3 Integral definida

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UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 1
INTEGRAL DEFINIDA
En esta sección vamos a trabajar con el concepto de integral definida. Si bien su cálculo
está muy ligado con la integral indefinida, su origen y desarrollo son anteriores y se
encuentran estrechamente relacionados con la noción de área. Es este camino el que
usaremos para introducir su definición.
Ejemplo 1.
Consideremos la función f dada por f(x) = x y sea A(x) para x > 0, el área encerrada entre
la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta vertical que tiene por abscisa el valor x.
Utilizando la fórmula que nos da el área del
triángulo, tenemos
2
x
)x(A
2

Observamos que en este caso
A’(x) = x = f(x)
Esto es, el área A es una primitiva de f.
En particular si b = 3, es A(2) = 5,4
2
3 2

Ejemplo 2
Consideremos ahora la función dada por
1x
2
1
)x(f  y consideremos A(x) siendo
x > -2, el área encerrada por la gráfica de f,
el eje de abscisas y la recta vertical que
tiene por abscisa el valor x.
El área de la región es:




  1x
2
1
)2x(
2
1
)x(A
De donde operando obtenemos;
1x
4
x
)x(A
2

Aquí también encontramos que el área es
una primitiva de f, es decir:
x(f1x
2
1
1x
4
x
)x('A
'2









En los dos ejemplos, vemos que el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de
abscisas y una recta vertical de abscisa x, es una primitiva de f.
A(x) = F(x) es decir A’(x) = f(x)
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LA
DD
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En los ejemplos anteriores, el área A, la calculamos simplemente aplicando la fórmula que
da el área de un triángulo, pues la gráfica de f era una recta.
Podemos ahora preguntarnos, si podemos calcular el área cuando la gráfica de la función
no es una recta. El siguiente teorema nos da la respuesta.
Terorema
fundamental
del cálculo
Consideremos una función continua y positiva f: [a; b]  .
Para cada x  [a; b], definimos A(x) como el área comprendida entre el gráfico de f y el eje
de abscisas en el intervalo [a; b]
Gráficamente,
En estas condiciones podemos enunciar el siguiente teorema:
 La función A(x) es una primitiva de f. Es decir )x(f)x(A' 
Definción de
integral
definida
Definimos la integral definida mediante el número A

b
a
dx)x(fA
Donde a “a” y “b” se los llama límites de integración.
Nos planteamos ahora el problema de calcular la integral definida. Nos ayudamos con un
ejemplo.
Ejemplo 3.
Calculemos el área que encierra la función
f(x) = x, las rectas x = 1 y x = 3 y el eje de
abscisas.
Vimos en el ejemplo 1, que el área
encerrada por f(x) = x, el eje de abscisas y
la recta vertical que tiene por abscisa x es
2
x
)x(A
2

Si la recta vertical es x = 3 tenemos el
siguiente gráfico:
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El área la calculamos reemplazando en
A(x) por x = 3.
5,4
2
3
)3(A
2

Si a este triángulo le restamos el triángulo
en rojo, obtenemos el trapecio del que
partimos.
Y podemos también calcular el área de este
triángulo, haciendo x = 1
5,0
2
1
)1(A
2

De este modo el área del trapecio es:
A(3) – A(1) = 4, 5 – 0,5 = 4
Es decir que el área limitada por f(x) = x y el eje x en el intervalo [1; 3] es el incremento de
la función A al pasar de x = 2 a x = 4.
Si recordamos que el área de la región es una primitiva de la función f este es, A(x) = F(x)
podemos escribir:
F(3) – F(1) = A(3) – A(1) = 4, 5 – 0,5 = 4
Si generalizamos para un intervalo [a; b] tendremos:
A = F(a) – F(b)
Como además dijimos que A = 
b
a
dx)x(f
Tendremos que el área del trapecio en el intervalo [a; b] es
A =  
b
a
)a(F)b(Fdx)x(f
Generalizamos, lo hecho en el ejemplo, mediante la siguiente regla, que nos permite
calcular la integral definida en un intervalo [a; b]
Regla de
Barrow
Si )x(F es una primitiva de la función continua )x(f , se verifica que:
 
b
a
)a(F)b(Fdx)x(f
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Usamos la regla de Barrow en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4
Calcular 

2
1
dxx
Solución:
Ya sabemos que una primitiva de x es
2
x
)x(F
2

Luego por la regla de Barrow, podemos escribir:


2
1
dxx = F(2) – F(–1) =
2
3
2
1
2
2 22 
Al aplicar la regla de Barrow es conveniente la siguiente notación.
 
b
a
b
a
)a(F)b(F)x(Fdx)x(f
Propiedades
de la integral
definida
1. El factor constante se puede extraer fuera del signo de la integral definida.

b
a
dx)x(f.a 
b
a
dx)x(f.a
2. La integral definida de la suma algebraica de dos o más funciones es igual a la suma
algebraica de las integrales definidas de cada una de las funciones sumandos.
 
b
a
dx)).x(g)x(f( 
b
a
dx)x(f 
b
a
dx)x(g
3. Si se invierten los límites de integración, la integral definida cambia de signo.

a
b
dx)x(f 
b
a
dx)x(f
4. Si f está definida para x = a entonces,

a
a
dx)x(f 0
5. Para tres números arbitrarios a, b y c se verifica la igualdad:

b
a
dx)x(f 
c
a
dx)x(f 
b
c
dx)x(f
6. Si en el segmento [a, b] se verifica que )x(g)x(f  , entonces:

b
a
dx)x(f 
b
a
dx)x(g
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Para calcular las integrales definidas se procede en forma similar a las integrales
indefinidas.
Ejemplo 5
Calcular las siguientes integrales definidas.
a) 


3
2
2 dx)5x6( b)  

0
dx)senx1( c)   
8
1
32 dx1xx
Solución
Resolvemos las integrales aplicando la regla de Barrow.
a) 


3
2
2 dx)5x6(
45)1016()1554(
)2(5
3
)2(6
3.5
3
3.6
x5
3
x6
dx)5x6(
33
3
2
3
3
2
2





























Luego, 

3
2
2 dx)5x6( 45
b)  

0
dx)senx1(
21)1(
)0cos0()cos()xcosx(dx)senx1(
0
0





Resulta:
 

0
dx)senx1( = 2
c)   
8
1
32 dx1xx
Comencemos tratando de escribir el integrando de otra manera.
23
7
3
1
232 xx)1x(x)1x(x 
Por lo que es
  
8
1
32 dx1xx  






8
1
23
7
dxxx
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8
1
33 10
8
1
33
10
x
3
1
x
10
3
3
x
3
10
x





 













30
4097
30
103.3512.103072.3
3
1
10
3
3
512
10
3072
3
1
10
3
3
512
10
1024.3
1.
3
1
1.
10
3
8
3
1
2
10
3
1
3
1
1
10
3
8
3
1
8
10
3
310
33 1033 10









 




 





 




 
Luego;  
30
4097
dx1xx
8
1
32 
Ejemplo 6
Sabiendo que   
3
1
5
3
5
0
3dx)x(fy1dx)x(f;6dx)x(f calcular;
a) 
1
0
dx)x(f b) 
3
1
dx)x(f3 c)  
5
3
4
0
dx)x(f
2
1
dx)x(f
Solución
En este ejercicio, interesa que usemos las propiedades de la integral definida.
Consideremos el intervalo en que está definida la integral y la información que
tenemos sobre ella en ese intervalo.
Nos ayudamos con un gráfico:
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Si usamos la propiedad 5, podemos escribir
 
5
3
3
1
1
0
5
0
dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f
De esta suma, sólo nos falta conocer la integral en el intervalo [0; 1]. La
calculamos.
a) 
1
0
dx)x(f
Si reemplazamos los datos que tenemos en la suma, nos queda:
31dx)x(f6
1
0
 
Con lo que es:
 
1
0
1
0
dx)x(f2dx)x(f316
b) 
3
1
dx)x(f3
Ya que el factor constante se puede extraer fuera del signo de la integral definida,
podemos escribir:
 
3
1
3
1
dx)x(f3dx)x(f3
Conocemos que la integral 
3
1
1dx)x(f es:
 
3
1
3
1
dx)x(f3dx)x(f3 = 3.1 = 3
c)  
5
3
4
0
dx)x(f
2
1
dx)x(f
Reescribimos la integral, utilizando propiedades:
  











5
3
3
1
1
0
5
3
4
0
dx)x(fdx)x(f
2
1
dx)x(fdx)x(f
2
1
dx)x(f
De este modo podemos usar los datos del problema y el resultado del ítem a).
Luego:
2
9
2
3
3)12(
2
1
3dx)x(f
2
1
dx)x(f
5
3
4
0
 
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Cambio de variable en integrales definidas.
Recordemos que dada dx)x('g).)x(g(f , si F es una primitiva de f, y ))x(g(F es una
primitiva de )x('g).)x(g(f entonces es:
 dx)x('g).)x(g(f = F(g(x)) + C
Recordemos además que para resolver este tipo de integrales, recurrimos al método de
sustitución o cambio de variables.
Nuestro problema consiste ahora en calcular la integral definida

b
a
dx)x('g).)x(g(f
prestando atención a los límites de integración.
Vamos a ver que podemos hacerlo de dos maneras:
 La primera consiste en calcular la integral definida
 dx)x('g).)x(g(f = F(g(x)) + C
Y evaluarla en los límites de integración, con lo que es:
))a(g(F))b(g(Fdx)x('g).)x(g(f
b
a

 La segunda, consiste en cambiar los límites de integración.
En este caso, al hacer la sustitución u = g(x) y du = g’(x) dx, también se cambian
los límites de integración teniendo en cuenta:
o Si x = a; es u = g(a)
o Si x = b; es u = g(b)
Por lo que resulta:
))a(g(F))b(g(Fdu)u(fdx)x('g).)x(g(f
)b(g
)a(g
b
a
 
El siguiente ejemplo lo resolvemos utilizando las dos formas.
Ejemplo 7
Calcular dx)2x(x 5
3
2
32 

Solución.
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Si usamos la primera forma, debemos calcular la integral indefinida y luego evaluarla en
los limites de integración:
Entonces calculamos:
dx)2x(x 532 
Haciendo u = x3 + 2 es du = 3x2 dx; 2x
3
du  dx
Por lo que:
Cu
18
1
Cu
6
1
.
3
1
duu
3
1
dx)2x(x 665532  
Volviendo a la variable x,
C)2x(
18
1
dx)2x(x 63532 
Así;
dx)2x(x 5
3
2
32 

=
3
2
63 )2x(
18
1


18
594776665
)46656594823321(
18
1
))6(29(
18
1
)2)2((
18
1
)23(
18
1
66
6363




Luego:
18
594776665
dx)2x(x
3
2
532 

Si usamos la segunda forma, hacemos el cambio de variables y cambiamos los límites
de integración.



3
2
532 )2x(x
Haciendo u = x3 + 2 es du = 3x2dx; dxx
3
du 2 , y además:
Si x = 3; u = 3
3
+ 2 = 29
Si x = -2; u = (-2)
3
+ 2 = - 6
Por lo que es:
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18
594776665
))6(29(
18
1
u
18
1
duu
3
1
)2x(x
66
29
6
6
29
6
5
3
2
532






Luego:
18
594776665
)2x(x
3
2
532 

Como se ve, cualquiera sea la forma que elegimos, llegaremos al mismo resultado.
Si se elige la segunda forma de resolución, hay que ser cuidadosos y hacer la sustitución
de los límites de integración. Si esto no se hace, el ejercicio está mal resuelto.
Ejemplo 8:
Calcular 
2/
4/
dyyctg


Solución:
Comencemos rescribiendo el integrando
 
2/
4/
2/
4/
dy
seny
ycos
dyyctg




De este modo podemos hacer la sustitución u = sen y ; du = cos y dy
Lo resolvemos de las dos formas:
En la primera, comenzamos calculando la integral indefinida y después evaluamos
en los límites de integración:
Culndu
u
1
dy
seny
ycos
 
Por lo que es:
C)senyln(dy
seny
ycos 
Luego es;
 
2/
4/
2/
4/
dy
seny
ycos
dyyctg




2/
4/
)senyln(


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2ln
2
1
2ln0
2
2
ln1ln
4
senln
2
senln
2
1
















Por lo que
2ln
2
1
dyyctg
2/
4/



Resolvemos  
2/
4/
2/
4/
dy
seny
ycos
dyyctg




por la segunda forma.
Esto es, haciendo la sustitución u = sen y ; du = cos y dy, lo que implica reemplazar
los limites de integración.
 Si 1
2
senu;
2
x  
 Si
2
2
4
senu;
4
x  
Luego,
1
2/2
1
2/2
2/
4/
2/
4/
ulndu
u
1
dy
seny
ycos
dyyctg  




2ln
2
1
2ln0
2
2
ln1ln
2
1




Por lo que
2ln
2
1
dyyctg
2/
4/



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El método de integración por partes y la integral definida.
Para integrar una función expresada como producto de otras dos, y donde no podemos
aplicar el método de sustitución,usamos el método de integración por partes.
En el caso de las integrales definidas también podemos hacerlo, prestando nuevamente
atención a los límites de integración.
 
b
a
a
b
b
a
dx)x(v)x('u)x(v.)x(udx)x('v)x(u
Resolvemos algunos ejemplos.
Ejemplo 9
Calcular  
1
0
x dx.e).2x(
Solución
Usando el método de partes, buscamos una primitiva.
Elegimos,
u = x + 2, por lo que es du = dx
dv = exdx , por lo que es xx edxev  
Calculamos ahora la integral definida:
 
  10x
1
0
x
1
0
1
0
x1
0
xx
ee).2x(
dxee).2x(dx.e).2x(

 
Y ahora sustituimos por los límites de integración
= (1 + 2) e
1
– (0 + 2) e
0
– (e
1
– e
0
)
= 3e – 2 – e + 1
= 2e – 1
Por lo que es:
 
1
0
x 1e2dx.e).2x(
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Ejemplo 10.
Calcular dx
x
xln
2
1
2
Solución
Escribamos la integral de esta manera:
dxxln
x
1
dx
x
xln
2
1
2
2
1
2  
Luego buscamos la primitiva de dx
x
xln
2 utilizando el método de partes, y una
vez que la hallamos, reemplazamos por los límites de integración.
Vimos que en las funciones que contienen logaritmos, nos conviene llamar u a la
función logaritmo.
Luego:
u = ln x, es du = dx
x
1
dv = dx
x
1
2
entonces
x
1
xdx
x
1
v 1
2
 
Entonces, buscamos la primitiva de la función y evaluamos.
)1x(ln
x
1
x
1
x
xln
dx
x
1
x
xln
dx
x
1
x
1
x
xln
dxxln
x
1
dx
x
xln
22











Y volviendo a la integral definida:
2
1
2ln
2
1
1
2
1
2ln
2
1
1)12(ln
2
1
)11(ln
1
1
)12(ln
2
1
)1x(ln
x
1
dx
x
xln
2
1
2
1
2





 



 


 
Luego:
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�
 FI
LA
DD
.CO
M
Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 14
2
1
2ln
2
1
dx
x
xln
2
1
2

Observación: en este ejemplo, preferimos calcular la integral indefinida y luego aplicar la
regla de Barrow al resultado de la misma.
Ejemplo 11.
Calcular 
1
0
dxarcsenx
Solución
Nuevamente utilizamos el método de integración por partes. Primero vamos a
buscar una primitiva y luego reemplazamos por los límites de integración.
Como conocemos la derivada de arcsenx, a esta función la llamamos u.
Hacemos:
u = arcsenx, por lo que du =
2x1
1

dx
dv = dx; por lo que es v =   xdx
Luego tenemos;
  dxx1
x
arcsenx.xdxarcsenx
2
(1)
Observemos que en el segundo miembro, la integral no es inmediata, nos
conviene resolverla por sustitución.
Luego, en   dxx1
x
2
hacemos;
t = 1 – x
2
, por lo que es dt = -2xdx; dxx
2
dt 
Sustituyendo en la integral,
Ct
Ct2.
2
1
Ct
1
2
1
1
.
2
1
dtt
2
1
dt
t
1
2
1
dx
x1
x
2
1
1
2
1
2
1
2










Volviendo a la variable x, es:
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�
 FI
LA
DD
.CO
M
Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 15
Cx1dx
x1
x 2
2


Ahora, en la integral indefinida que dejamos en (1) reemplazamos,
2
2
x1arcsenx.x)x1(arcsenx.xdxarcsenx


Ya tenemos una primitiva, ahora podemos escribir:
1
0
2
1
0
)x1arcsenx.x(dxarcsenx 
Y sustituimos,

1
0
dxarcsenx = (1. arcsen1 + 11  ) – (0. arcsen 0 + 01  )
(arcsen1 quiere decir el ángulo cuyo seno es 1. En el dominio de la función, esto
ocurre si el ángulo es
2
 y arcsen 0 es el ángulo cuyo seno es cero, esto ocurre si
el ángulo es cero)

1
0
dxarcsenx = 1
2


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 FI
LA
DD
.CO
M