ejemplo ilustrativo:

Teorema4:

Ejemplo ilustrativo:

Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<"
Teorema5:

Teorema6:

"Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la
desigualdad".

Teorema7:
Teorema8:
Teorema9:
Teorema10:

Teorema11:

Geometría

La geometría es la matemática que estudia idealizaciones del espacio: los puntos, las rectas, los
planos y otros elementos conceptos derivados de ellos, como polígonos o poliedros.

Origen y desarrollo de la geometría:
Todo comenzó en Egipto
El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió las operaciones;
hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas.

Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver
las situaciones problemáticas surgidas a diario.

Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza de la creación para
satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando
conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática
que designamos con el nombre de geometría.
El río Nilo
La palabra geometría está formada por las raíces griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo
tanto, su significado es "medida de la tierra".

Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la
naturaleza nacieron -en forma práctica- a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto.

Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir
diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las
inundaciones periódicas.

El aporte griego

Quienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones
en base a razonamientos.

Tales de Mileto (600 a.d.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes
principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes.

Euclides (200 a.d.C.) le dio su máximo esplendor a esta corriente científica. Recogió los
fundamentos de la geometría y de la matemática griega en su tratado Elementos.

Representemos los conceptos

Hay conceptos geométricos que no pueden definirse. Son ideas formadas en nuestra mente a
través de la observación del entorno y solamente podemos hacer representaciones concretas de
ellas.

Las llamaremos términos primitivos o conceptos primarios y son: espacio, punto, recta y plano.
Espacio
Es el conjunto universo de la geometría. En él se encuentran todos los demás elementos. Dentro
de él determinamos cuerpos geométricos como cajas, planetas, esferas, etcétera.

Su símbolo es: E
Punto
El punto tiene posición en el espacio. Su representación más cercana es el orificio que deja un
alfiler en una hoja de papel o en un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no tiene
grosor.

En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayúscula y para
reconocerlos usaremos o x.
Por ejemplo:

A se lee punto A, x M se lee punto M.

Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas o
poligonales.Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si llevan la
misma dirección; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos
de rectas.

Plano y Recta:Infinitos puntos

La unión de infinitos puntos da origen a los otros dos principios básicos de la geometría: plano y
recta.

La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lápiz en un
papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos.

La identificaremos con el dibujo

Una recta puede tener dirección:

Horizontal: como la línea del horizonte.

Vertical: como el hilo a plomo.

Oblicua: cuando es distinta a las dos anteriores.

Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota su símbolo. Por ejemplo:
AB, se lee recta AB.

También se usa una L ó una R, especialmente en los casos en que deban distinguirse varias
rectas.

Veamos:

DE es una recta oblicua.

L es una recta vertical.

Plano

Lo más parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lo diferencia con ésta, el
hecho que es ilimitado y no tiene grosor.

El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección, es
decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella.
El símbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompañado de, por lo menos, tres puntos.
Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la superficie de una laguna, son
representaciones de planos.

Es importante saber que en un plano podemos encontrar puntos y rectas, y obtener figuras
geométricas.

Hay planos horizontales, verticales y oblicuos.

Cuando en una superficie no quedan rectas totalmente incluidas en ella, decimos que es curva.
Una representación de esto sería una bandera flameando

• Cálculo de perímetros, áreas y volúmenes

El perímetro de una figura bidimensional es la distancia que hay alrededor de ella.

El perímetro de un polígono es igual a la suma de todos sus lados. El perímetro de un polígono
regular es igual a la la longitud de uno de los lados multiplicada por el número de lados.

La longitud de una circunferencia, o su perímetro, es igual a 2×π×r, donde r es el radio y π es una
constante que tiene un valor aproximadamente igual a 3,1416.

Llamamos área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. Recordemos que la
región interior es la parte del plano que queda encerrada por los lados del polígono. Observa:

Este polígono de 9 lados, es decir, un eneágono, tiene pintada de azul su región interior.

Los puntos de la región interior no se intersectan con la región exterior, porque tienen una frontera:
los lados que forman el polígono.
Una necesidad y un problema
El hombre tuvo necesidad de medir la superficie de los terrenos que sembraba. Para hacerlo, ideó
un sistema utilizando los elementos que tenía a su alcance. El método consistió en colocar cada
elemento sobre la tierra para ver cuántas veces cabía en la superficie que quería medir, como si
pusiera baldosas sobre ella.

Pero se le presentó una dificultad, debido a que las medidas que usaba eran arbitrarias. Es decir,
cada persona tenía una base diferente, y media de acuerdo a su propio parecer, sin ponerse de
acuerdo con los demás.

Por ejemplo...

Para que entiendas mejor lo anterior, lo veremos graficado con un ejemplo.
Vamos a medir el área de una figura, utilizando elementos diferentes.
Esta es nuestra figura:

Primero mediremos el área de este rectángulo, tomando como medida base una baldosa roja.

La baldosa roja cabe 9 veces en nuestro rectángulo, entonces su área es de 9 baldosas rojas.
Ahora, mediremos con una baldosa diferente, la que identificaremos con el color verde. Así:

La baldosa verde cabe 16 veces en el rectángulo. El área corresponde a 16 baldosas verdes.

El rectángulo es el mismo, pero las baldosas son diferentes. Por lo tanto, los resultados de la
medición también fueron distintos.

Cuadrados y rectángulos

Dibujaremos un cuadrado de 3 cm. y colocaremos sobre él centímetros cuadrados.

Obtuvimos 9 cm2, lo mismo que si multiplicamos lado por lado, de este modo:

3 cm · 3 cm = 9 cm2

Si llamamos a al lado del cuadrado, podemos concluir que:

el área de un cuadrado es a · a = a2

El área de un rectángulo se calcula de forma semejante; lo único que cambia es que las medidas
de los lados son distintas. Al largo, lo denominaremos a, y al ancho, b. Calcularemos el área del
siguiente rectángulo con centímetros cuadrados.

El área equivale a 8 cm2.

Matemáticamente se puede obtener multiplicando largo por ancho.
En fórmula, el área de un rectángulo es a · b
Rombos y romboides

Estos paralelógramos no tienen ángulos rectos, por lo que en ellos no se puede aplicar la misma
fórmula. Para calcular su área, recurriremos a un elemento secundario: la altura, un segmento
perpendicular (forma ángulos de 90°) que une un lad o con su vértice opuesto.

En el rombo y romboide dibujados, DE corresponde a la altura.

¿Por qué necesitamos la altura para calcular el área?

Trazaremos una paralela a la altura desde C y prolongaremos el lado AB hasta obtener F.
Se formó un BFC, congruente con AED y nos quedó el rectángulo EFCD

El rectángulo formado tiene como largo el lado del rombo o romboide, y su ancho es la altura
dibujada. Entonces, concluimos que:

El área del rombo o romboide = b · h ---> b= base, y h = altura

En resumen, cualquier paralelógramo tiene una sola fórmula para calcular su área, ya que en el
cuadrado y en el rectángulo un lado es la base y el otro, la altura. Entonces:

Área de un paralelógramo = b · h

Calcularemos el área de un rombo que tiene 4,6 cm. por lado y su altura es de 3 cm. Aplicamos la
fórmula:

Área rombo = b · h

Área rombo = 4,6 cm · 3 cm.
Área rombo = 13,8 cm2
Trapecios

Sabemos que los trapecios son cuadriláteros que tienen un par de lados paralelos llamados bases.
Sus lados, es decir, los no paralelos, no son perpendiculares a las bases, salvo el trapecio
rectángulo que tiene perpendicular uno de ellos. Para el cálculo de su área también necesitamos
considerar la altura.

Para formar un rectángulo trazamos la paralela a DE desde B y prolongamos DC hasta formar F.
Nos queda el AED CFB y nuestro rectángulo es EBFD

El rectángulo tiene como largo la mitad de la suma de las bases del trapecio y su ancho es la altura
que trazamos. El área del trapecio se puede calcular aplicando la fórmula:

Área del trapecio = base mayor + base menor · h

Calcularemos el área de nuestro trapecio.

Área del trapecio = 8 cm + 4 cm · 3,6

Área del trapecio = 12 cm · 3,6

Área del trapecio = 21,6 cm2

El área de los triángulos

El cálculo de área de un triángulo cualquiera, se relaciona con el área de un romboide, cuya
fórmula era base · altura

¿Cómo podemos relacionar triángulo y romboide?
Lo haremos a través del siguiente dibujo

A nuestro ABC, le trazaremos una paralela al lado AC a partir de B, y una paralela a AB a partir
de C.

Se ha formado un romboide donde el ABC es la mitad de él.

Para calcular el área del romboide necesitábamos la altura, porque su fórmula es b · h.

Como el es la mitad del romboide obtenemos que el área del es igual a la mitad del área del
romboide.

Su fórmula es:

Área del triángulo = b · h

AB= 5 cm AC= 3,2 cm

BC= 4 cm CD= 3 cm

Calculemos el área de este triángulo. Comenzamos, aplicando la fórmula.

Triángulo rectángulo

Si el es rectángulo,su área se puede calcular por medio de sus catetos, que son los lados
perpendiculares, porque un cateto es la altura del otro. Entonces, la fórmula para su cálculo sería:

Área del triángulo = cateto · cateto

Aplicaremos esta fórmula en el siguiente triángulo rectángulo.

AB= 4 cm
BC= 5 cm
AC= 3 cm

Los catetos miden 3 y 4 cm

En el círculo

El círculo es la región interior de una circunferencia.

El área de un círculo se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
Área del O = · r2
= 3,14 r = radio de la circunferencia

Recordemos que es un número decimal infinito que, para efectos de cálculo, lo dejamos en 3,14
ó 3.

Aplicaremos la fórmula para calcular el área de un círculo de 3 cm. de radio.

Apliquemos el teorema de Pitágoras

El gran matemático griego Pitágoras descubrió una situación muy especial que se produce en el
triángulo rectángulo y que se relaciona con sus lados.

Su teorema dice: "El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, equivale
a la suma de los cuadrados construidos sobre sus catetos"

Demostraremos este teorema a través de un dibujo.

Hemos construido un cuadrado sobre cada lado del triángulo rectángulo.

Pitágoras dice que el cuadrado 1 tiene su área igual a la suma de los cuadrados 2 y 3.

De acuerdo al cuadriculado, el cuadrado 1 tiene un área de 25 cuadros. Al sumar los 9 cuadros del
cuadrado 2 y los 16 cuadros del 3 obtenemos 25. Entonces, se cumple:

Este teorema nos sirve para calcular la medida desconocida de un lado de un triángulo rectángulo,
puede ser un cateto o su hipotenusa.

Por ejemplo: si la hipotenusa mide 5 cm y uno de sus catetos es 4 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?
Aplicamos la fórmula.

Áreas achuradas

Son una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentes figuras que están relacionadas
entre sí. Para distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a achurarla,
es decir, se pinta o raya imitando texturas.

Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lo tanto, hay
que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el
área total.

Veamos el siguiente ejemplo:

Esta figura se descompone en medio círculo y un rectángulo. Primero, tendremos que calcular el
área del círculo; luego, dividirla por 2. Buscaremos, también el área del rectángulo y después
sumaremos ambos resultados para obtener el área total.

Hay ejercicios, que tienen unas figuras dentro de otras y la parte achurada se relaciona con un
sector formado por la intersección de ellas. En estos casos, la solución se encuentra buscando la
diferencia entre las figuras que forman la intersección. Por ejemplo:

Nuestra figura está formada por un cuadrado con un círculo en su interior. La parte achurada
corresponde a la diferencia entre el área del cuadrado y la del círculo

Volumen

Probabilidad y estadística básica

La probabilidad es la caracteristica de un suceso del que existen razones para creer que se
realizará. Los sucesos tienden a ser una frecuencia relativa del numero de veces que se realiza el
experimento

La probabilidad p de aparición de un suceso S de un total de n casos posibles igualmente factibles
es la razón entre el número de ocurrencias h de dicho suceso y el número total de casos posibles
n.

p = P{S} = h / n

La probabilidad es un número (valor) entre 0 y 1. Cuando el suceso es imposible se dice que su
probabilidad es 0 y se dice que es un suceso cierto cuando siempre tiene que ocurrir y su
probabilidad es 1. La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q donde:

q = P{noS} = 1 − (h / n)

Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por Ω, es el espacio que
consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por ω1,ω2,
etcétera, son elementos del espacio Ω

La Estadística es una rama de las matemáticas que se utiliza para describir, analizar e interpretar
fenómenos donde interviene el azar, y que permite a otras ciencias a generar modelos
matemáticos empíricos donde se considera el componente aleatorio. La Estadística se divide en
dos grandes ramas:

La Estadística descriptiva, que se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y
resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio.

La Estadística inferencial, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones
asociadas a los fenómenos en cuestión.

El Razonamiento Estadístico

Todo problema estadístico opera del modo siguiente:
Se plantea un problema en estudio.
Se realiza un muestreo consistente en la recolección de datos referentes al fenómeno o variable
que deseamos estudiar.

Se propone un modelo de probabilidad, cuyos parámetros se estiman mediante estadísticos a
partir de los datos de muestreo. Sin embargo se mantiene lo que se denominan hipótesis
sostenidas (que no son sometidas a comprobación)

Se valida el modelo comparándolo con lo que sucede en la realidad. Se utiliza métodos
estadísticos conocidos como test de hipótesis y pilin de significación

• Población, muestra, medidas de tendencia central, desviación estándar y varianza

Población: Conjunto de todos los elementos incluidos en cierto estudio estadístico.
Muestra: Subconjunto de la población.
Elemento: Unidad mínima de la que se compone la población

MEDIA ARITMÉTICA

Es la suma de los valores de una variable dividida por, él numero de ellos. La media aritmética, que
se representa con .

La fórmula de la media aritmética es:

Ejemplo:

se obtiene con los siguientes pasos

1. Se suman todos los datos

10 + 3 + 5 + 9 + 6 + 8 + 8 + 7 + 9 + 6 + 8 + 7 =

2. La suma ( ) se divide entre el número de datos (n) :

La media aritmética o promedio de las evaluaciones es 7.16, que es el valor representativo de
todos los datos.

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

A veces se asocia a los números x1, x2,...,xn que se quieren promediar, ciertos factores o pesos
w1, w2,...,wn que dependen de la significación o importancia de cada uno de los números.
Entonces se genera una media aritmética ponderada, que también se representa con equis
testada.

Ejemplo

Supongamos que un alumno quiere encontrar el promedio ponderado de sus cinco calificaciones. La
segunda calificación vale el doble de al primera, la tercera el triple de la primera, la cuarta vale
cuatro veces la primera y la quinta cinco veces. ¿Cuál es su promedio si sus calificaciones son 8.5,
7.3, 8.3, 6.4 y 9.2?

X1 = 8.5 ; W1 = 1

X2 = 7.3 ; W2 = 2

X3 = 8.3 ; W3 = 3

X4 = 6.4 ; W4 = 4

X5 = 9.2 ; W5 = 5
(8.5*1+7.3*2+8.3*3+6.4*4+9.2*5)
(1+2+3+4+5)
= 119.6/15 = 7.97 es el promedio ponderado de las calificaciones de este alumno

LA MEDIANA

Es la observación que se encuentra en el centro cuando los datos están ordenados, divide a los
datos en dos partes iguales.

- Si n es impar:

la mediana es la observación que está en el lugar (n+1)/2, esto es

- Si n es par:

la mediana es el promedio de las observaciones n/2 y n/2+1, esto es

Ejemplo

Encuentra la mediana para el siguiente conjunto de datos

Primero se ordenan los datos

Una vez ordenados, como el número de datos es impar (7), se busca el que tiene la posición
(n+1)2, o sea (7+1)2 = 4. Este número es el 9 y representa la mediana.
Ejemplo
Calcula la mediana para el siguiente conjunto de datos

8.3

5.7

9.2

3.9

7.4

11.8

10.64.3

Nuevamente se ordenan los datos

3.9

4.3

5.7

7.4

8.3

9.2

10.6

11.8

Una vez ordenados, como el númeo de datos es par (8), se busca el número que tiene la posición
n/2 y el que tiene la posición n/2+1, o sea 8/2 = 4 y 8/2+1 = 5. Los números que tienen la posición
cuarta y quinta son 7.4 y 8.3. Estos números se promedian y el resultado será la mediana.

(7.4+8.3)/2 = 7.85. Este resultado 7.85 representa la mediana para este conjunto de datos

LA MODA

La moda es el dato que aparece con mayor frecuencia en una colección.
Ejemplo
Si se observa cual es el dato que más se repite en las evaluaciones, se tiene:

3, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10

Que es el ocho. Este valor representa la moda de esta colección, por lo tanto, la moda se refiere al
dato que tiene mayor frecuencia.

Nota: Si ninguna observación se repite, se dice que esos datos no tienen moda. Si todos los datos
se repiten el mismo número de veces, los datos serán multimodales.

Ejemplo

Encuentra la moda de los siguientes datos

Como los datos sólo existen una vez, este conjunto de datos no tienen moda.
Ejemplo
Encuentra la moda del siguiente conjunto de datos

El 3 se repite dos veces, el 7 se repite también dos veces, pero como el 9 se repite tres veces, este
último número es la moda para este conjunto de datos.

Ejemplo

Calcula la moda para los datos que se presentan a continuación

El máximo número de veces que se repiten los datos son tres, y hay dos datos que se repiten tres
veces, el 6 y el 8. El conjunto de datos es bimodal y sus modas son el 6 y el 8.

Ejemplo

Calcula la moda para estos datos

En este conjunto de datos, todos se repiten tres veces. El 5, 6, 8 y el 9 son moda. No hay ninguno
que no lo sea, es un caso multimodal

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

La desviación estándar es la medida de dispersión mas usada en estadística, tanto en aspectos
descriptivos como analíticos. En su forma conceptual, la desviación estándar se define así:

Fórmula de trabajo para la población
Fórmula de trabajo para la muestra:
Ejemplo:

Cuando se trata de datos agrupados la formula es:

Ejemplo :

fx2

1024

111

1369

4107

336

1764

14112

423

2209

19881

364

2704

18928

228

3249

12996

186

3844

11532

201

4489

13467

144

5184

10368

Sumas

2025

106415

Conociendo la desviación estándar, se puede calcular otros estimadores derivados que son de
gran utilidad para describir y/o interpretar el comportamiento de los datos

VARIANZA (VARIANCIA) S2

La varianza,
, se define como la media de las diferencias cuadráticas de n puntuaciones con respecto a su
media aritmética, es decir:

Para datos agrupados en tablas, usando las notaciones establecidas en los capítulos anteriores, la
varianza se puede escribir como

Una fórmula equivalente para el cálculo de la varianza está basada en lo siguiente:

Con lo cual se tiene

Si los datos están agrupados en tablas, es evidente que

La varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ej. si las observaciones se miden
en metros, la varianza lo hace en metros2). Si queremos que la medida de dispersión sea de la
misma dimensionalidad que las observaciones bastará con tomar su raíz cuadrada.

Por ello se define la desviación típica, , como:

Ejemplo

Calcular la varianza y desviación típica de las siguientes cantidades medidas en metros:

3,3,4,4,5

Para calcular dichas medidas de dispersión es necesario calcular previamente el valor con
respecto al cual vamos a medir las diferencias. Éste es la media:

La varianza es:

Siendo la desviación típica su raíz cuadrada:

Las siguientes propiedades de la varianza (respectivamente, desviación típica) son importantes a
la hora de hacer un cambio de origen y escala a una variable. En primer lugar, la varianza (resp.
Desviación típica) no se ve afectada si al conjunto de valores de la variable se le añade una
constante. Si además cada observación es multiplicada por otra constante, en este caso la
varianza cambia en relación al cuadrado de la constante (resp. La desviación típica cambia en
relación al valor absoluto de la constante). Esto queda precisado en la siguiente proposición

TASA INTERNA DE RENTABILIDAD O DE RETORNO

Generalmente conocido por su acrónimo TIR, es el tipo de descuento que hace que el VAN (valor
actual o presente neto) sea igual a cero, es decir, el tipo de descuento que iguala el valor actual de
los flujos de entrada (positivos) con el flujo de salida inicial y otros flujos negativos actualizados de
un proyecto de inversión. En el análisis de inversiones, para que un proyecto se considere
rentable, su TIR debe ser superior al coste del capital empleado.

El Valor Actual Neto es un criterio financiero para el análisis de proyectos de inversión que consiste
en determinar el valor actual de los flujos de caja que se esperan en el transcurso de la inversión,
tanto de los flujos positivos como de las salidas de capital (incluida la inversión inicial), donde éstas
se representan con signo negativo, mediante su descuento a una tasa o coste de capital adecuado
al valor temporal del dinero y al riesgo de la inversión. Según este criterio, se recomienda realizar
aquellas inversiones cuyo valor actual neto sea positivo.

El Valor Actual o Valor presente, es calculado mediante la aplicación de una tasa de descuento, de
uno o varios flujos de tesorería que se espera recibir en el futuro; es decir, es la cantidad de dinero
que sería necesaria invertir hoy para que, a un tipo de interés dado, se obtuvieran los flujos de caja
previstos.

CORRELACIÓN LINEAL

Objetivo principal del análisis de correlación lineal es medir la intensidad de una relación lineal
entre dos variables. A continuación se estudian algunos diagramas de dispersión que indican
diferentes relaciones entre las variables independientes x y las variables dependientes y. Si Y
dependientes no existe un cambio definido en los valores de y conforme aumentan los valores de
x, se dice que no hay correlación o que no existe relación entre x y y. En cambio, si al aumentar x
hay una modificación definida en los valores de y, entonces existe correlación.

En este último caso la correlación es positiva cuando y tiende a aumentar, y negativa cuando y
decrece. Si tanto los correlación lineal valores de x como los de y tienden a seguir una dirección
recta, existe una correlación lineal.

La precisión del cambio en y conforme x incrementa su valor, determina