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Marisa Angélica Digión 1 
 
Universidad Nacional de Jujuy 
Facultad de Ciencias Económicas 
Análisis Matemático 
 
 
 
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Capítulo V 
 
FUNCION REAL 
DE DOS 
VARIABLES REALES 
 
 
 
 
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FUNCIÓN
Función Real de 
Variable Real
Pre-Cálculo
Límite Continuidad
Cálculo
Diferencial Integral 
FUNCIÓN REAL 
DE DOS 
VARIABLES 
REALES
GENERALIDADES
INTRODUCCIÓN 
AL CÁLCULO 
DIFERENCIAL 
 
 
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CONTENIDO 
 
1. INTRODUCCION 
 1.1 Presentación del Tema 
 1.2 Objetivos 
 1.3 Conceptos Previos 
2. FUNCION REAL DE DOS VARIABLES REALES 
 2.1 Definición 
 2.2 Notación 
 2.3 Dominio, Coodominio, Imagen y Valor Numérico 
 2.4 Representaciones gráficas 
 2.4.1 Superficies Espaciales 
 2.4.2 Curvas de Nivel 
 i) Idea Motriz 
 ii) Definición 
3. DERIVADAS PARCIALES 
 3.1 Incrementos de las variables independientes e incrementos parciales de la función 
 3.2 Derivada Parcial de la función respecto de la variable independiente “x” 
 3.3 Derivada Parcial de la función respecto de la variable “y” 
 3.4 Cálculo directo de las expresiones analíticas de las Derivadas Parciales 
 3.5 Notaciones 
 3.6 Valor numérico 
 3.7 Derivadas Parciales de Orden Superior 
 3.7.1 Derivadas Parciales de Segundo Orden 
 3.7.2 Derivadas Parciales de Orden Superior 
4. EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS (Libres y Condicionados) 
 4.1 Extremos Absolutos: Definiciones 
 4.2 Extremos Relativos (Libres) 
 4.2.1 Definiciones 
 4.2.2 Determinación 
 i) Punto Crítico 
 ii) Condición necesaria para la existencia de los Extremos Relativos 
 iii) Condición suficiente para la existencia de los Extremos Relativos 
 4.3 Extremos Relativos Condicionados – Método del Multiplicador de Lagrange 
5. APLICACIONES 
 
 
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1.1 PRESENTACIÓN DEL TEMA 
Hasta ahora hemos presentado y analizado conceptos relacionados con una función real de una variable real 
definida por su expresión analítica explícita y=f(x) o por su correspondiente implícita F(x,y)=0. Sin embargo este 
no es el único tipo de funciones que existen para establecer el vínculo entre magnitudes variables. Aunque el 
estudio de la totalidad de ellas excede el alcance de esta asignatura, vamos presentar a continuación el caso de 
LA FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES. Esta forma de expresar la relación entre dos variables 
independientes reales y una variable dependiente, también real, responde a la definición general de función 
dada en el Capítulo I, presentando particularidades propias en lo que se refiere a los conjuntos que actúan como 
Dominio y Coodominio de la misma. 
 
El siguiente esquema muestra sintéticamente de qué manera surge este nuevo tipo de función real, a partir del 
concepto general de función: 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 
 
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Este tipo de funciones, serán motivo de estudio en las próximas páginas 
 
 
 
FUNCIONES REALES 
f : A → B 
 a → b 
 
A, B conjuntos de naturaleza arbitraria 
 
FUNCIÓN, en general 
Si: 
B = R 
entonces f es una FUNCION REAL: 
f: A → R 
 a → b 
 
Si: 
 A  R 
 
entonces f es una FUNCIÓN 
REAL DE UNA VARIA BLE 
REAL 
 
f: A  R → R 
 x → y= f(x) 
 
 
Si: 
 A  Rn 
 
entonces f es una FUNCIÓN REAL 
DE n VARIABLES REALES 
 
 f:A  Rn → R 
 (x1,x2,...,xn) → z=f(x1,x2,...,xn) 
 
 
Si: 
A  R2 
 
entonces f es una FUNCIÓN REAL 
DE DOS VARIABLES REALES 
 
 f: A  R2 → R 
 (x,y) → z=f(x,y) 
 
 
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1.2 OBJETIVOS 
✓ Recordar el concepto de función y aplicarlo a la definición de FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES. 
✓ Definir e interpretar los conceptos de dominio, coodominio, imagen y valor numérico de una función real 
de dos variables reales. 
✓ Conocer las representaciones gráficas de funciones reales de dos variables real y ahondar en el estudio de 
las curvas de nivel. 
✓ Definir las derivadas parciales de función real de dos variables reales. 
✓ Aplicar la teoría de los extremos para lograr la optimización de una función real de dos variables reales, con 
o sin restricciones. 
 
1.3 CONCEPTOS PREVIOS 
Te reiteramos que es sumamente importante que puedas integrar los conocimientos (contenidos y habilidades) 
que has asimilado hasta el momento. Particularmente en este Capítulo, expresaremos en reiteradas 
oportunidades, semejanzas con situaciones ya estudiadas en Capítulos precedentes, que esperamos, puedas 
traer a tu mente en forma inmediata. 
 
 
 
 
 
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2.1 DEFINICION 
Una función real de dos variables reales “f” es una correspondencia entre un subconjunto, propio o no, del 
espacio de dimensión 2 o plano cartesiano ( A R2) y el conjunto de los números reales (R), tal que a cada par 
ordenado de números reales (x, y) le corresponde un único número real (z). 
 
Gráficamente: 
 AR2 R 
 
 
 f 
 
 
 
 
 
2.2 NOTACION 
La notación que se usa para este tipo de funciones, contiene los mismos elementos que la función real trabajada 
hasta el momento: 
f: A R2 → R 
 (x, y) → z= f (x,y) 
En este caso: 
✓ f es el nombre de la función 
✓ A es el dominio de la función 
✓ R es el coodominio de la función 
✓ x, y son las variables independientes 
✓ z es la variable dependiente 
✓ z= f (x,y) es la expresión analítica que define a la función 
EJEMPLOS 
1. El área de un triángulo es un ejemplo de una función real de dos variables reales, ya que para cada par de 
valores que expresen la base (b) y la altura (h) obtenemos un valor de área (A): 
 
 
2. FUNCION REAL DE DOS VARIABLES REALES 
 
 
 (x,y) 
 
 
 z 
 
 
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(b,h) A= A(b,h) 
h 
 
 
 b 
 
2. La nota promedio de un estudiante en los dos parciales de una determinada materia es una función real de 
dos variables reales ya que, si denominamos x a la nota del primer parcial e y a la nota del segundo parcial, 
entonces el promedio P es un número real que obtenemos de la semisuma de los dados: 
(x,y) P= P(x,y)= x + y 
 2 
 
3. El número de unidades demandadas D de un cierto bien es una función real de dos variables reales de: el 
precio unitario de dicho bien (x) y el precio unitario de un bien sustituto (y), o sea: 
(x,y) D=D(x,y) 
 
 
2.3 DOMINIO, COODOMINIO, IMAGEN Y VALOR NUMÉRICO 
 
 
Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: 
 f: A  R2 → R 
 (x, y) → z= f (x,y) 
i) El Dominio de la función está formado por los pares ordenados (x,y) para los cuales la expresión analíticaque define a la función tiene sentido. O sea: 
 
A = (x,y)  R2 /  z = f(x,y) R 
 
Nota: Al asociar a cada par ordenado (x,y) del dominio, un punto P(x,y) en el espacio de dos dimensiones (plano), 
se obtiene la representación gráfica del dominio. Resulta entonces que podemos representar la gráfica del 
dominio de la función en el plano de dos dimensiones. 
ii) El Coodominio de la función es el conjunto de los números reales R. 
iii) La Imagen de la función (I) es el conjunto compuesto por aquellos números reales R del Coodominio de la 
función, que son los correspondientes de los elementos del dominio de la función (A R2). Así, el conjunto 
Imagen es un subconjunto, propio o no, del Codoomonio de la función, o sea: 
I  R 
 
 
 
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iv) El Valor numérico que asume una función real de dos variables reales (zo) en correspondencia a un 
determinado valor de su dominio (xo, yo) es el que se obtiene al reemplazar xo e yo en la expresión analítica de 
la función z = f(x,y), o sea: 
zo = f(xo, yo) 
También se lo indica con las expresiones coloquiales: 
“zo es imagen de (xo, yo) por la función f” 
o bien 
“zo es el correspondiente de (xo, yo) por la función f 
EJEMPLOS 
1. Para la función: 
 f: A R2 → R 
 (x, y) → z= f (x,y)= 1/ ( x + y -1) 
el dominio A estará formado por todos los pares (x,y) para los cuales el denominador que aparece en la expresión 
analítica que define a la función es diferente de cero, o sea: 
 x + y -1  0 
 x + y  1 
Luego el conjunto A, dominio de f, es: 
 
 A= (x,y)  R2/ x + y  1 
 
Gráficamente A es el conjunto de puntos del plano que no pertenecen a la recta de ecuación x + y =1 (zona 
sombreada con color naranja intenso, sin la recta en línea de trazos): 
 
 
 y 
 
 1 
 
 
 
 
 O 1 x 
 
 
 
 
 
 
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2. Un fabricante produce dos artículos identificados como A y B. Supongamos que el costo total de producción 
(C) de ambos artículos depende solamente de la cantidad de unidades que fabrica de A (cantidad a la que 
llamamos x) y la cantidad de unidades que fabrica de B (cantidad a la que llamamos y), o sea: 
 C=C(x,y) 
La tabla que se consigna a continuación indica cuál es el costo total de producción para diferentes combinaciones 
del número de unidades producidas de ambos artículos: 
 
 
Cantidad de unidades 
fabricadas de A: 
x 
 
 
Cantidad de unidades 
fabricadas de B: 
y 
 
Costo total de 
producción: C($) 
5 6 17 
5 7 19 
6 6 18 
6 7 20 
 
➢ En este caso, el dominio de esta función real de dos variables reales está formado por: 
 
A = (5,6); (5,7); (6,6); (6,7) 
 
➢ ¿Cómo se interpretan los valores de la tabla? 
Por ejemplo, la interpretación del renglón indicado con la , establece que cuando se producen 5 unidades 
del artículo A y 7 unidades del artículo B, el costo total de producción asciende a $19. 
➢ ¿Cuál es la imagen de esta función real de dos variables reales? (o sea que valores puede tomar z). En este 
caso: 
I(f) = 17, 18, 19, 20 
 
Nota: Para este ejemplo, la función no ha sido definida por una expresión analítica. Está definida por una tabla 
de valores que es otra forma de presentar a una función. 
3. El volumen de ventas de un artículo particular depende de su precio y también en muchos casos, de la cantidad 
que el fabricante gasta en promoción y publicidad. Sea "x" el precio, "y" el gasto en publicidad al mes (ambos 
en pesos) y "z" las ventas mensuales. Entonces es z= f(x,y). Suponga que en cierto caso el modelo funcional que 
representa a este fenómeno es: 
 z = f(x,y)= 1000 ( 5 - x e - 0,001 y ) 
➢ ¿Qué valores pueden tomar "x" e "y"? O dicho de otra forma, ¿cuál es el dominio de la función? 
Tanto "x" como "y" representan valores monetarios, o sea que deben ser valores positivos o nulos. Luego: 
 
 
 
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 A= (x,y)  R2/ x  0  y  0 
 
➢ ¿Cuál es el monto de las ventas mensuales cuando el precio es de $3 y es nulo el gasto en publicidad? 
Para x= 3 e y= 0, el monto de ventas mensuales es: 
z=f(3,0)= 1000 (5 - 3 e - 0,001. 0 )= 2000 
o sea $ 2000. Este valor, z = 2000, es el valor numérico de la función f en (x=3, y=0). 
Respondiendo a la pregunta, se puede decir que “el monto de las ventas mensuales cuando el precio es de $3 
y el gasto de publicidad es nulo es de $2000. 
2.4 REPRESENTACIONES GRÁFICAS 
 
Una función real de dos variables reales dos tipos de representaciones gráficas. 
 
2.4.1 Superficies Espaciales 
Un tipo de representación es a través de Superficies Espaciales en el espacio tridimensional (R3). Elaborar este 
tipo de gráficas requiere del conocimiento de conceptos relacionados con la Geometría Analítica en R3. Ya que 
éstos no han sido abordados en la asignatura del Área Matemática precedente, no las utilizaremos. Sin 
embargo, te presentamos algunas gráficas espaciales de funciones reales de dos variables reales: 
a. Superficie espacial gráfica de la función de expresión analítica: z=f(x,y)= √1 − 𝑥2 − 𝑦2 
 
b. Superficie espacial gráfica de la función de expresión analítica: z=f(x,y)= √ 1 − 𝑥2/4 + 𝑦2/6 
 
 
http://www.google.com.ar/imgres?num=10&hl=es&biw=1280&bih=637&tbm=isch&tbnid=qcH-zNid_NhySM:&imgrefurl=http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/PROBLEMAS/Las_dos_rutas/Soluciones/parametrizacion_c2.htm&docid=KHtJ82QT1wfTnM&imgurl=http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/PROBLEMAS/Las_dos_rutas/Soluciones/calculos2_archivos/semiesfera.jpg&w=350&h=286&ei=IMj-T_cS6onRAc3qxdgG&zoom=1&iact=hc&vpx=832&vpy=178&dur=739&hovh=203&hovw=248&tx=125&ty=107&sig=110981404908705208027&page=1&tbnh=123&tbnw=132&start=0&ndsp=18&ved=1t:429,r:4,s:0,i:83
http://www.google.com.ar/imgres?hl=es&biw=1280&bih=637&tbm=isch&tbnid=Wu6_YOCaYHlkbM:&imgrefurl=http://sacrmatematica.blogspot.com/&docid=750SfNWYfVRULM&imgurl=http://1.bp.blogspot.com/_ghRVEnKOyyE/SdrDbeDT9pI/AAAAAAAAAJ0/6kpWUD0VuQQ/s320/vi+geom+aplic+14.JPG&w=320&h=140&ei=n8j-T8uvA8ry0gGQwInyBg&zoom=1
 
 
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c. Superficie espacial gráfica de la función de expresión analítica: z=f(x,y)= x2 /4+ y2/9 
 
d.- Superficie espacial gráfica de la función de expresión analítica: z=f(x,y)= x2 /9 - y2/16 
 
e.- Superficie espacial gráfica de la función de expresión analítica: z=f(x,y)= √ 𝑥2/25 + 𝑦2/16 
 
 
 
2.4.2 Curvas de Nivel 
Otra forma de representar gráficamente las funciones reales de dos variables reales es utilizando las Curvas de 
Nivel. Estas tienen su representación en el plano bidimensional (R2). 
i) Idea motriz 
Consideremos el siguiente ejemplo. 
Un fabricante de conjuntos deportivos tiene una capacidad de producción anual constante en su empresa de 
1000 de ellos. Dos son los modelos de estas prendas que ofrece al público: Conjunto A y Conjunto B. Si llamamos 
“x” al número de conjuntos que confecciona del Conjunto A e “y” el número de conjuntos que confecciona 
del Conjunto B, puede interesar determinar las posibles combinaciones entre el número de conjuntos A 
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:ParaboloidOfRevolution.png?uselang=es
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:HyperbolicParaboloid.png?uselang=es
 
 
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(x) y el númerode Conjuntos B (y) fabricados de las que resulta el nivel de producción constante e igual a 
1000 por año. 
La cuestión planteada presenta una de las numerosas situaciones en las cuales requerimos analizar qué 
combinaciones de las variables x e y producen un z=f(x,y) constante. La representación gráfica de esta situación 
(o sea, la representación gráfica de esta función) recibe el nombre de curvas de nivel. 
 
ii) Definición 
Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: 
 f: A  R2 → R 
 (x, y) → z= f (x,y) 
Para toda constante c (posible), los puntos P(x,y) para los cuales f(x,y)=c forman una curva en el plano 
bidimensional xy que se llama curva de nivel. Al variar el valor de c, se obtiene el conjunto de estas curvas 
que representa gráficamente a la función f. 
EJEMPLOS 
1. Retomenos la función ya definida en un ejemplo anterior: 
 f: A  R2 → R 
 (x, y) → z= f (x,y)= 1/ ( x + y -1) 
e indiquemos para "z" un valor constante, por ejemplo z = 1/2. Reemplazando dicho valor en la expresión 
analítica de la función obtenemos: 
 1/2 = 1/ ( x + y -1) 
 x + y -1 = 1/ (1/2) 
 x + y = 2 + 1 
 y = -x + 3 es la ecuación de una curva de nivel (una recta) 
Procedamos en forma análoga para: z = 1, z = 2 y z = 3. Determinamos las ecuaciones siguientes: 
 y = -x + 1 
 y = - x + 3/2 
 y = -x + 5/2 
Estas son las ecuaciones de algunas de las curvas de nivel que representan a la función y resultan un conjunto 
de rectas paralelas de pendiente -1: 
 
 
 
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Nota: ¿Es posible asignarle a "z" el valor 0? Justifica la respuesta analizando detenidamente la definición de 
curvas de nivel. 
Finalmente, la función dada está representada gráficamente por un conjunto de rectas paralelas de pendiente 
igual a –1. 
 
2. Utilizando curvas de nivel, representar gráficamente la función definida por: 
 f: A  R2 → R 
 (x, y) → z= f (x,y)=  25 - x2 – y2 
Solución 
Damos valores posibles y constantes a z: 
✓ Para z = 0  0 =  25 - x2 – y2  x2 + y2 = 25 
Estas ecuaciones re- 
✓ Para z = 3  3 =  25 - x2 – y2  x2 + y2 = 16 presentan a un con - 
junto de circunferen- 
✓ Para z = 4  4 =  25 - x2 – y2  x2 + y2 = 9 cias de centro en O 
 
✓ Para z = 5  5 =  25 - x2 – y2  x2 + y2 = 0 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
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Nota: ¿Es posible asignarle a "z" valores constantes negativos? Justifica la respuesta analizando detenidamente 
la definición de curvas de nivel. 
Finalmente, la función dada está representada gráficamente por un conjunto de circunferencias concéntricas 
en el origen. 
 
 
 
 
 
 
3.1 INCREMENTOS DE LAS VARIABLES INDEPENDIENTES E INCREMENTOS PARCIALES DE LA FUNCIÓN 
Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: 
 f: A  R2→ R 
 (x, y) → z= f (x,y) 
tal que la siguiente es la gráfica del dominio de la misma (A: región en el plano de dos dimensiones): 
 
 y 
 A 
 
 
 
 
 
 
 
 O x 
 
 
 
3. DERIVADAS PARCIALES 
 
 
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Consideremos en ella el punto P(xo,yo). Llamemos x y y a los incrementos, no simultáneamente nulos, de las 
variables independientes [(x,y)(0,0)] y determinemos, también dentro de A, los puntos P’(xo+x,yo) y 
P’’(xo,yo+y) . 
 
 y 
 A 
 P’’ 
 yo+y 
 y 
 yo P P’ 
 
 
 
 
 O xo xo+x x 
 
 x 
 
Las imágenes de estos puntos por la función “f” son: 
f(P) = f(xo,yo) 
f(P’) = f((xo+x,yo) 
f(P’’) = f(xo,yo+y) 
 
Entonces: 
 El incremento parcial de la función f en la dirección de x, cuando pasa del punto P al punto P’ es: 
 xf = f(P’) – f(P) = f(xo+ x, yo) – f(xo,yo) 
 
 El incremento parcial de la función f en la dirección de y, cuando pasa del punto P al punto P’’ es: 
 yf = f(P’’) – f(P) = f(xo , yo+ y) – f(xo,yo) 
 
Nota: recordemos que el incremento de una variable numérica es la diferencia entre su valor final y su valor 
inicial. 
 
3.2 DERIVADA PARCIAL DE LA FUNCIÓN RESPECTO A LA VARIABLE INDEPENDIENTE “x” 
Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: 
 
 f: A  R2→ R 
 (x, y) → z= f (x,y) 
 
 
 
 
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La Derivada Parcial de la función “f” respecto de “x”, si existe, es otra función a la que se denota por fx definida 
por: 
 fx: A'  A → R 
 (x, y) → zx= fx (x,y)= lim f(x + x, y) - f(x,y) 
 x → 0 x 
 
con A’ = (x,y)  A /  zx= fx (x,y)= lim f(x + x, y) - f(x,y)  R 
 x → 0 x 
 
 
Notas 
 En la definición dada, consideramos el límite de un cociente incremental donde el numerador es el 
incremento parcial de la función en la dirección de “x” (xf), calculado a partir de un punto genérico P(x,y) del 
dominio de f y el denominador es el incremento de la variable independiente x (x). 
 x es el incremento, no nulo, que experimenta la variable independiente “x”; la variable independiente “y” 
se mantiene constante. Por lo tanto, el límite que define a la expresión analítica de la derivada parcial de “f” 
respecto de “x” SOLO DEPENDE DE UNA VARIABLE. 
 
3.3 DERIVADA PARCIAL DE LA FUNCIÓN RESPECTO A LA VARIABLE INDEPENDIENTE “y” 
Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: 
 
 f: A  R2→ R 
 (x, y) → z= f (x,y) 
 
La Derivada Parcial de la función “f” respecto de “y”, si existe, es otra función a la que se denota por fy definida 
por: 
 fy: A''  A → R 
 (x, y) → zy= fy (x,y)= lim f(x, y+y) - f(x,y) 
 y → 0 y 
 
con A'' = (x,y)  A /  zy= fy (x,y)= lim f(x, y+y) - f(x,y)  R 
 y → 0 y 
 
 
 
 
 
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Notas 
 En la definición dada, consideramos el límite de un cociente incremental donde el numerador es el 
incremento parcial de la función en la dirección de “y” (yf), calculado a partir de un punto genérico P(x,y) del 
dominio de f y el denominador es el incremento de la variable independiente y (y). 
 y es el incremento, no nulo, que experimenta la variable independiente “y”; la variable independiente “x” 
se mantiene constante. Por lo tanto, el límite que define a la expresión analítica de la derivada parcial de “f” 
respecto de “y” SOLO DEPENDE DE UNA VARIABLE. 
 
Ambas definiciones mantienen, en esencia, el mismo concepto que manejamos para funciones reales de una 
variable real. 
EJEMPLO 
Utilizando la definición, determinar las derivadas parciales respecto de “x” y respecto de “y” de la función “f” 
definida por: 
f: A  R2→ R 
 (x, y) → z= f (x,y) = 4x – 3y 
Solución 
 Por definición, la expresión analítica de la derivada parcial respecto de “x” es: 
zx= fx (x,y)= lim f(x + x, y) - f(x,y) 
 x → 0 x 
pero: 
 f(x,y) = 4x – 3y 
 
 f(x + x, y) = 4 (x + x) – 3y 
 
restando miembro a miembro en 
el sentido indicado por la flecha, 
obtenemos: 
 f(x + x, y) – f(x,y)= 4 (x + x) – 3y – (4x – 3y) 
 
f(x + x, y) – f(x,y) = 4 x + 4x – 3y – 4x + 3y 
 
f(x + x, y) – f(x,y) = 4x 
reemplazando en el límite: 
 
 
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zx= fx (x,y) = lim f(x + x, y) - f(x,y) = lim 4x = 
 x → 0 x x → 0 x 
 
 = lim 4 = 4 
 x → 0 
Así: 
zx= fx (x,y) = 4 (x,y)  R2 
 
Finalmente, la función derivada parcial de “f” respecto de “x” es: 
 fx: R2 → R 
 (x, y) → zx= fx (x,y)= 4 
 
 Por definición, la expresión analítica de la derivada parcial respecto de “y” es: 
zy= fy (x,y)= lim f(x, y+ y) - f(x,y) 
 y → 0 y 
pero: 
 f(x,y) = 4x – 3y 
 
 f(x, y+ y) = 4 x – 3 (y + y) 
 
restando miembro a miembro en 
el sentido indicado por la flecha, 
obtenemos: 
 f(x, y+ y) – f(x,y) = 4 x – 3 (y + y) – (4x – 3y) 
 
f(x, y + y) – f(x,y) = 4x – 3y – 3 y – 4x + 3y 
 
f(x, y + y) – f(x,y) = -3 y 
 
reemplazando en el límite: 
 
zy= fy (x,y) = lim f(x, y+ y) - f(x,y) = lim -3y = 
 y → 0 y y → 0 y 
 
 
 
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 = lim (-3) = -3 
 y → 0 
Así: 
zy= fy (x,y) = -3 (x,y)  R2 
 
Finalmente, la función derivada parcial de “f” respecto de “y” es: 
 fy: R2 → R 
 (x, y) → zy= fy (x,y)= -3 
 
3.4 CÁLCULO DIRECTO DE LAS EXPRESIONES ANALÍTICAS DE LAS DERIVADAS PARCIALES 
Acabamos de ver que, la determinación de las expresiones analíticas que definen a ambas funciones derivadas: 
zx= fx (x,y) y zy= fy (x,y) , demanda el cálculo de un límite que depende de una sola variable: 
• x, para el caso de la derivada respecto de "x" 
y 
• y para el caso de la derivada respecto de "y". 
Sin embargo, es posible simplificar esta tarea utilizando las Reglas de Derivación ya estudiadas en el Capítulo 
correspondiente al Cálculo Diferencial de Funciones Reales de Variable Real. Esto es factible si se considera que: 
• La derivada parcial respecto de "x", considera solo el incremento respecto de "x" manteniendo "y" 
constante. Luego es posible determinarla aplicando a "x", en la expresión analítica que define a la función, las 
reglas de derivación ya enunciadas para una función real de una variable real y asimilar a "y" como una 
constante. 
• La derivada parcial respecto de "y", considera solo el incremento respecto de "y" manteniendo "x" 
constante. Luego es posible determinarla aplicando a "y", en la expresión analítica que define a la función, las 
reglas de derivación ya enunciadas para una función real de una variable real y asimilar a "x" como una 
constante. 
 
EJEMPLO 
Determinar, de manera completa, las expresiones analíticas que definen a las funciones derivadas parciales de 
la función “f” definida por: 
f: R2 → R 
 (x, y) → z= f (x,y)= x3 + 5xy2 + 2y3 
 
 Derivamos respecto de “x” (“y” es constante): 
 
 
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 zx = fx(x,y) = (x3 + 5xy2 + 2y3 ) x = 3 x2 + 5.1.y2 + 0 = 3 x2 + 5y2 
Luego: 
 fx: R2 → R 
 (x, y) → zx= fx (x,y)= 3 x2 + 5y2 
 Derivamos respecto de “y” (“x” es constante): 
 zy= fy(x,y) = (x3 + 5xy2 + 2y3 ) y = 0 + 5x (2y) + 2 (3y2)= 10 xy + 6y2 
Luego: 
 fy: R2 → R 
 (x, y) → zy= fy (x,y)= 10 xy + 6y2 
 
3.5 NOTACIONES 
Existen otras notaciones para indicar la función derivada parcial. Ellas son: 
 
 Derivada parcial respecto de x: 
 
 zx= fx(x,y) = z/x = f(x,y)/x 
 
 Derivada parcial respecto de y: 
 
 zy= fy(x,y) = z/y=f(x,y)/y 
 
 
3.6 VALOR NUMÉRICO 
Para calcular el valor numérico de las derivadas parciales fx y fy en un punto (xo,yo) reemplazamos, en las 
expresiones analíticas que las definen zx= fx(x,y) y zy= fy(x,y), las variables (x,y) por (xo,yo). 
EJEMPLO 
En el último ejemplo dado, las derivadas parciales respecto de x e y calculadas en (1,1), tienen como valores a 8 
y 16, en ese orden, ya que: 
 
 fx: R2 → R 
 (x, y) → zx= fx (x,y)= 3 x2 + 5y2 
 Para: (1, 1) → zx(1,1)= fx (1,1)= 3 12 + 5 12= 8 
 
 
 
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fy: R2 → R 
 (x, y) → zy= fy (x,y)= 10 xy + 6y2 
Para: (1, 1) → zy (1,1)= fy (1,1)= 10 1 1 + 6 12 = 16 
 
En la tabla siguiente se incluyen las notaciones que se utilizan para indicar precisamente el valor numérico de 
las derivadas cuando se las evalúa en (xo,yo): 
 
Derivada parcial de f 
respecto a x, valuada 
en el punto (xo,yo) 
Derivada parcial de f 
respecto a y, valuada 
en el punto (xo,yo) 
 
fx(xo,yo) 
 
fy(xo,yo) 
 
f 
 x (xo,yo) 
 
 
f 
 y (xo,yo) 
 
 f x = xo 
 x y=yo 
 
 
 f x = xo 
 y y=yo 
 
 
 
3.7 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR 
De la misma forma que hemos definido las derivadas de orden superior para funciones reales de una variable 
real, lo haremos para las funciones reales de dos variables reales. En este caso tendremos las derivadas parciales 
de orden dos, tres u orden más alto, si exististieran. 
Veamos en particular, las Derivadas Parciales de Segundo Orden. 
 
 
 
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3.7.1 Derivadas Parciales de Segundo Orden 
Ya que, en general, las derivadas parciales de la función definida por su expresión analítica: 
 z=f(x,y) 
son funciones de “x” e “y” pueden, derivarse nuevamente, respecto de “x” o respecto de “y”: 
 
Función Derivadas Derivadas 
 Parciales Parciales 
 de orden uno de orden dos 
 (zx)x = [fx (x,y)]x  zxx = fxx(x,y) 
 zx = fx (x,y) 
 (zx)y = [fx (x,y)]y  zxy = fxy(x,y) 
z = f(x,y) 
 (zy)x = [fy (x,y)]x  zyx = fyx(x,y) 
 zy = fy (x,y) 
(zy)y = [fy (x,y)]y  zyy = fyy(x,y) 
 
Las derivadas que así se obtienen son las Derivadas Parciales de Segundo Orden de la función “f” (o Derivadas 
Parciales de Orden 2). 
 
 
 
Nota: En particular las derivadas: 
zxy = fxy(x,y) y zyx = fyx(x,y) 
reciben el nombre de Derivadas Parciales Mixtas o Cruzadas. 
EJEMPLO 
Tomemos como referencia, las derivadas parciales del último ejemplo dado. A partir de ellas calculemos las 
derivadas parciales de segundo orden: 
 
Para: zx= fx (x,y)= 3 x2 + 5y2  zxx = fxx(x,y) = 6x 
 
 zxy = fxy(x,y) = 10y 
 
 
 
 
 
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Para: zy= fy (x,y)= 10 xy + 6y2  zyx = fyx(x,y) = 10 y 
 
zyy = fyy(x,y) = 10x + 12 y 
 
Nota: Una observación que cabe hacer es respecto a la igualdad de las derivadas cruzadas. En el ejemplo 
precedente se cumple que: 
zxy = fxy(x,y) = zyx = fyx(x,y) = 10y 
Esto significa que si se deriva primero respecto de “x” y luego respecto de “y”, el resultado será idéntico que 
si se deriva primero respecto de “y” y luego respecto de “x”. Esta característica la tienen muchas de las 
funciones reales de dos variables reales con las que trabajaremos. 
3.7.2 Derivadas Parciales de Orden Superior 
Las definicionesde las Derivadas Parciales de Tercer, Cuarto u orden más alto, son análogas a las dadas para 
derivadas parciales de orden dos. 
Por ejemplo, una derivada de Tercer Orden podría expresarse de alguna de las siguientes formas: 
zxyy = fxyy(x,y) , zyyx = fyyx(x,y) , zyxy = fyxy(x,y) 
Observar que, en todas ellas, aparecen dos derivadas respecto de “y” y una derivada respecto de “x”, realizadas 
en distinto orden. Bajo ciertas condiciones (que no abordaremos en esta materia), todas estas derivadas son 
iguales, o sea, no importa el orden en el que se derive siempre y cuando se mantenga la cantidad de veces que 
se lo hace respecto de “x” y la cantidad de veces que depende de “y”. 
EJEMPLO 
En el ejemplo precedente, consideremos: 
zyy = fyy(x,y) = 10x + 12 y 
y derivemos esta expresión respecto de “x”; obtendremos: 
zyyx = fyyx(x,y) = 10 
Ahora consideremos: 
zxy = fxy(x,y) = 10y 
y la derivemos respecto de “y”; obtendremos: 
 zxyy = fxyy(x,y) = 10 
Luego, los resultados resaltados son iguales (se derivo 1 vez respecto de “x” y 2 veces respecto de “y”). 
 
 
 
 
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Una aplicación importante y frecuente dentro de la teoría de las funciones reales es la determinación de sus 
valores extremos (máximo y mínimo). Son las derivadas parciales primeras y segundas las que proporcionan las 
herramientas analíticas para determinar dichos valores. Ya analizamos este procedimiento para funciones reales 
de una variable real y, como paso previo para hacerlo en las funciones reales de dos variables reales, 
establezcamos previamente las definiciones correspondientes de extremos absolutos y los extremos relativos 
(o locales). 
4.1 EXTREMOS ABSOLUTOS: Definiciones 
Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: 
 f: A R2→ R 
 (x, y) → z= f (x,y) 
a) “f” tiene en (xo,yo)  A un máximo absoluto si f(xo,yo)  f(x,y) (x,y)  A 
b) “f” tiene en (xo,yo)  A un mínimo absoluto si f(x,y)  f (xo,yo) (x,y)  A 
c) “f” tiene en (xo,yo)  A un extremo absoluto si f tiene en dicho punto un máximo o un mínimo absoluto. 
 
4.2 EXTREMOS RELATIVOS (Libres) 
4.2.1 Definiciones 
Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: 
 f: A R2→ R 
 (x, y) → z= f (x,y) 
a) “f” tiene en (xo,yo)  A un máximo relativo si f(xo,yo)  f(x,y) para todos los puntos (x,y) lo 
suficientemente cercanos a (xo,yo)1 y pertenecientes también al dominio A. 
b) “f” tiene en (xo,yo) un mínimo relativo si f(x,y)  f (xo,yo) para todos los puntos (x,y) lo suficientemente 
cercanos a (xo,yo) y pertenecientes también al dominio A. 
c) “f” tiene en (xo,yo) un extremo relativo si “f” tiene en dicho punto un máximo o un mínimo relativo. 
 
 
1 Los puntos (x,y) próximos a (xo,yo) son aquellos que pertenecen a un círculo abierto (o sea el círculo sin la circunferencia contorno) de 
centro en (xo,yo) y radio . A éste círculo abierto se lo denomina Entorno Simétrico del punto (xo,yo) y de radio . 
 
4. EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS (Libres y Condicionados) 
 
 
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Nota: al igual que en Funciones Reales de Variable Real, a los Extremos definidos precedentemente, se los 
conoce con el nombre de Extremos Fuertes. Si en las desigualdades planteadas en dichas definiciones se 
cambian los signos  y  por  y , respectivamente, se obtienen las definiciones de los Extremos Débiles. 
4.2.2 Determinación 
La determinación de los extremos relativos de una función real de dos variables reales, requiere del 
cumplimiento de dos condiciones. La primera condición permite determinar cuáles son los “posibles extremos 
relativos” o “puntos sospechosos de ser extremos relativos”. La segunda condición, precisa en qué casos los 
puntos determinados en la primera condición son verdaderamente extremos relativos; también brinda criterios 
para identificar la naturaleza de dichos extremos (máximo o mínimo relativo). El conocimiento del siguiente 
concepto de Punto Crítico es el paso previo para la enunciación de las condiciones necesaria y suficiente citadas 
precedentemente. 
i) Punto crítico 
Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: 
 f: A R2→ R 
 (x, y) → z= f (x,y) 
“f” tiene en (xo,yo)  A un punto crítico si se cumple alguna de las siguientes condiciones: 
1. zx= fx(xo,yo) = 0  zy= fy(xo,yo) = 0 
[o sea que ambas derivadas parciales primeras en (xo,yo) son iguales a cero]. 
2. zx= fx(xo,yo) o zy= fy(xo,yo) no existe 
[o sea que por lo menos una de las derivadas parciales no existe en (xo,yo)]. 
Nota: En adelante, solo consideraremos puntos críticos que provengan de las primeras derivadas parciales 
iguales a cero. 
 
ii) Condición Necesaria para la existencia de los Extremo Relativos 
 
Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: 
 f: A R2→ R 
 (x, y) → z= f (x,y) 
Si la función “f” tiene en (xo,yo)  A un extremo relativo (máximo o mínimo) entonces se cumple que (xo,yo) 
es un punto crítico, tal que: 
zx= fx(xo,yo) = 0  zy= fy(xo,yo) = 0 
Nota: La condición dada es una condición necesaria PERO no suficiente, por lo tanto la siguiente implicación: 
“f” tiene en (xo,yo) un punto crítico  “f” tiene en (xo,yo) un extremo relativo 
 
 
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no siempre es verdadera. Luego, la aplicación de esta condición permite determinar los puntos críticos, 
“sospechosos” de ser extremos relativos. 
 
¿Cómo determinamos si en el punto crítico o “punto sospechoso” hay un extremo relativo? Aplicamos el 
resultado de la siguiente condición. 
 
iii) Condición Suficiente para la existencia de los Extremo Relativos 
Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: 
 f: A R2→ R 
 (x, y) → z= f (x,y) 
Supongamos que “f” tiene en (xo,yo)  A un punto crítico tal que : fx(xo,yo)= fy(xo,yo)=0 y que las derivadas 
parciales mixtas en (xo,yo) sean iguales [fxy(xo,yo)= fyx(xo,yo)]. Sea  un número definido por el valor del 
siguiente determinante de orden 2: 
fxx(xo,yo) fxy(xo,yo) 
  (xo,yo)= = fxx(xo,yo). fyy(xo,yo) - fxy(xo,yo) fyx(xo,yo)= 
 = fxx(xo,yo). fyy(xo,yo) - [fxy(xo,yo)]2 
 fxy(xo,yo) fyy(xo,yo) 
 
➢ Si (xo,yo)>0, entonces “f” tiene en (xo,yo) un extremo relativo. 
Si además: 
- fxx(xo,yo)<0, entonces f tiene en (xo,yo) un máximo relativo 
- fxx(xo,yo)>0, entonces f tiene en (xo,yo) un mínimo relativo 
➢ Si (xo,yo)<0, entonces “f” no tiene (xo,yo) un extremo relativo. En el mismo posee un punto de ensilladura. 
➢ Si (xo,yo)=0, entonces esta condición no permite arribar a ninguna conclusión. Se requiere otro tipo de 
análisis [por ejemplo comparar los valores de la función f en el punto en cuestión con respecto a otros valores 
de la misma en puntos próximos a (xo,yo)]. 
 
Nota: Notemos que la condición suficiente solo se puede aplicar en el caso que el punto crítico determinado 
proviene de la condición de derivadas parciales primeras nulas. 
EJEMPLO 
Determinar los extremos relativos, si existen, de la función “f” definida por su expresión analítica: 
z= f(x,y)= x2 + 2xy + 2y2 +2x - 2y 
 
 
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Solución 
 En primer lugar, aplicamos la condición necesaria. 
El procedimiento exige encontrar el punto crítico para el cual las derivadasparciales primeras son nulas. O sea: 
 zx=fx(x,y)= 2x + 2y +2 = 0 
 
 zy=fy(x,y)= 2x + 4y - 2 = 0 
La resolución del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas tiene como resultados: 
 x = -3 e y = 2 
Luego el punto crítico, o posible extremo, es (xo,yo)= (-3,2). ¡Este punto es la base para aplicar la condición 
suficiente! 
 
 Analicemos, en segundo lugar, si en dicho punto hay un extremo, utilizando para ello la condición suficiente. 
Previamente calculamos las derivadas de orden 2 de la función “f” y las particularizamos para el punto crítico 
(-3,2): 
 zxx=fxx(x,y)= 2  zxx=fxx(-3,2)= 2 
 
 zyy=fyy(x,y)= 4  zyy=fyy(-3,2)= 4 
 
 zxy=fxy(x,y)= 2  zxy=fxy(-3,2)= 2 
 
Luego el valor del determinante es: 
 (-3,2) = fxx(-3,2) fyy(-3,2) - [fxy(-3,2)]2 = 2.4 - 22 = 4 > 0 
 
Conclusión 
Es posible afirmar que f tiene en (-3,2) un extremo relativo, que es un mínimo relativo pues zxx=fxx(-3,2)= 2 >0. 
El valor de ese mínimo resulta al particularizar la función dada en el punto (-3,2): 
 z=f(-3,2)= (-3)2 + 2(-3)(2) + 2 (2)2 + 2 (-3) - 2 (2) = - 5 
 
4.3 EXTREMOS RELATIVOS CONDICIONADOS - MÉTODO DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 
Una situación que se presenta a menudo en la determinación de los extremos relativos es el condicionamiento 
que surge cuando se establece algún tipo de restricción para lograr dicho objetivo. 
 
 
 
 
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Por ejemplo, supongamos que un fabricante de dos tipos de golosinas diferentes quiere determinar su costo 
mínimo de producción, pero sujeto a la condición de que el total de unidades de ambos productos a elaborar 
sea una cantidad fija. 
 
Para resolver este tipo de aplicaciones, conocidas con el nombre general de Extremos Relativos Sujetos a 
Condiciones (Restricciones), aplicaremos el procedimiento denominado Método del Multiplicador de 
Lagrange, que pasamos a explicar a continuación. 
 
Supongamos que se desee maximizar o minimizar la función “f” de expresión analítica z=f(x,y)2 sujeta a la 
restricción g(x,y)=03. 
El método del multiplicador de Lagrange consiste en formar, como primer paso, la función lagrangeana o 
función objetivo “L”, definida de la siguiente forma: 
 L(x,y,) = f(x,y) -  g(x,y) 
Esta es una función real de tres variables independientes: x, y , . La cantidad  recibe el nombre de 
multiplicador de Lagrange. 
El paso siguiente es constituir el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas integrado por las derivadas 
parciales de la función lagrangeana respecto de cada una de sus variables e igualadas a cero: 
 Lx(x,y,) = 0 
 
Ly(x,y,) = 0 
 
L(x,y,) = 0 ¡Esta condición es, en realidad, g(x,y)=0! 
La resolución de este sistema proporciona el/los punto/s crítico/s de la función lagrangeana “L”, de la forma 
(xo,yo,o). El/los punto/s de la función “f” sujeto/s a la restricción dada por “g” será/n el/los correspondiente/s 
(xo,yo). 
Como último paso, y para determinar si los puntos críticos identificados son o no extremos relativos de “f”, 
procederemos con ellos en forma análoga al caso en que calculábamos extremos relativos libres (sin 
restricciones), o sea, establecemos para la función “f” el determinante  (xo,yo) y, de acuerdo a su resultado, 
concluimos la naturaleza del punto crítico (o sea si es, o no es, un extremo relativo y, en caso de serlo, si es 
un máximo o un mínimo relativo sujeto a restricción). 
 
2 La función f se denomina función a extremar 
3 La función g se designa con ecuación restrictiva 
 
 
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EJEMPLO 
Obtener los máximos y mínimos relativos, si existen, de la función: 
z= f(x,y) = 5 x2 + 6 y2 – xy 
bajo la restricción: 
 x + 2y – 24 = 0 
Solución 
Aplicamos el método del multiplicador de Lagrange. Para ello formamos, como primer paso, la función 
lagrangeana: 
 L(x,y,) = 5 x2 + 6 y2 – xy -  (x + 2y – 24) 
A continuación construimos el sistema determinado por las derivadas parciales de esta función, igualadas a cero: 
 Lx(x,y,) = 10 x – y -  = 0 
 Ly(x,y,) = 12 y – x - 2 = 0 
 L(x,y,) = - (x + 2y – 24) = 0 
La solución única de este sistema es: xo= 6, yo=9 ,  = 51. 
Luego, (6, 9, 51) es un punto crítico de la función lagrangeana “L” y (6,9) es un punto crítico de la función “f” 
sujeto a la restricción dada por “g”. 
Analicemos la naturaleza del punto crítico (6,9) aplicando el criterio de la segunda derivada para la función “f”: 
 
fxx(x,,y) = 10  fxx(6,9) = 10 
fx (x,y) = 10 x – y  
 fxy(x,y) = -1  fxy(6,9) = -1 [= fyx(6,9)] 
 
fy (x,y) = 12 y – x  fyy(x,y) = 12  fyy(6,9) = 12 
 
 
de donde: 
 (6,9) = (10) (12) – (-1)2 = 119 > 0 
 
Finalmente, “f” tiene en (6,9) un extremo relativo restringido que es mínimo [pues fxx(6,9) = 10 > 0]. El valor 
de dicho mínimo es f(6,9) = 5 . 62 + 6 . 82 – 6.9 = 510. 
 
 
 
 
 
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1. Un productor agropecuario de la zona obtiene una Utilidad (o ganancia), por la venta de “x” toneladas de un 
cultivo tipo A e “y” toneladas de un cultivo tipo B, que está expresada por el siguiente modelo matemático: 
U= U(x,y)= x3/2 y (en miles de dólares) 
a. Usando el programa GRAPHMATICA, representar gráficamente la función Utilidad mediante cinco curvas de 
nivel. Para ello, considerar como valores de Utilidad a los siguientes: 80, 405, 1280, 3750 y 10800 (todos en miles 
de dólares). 
b. Interpretar, en términos del problema, qué representa cada una de las curvas de nivel graficadas. 
c. ¿Cuál es la Utilidad del productor de vender xo= 16 toneladas del cultivo tipo A e yo=20 toneladas del cultivo 
tipo B? 
d. Analizar cómo se comportan las cantidades vendidas de ambos tipos de cultivos “dentro” de una misma curva 
de nivel. 
Solución 
a. Paso previo a utilizar el programa GRAPHMATICA para representar la función Utilidad mediante curvas de 
nivel, se deben realizar las siguientes consideraciones: 
* Si U (x,y)= 80 siendo U(x,y)= x3/2 y: 
  x3/2 y = 80  y= 80 x(-3/2) (ecuación de la primera curva de nivel a graficar) 
* Si U (x,y)= 405 siendo U(x,y)= x3/2 y: 
  x3/2 y = 405  y= 405 x(-3/2) (ecuación de la segunda curva de nivel a graficar) 
* Si U (x,y)= 1280 siendo U(x,y)= x3/2 y: 
  x3/2 y = 1280  y= 1280 x(-3/2) (ecuación de la tercera curva de nivel a graficar) 
* Si U (x,y)= 3750 siendo U(x,y)= x3/2 y: 
  x3/2 y = 3750  y= 3750 x(-3/2) (ecuación de la cuarta curva de nivel a graficar) 
 
 
 
 
5. APLICACIONES 
 
 
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* Si U (x,y)= 10800 siendo U(x,y)= x3/2 y: 
  x3/2 y = 10800  y= 10800 x(-3/2) (ecuación de la quinta curva de nivel a graficar) 
Luego, considerando rangos adecuados para “x” e “y”, las curvas de nivel que arroja el uso del programa 
GRAPHMATICA son las siguientes: 
 
 
 
b. La curva de ecuación y= 80 x(-3/2) significa que todos los puntos (x,y) que verifiquen la pertenencia a 
esta ecuación son tales que dan al productor agropecuario una Utilidad de 80 miles de dólares. 
La curva de ecuación y= 405 x(-3/2) significa que todos los puntos (x,y) que verifiquen la pertenencia a 
esta ecuación son tales que dan al productor agropecuario una Utilidad de 405 miles de dólares. 
La curva de ecuación y= 1280 x(-3/2) significa que todos los puntos (x,y) que verifiquen la pertenencia 
a esta ecuación son tales que dan al productor agropecuariouna Utilidad de 1280 miles de dólares. 
La curva de ecuación y= 3750 x(-3/2) significa que todos los puntos (x,y) que verifiquen la pertenencia 
a esta ecuación son tales que dan al productor agropecuario una Utilidad de 3750 miles de dólares. 
La curva de ecuación y= 10800 x(-3/2) significa que todos los puntos (x,y) que verifiquen la pertenencia 
a esta ecuación son tales que dan al productor agropecuario una Utilidad de 10800 miles de dólares. 
c. La Utilidad del productor de vender xo= 16 toneladas del cultivo tipo A e yo=20 toneladas del cultivo tipo B es: 
U(16,20)= 163/2 .20 = 1280 miles de dólares 
d. Todos los puntos que pertenecen a una misma curva de nivel proporcionan una Utilidad constante. 
Observando ya sea, la expresión analítica de la función Utilidad, o bien alguna de las curvas de nivel que la 
U=U(x,y) 
 
 
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representan, se puede afirmar que cuando la cantidad de ventas del cultivo A aumenta (x), la cantidad de ventas 
del producto B disminuye (y), pero la Utilidad se mantiene constante. 
 
2. La producción semanal de una fábrica está dada por la función de expresión analítica: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 1200 𝑥 + 500 𝑦 + 𝑥2𝑦 − 𝑥3 − 𝑦2 unidades 
donde “x” es el número de trabajadores expertos e “y” es el número de trabajadores inexpertos empleados en 
la fábrica. Actualmente, la fuerza de trabajo está formada por 30 trabajadores expertos y 60 trabajadores 
inexpertos. 
a. ¿Cuántas unidades se producen en la fábrica semanalmente? 
b. Si se adicionaría un trabajar experto más, manteniendo sin modificaciones el número de trabajadores 
inexpertos, ¿cuál es el cambio estimado en la producción semanal? 
c. Si en la fuerza laboral actual se incrementa un trabajador inexperto más, ¿cuál es el cambio estimado en la 
producción semanal? 
d. De los resultados de b. y c., indique que tipo de trabajador debe incorporar la fábrica para obtener una 
producción semanal mayor. 
Solución 
a. La producción semanal cuando se desempeñan 30 trabajadores expertos y 60 trabajadores inexpertos es: 𝑃(30,60) = 1200 . 30 + 500 . 60 + (30)2 . 60 − (30)3 − (60)2 = 𝟖𝟗𝟒𝟎𝟎 unidades 
b. Para determinar el cambio estimado en la producción semanal, cuando se incrementa 1 trabajador experto 
más, manteniéndose constante el número de trabajadores inexpertos, se calcula la primera derivada parcial de 
la función producción semanal respecto de “x” (ya que es el valor de la variable que se modifica), para luego 
particularizarla en x=30 e y=60, o sea: 𝑃𝑥(𝑥, 𝑦) = 1200 + 2 𝑥 𝑦 − 3𝑥2 unidades 𝑃𝑥(30,60) = 1200 + 2 (30)(60) − (30)2 = 2100 unidades 
Luego, cuando la fuerza de trabajo aumenta de 30 a 31 trabajadores expertos y 60 inexpertos, la producción 
semanal se incrementa, estimativamente, en 2100 unidades. 
c. El cambio estimado en la producción semanal, cuando se incrementa 1 trabajador inexperto más, 
manteniéndose constante el número de trabajadores expertos, se calcula a partir de la primera derivada parcial 
de la función producción semanal respecto de “y” (ya que es el valor de la variable que se modifica), para luego 
particularizarla en x=30 e y=60, o sea: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 500 + 𝑥2 − 2𝑦 unidades 𝑃𝑦(30,60) = 500 + (30)2 − 2 (60) = 1280 unidades 
 
 
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Luego, cuando la fuerza de trabajo es de 30 trabajadores expertos y aumenta de 60 a 61 trabajadores 
inexpertos, la producción semanal se incrementa, estimativamente, en 1280 unidades. 
d. Conviene a la fábrica incorporar un trabajador experto. 
 
3. La utilidad (o ganancia) que percibe mensualmente un empresario minorista por la comercialización de dos 
tipos de electrodomésticos diferentes es: 
 U(x,y)= - 4 x2 – 8 y2 – 2xy + 36x + 40y 
donde “x” es el número de unidades que vende del artículo marca A, “y” es el número de unidades que vende 
del artículo marca B y U se mide en pesos. 
¿Cuáles deberán ser las cantidades “x” e “y” para que la utilidad que obtenga de la venta mensual sea máxima? 
Solución 
✓ Condición necesaria 
Ux(x,y)= - 8 x – 2y + 36 = 0  4x + y = 18 
 
Uy(x,y)= – 16 y – 2x + 40 = 0  x + 8y = 20 
 
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas determinamos que el punto crítico o posible 
extremo es: 
 (xo,yo) = (4,2) 
 
✓ Condición suficiente 
 
Uxx(x,y)= - 8  Uxx(4,2)= - 8 
 
Uxy(x,y)= – 2  Uxy(4,2)= – 2 [= Uyx(4,2)] 
 
Uyy(x,y)= – 16  Uyy(4,2)= – 16 
 
El determinante en (4,2) es: 
 (4,2) = (-8)(-16) – (-2)2 = 124 > 0 
 
Entonces la función Utilidad tiene en (4,2) extremo, que es máximo pues Uxx(4,2)=-8<0 
 
 
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Finalmente, la utilidad del empresario será máxima cuando venda mensualmente 4 unidades del 
electrodoméstico marca A y 2 unidades del electrodoméstico marca B. 
 
4. Una fábrica produce dos tipos de maquinarias pesadas en cantidades “x” e “y”. Estudios realizados indican 
que la función costo de producción (en miles de pesos) está dado por: 
C=C(x,y)= 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥𝑦 
Para minimizar el costo, ¿cuántas máquinas debe producir, si el total debe ser de 8 máquinas? 
Solución 
Esta aplicación corresponde a la determinación un extremo sujeto a una restricción, siendo: 
• La función a extremar: C=C(x,y)= 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥𝑦 
• La ecuación restrictiva: x+y= 8 o x+y-8=0 
Formamos la función lagrangeana: 
• L(x,y, )= 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥𝑦 - (x+y-8) 
y el sistema de ecuaciones: 
Lx(x,y, )= 2𝑥 + −𝑦 - = 0 
Ly(x,y, )= 4𝑦 − 𝑥 -  = 0 
L (x,y, )= - (x+y-8) = 0 
De la resolución del sistema, obtenemos que la función lagrangeana “L” tiene en (5,3,7) un punto crítico y la 
función “f” tiene en (5,3) un punto crítico. 
Aplicamos a este último las condiciones necesaria y suficiente: 
Cx(x,y)= 2𝑥 − 𝑦  Cxx(x,y)= 2  Cxx(5,3)= 2 
 Cxy(x,y)= -1  Cxy(5,3)= -1 
 Cy(x,y)= 4y−𝑥  Cyx(x,y)= -1  Cyx(5,3)= -1 
Cyy(x,y)= 4  Cyy(5,3)= 4 
 
 (5,3)= (2) (4) – (-1)2 = 7 > 0 y Cxx(5,3)= 2 > 0 
 
 
 
 
 
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Finalmente, la función “C” tiene en (5,3) un mínimo relativo sujeto a la restricción dada por “g”. Esto significa 
que se deberán producir 5 maquinarias pesadas de un tipo y 3 maquinarias pesada del otro tipo, en total 8 de 
ellas, para que el costo de producción sea mínimo [C(5,3)= 𝟓𝟐 + 𝟐. 𝟑𝟐 − 𝟓. 𝟑 = 𝟑𝟖 𝒎𝒊𝒍 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔].