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Análisis Matemático I – CIBEX
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de La Plata
Unidad 7: Cálculo de Integrales
Segunda parte
Curso 2015
Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana Alonso
Equipo Coordinador
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 282
Clase 7.4. Propiedades de la Integral. Integral Inde�nida y primitivas.
Esta clase recorre dos ejes:
- Propiedades de la integral de�nida. Teorema del Valor Medio del cálculo integral
- Integral inde�nida y sus propiedades. Teorema Fundamental del Cálculo Demos-
tración de la regla de Barrow.
7.4.1. Propiedades básicas de la integral de�nida
La integral de�nida se construye como límite de sumas de Riemann, es decir sumas algebraicas de
áreas de rectángulos (con signo). Las propiedades algebraicas de la suma y las propiedades geométricas
de las áreas dan lugar a las propiedades más básicas de la integral de Riemann.
Propiedad 7.4.1. Linealidad respecto del integrando
Si f(x) y g(x) son integrables en [a, b], y k es una constante, entonces
1. k f(x) es integrable en el intervalo [a, b],ˆ b
a
k f(x) dx = k
ˆ b
a
f(x) dx
2. f(x) + g(x) es integrable en el intervalo [a, b],ˆ b
a
(f(x) + g(x)) dx =
ˆ b
a
f(x) dx+
ˆ b
a
g(x) dx
Las propiedades de linealidad re�ejan que la integral de�nida se construye como límite de sumas:
la primera habla de "sacar factor común" k y la segunda habla de "asociar" los términos con f(x) por
un lado y los términos con g(x) por otro lado. Estas operaciones son naturalmente válidas al manipular
sumas de Riemann, pero la demostración formal de las propiedades 7.4.1 requiere tratar con cuidado
el paso �nal, es decir el límite para ‖∆‖ → 0. No lo haremos en este curso.
Ejemplo 7.4.2.ˆ 3
−3
(
2x2 − 3x+ 1
)
dx = 2
ˆ 3
−3
x2 dx− 3
ˆ 3
−3
x dx+
ˆ 3
−3
1 dx
= 2
[
x3
3
]3
−3
− 3
[
x2
2
]3
−3
+ [x]3−3
= 42
Observen que podríamos haber calculado una primitiva del polinomio completo, y usar directa-
mente la regla de Barrow. Veri�quen que el resultado sería el mismo. Discutan por qué.
Recordemos que la integral de Riemann se de�nió en intervalos [a, b], donde a es menor que b. Es
conveniente extender la de�nición de
´ b
a f(x) dx cuando b = a y cuando b < a.
Definición 7.4.3. Extensión de la de�nición de integral de Riemann
Se dan las siguientes de�niciones para la integral
´ b
a f(x) dx cuando b no es mayor que a:
si a = b, y existe f(a), se de�ne ˆ a
a
f(x) dx = 0
si b < a, y existe f(x) y es integrable en el intervalo [b, a], se de�neˆ b
a
f(x) dx = −
ˆ a
b
f(x) dx
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 283
Estas de�niciones tienen interpretación geométrica: la primera dice que si el intervalo de integración
tiene ancho nulo, entonces el área encerrada es nula. La segunda dice que si se quiere acumular área
yendo desde a hasta b hacia la izquierda, la base de los rectángulos de Riemann será un incremento
negativo; la integral "al revés" dará la cantidad opuesta a la integral calculada desde b hasta a.
Ejemplo 7.4.4. ˆ 0
5
x dx = −
ˆ 5
0
x dx = −
[
x2
2
]5
0
= −12.5
Gra�quen el integrando y el área encerrada para discutir el signo del resultado.
Propiedad 7.4.5. Aditividad respecto de intervalos
1. Si f(x) es integrable en el intervalo [a, c] y b es un punto intermedio a < b < c, entoncesˆ c
a
f(x) dx =
ˆ b
a
f(x) dx+
ˆ c
b
f(x) dx
2. Si a, b y c no están ordenados, y f(x) es integrable en los tres intervalos determinados
por a, b y c, entonces también valeˆ c
a
f(x) dx =
ˆ b
a
f(x) dx+
ˆ c
b
f(x) dx
La parte (1) re�eja la propiedad asociativa de la suma en las sumas de Riemann: dado que a < b < c
se pueden hacer particiones del intervalo completo [a, c] de forma tal que las primeros sub-intervalos
cubran el intervalo [a, b] y los restantes cubran el sub-intervalo [b, c]. Intenten dibujarlo. Si se suman
los primeros sub-intervalos por un lado, y los restantes por otro lado, se construyen por separado las
integrales
´ b
a f(x) dx y
´ c
b f(x) dx.
La parte (2) es una extensión del resultado, incorporando que tiene sentido una integral recorrida
de derecha a izquierda ("al revés") y es equivalente a restar la integral recorrida de izquierda a derecha
("al derecho").
Ejemplo 7.4.6. ˆ 8
0
x dx =
ˆ 10
0
x dx+
ˆ 8
10
x dx
=
ˆ 10
0
x dx−
ˆ 10
8
x dx
Gra�quen el integrando y las áreas encerradas para discutir el signi�cado del resultado: al
integrar entre 0 y 10 estamos encerrando más área que la que corresponde a integrar entre 0 y
8. Al restar
´ 10
8 x dx "sacamos el exceso".
Una aplicación útil de la propiedad de la aditividad ocurre cuando integramos una función continua
pero de�nida a trozos. Conviene separar la integral en intervalos donde la función a integrar mantenga
una misma fórmula, de modo de hallar fácilmente la primitiva. Veámoslo en un ejemplo con la función
valor absoluto.
Ejemplo 7.4.7. Calculemos la integral de�nida de f(x) = |x| en el intervalo [−1, 1].
Recordando la de�nición, podemos escribir:ˆ 1
−1
|u| du =
ˆ 0
−1
(−u) du+
ˆ 1
0
u du =
[
−u
2
2
]0
−1
+
[
u2
2
]1
0
=
1
2
+
1
2
= 1.
Gra�quen la función en el intervalo [−1, 1] y comprueben geométricamente que el área encerrada
entre la grá�ca de la función y el eje x es efectivamente 1.
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 284
Otra situación en que recurrimos a partir el intervalo de integración es el caso de calcular la
integral de�nida de una función continua salvo �nitas discontinuidades de tipo salto. Hemos enunciado
que dicha integral existe; para calcularla aprovecharemos la propiedad de aditividad. Para que quede
bien establecido lo enunciamos como una propiedad:
Propiedad 7.4.8. Integral de Riemann de funciones continuas a trozos
Si f(x) es continua en el intervalo [a, b], excepto un número �nito de discontinuidades tipo salto
en puntos intermedios x1, x2, etc, la integral de Riemann
ˆ b
a
f(x) dx
se puede calcular sumando las integrales sobre cada intervalo [a, x1], [x1, x2], etc. En cada sub-
intervalo, el integrando se rede�ne para que sea continuo.
Ejemplo 7.4.9. Calculemos la integral de�nida de la función signo
f(x) =
{
−1, si x < 0
1, si x > 0
entre x = −2 y x = 3.
En x = 0 la función presenta una discontinuidad de tipo salto. Para usar correctamente la regla
de Barrow, a partir de la propiedad 7.4.8 podemos calcular por separado la integral en el intervalo
[−2, 0] y en el intervalo [0, 3] y luego sumar los resultados.
En el intervalo [−2, 0] debemos tratar al integrando como si valiera −1, incluso en el borde x = 0
(que es el valor de su límite lateral por izquierda):ˆ 0
−2
f(x) dx =
ˆ 0
−2
−1 dx = [−x]0−2 = −2
usando la regla de Barrow porque el integrando f(x) = −1 es continuo en [−2, 0]. En el intervalo
[0, 3] debemos tratar al integrando como si valiera 1, incluso en el borde x = 0 (que es el valor de
su límite lateral por derecha): ˆ 3
0
f(x) dx =
ˆ 3
0
1 dx = [x]30 = 3
Finalmente, ˆ 3
−2
f(x) dx =
ˆ 0
−2
f(x) dx+
ˆ 3
0
f(x) dx = −2 + 3 = 1
Gra�quen para interpretar mediante áreas el resultado de la integral en cada tramo y el resultado
de la integral completa.
Noten que si una función no es continua en algún borde del intervalo de integración pero tiene límite
lateral �nito (tomado desde el interior del intervalo), la situación es similar a un salto: corresponde
rede�nir el integrando para salvar la discontinuidad y luego utilizar la regla de Barrow.
Propiedad 7.4.10. Leyes de monotonía (conservación de desigualdades).
1. Si f(x) ≥ 0 es integrable en el intervalo [a, b], entoncesˆ b
a
f(x) dx ≥ 0
2. Si f(x) y g(x) son integrables en el intervalo [a, b] y g(x) ≥ f(x) en todo el intervalo,
entonces ˆ b
a
g(x) dx ≥
ˆ b
a
f(x) dx
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 285
La propiedad 7.4.10 re�eja, una vez más, que la integral de�nida se construye como límite de
sumas: la primera dice que al "sumar" cantidades no negativas se obtiene un resultado no negativo,
y la segunda dice que al "sumar" cantidadesmayores que otras se obtiene un resultado mayor que
otro. Es decir, las leyes de monotonía de la suma son válidas para integrales de�nidas. Lo ilustramos
grá�camente en el caso de funciones positivas: en un mismo intervalo, una función positiva encierra un
área positiva, y una de mayor altura encierra mayor área.
Actividad 7.4.11. Ilustren la propiedad 7.4.10, parte (2), en algún caso en que las funciones
no sean positivas.
7.4.2. El Teorema del Valor Medio para integrales
Este importante teorema se puede presentar grá�camente. Cuando una función continua y positiva
f(x) no es constante en un intervalo [a, b], como en la �gura que sigue, el área que queda encerrada
entre la grá�ca de la función y el eje x se puede igualar con el área de un rectángulo de base (b− a) y
altura apropiada:
En el grá�co resulta claro que la altura apropiada h es algún valor intermedio entre el mínimo y el
máximo de la función (si h fuera mayor que el máximo el rectángulo tendría mayor área que la encerrada
por la curva; si h fuera menor que el mínimo el rectángulo tendría menor área que la encerrada por la
curva). Noten que podemos hablar del máximo y del mínimo absoluto, que se alcanzan en puntos de
[a, b], porque f(x) es continua en un intervalo cerrado. Además, dado que h está entre el mínimo y el
máximo de la función, por el Teorema del Valor Intermedio debe existir un número c en [a, b] tal que
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 286
h = f(c). Luego la integral encierra un área que se puede escribir como (b − a)f(c) (base por altura
del rectángulo).
La situación descripta es cierta para cualquier función continua en un intervalo cerrado, incluso
cuando f(x) no sea positiva (recuerden que usamos áreas con signo, que hemos llamado áreas algebrai-
cas).
El resultado general se enuncia como
Teorema 7.4.12. Teorema del Valor Medio para integrales.
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número c en [a, b] tal queˆ b
a
f(x) dx = f(c)(b− a)
Demostración. Vamos a desarrollar con notación matemática lo que observamos en la �gura
anterior. Dado que f(x) es continua en [a, b], encontramos un valor m ∈ [a, b] tal que f(m) es el
mínimo absoluto y un M ∈ [a, b] tal que f(M) es el máximo absoluto de f(x) en [a, b], por lo que
f(m) ≤ f(x) ≤ f(M)
De�niendo dos funciones constantes g(x) = f(m) y h(x) = f(M), por la propiedad 7.4.10 las
integrales de cada miembro mantienen la desigualdad
ˆ b
a
f(m) dx ≤
ˆ b
a
f(x) dx ≤
ˆ b
a
f(M) dx,
podemos sacar las constantes fuera de cada integral
f(m)
ˆ b
a
dx ≤
ˆ b
a
f(x) dx ≤ f(M)
ˆ b
a
dx
y resolver
´ b
a dx = b− a,
f(m)(b− a) ≤
ˆ b
a
f(x) dx ≤ f(M)(b− a).
Dividiendo cada miembro por b− a(> 0) llegamos a
f(m) ≤ 1
(b− a)
ˆ b
a
f(x) dx ≤ f(M).
En otras palabras, la expresión
1
(b− a)
´ b
a f(x) dx es un valor intermedio entre el mínimo f(m) y el
máximo f(M). Entonces, por el Teorema del Valor Intermedio, existe c entre m y M tal que
1
(b− a)
ˆ b
a
f(x) dx = f(c),
de donde despejamos
ˆ b
a
f(x) dx = f(c)(b− a).
Las �guras siguientes, tomadas del libro Cálculo I de Larson, Hostetler y Edwards, ilustran las
áreas involucradas en esta demostración.
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 287
Valor medio de una función continua.
En la demostración del Teorema 7.4.12 f(c) es la altura de un rectángulo tal que su área (con
signo) es igual al área real algebraica encerrada por la función, (b− a)f(c) =
´ b
a f(x) dx. A esta altura
se la llama valor medio de la función f(x) en el intervalo [a, b]. Se de�ne:
Definición 7.4.13. Si la función f(x) es integrable en el intervalo [a, b], se llama valor medio de
la función f(x) en el intervalo [a, b] a
〈f(x)〉[a,b] =
1
(b− a)
ˆ b
a
f(x) dx
Observen que el cálculo del valor medio de una función es análogo al promedio de un conjunto de
números. Para un conjunto �nito de números, se suman todos y se divide por la cantidad de números.
Para funciones, se integra todo el intervalo y se divide por la longitud del intervalo.
Ejemplo 7.4.14. El valor medio de la función y = sen x en el primer cuadrante (es decir,
0≤x≤ π/2) se calcula como
〈sen(x)〉[0,π/2] =
1
π/2
ˆ π/2
0
sen(x)dx
=
2
π
[− cos(x)]π/20
=
2
π
≈ 0.637
Observación 7.4.15. Dada f(x), de�nida en un intervalo [a, b], la integral de�nida
´ b
a f(x) dx
es un número, no depende de x. En ese sentido, se puede cambiar el nombre de la variable y escribirˆ b
a
f(x) dx =
ˆ b
a
f(u) du
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 288
Recordemos la de�nición de integral de Riemann, como límite de sumas de Riemann: lo importante
es haber sumado valores de la función f multiplicados por incrementos de su variable. No importa
si la variable que usamos se llama x o se llama u, sólo importan los valores que toma en el intervalo
[a, b]. Este hecho es análogo al que habrán visto en Algebra con sumatorias, donde pueden cambiar
el nombre del índice de suma:
∑N
i=1 ai =
∑N
j=1 aj ; allí importan los valores sumados y no importa
cómo los hayan anotado.
Por esta observación se dice que la variable de integración es muda.
7.4.3. La integral inde�nida
La integral inde�nida juega un rol muy importante en la teoría de integrales: nos da una relación
explícita entre la noción de integral de Riemann (o de�nida) y la noción de función primitiva. Además,
como una aplicación práctica, nos permite demostrar la validez de la regla de Barrow.
Recordemos que aprendimos a hacer integrales de Riemann en intervalos cerrados [a, b]
ˆ b
a
f(x) dx
donde los límites de integración a y b son valores dados (�jos). Ahora vamos a tratar al límite superior de
la integral (es decir, el borde derecho del intervalo) como una variable. Analizaremos cómo el resultado
depende del valor de b.
Para dejar clara esta intención vamos a llamar x al borde derecho: integraremos una función en un
intervalo [a, x]. Para evitar confusiones no podemos llamar con la letra x a la variable de la función que
estamos integrando; vamos a llamarla con otra letra u, aprovechando que la variable de integración es
muda (ver la Observación 7.4.15).
Consideremos una función f : I → R, integrable . Llamemos u a la variable de la función, u = a a
un punto �jo del intervalo I y u = x a otro punto del intervalo I.
La integral de Riemann
ˆ x
a
f(u) du
depende del valor de x, y está bien de�nida para cualquier x en I. Es decir, esta integral le asigna a cada
x ∈ I un y sólo un número real, el resultado de la integral: el resultado es función de x. Llamaremos
integral inde�nida, y anotaremos Fa(x), a esta función:
Definición 7.4.16. Dada una función f : I → R, integrable, la función Fa : I → R, con regla
de asignación
Fa(x) =
ˆ x
a
f(u) du
se llama integral inde�nida de la función f .
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 289
Esta función describe el área algebraica encerrada entre la grá�ca de f(u) y el eje u, desde u = a
hasta u = x. Anotamos un subíndice a en el nombre de la función para recordar dónde comienza esta
área.
Si se piensa que la variable de integración recorre el eje u desde a hasta x, se puede decir que Fa(x)
es el valor de área acumulada entre el eje y la curva, hasta llegar a x ; claramente, si cambia x cambia
también el área algebraica encerrada.
Observación 7.4.17. El valor de la variable x puede quedar tanto a la derecha como a la
izquierda de a. Recuerden que si x < a corresponde calcular
´ x
a f(u) du = −
´ a
x f(u) du. Recuerden
también que
´ a
a f(u) du = 0.
El nombre de integral inde�nida puede resultar confuso5, ya que estamos de�niendo algo bien
preciso pero lo llamamos "inde�nido". Algunos libros evitan este nombre y la llaman función área, o
función acumulación, por su signi�cado geométrico.
Ejemplo 7.4.18. Consideremos la función f(x) = 2x+ 3 en el intervalo [−1, 3] .
Como la función f(x) está de�nida y es continua en el intervalo [−1, 3], podemos construir la
integral inde�nida como una integral de Riemann entre−1 y x, para −1 ≤ x ≤ 3. Usando la letra
u como variable de integración, la función integral inde�nida es
F−1(x) =
ˆ x
−1
(2u+ 3) du
Aquí debemos ser cuidadosos conceptualmente: esta función está bien de�nida, aunque la integral no
esté resuelta. Esto lo podemos a�rmar por el teorema de existencia 7.2.6. Por ejemplo, F−1(−1) = 0,
ya que x = −1 es el punto inicial (todavía no hay área acumulada). También sabemos que para
x > −1 la función F−1(x) es positiva (porque f(u) es positiva en [−1, x]), etc.
Si queremos una expresión explícita para F−1(x) tenemos que resolver la integral de Riemann.
La forma práctica de hacerlo es usar la regla de Barrow (aunque aún no demostramos formalmente
su validez): f(u) = 2u+ 3 es continua y una primitiva posible es F (u) = u2 + 3u, por lo que
F−1(x) =
[
u2 + 3u
]x
−1 = x
2 + 3x+ 2
Gra�quen la curva y = f(x) y valores de F−1(x) para comprobar los resultados obtenidos.
También podemos calcular la integral inde�nida de una función continua de�nida a trozos, o con una
función con algunas discontinuidades tipo saltos. De la misma manera que trabajamos con integrales
de�nidas, separaremos la integral en tantos intervalos como haga falta.
Ejemplo 7.4.19. Consideremos nuevamente la función valor absoluto f(x) = |x| y calculemos
su integral inde�nida a partir de x = −1. Recordando la de�nición, y usando la regla de Barrow,
podemos escribir:
para − 1 ≤ x ≤ 0 : F−1(x) =
ˆ x
−1
|u| du =
ˆ x
−1
(−u) du = −
[
u2
2
]x
−1
= −x
2
2
+
1
2
,
en particular F−1(0) =
´ 0
−1 |u| du =
1
2
para 0 ≤ x ≤ 1 : F−1(x) =
ˆ x
−1
|u| du =
ˆ 0
−1
(−u) du+
ˆ x
0
u du = F−1(0) +
[
u2
2
]x
0
=
1
2
+
x2
2
.
En particular, F−1(1) = 1. Comprueben que coincide, por supuesto, con el cálculo de
´ 1
−1 |x| dx que
hicimos en el ejemplo 7.4.7.
5Es un juego de palabras en castellano. En inglés se usa inde�nite, mientras algo sin de�nición se dice unde�ned.
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 290
7.4.4. El Teorema Fundamental del Cálculo
La función integral inde�nida Fa(x) que discutimos en la sección anterior tiene dos propiedades
muy importantes. En primer lugar:
Teorema 7.4.20. Si f(x) es continua en un intervalo I, salvo quizás �nitas discontinuidades
tipo salto, entonces la integral inde�nida Fa(x) =
´ x
a f(u) du es una función continua en todo el
intervalo I.
La idea detrás de este enunciado es que la acumulación de área bajo la curva acotada no puede
producir una discontinuidad: la integral inde�nida de una función continua a trozos y acotada es siempre
continua. Se suele decir que es una operación regularizante, porque Fa(x) posee mejores propiedades
que f(x), ya que resulta continua aún en puntos donde f(x) no lo era.
Más importante aún:
Teorema 7.4.21. Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)
Sea f(x) una función de�nida en un intervalo I y sea a un punto en I. Si f(u) es continua en
u = x, entonces la integral inde�nida Fa(x) =
´ x
a f(u) du es derivable en x y su derivada es
F ′a(x) = f(x)
En particular, si f es continua en todo el intervalo I, entonces Fa(x) es una primitiva de f(x).
Demostración. Tomemos un punto x0 donde f es continua. Debemos calcular la derivada por
de�nición, comenzando con la razón de cambio del punto x0 y un incremento ∆x,
Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)
∆x
Por la aditividad de la integral respecto del intervalo, podemos escribir
Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0) =
ˆ x0+∆x
a
f(u) du−
ˆ x0
a
f(u) du
=
ˆ x0
a
f(u) du+
ˆ x0+∆x
x0
f(u) du−
ˆ x0
a
f(u) du
=
ˆ x0+∆x
x0
f(u) du
Dado que f es continua entre x0 y x0 +∆x, el Teorema del Valor Medio para integrales permite escribirˆ x0+∆x
x0
f(u) du = f(c)∆x
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 291
donde c es un número entre x0 y x0 + ∆x. Reemplazando en la razón de cambio,
Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)
∆x
=
f(c)∆x
∆x
= f(c)
Resta tomar el límite. Como c está atrapado entre x0 y x0 + ∆x, cuando ∆x → 0 necesariamente
c→ x0. Además, f(u) es continua en x0. Entonces existe el límite
ĺım
∆x→0
Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)
∆x
= ĺım
c→x0
f(c) = f(x0)
como queríamos demostrar.
Observación 7.4.22. En esta demostración no indicamos si tomamos el límite por derecha o
por izquierda, ni detallamos qué pasa cuando x = a o x = b. El grá�co sólo ilustra la situación
más sencilla, que es el límite por derecha x→ x+0 en un punto x0 interior a [a, b]. Si lo revisan con
cuidado, basados en las propiedades anteriores, verán que todos los pasos son válidos para el límite
por izquierda. También es válido que Fa(x) admite derivada lateral en los bordes x = a y x = b.
Observación 7.4.23. Cabe destacar que en la demostración no se calcula explícitamente Fa(x),
sólo se calcula su derivada. Por eso el TFC es conceptualmente anterior a la regla de Barrow.
En este curso teórico- práctico adelantamos el enunciado de la regla de Barrow por su utilidad
como herramienta práctica.
Una vez enunciado el TFC podemos hacer varias observaciones importantes. En particular, podemos
completar la presentación de los nombres y notaciones utilizados en el cálculo integral.
Observación 7.4.24.
La integral de Riemann en un intervalo dado se llama integral de�nida, en contraste con la
integral inde�nida que vimos esta clase. La integral de�nida es un número, mientras que la
integral inde�nida tiene por resultado una función.
La integral inde�nida de f(x) da una primitiva de f(x). Por eso elegimos la letra F mayúscula
al de�nir
Fa(x) =
ˆ x
a
f(x) dx
y un subíndice a para recordar dónde empezamos a integrar.
Si una función es integrable en un intervalo abierto I se pueden construir distintas integrales
inde�nidas, o primitivas, eligiendo el punto inicial de integración. Por ejemplo, dado b 6= a
punto distinto de I,
Fb(x) =
ˆ x
b
f(u) du
también es una primitiva de f(x), de�nida en el mismo intervalo I.
Por ser Fa(x) y Fb(x) dos primitivas de la misma función, sólo pueden ser distintas por la
suma de una constante. Eso es lo que sucede, por las propiedades de aditividad,ˆ x
b
f(u) du =
ˆ a
b
f(u) du+
ˆ x
a
f(u) du
signi�ca que
Fb(x) = Fa(x) +
ˆ a
b
f(x) dx
donde
´ a
b f(x) dx da por resultado un número (una constante).
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 292
Por la observación anterior, cuando uno necesita construir una primitiva como integral in-
de�nida puede elegir a gusto el punto inicial de la integración; se suele anotar
F (x) =
ˆ x
f(u) du
para remarcar que no es importante el punto inicial del intervalo de integración, o más
brevemente
Notación integral para primitivas: F (x) =
ˆ
f(x) dx
Como resultado del Teorema Fundamental del Cálculo, y de la propiedad 7.1.5, integral
inde�nida resulta sinónimo de primitiva. Se suele llamar "integrar" al proceso de hallar una
primitiva; la notación ˆ
f(x) dx
es la más común para indicar primitivas. A la tabla de primitivas también se la puede llamar
tabla de integrales.
Queremos destacar que el TFC permite conocer la derivada de la función integral inde�nida, aunque
no calculemos la función en sí misma. Veámoslo en algunos ejemplos.
Ejemplo 7.4.25. Consideremos F (x) =
´ x
1
(
u3 + 2u2 − 3
)
du. Como f(u) = u3 + 2u2 − 3 es
continua en todos los reales, entonces F (x) es derivable en todos los reales y vale F ′(x) = x3+2x2−3.
Ejemplo 7.4.26. Consideremos ahora F (x) =
´ x
1 |u|du en el intervalo [−1, 1] que hemos anali-
zado en el ejemplo . Como f(u) = |u| es continua en el intervalo [−1, 1], entonces F (x) es derivable
en todo su dominio y vale F ′(x) = |x|.
Ejemplo 7.4.27. Un último ejemplo. Para la función signo presentada en el ejemplo , considere-
mos F (x) =
´ x
0 f(u)du. Como f(u) es continua para x 6= 0, podemos a�rmar que F (x) es derivable
siempre que x 6= 0. La expresión para la derivada es F ′(x) =
{
−1, si x < 0
1, si x > 0
Sabiendo que F (x) =
´ x
a f(u) du es una primitiva de f(x), podemos calcular las derivadas de
expresiones más complejas, donde los extremos de la integral sean funciones de x. Lo mostraremos en
algunos ejemplos.
Ejemplo 7.4.28.Consideremos la expresión G(x) =
´ 3x
1 cos(u
2) du como función de x y bus-
quemos su derivada.
Podemos llamar f(x) = cos
(
x2
)
y F (x) =
´ x
1 cos(u
2) du a su integral inde�nida. Como cos(u2)
es una función continua en todos los reales, por el Teorema fundamental del cálculo F (x) es derivable
y F ′(x) = cos(x2).
Ahora, G(x) se puede escribir como la composición
G(x) = F (3x)
y por ser una composición de dos funciones derivable, también resulta derivable. Por la regla de la
cadena :
G′(x) =
d
dx
(F (3x)) = F ′(3x). (3x)′ = cos
(
(3x)2
)
.3 = 3 cos
(
9x2
)
.
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 293
Ejemplo 7.4.29. Supongamos ahora G(x) =
´ 3
x2
√
1 + u2 du .
En primer lugar, consideremos H(x) =
´ x2
3
√
1 + u2 du. Sabemos que G(x) = −H(x) y ahora
podremos proceder como en el ejemplo anterior.
Llamando f(x) =
√
1 + x2 y F (x) =
´ x
1
√
1 + u2 du a su integral inde�nida, como
√
1 + u2 es
una función continua en todos los reales, por el Teorema fundamental del cálculo F (x) es derivable
y F ′(x) =
√
1 + x2.
Entonces
G′(x) = −H ′(x) = − d
dx
(
F (x2)
)
= −F ′(x2).
(
x2
)′
= −
√
1 + (x2)2.2x = −2x
√
1 + x4.
7.4.5. Demostración de la regla de Barrow
Como aplicación inmediata del Teorema Fundamental del Cálculo, podemos dar la demostración
formal de la regla de Barrow. Recordemos el enunciado:
Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y admite primitiva F (x) en [a, b],
entonces ˆ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a)
Demostración: Vamos a tratar el caso en que f(x) sea continua en un intervalo abierto que
contiene a [a, b] (es decir, un poco más a la izquierda de a y un poco más a la derecha de b). Si f(x)
es continua estrictamente en [a, b] el resultado es válido, pero la prueba es más trabajosa.
Consideremos la integral inde�nida Fa(x) =
´ x
a f(u) du, que por el Teorema Fundamental del
Cálculo que es una primitiva de f(x) en [a, b]. Y consideremos que conocemos F (x), otra primitiva de
f(x) en [a, b]. Como las primitivas de una función pueden ser distintas solamente por una constante,
existe C tal que
Fa(x) = F (x) + C (∗)
Evaluando esta igualdad (∗) en x = a encontramos que Fa(a) =
´ a
a f(u) du = 0, porque el intervalo
de integración tiene ancho nulo. Luego
0 = F (a) + C
de donde despejamos C = −F (a).
Evaluando la misma igualdad (∗) en x = b encontramos que
Fa(b) = F (b) + C
donde Fa(b) =
´ b
a f(u) du es la integral de�nida que queremos evaluar. Usando que C = −F (A)
llegamos a la conclusión ˆ b
a
f(u) du = F (b)− F (a)
Como la variable de integración es muda, podemos cambiar u por x y queda demostrada la regla de
Barrow.
7.4.6. Ejercicios
Ejercicio 7.4.1. Supongamos que se sabe que
´ 2
1 f(x) dx = 3.
A partir de las propiedades de la integral, calculen
´ 2
1 (3f(x) + 2x) dx y
´ 1
2 5f(x) dx
Si sabemos además que
´ 3
1
(
1
2f(x) + e
x
)
dx = 10, calculen
´ 3
2 f(x) dx.
Ejercicio 7.4.2. Calculen el valor medio de la función f(x) = 4 − 4x2 en el intervalo [−2, 2] y
comprueben que existen dos valores de c en el intervalo que veri�can el Teorema del Valor Medio.
Gra�quen la situación. ¾Es razonable que hayan encontrado dos valores de c?
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 294
Ejercicio 7.4.3. Sin realizar la integral, discutan si la siguiente comparación es verdadera o falsa,
y expliquen su respuesta:
ˆ 1
−1
(
1 + x2
)
dx ≥ 2
Calculen luego la integral.
Ejercicio 7.4.4. Encuentren la expresión deA(x) =
´ x
−π f(u) du correspondiente a la función
f(u) =
{
senu, si − π ≤ u ≤ 0
eu, si u > 0
.
Ejercicio 7.4.5. Para las siguientes funciones, encuentren la expresión deA(x) =
´ x
0 f(u) du y
calculen A(1/2), A(1), A(3/2) y A(2).
f(x) =
{
x, si 0 ≤ x ≤ 1
x2, si 1 < x ≤ 2
f(x) =
{
x, si 0 ≤ x ≤ 1
x2 + 1, si 1 < x ≤ 2
.
Ejercicio 7.4.6. Para las funciones de los dos ejercicios previos, indiquen en qué puntos el Teorema
Fundamental del Cálculo a�rma que existe A′(x) y encuentren la expresión de A′(x).
Ejercicio 7.4.7. Calculen la derivada respecto de x de
´ x
1 f(u) du;
´ 1
x f(u) du;
´ 2x
0 f(u) du´ x3
π/2 cos(t) dt;
´ 1
x2
(
3 + sen2 u
)
du
7.4.7. Demostración informal del Teorema Fundamental del Cálculo
Presentamos aquí una demostración informal del Teorema Fundamental del Cálculo que puede ser
bastante ilustrativa. Discútanla con sus compañeros.
Demostración informal. Para estudiar si Fa(x) es derivable en un punto x0 debemos empezar
por el cociente incremental
Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)
∆x
y notar que
Fa(x0 + ∆x) =
ˆ x0
a
f(u) du+
ˆ x0+∆x
x0
f(u) du
= Fa(x0) +
ˆ x0+∆x
x0
f(u) du
Luego
Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0) =
ˆ x0+∆x
x0
f(u) du
describe el área de una región de base ∆x, como se ilustra en el dibujo.
CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 295
En el límite ∆x → 0, esta área se puede aproximar arbitrariamente bien por un rectángulo de
base in�nitesimal ∆x y altura f(u∗). Además, el valor f(u∗) será arbitrariamente cercano a f(x0)
porque la función f(x) es continua, y podemos estimarˆ x0+∆x
x0
f(u) du ≈ ∆x f(x0)
Con estos elementos podemos evaluar, para ∆x→ 0,
Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)
∆x
≈ ∆x f(x0)
∆x
= f(x0)
e intuir que existe la derivada F ′a(x0) y vale f(x0), como intentamos demostrar.
Claramente este cálculo de F ′a(x0) no es formal, porque no hemos evaluado el límite del cociente
incremental sino una aproximación para incrementos pequeños. Sin embargo, el resultado es el
correcto.
CLASE 7.5. TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL 296
Clase 7.5. Teoremas del cálculo integral
Contenidos de la clase: Técnicas del cálculo integral: integración por sustitución, por
partes y por fracciones simples.
En esta clase presentaremos varias técnicas para construir primitivas, aplicando las ideas y notación
que aprendimos con la integral inde�nida.
7.5.1. Técnicas de integración: integrales por sustitución
Ya hemos visto que la primitiva de un producto no es el producto de las primitivas. La regla
de integración por sustitución se aplica a cierto producto donde aparecen multiplicadas una función
compuesta f(u(x)) por la derivada u′(x) de la función interna, y está relacionada con la derivación
por regla de la cadena. Como siempre que trabajamos con funciones compuestas, tenemos que ser
cuidadosos con la notación y con los dominios de cada función.
Propiedad 7.5.1. Si una función de�nida en (a, b) tiene la forma f(u(x))u′(x) donde u′(x) es la
derivada de u(x) en (a, b), y f(u) admite primitiva F (u) en toda la imagen u((a, b)), entonces la
función f(u(x))u′(x) admite primitiva en (a, b):ˆ
f(u(x))u′(x) dx = F (u(x))
Demostración: es su�ciente veri�car, usando la regla de la cadena, que
(F (u(x)))′ = F ′(u(x))u′(x) = f (u(x)) u′(x)
para todo punto x de (a, b).
Una forma usual de escribir la regla de primitivas por sustitución, usando notación integral, apro-
vecha que du = u′(x) dx para expresar
ˆ
f(u(x))u′(x) dx =
ˆ
f(u) du
Esta forma es la más sencilla de recordar cómo hacer integrales por sustitución. Sin embargo,
después de hallar la primitiva de f(u) no se olviden de reemplazar u = u(x) para que el resultado sea
una función de x.
Ejemplo 7.5.2. Calculemos las primitivas
´
x sen
(
x2
)
dx.
Notamos que hay una función seno compuesta con u(x) = x2, y nos preguntamos si aparece
multiplicada por du = 2x dx. Sólo falta el factor 2, pero lo podemos manipular multiplicando y
dividiendo por 2: ˆ
sen (x²)x dx =
1
2
ˆ
sen (x²) (2x) dx
=
1
2
ˆ
senu du
Por otro lado conocemos una primitiva de senu:
´
senu du = − cosu. Entonces podemos a�rmar
que ˆ
sen (x²)x dx = −1
2
cos (u(x)) + C
= −1
2
cos
(
x2
)
+ C
Observen que la notación de primitivas como integrales inde�nidas permite trabajar directamente
con los diferenciales; una vez reconocida la función u(x) apropiada uno sustituye u(x) → u y
u′(x) dx → du y le queda planteada la primitiva de f(u). En este sentido es habitual hacer la
sustitución y luego preocuparse por encontrar la primitiva de f(u).
CLASE 7.5. TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL297
Como siempre que calculamos primitivas, conviene veri�car el resultado. Derivando,(
−1
2
cos
(
x2
)
+ C
)′
= −1
2
(
− sen
(
x2
))
2x = x sen (x²)
prueba que hallamos las primitivas correctamente.
7.5.2. Método de sustitución en integrales de�nidas y cambio de límites de integración
El método de sustitución, que consiste en sustituir
´
f(u(x))u′(x) dx =
´
f(u) du, es básico para
calcular primitivas. La primitiva hallada queda como función de u y el paso �nal es reemplazar u = u(x).
No hay di�cultad si la sustitución es explícita. Pero la primitiva compuesta suele ser más complicada
que la primitiva en función de u.
Cuando calculamos integrales de�nidas, usando la regla de Barrow, podemos evitar la vuelta a la
variable original si encontramos los límites de integración para la variable nueva. Dado que la regla de
Barrow es válida sólo cuando el integrando es una función continua, y que el método de sustitución se
basa en funciones compuestas, hay que tener cuidado con los cambios de variables. El procedimiento
es correcto si se respeta la siguiente
Propiedad 7.5.3. a
Si la función u(x) tiene derivada continua en un intervalo cerrado [a, b] y la función f(u) es
continua en los valores u(x) cuando x recorre el intervalo [a, b], entoncesˆ b
a
f(u(x))u′(x) dx =
ˆ u(b)
u(a)
f(u) du
aEsta propiedad se demuestra combinando el Teorema Fundamental del Cálculo con la regla de la cadena para
derivar funciones compuestas.
Ejemplo 7.5.4. Calculemos
´ 1
0 x
(
x2 + 1
)3
dx.
Buscaremos una primitiva por sustitución: proponemos u = x2 + 1, por lo que du = 2x dx. y no
nos preocupamos por reemplazar u en función de x.
Luego, calculamos los límites de integración para la variable nueva: como u(0) = 1 y u(1) = 2,
x = 0 corresponde a u = 1 y x = 1 corresponde a u = 2. Entonces,ˆ 1
0
x
(
x2 + 1
)3
dx =
ˆ 2
1
1
2
u3du =
1
8
[
u4
]2
1
=
1
8
(16− 1) = 15
8
.
También podríamos haber utilizado la primitiva F (x) =
´
x
(
x2 + 1
)3
dx =
´ 1
2
u3du =
1
8
u4 =
1
8
(
x2 + 1
)4
y aplicar la regla de Barrow para escribir.
ˆ 1
0
x
(
x2 + 1
)3
dx =
[
1
8
(x2 + 1)4
]1
0
=
1
8
(24 − 1) = 15
8
.
Este cálculo es apenas un poco más complicado que el que propusimos primero. Sin embargo,
en los casos en los que se propone una sustitución x = h(u) el método más conveniente suele ser
plantear una sustitución, encontrar los nuevos límites de integración y resolver la nueva integral.
7.5.3. Técnicas de integración: integral por partes
Volvamos al problema de construir una primitiva de un producto, con la técnica conocida como
integral por partes.
Esta técnica no resuelve directamente la primitiva, sino que permite cambiar el cálculo de la
primitiva de un producto de funciones por la primitiva de otro producto de funciones, con la expectativa
de que este último quede más sencillo. Se aplica a productos de la forma u(x)v′(x) y se enuncia así:
CLASE 7.5. TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL 298
Propiedad 7.5.5. Si u(x) y v(x) son derivables en un intervalo (a, b), y u′(x)v(x) admite primitiva
en (a, b) entonces ˆ
u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−
ˆ
u′(x)v(x) dx
Demostración: El cálculo de primitivas por partes se relaciona con la derivación de un producto.
Para probarlo basta con derivar el lado derecho usando la regla de Leibnitz y el Teorema Fundamental
del Cálculo (
u(x)v(x)−
ˆ
u′(x)v(x) dx
)′
= u′(x)v(x) + u(x)v′(x)− u′(x)v(x)
= u(x)v′(x)
Noten que podremos aplicar esta regla cuando necesitemos la primitiva de un producto de funciones,
donde uno de los factores (que aquí llamamos u(x)) sea derivable y el otro (que aquí llamamos v′(x))
tenga una primitiva accesible. Cuando anotamos este segundo factor como v′(x) queremos decir que
podemos construirle una primitiva v(x).
Para aplicar esta técnica debemos reconocer un producto de la forma u(x)v′(x) y
i) a partir de u(x) calcular u′(x)
ii) a partir de v′(x) calcular v(x) =
´
v′(x) dx
En la práctica, cambiamos el cálculo de una primitiva
´
u(x)v′(x) dx por el cálculo de dos primiti-
vas: la del factor v′(x), que necesitamos para escribir v(x), y
´
u′(x)v(x) dx, con la expectativa de que
esta última sea más sencilla que la primitiva original.
En notación compacta, aprovechando que u′(x) dx = du y v′(x) dx = dv, se puede recordar queˆ
u dv = uv −
ˆ
v du
Ejemplo 7.5.6. Calculemos las primitivas de f(x) = x ex.
En primer lugar, no van a encontrar el resultado en la tabla de integrales. En segundo lugar,
la forma de producto de f(x) no se ajusta a la técnica de sustitución. Busquemos la primitiva por
partes.
Escribimos la primitiva a encontrar como integral inde�nidaˆ
x ex dx
donde elegimos
u = x y dv = ex dx
Para aplicar la técnica necesitamos calcular
du = x′ dx = dx
v =
ˆ
exdx = ex
(no hace falta agregar la constante de integración, porque estamos buscando una primitiva). Luegoˆ
x ex dx = uv −
ˆ
v du
= x ex −
ˆ
ex dx
que funciona bien porque ahora podemos resolver
´
ex dx = ex. Finalmente, las primitivas hallada
son ˆ
xex dx = xex − ex + C
Como siempre, conviene veri�car el resultado derivando:
(xex − ex + C)′ = 1.ex + xex − ex = xex
prueba que hallamos las primitivas correctamente y que son válidas en todo el eje real.
CLASE 7.5. TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL 299
Observación 7.5.7. El objetivo de la técnica de primitivas por partes es cambiar el problema
original por el cálculo de una primitiva más fácil de resolver.
A veces se puede obtener un problema más complicado que el original. Recién luego de construir
el producto u′(x)v(x) podrán estimar si el cálculo de su primitiva es viable, y si vale la pena seguir
adelante.
En nuestro ejemplo, si hubiéramos planteado
u(x) = ex y v′(x) = x
habríamos llegado a
´
xex dx = x
2
2 e
x
−
´
x2
2 e
x dx. Observen que la última integral resulta más difícil
de resolver que el problema original.
Cuando suceda esto, es recomendable replantear el problema con otra estrategia.
Observación 7.5.8. Cuando calculamos una integral de�nida utilizando la técnica de integra-
ción por partes, debemos hallar primero una primitiva y luego aplicar la regla de Barrow. Recordemos
que la primitiva de f(x) = u(x)v′(x) es F (x) = u(x)v(x)−
´
u′(x)v(x) . Luego, la aplicación de la
regla de Barrow indica que
ˆ b
a
u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ba −
ˆ b
a
u′(x)v(x) dx
Siguiendo con el ejemplo anterior,ˆ 1
0
xex dx = [xex]10 −
ˆ 1
0
1.ex dx = e− [ex]10 = e− (e− 1) = 1
7.5.4. Reescribir antes de integrar: separación en fracciones simples
La técnica de fracciones simples se basa en un resultado de Algebra que permite reescribir un
cociente de polinomios como varios cocientes más sencillos, con la intención de facilitar el cálculo de
sus primitivas.
Antes de presentar los modelos generales para reescribir expresiones racionales, recordemos algunas
integrales que podemos hacer, y que aparecerán en los cálculos.
Actividad 7.5.9. Calculen las siguientes integrales. Recuerden las respuestas porque las vamos
a utilizar inmediatamente.´
1
x−adx;
´
1
(x−a)ndx con n natural, n ≥ 2;
´
1
x2+1
dx;
´
1
x2+a2
dx;
´
x
x2+a2
dx.
Respuestas: ln |x− a|; (x−a)
−n+1
−n+1 ; arctanx;
1
a arctan(x/a);
ln(x2+a2)
2 .
Caso 1: hay una forma de separar un cociente de polinomios p(x)/q(x) en fracciones simples,
que funciona cuando el grado de p(x) es menor que el grado de q(x) y cuando q(x) se puede
factorizar como producto de factores de grado uno, no repetidos. La mostramos en el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 7.5.10. Calculemos como ejemplo una primitiva para la función f(x) =
1
x2 − 1
.
Como el denominador x2−1 = (x−1)(x+1) es un producto de dos factores, podemos pensar que
la función f(x) es el resultado de haber sumado dos fracciones, una con denominador x− 1 y otra
con denominador x+ 1. Se prueba en Algebra que existen tales fracciones, ambas con numeradores
constantes A y B (únicas) que todavía no conocemos
1
(x− 1)(x+ 1)
=
A
x− 1
+
B
x+ 1
CLASE 7.5. TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL 300
Para encontrar dichas constantes resolvemos la suma de fracciones
A
x− 1
+
B
x+ 1
=
A(x+ 1) +B(x− 1)
(x− 1)(x+1)
=
(A+B)x+ (A−B)
(x− 1)(x+ 1)
,
y la igualamos al cociente original
1
(x− 1)(x+ 1)
=
(A+B)x+ (A−B)
(x− 1)(x+ 1)
Como el denominador es el mismo, son iguales los numeradores
(A+B)x+ (A−B) = 1.
En Algebra demostrarán que dos polinomios son iguales cuando todos los coe�cientes que acompañan
a las distintas potencias de x son iguales. En este caso nos queda un sistema de dos ecuaciones lineales
para hallar A y B: {
A+B = 0
A−B = 1
cuya solución es A = 1/2, B = −1/2 (compruébenlo). Es decir,
1
(x− 1)(x+ 1)
=
1/2
x− 1
− 1/2
x+ 1
Esto nos permite encontrar la primitiva "término a término"
ˆ
1
x2 − 1
dx =
ˆ (
1/2
x− 1
− 1/2
x+ 1
)
dx =
1
2
ln |x− 1| − 1
2
ln |x+ 1|+ C
(que también pueden escribir como 12 ln |
x−1
x+1 |+ C).
En general, por cada factor lineal no repetido del denominador, x− a, se propone una fracción
A
x− a
Caso 2: hay una segunda forma de separar un cociente de polinomios p(x)/q(x) en fracciones
simples, que funciona cuando el grado de p(x) es menor que el grado de q(x) y cuando q(x)
se puede factorizar como producto de factores de grado uno, incluso repetidos. Veamos un
ejemplo:
Ejemplo 7.5.11. Calculemos la primitiva de
1
x3 − 2x2 + x
.
Observemos que x3− 2x2 + x = x(x− 1)2, es decir que el denominador contiene un factor lineal
x− 1 repetido dos veces. La propuesta anterior llevaría a escribir 1
x3−2x2+x =
A
x +
B
x−1 +
C
x−1 , pero
no funciona (veri�quen). Se prueba en Algebra que es posible una separación de la forma siguiente:
1
x3 − 2x2 + x
=
A
x
+
B
x− 1
+
C
(x− 1)2
Desarrollando la suma de fracciones, e igualando los numeradores, llegan a un sistema de tres
ecuaciones lineales con tres incógnitas. Comprueben que la solución es única, A = 1, B = −1 y
C = 3. La función queda reescrita
1
x3 − 2x2 + x
=
1
x
− 1
x− 1
+
3
(x− 1)2
y lista para integrar término a término,
ˆ
1
x3 − 2x2 + x
dx =
ˆ (
1
x
− 1
x− 1
+
3
(x+ 1)2
)
dx = ln |x| − ln |x− 1| − 3 1
x− 1
+ C
CLASE 7.5. TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL 301
En general, cuando x − a es un factor lineal del denominador repetido n veces, con n ≥ 2, se
proponen fracciones Ak/(x − a)k hasta llegar al grado k = n. Por ejemplo, si el denominador
contiene (x− a)3, se propone
A1
x− a
+
A2
(x− a)2
+
A3
(x− a)3
Observen que el mayor trabajo es algebraico: resolver la suma de fracciones, igualar numeradores
para generar un sistema de ecuaciones, y resolver ese sistema de ecuaciones para hallar el valor de las
constantes. Finalmente, las integrales de cada sumando son sencillas.
Caso 3: hay una tercera forma de separar un cociente de polinomios p(x)/q(x) en fracciones
simples, que funciona cuando el grado de p(x) es menor que el grado de q(x) y cuando q(x)
contiene factores cuadráticos irreducibles en los reales. Veamos un ejemplo:
Ejemplo 7.5.12. ¾Qué ocurre cuando el polinomio tiene un factor cuadrático sin raíces reales?
Calculemos la primitiva de
1
x3 + 4x
.
Observemos que x3 + 4x = x(x2 + 4) y que el factor cuadrático x2 + 4 no se puede seguir
factoreando en los reales. La propuesta nueva es separar
1
x3 + 4x
=
A
x
+
Bx+ C
x2 + 4
La segunda fracción es la propuesta asociada al factor (x2 + 4). Como antes, debemos resolver la
suma de fracciones, igualar numeradores y resolver el sistema de ecuaciones para A, B y C. Háganlo,
deben llegar a A = 1, B = −1 y C = 0. Separando las integrales obtendrán que la primitiva es
ˆ
1
x3 + 4x
dx = ln |x| − 1
2
ln(x2 − 4) + C
En general, cuando en el denominador aparece un factor cuadrático sin raíces reales de la forma
(x2 + bx2 + c), se propone una fracción
Bx+ C
x2 + bx2 + c
Además, si aparece un factor cuadrático sin raíces reales repetido, (x2+bx2+c)n, se van agregando
fracciones de la misma forma con denominador (x2 + bx2 + c)k, hasta llegar al exponente k = n.
Por ejemplo, si apareciera (x2 + 2x+ 2)2 (comprueben que no tiene raíces reales) se propondrá
B1x+ C1
x2 + 2x+ 2
+
B2x+ C2
(x2 + 2x+ 2)2
Cocientes de polinomios p(x)/q(x) donde el grado de p(x) es mayor o igual que el grado de
q(x). Cuando sucede esto, conviene hacer primero la división entera de los polinomios, para
obtener un cociente c(x) y un resto r(x), tales que p(x) = c(x) q(x) + r(x). Luego
p(x)
q(x)
=
c(x) q(x) + r(x)
q(x)
= c(x) +
r(x)
q(x)
El primer término es un polinomio, fácil de integrar; el cociente con el resto siempre tendrá
el numerador con grado menor que el denominador, y se podrá tratar con alguno de los casos
anteriores. Por ejemplo,
Actividad 7.5.13. Dada f(x) =
2x3 − 4x2 − x− 3
x2 − 2x− 3
, realicen la división de los polimonios para
escribir
2x3 − 4x2 − x− 3 = 2x
(
x2 − 2x− 3
)
+ (5x− 3)
CLASE 7.5. TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL 302
Entonces
2x3 − 4x2 − x− 3
x2 − 2x− 3
=
2x
(
x2 − 2x− 3
)
+ (5x− 3)
x2 − 2x− 3
= 2x+
5x− 3
x2 − 2x− 3
Ahora, calculen una primitiva usando fracciones simples en el último término. Quizás recuerden que
esta primitiva parecía imposible en la clase 7.1...
7.5.5. Ejercicios
Ejercicio 7.5.1. Hallen por sustitución la familia de primitivas de las siguientes funciones. Veri-
�quen los resultados, indicando el dominio de validez.
1. cos(2x)
2. x
(
x2 + 4
)3
(como alternativa, desarrollen también la potencia antes de hallar las primitivas.
Observen que la sustitución u(x) = x2 + 4 es mucho más práctica)
3. x2
√
x3 + 1
Ejercicio 7.5.2. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de sustitución. :
1.
´ 5/2
0
√
2x+ 4dx
2.
´ π
0 senx cosxdx (Pueden resolverla planteando u(x) = senx o bien u(x) = cosx. Es interesante
comparar ambas alternativas.)
Ejercicio 7.5.3. Hallen una primitiva para cada una de las siguientes funciones, integrando por
partes:
1. x senx
2. x arctanx;
3. lnx en el intervalo (0,+∞) . Consideren u(x) = lnx y v′(x) = 1
Ejercicio 7.5.4. Calculen por partes las siguientes integrales:
1.
´ 2
1 t ln t dt
2.
´ 1
0 xe
−x dx
Ejercicio 7.5.5. Hallen las primitivas de las siguientes funciones utilizando descomposición en
fracciones simples.
(a)
3x
x2 − 9
; (b)
1
x(x2 + 1)
; (c)
x
x4 − 1
.
CLASE 7.6. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 303
Clase 7.6. Actividades de integración
7.6.1. Propiedades de la integral inde�nida. Teorema del Valor Medio del cálculo integral
Ejercicio 7.6.1. Sabiendo que
´ 10
2 f(x) dx = 9 y que
´ 10
5 f(x) dx = 3, calculen
´ 5
2 f(x) dx . Ilustren
con un grá�co y expliquen su respuesta.
Ejercicio 7.6.2. Supongamos cierta función continua f(x) de�nida en [0, 6] de la que se sabe que
f(x) < 0 en (0, 2); f(x) > 0 en (2, 6); f(0) = f(2) = f(6) = 0.´ 6
0 f(x) dx = 3.5
el área geométrica encerrada entre la función y el eje x en el intervalo [0, 2] es 1.5.
Calculen
ˆ 2
0
f(x) dx;
´ 6
2 f(x) dx;
ˆ 6
0
(2 + f(x)) dx;
´ 6
0 |f(x)| dx; .
Ejercicio 7.6.3. Supongamos que cierta función continua f(x) cumple que senx ≤ f(x) ≤ x+ 12
para x ∈ [0, π/2]. ¾Entre qué valores se encuentra
´ π/2
0 f(x) dx?
Ejercicio 7.6.4. Calculen el valor medio de las siguientes funciones en los intervalos dados:
3x2 + 1, en [0, 2]
1 + cosx, en [0, 2π]
Ejercicio 7.6.5. Justi�car la existencia de un número c entre a y b tal que
´ b
a f(x) dx = f(c)(b−a)
y encontrar el valor de c.´ 2
0 (1− 2
√
x) dx´ π/4
−π/4 2 sec
2 x dx
Ejercicio 7.6.6. Calculen la derivada respecto de x de´ senx
2x e
u du; Sugerencia: escribir
´ senx
2x e
u du =
´ a
2x e
u du+
´ senx
a e
u du´ x2+2
lnx
3√u
u2+1
du
7.6.2. Integrales por sustitución
Ejercicio 7.6.7. Encuentren las primitivas de las siguientes funciones utilizando sustituciones
adecuadas:
1. (x4 + x2)(2x3 + x)
2. x3
√
1− x2
3.
ln 2x
x
4.
x
x2 + 1
Ejercicio 7.6.8. Sea f(x) una función continua en [0, 4] tal que
´ 4
0 f(x)dx = 10. Calculen las
siguientes integralesˆ 2
0
f(2u) du
ˆ 2
0
uf(u2) du
Ejercicio 7.6.9. Completando cuadrados y/o sacando un factor común adecuado, podrán rees-
cribir las siguientes funciones y luego encontrar sus primitivas por sustitución:
1.
1
x2 + 9
(Sugerencia:
1
x2 + 9
=
1
9
(
x
9
2 + 1
) = 1
9
1(
x
3
)2
+ 1
luego proponer u =
x
3
.
CLASE 7.6. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN304
2.
1
x2 + 6x+ 10
3.
1√
x2 + 2x+ 2
4.
1√
x2 − 2x
5.
1√
3− x2 + 2x
6.
1
4x2 + 1
(Sugerencia: escriban primero
1
(2x)2 + 1
y propongan una sustitución adecuada)
7.
1√
2x2 − 2x+ 5/2
En cada caso, veri�quen sus resultados.
7.6.3. Integrales por partes
Ejercicio 7.6.10. Calculen las siguientes integrales:
1. arc senx;
2. x arctanx
3. x2ex (tendrán que utilizar el método de integración por partes dos veces)
7.6.4. Descomposición en fracciones simples
Ejercicio 7.6.11. Separen en fracciones simples y calculen las primitivas de
(a)
3
x2 − x− 2
; (b)
2x
x2 − x− 2
; (c)
x2 + 4
x3 − 4x
; (d)
3
x4 + 2x3 + x2
; (e)
´ 1
x3 − x2
dx
7.6.5. Integrales combinadas
En algunos casos habrá que combinar los métodos de integración, como en el ejercicio siguiente.
Ejercicio 7.6.12. Hallar una primitiva para cada una de las siguientes funciones:
1. x sen 2x . Proponer primero la sustitución u(x) = 2x y luego aplicar integración por partes.
2. x arc senx2 . Proponer la sustitución u(x) = x2
3. x5ex
3
. Escribir x5 = x3x2 y proponer la sustitución u(x) = x3
4.
cosx
4− sen2 x
7.6.6. Técnicas de cálculo de primitivas: integrales de funciones trigonométricas e hiper-
bólicas
Para encontrar primitivas de algunas expresiones que involucran funciones trigonométricas necesi-
taremos recordar algunas identidades y usarlas para reescribir el integrando original. Las identidades
básicas las presentamos en la Unidad 1. Probablemente las más útiles ahora son
cos2 x+ sen2 x = 1
cos2 x− sen2 x = cos 2x
Actividad 7.6.1. Sumando (respectivamente restando) las igualdades anteriores término a tér-
mino, obtengan las expresiones
cos2 x =
1 + cos 2x
2
sen2 x =
1− cos 2x
2
Usando estos resultados, calculen
ˆ
cos2 x dx y
´
sen2 x dx
CLASE 7.6. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 305
Para hallar primitivas de potencias pares más altas de senos o cosenos (o productos de ambas),
pueden usar las identidades anteriores repetidas veces. Una propuesta alternativa es hacer integraciones
por partes para ir bajando el grado de dichas potencias.
Actividad 7.6.2. Calculemos la primitiva de sen4 x usando un truco. Escribiendo sen4 x =
sen3 x. senx e integrando por partes (llamen u(x) = sen3 x y v′(x) = senx) obtenemos
ˆ
sen4 x dx = sen3 x(− cosx)−
ˆ
(− cosx)3 sen2 x. cosx dx = − sen3 x. cosx+ 3
ˆ
sen2 x. cos2 x dx.
Escribiendo en la última integral sen2 x cos2 x = sen2 x(1− sen2 x) = sen2 x− sen4 x obtenemos´
sen4 x dx = − sen3 x. cosx+ 3
´
sen2 x dx− 3
´
sen4 x dx
donde vuelve a aparecer, a la derecha, la integral que queremos calcular! El truco es despejar´
sen4 x dx (como si fuera una incógnita) y llegar a
4
´
sen4 x dx = − sen3 x. cosx+ 3
´
sen2 x dx.
La primitiva de sen2 x que ya han hecho en la actividad anterior sirve para terminar el cálculo.
Ejercicio 7.6.13. Resuelvan las siguientes integrales utilizando que cos2 x = 1+cos 2x2 y que
sen2 x = 1−cos 2x2 , y luego sustituciones:´
sen3 x dx (reescriban sen3 x = sen2 x. senx = (1− cos2 x) senx y luego planteen una sustitu-
ción)´
cos3 x sen4 x dx (reescriban cos2 x en función del seno y planteen una sustitución)´
cos5 x dx
Observen que esta técnica permite calcular primitivas de potencias impares de senos (o cosenos) y de
productos de potencias impares de senos con potencias pares de senos (o al revés).
Ejercicio 7.6.14. Resuelvan las siguientes integrales:´
cos4 x dx´
sen2 x. cos4 x dx (reescriban primero el seno en términos del coseno) (o al revés)
Ejercicio 7.6.15. Recordando las de�niciones del seno y coseno hiperbólico en términos de expo-
nenciales, calculen´
senh2 x dx y
´
cosh2 x dx
Ejercicio 7.6.16. Utilizando la identidad fundamental cosh2 x − senh2 x = 1 y razonando como
hicimos para las funciones trigonométricas, encuentren las primitivas de los siguientes productos de
senos y cosenos hiperbólicos.´
senh3 x dx´
cosh3 x. senh2 x dx´
cosh4 x dx
7.6.7. Técnicas de cálculo de primitivas: sustituciones trigonométricas e hiperbólicas
Veamos un ejemplo fácil de plantear, pero bastante elaborado para resolver:
CLASE 7.6. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 306
Ejemplo 7.6.3. Calculemos la integral inde�nida de f(x) =
√
1− x2 en el mayor dominio
posible.
En primer lugar, la función f(x) está de�nida y es continua en el intervalo [−1, 1]. Podemos
construir la integral inde�nida como una integral de Riemann entre −1 y x, para −1 ≤ x ≤ 1.
Usando la letra u como variable de integración, tenemos que calcular
F−1(x) =
ˆ x
−1
√
1− u2 du
Podemos usar la regla de Barrow, porque
√
1− u2 es continua en [−1, x], siempre que encontre-
mos una primitiva
´ √
1− u2 du.
Aunque no veamos una función compuesta, vamos a operar con una sustitución u = sen(t), que
tiene inversa t = arcsen(u).
Observen que
√
1− u2 =
√
1− sen2 t =
√
cos2 t = | cos t|. Como t = arc sen(u), toma valores
en el intervalo [−π/2, π/2], y entonces cos t > 0. Esto nos permite escribir
√
1− u2 = cos t. Por otro
lado, du = cos(t) dt. Luego
ˆ √
1− u2 du =
ˆ √
1− sen2(t) cos(t) dt =
ˆ
cos2(t) dt
que es una integral conocida.
Recuerden que cos(2t) = cos2 t− sen2 t = cos2 t− (1− cos2 t) = 2 cos2 t− 1, de donde podemos
despejar cos2 t = (1 + cos(2t)) /2. Entonces
ˆ √
1− u2 du = 1
2
ˆ
(1 + cos(2t)) dt
=
t
2
+
1
4
sen(2t)
=
1
2
arcsen(u) +
1
4
sen(2arcsen(u))
Con esta primitiva podemos evaluar
F−1(x) =
[
1
2
arcsen(u) +
1
4
sen(2arcsen(u))
]x
−1
=
1
2
arcsen(x) +
1
4
sen(2arcsen(x)) +
π
4
,
(recuerden el valor de arcsen(−1) = −π/2).
Interpretemos el resultado. La función f(x) =
√
1− x2 representa la mitad superior de una
circunferencia de radio 1, y F−1(x) representa el área acumulada entre la semicircunferencia y el eje
x, entre −1 y un valor variable de x:
Pueden comprobar que F−1(0) = π/4, y que F−1(1) = π/2, como corresponde a un cuarto y un
medio de la super�cie de un círculo de radio 1.
CLASE 7.6. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 307
En el Ejemplo 7.6.3 calculamos la primitiva de
√
1− x2 proponiendo una sustitución x = sen t.
No era una sustitución evidente, pero resultó útil. Conviene conocer la forma de algunas integrales
donde son útiles sustituciones de este tipo. Se las llama sustituciones trigonométricas y sustituciones
hiperbólicas. Para presentarlas supongamos a > 0 un número �jo:
Para integrales que contienen la variable x en la forma
√
a2 − x2, prueben la sustitución x =
a sen t. Entonces, usando identidades trigonométricas, comprueben que√
a2 − x2 = a cos t y dx = a cos t dt
(siempre que mantengan −π
2
≤ t ≤ π
2
, para que cos t no sea negativo). En estos casos, si lo
pre�eren, también funciona la sustitución x = a cos t.
Para integrales que contienen la variable x en la forma
√
a2 + x2, prueben la sustitución x =
a senh t. Entonces, usando identidades hiperbólicas, comprueben que√
a2 + x2 = a cosh t y dx = a cosh t dt
Para integrales que contienen la variable x en la forma
√
x2 − a2, prueben la sustitución x =
a cosh t. Entonces, usando identidades hiperbólicas, comprueben que√
x2 − a2 = a senh t y dx = a senh t dt
(donde deben considerar t ≥ 0 para asegurar que senh t ≥ 0).
Luego de estas sustituciones, quedarán por resolver integrales trigonométricas (como las de la sección
anterior) o integrales hiperbólicas.
Tengan cuidado con el dominio de las funciones involucradas: antes de proponer la sustitución x(t)
deben reconocer el dominio de las funciones originales, de variable x, y controlar que el dominio para
la nueva variable t asegure que x(t) pertenezca al dominio original. Recomendamos, como siempre,
veri�car que la primitiva hallada sea correcta derivando el resultado.
Ejercicio 7.6.17. Resuelvan las integrales
1.
´ dx√
4x2 + 1
2.
´ dx(√
x2 + 1
)3
3.
´ dx
x2
√
9− x2
4.
´ √
x2 − 2x dx (sugerencia: completen cuadrados y luego intenten una sustitución trigono-
métrica)
5.
ˆ 3
2
√
2
3
2
1
x2
√
9− x2
dx
EJERCICIO PARA AUTOEVALUACIÓN - UNIDAD 7 308
Ejercicio para autoevaluación - Unidad 7
Estos ejercicios son aplicaciones reales, donde se necesitan integrales para llegar a las respuestas.
Trabajaremosaplicaciones similares en la Unidad 8.
Ejercicio 8. Una represa costera se llena y se vacía según la altura de la marea. El caudal de
llenado/vaciado varía durante el día, y se modela con la función
Q(t) = 20Ml/h cos [2π(t− 6h)/24h]
donde Ml signi�ca megalitros (106 litros) y h signi�ca horas (pueden trabajar sin dimensiones si
respetan estas unidades). Por convención, entendemos que cuando el caudal es positivo la represa se
está llenando, y cuando es negativo se está vaciando.
1. ¾A qué hora del día es máximo el caudal de entrada?
2. ¾En qué horario del día hay entrada de agua, y en qué horario hay salida?
3. Entre las 6h y las 12h, ¾aumenta o disminuye la cantidad de agua en la represa? ¾En cuántos
megalitros?
4. Entre las 18h y las 24h, ¾aumenta o disminuye la cantidad de agua en la represa? ¾En cuántos
megalitros?
Ejercicio 9. El campo magnético creado por un cable con corriente eléctrica I se calcula con la
ley de Biot y Savart, acumulando contribuciones de cada tramo de cable (tema de Física II). En el
caso de un tramo recto de cable de longitud L, el campo magnético a una distancia d del centro del
cable queda expresado por la siguiente integral:
µ0I
4π
ˆ L/2
−L/2
1(√
x2 + d2
)3 dx
donde µ0 es una constante fundamental.
1. Calculen esta integral, con L = 100 y d = 5.
2. Den la expresión del resultado "con letras", dejando L y d como datos.