Apuntes teóricos Unidad I

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LIC. BEATRIZ AUTINO ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 MATEMÁTICA I 
 
UUNNIIDDAADD II 
AANNÁÁLLIISSIISS CCOOMMBBIINNAATTOORRIIOO 
EESSQQUUEEMMAA CCOONNCCEEPPTTUUAALL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AANNÁÁLLIISSIISS 
CCOOMMBBIINNAATTOORRIIOO 
 
Factorial de 
un número 
Arreglos 
Resolución de 
 Problemas 
Permutaciones Combinaciones 
Números 
Combinatorios 
BBiinnoommiioo ddee NNeewwttoonn 
Sumatoria 
2 
 
LIC. BEATRIZ AUTINO ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 MATEMÁTICA I 
Análisis Combinatorio 
1.- Introducción 
 Frecuentemente se necesita formar conjuntos que reúnan ciertas condiciones, 
eligiendo sus elementos entre los de otro conjunto dado. 
 La parte de la matemática que analiza las distintas formas de agrupar 
elementos y calcular el número de posibilidades, es la combinatoria. De estos 
agrupamientos posibles se estudiarán tres, conocidos con el nombre de variaciones o 
arreglos, permutaciones y combinaciones. 
Entre las múltiples aplicaciones que presenta el Análisis Combinatorio se 
encuentra el desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio, también conocido como 
Binomio de Newton. Fue este reconocido científico quien desarrolló la fórmula 
matemática que permite el cálculo de las distintas potencias de un binomio, utilizando 
para ello los números combinatorios. 
2.- Conceptos Previos 
• Sumatoria 
Existe un símbolo en Matemática que se usa para escribir, en forma abreviada, 
sumas que involucran gran cantidad de términos o cuyos sumandos admiten una cierta 
ley de formación. Este símbolo se representa con la letra griega sigma mayúscula (Σ) y 
los sumandos de una sumatoria se expresan generalmente como una variable 
(habitualmente x, y, z, . .) cuyos valores dependen de un índice (habitualmente i, j, k. . .) 
que toma valores enteros. El índice empieza tomando el valor que aparece en la parte 
inferior del signo de sumatoria y se va incrementando en una unidad hasta llegar al 
valor que aparece en la parte superior del mismo. Así, por ejemplo, la suma: 
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 se puede escribir en forma abreviada de la siguiente manera: 
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 =
=
7
1i
ix que se lee, suma de xi desde i = 1 hasta i = 7 
Si se quiere generalizar esta suma hasta un cierto valor n, se escribe: 
=
n
1i
ix 
Donde, los números 1 y n se denominan respectivamente límite inferior y límite 
superior de la suma, xi se llama termino general y la letra i recibe el nombre de índice 
de la suma. Al asignarle a i en el término general, todos los números enteros 
consecutivos desde el límite inferior hasta el superior, se obtienen todos los sumandos. 
 
3 
 
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 MATEMÁTICA I 
Observaciones: 
• El índice puede ocupar cualquier posición en el término general de una suma, 
como: factor, exponente, índice propiamente dicho, etc. 
• El valor de una suma es independiente de la letra que se usa como índice 
variable. Por ejemplo, son iguales las siguientes sumas: 
  
= ==
n
1k
n
1j
jk
n
1i
i x,x,x
 
• El índice de la sumatoria puede tomar cualquier conjunto de números enteros, es 
decir, no tiene porqué empezar en 1, como por ejemplo: 
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
4
0i
i
i zazazazazaza ++++=
=
 
• La aplicación de la notación se puede extender fácilmente a casos en los que el 
término x, o cualquier otro, lleva como prefijo un coeficiente, o en los que cada 
término de la suma se eleva a alguna potencia entera. También puede utilizarse 
para el caso de suma de productos. 
Ejemplo 1: 
Desarrollar las siguientes sumas: 



=
=
=
5
1k
1kk1
3
1i
i
4
0j
j
ba)c
ax)b
3)a
 
Desarrollo: 
51154114311321121111
5
1k
1kk1
3
1i
i321321
3
1i
i
4
4
0j
3210j
babababababa)c
xa)xxx(aaxaxaxax)b
8127931333333)a
++++=
=++=++=
++++=++++=



=
==
=
 
Ejemplo 2: 
Escribir en término de sumatoria las siguientes expresiones: 
4 
 
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )4ya3ya2ya)c
1xx31xx21xx)b
0xcon
x
1
..........
x
1
x
1
x
1
)a
544332
332211
12642
+++++
−+−+−
++++
 
Desarrollo: 
( )
0xcon
x
1
x
1
..........
x
1
x
1
x
1
)a
6
1i
i212642
=++++ 
= 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )jya4ya3ya2ya)c
1xkx1xx31xx21xx)b
1j
4
2j
j544332
3
1k
kk332211
+=+++++
−=−+−+−
+
=
=


 
Ejemplo 3: 
Demostrar que i
1n
0i
1ni
n
0i
xxx 
+
=
+
=
=+







 
Desarrollo: 
( ) i
1n
0i
1nn2101ni
n
0i
xxx.......xxxxx 
+
=
++
=
=+++++=+







 
Ejemplo 4: 
Expresar con sumatoria las siguientes frases: 
a) La suma de los 10 primeros números pares. 
b) La suma de todos los múltiplos de 4 desde 36 hasta 80. 
c) La suma de la raíz cuadrada de los 20 primeros números impares. 
Desarrollo: 
181614121086420i2:queya
i2como:denotarpuedeseres,números pa primeros 10 los La suma de)a
9
0i
9
0i
+++++++++=

=
=
 
807672686460565248444036k4:queya
k4como:denotarpuedese,80hasta 36 desde 4 de múltiplos todos losLa suma de)b
20
9k
20
9k
+++++++++++=

=
=
 
5 
 
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 MATEMÁTICA I 
39............75311k2:queya1k2como:
denotarpuedese,paresnúmeros im primeros 20 los uadrada de la raíz cLa suma de)c
20
1k
20
1k
+++++=−− 
==
 
Número de términos de una suma 
El número de términos de la suma 
=
n
mi
ix con m<n, es la diferencia entre el límite 
superior y el inferir sumado uno, es decir: n-m+1 
Ejemplo: 
La suma 
=
11
5i
ix tiene 11-5+1= 7 términos 
Desarrollo: Al desarrollar la suma se puede constatar que tiene 7 términos: 
 111098765
11
5i
i xxxxxxxx ++++++=
=
 
Propiedades: 
Al ser el símbolo de sumatoria una manera abreviada de representar una suma, 
cumple todas las propiedades de ésta, es decir: 
• Propiedad conmutativa: 
( ) ( )
==
+=+
n
1i
ii
n
1i
ii xyyx 
Demostración: 
( )
( )

=
=
+=+++++=
++++++=+
n
1i
iinn2211
nn2211
n
1i
ii
xyxy...............xyxy
yx...............yxyxyx
 
• Propiedad asociativa: 
( ) ( )
====
++=++
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii zyxzyx 
Demostración: 
( )
( )

==
==
++=++++++++++=
++++++++++=++
n
1i
ii
n
1i
inn2211n21
n21nn2211
n
1i
i
n
1i
ii
zyxzy...............zyzyx........xx
z.....zzyx...............yxyxzyx
 
 
6 
 
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Otras propiedades: 
1) La sumatoria desde 1 hasta n de una constante es igual a n veces el valor de 
la constante, es decir: 
 
 
Demostración: 
k.nk....kkk
n
1i

=
=+++=
 
Observación: Si la suma no comienza en 1, se utiliza lo visto en número de 
términos de una suma, es decir: 
 
 
2) Si el término general de una suma está multiplicado por una constante, se puede 
escribir la mencionada constante como factor de toda la suma, es decir: 

==
=
n
1i
i
n
1i
i x.kx.k
 Demostración: 
( ) 
==
=+++=+++=
n
1i
in21n21
n
1i
i x.kx.......xx.kkx.....x.kx.kx.k
 3) Si el término general de una suma es la suma de dos o más sumandos, 
dependientes en general del índice, vale la siguiente igualdad: 
( ) 
===
+=+
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii yxyx
 
Demostración: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 

==
=
+=+++++++
=++++++=+
n
1i
i
n
1i
in21n21
nn2211
n
1i
ii
yxy....yyx.....xx
yx.....yxyxyx
 
Observación: 
1) La sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias de cada 
término: 
   iiii y.xy.x 
n
i
k n.k , con k R
=
= 
1
n
i m
k (n m ).k , con k R m n
=
= − +    1
7 
 
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2) La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a 
la sumatoria de la variable elevado al cuadrado. 
( ) 
2
i
2
i xx 
Ejemplo 1: 
Aplicarpropiedades para resolver las siguientes sumas: 
 ( ) ( )
==
++
7
2i
4
1j
j 3k5)b23)a 
Desarrollo: 
( )
( )  

= ==
===
+=+=+=+
=++++=++++=+=+
7
2i
7
2i
7
2i
432
4
1j
4
1j
j
4
1j
j
18k303.6)k6.(53k53k5)b
12888127932.433332323)a
 
Ejemplo 2: 
i) Escribir desarrolladas las sumas que se dan a continuación: 
( ) ( )
2
4
1k
k
24
1k
k 2a)b2a)a 





−− 
==
 
ii) Reemplazar en los desarrollos anteriores los valores: a1 = 2; a2 = -2; a3 = 4 y 
a4 = 3 y comparar resultados. 
Desarrollo: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )  ( )  ( ) 11124023242222)b
211416023242222)a)ii
2a2a2a2a2a)b
2a2a2a2a2a)a)i
222
2222
2
4321
2
4
1k
k
2
4
2
3
2
2
2
1
24
1k
k
=−=++−+=−+−+−−+−
=+++=−+−+−−+−
−+−+−+−=





−
−+−+−+−=−


=
=
 
 
Los resultados son distintos. 
 
• Función Factorial 
Para expresar una multiplicación repetida de factores iguales se puede utilizar una 
forma abreviada utilizando la potenciación. Por ejemplo: 
 2 . 2 . 2 . 2 = 2 4 
 
 
 4 veces 
8 
 
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 a . a . a . a . .......... a = a n 
 
 n veces 
 Hay otra multiplicación particular que se presenta frecuentemente en 
matemática, cuyos factores son números naturales consecutivos a partir de 1. 
 Estos productos se expresan abreviadamente como sigue: 
 1 . 2 = 2! 
 1 . 2 . 3 = 3! 
 1 . 2 . 3 . 4 = 4! 
 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . ........... . n = n! 
Los números así expresados se llaman números factoriales 
Notación: n! se lee: “factorial de n” 
Definición: Se llama factorial de un número natural n mayor que 1, al producto de 
n factores naturales en el orden decreciente empezando por n y llegando hasta 1. Es 
decir: n! = n . ( n-1) . ( n-2) ...... 2.1 
 Se acepta como definición que: 
0! = 1 1! = 1 
Ejemplos: 
4!= 4.3.2.1= 24 
6!= 6.5.4.3.2.1= 720 
En algunas expresiones o igualdades en las que aparecen los factoriales puede ser 
de utilidad el uso de la simplificación, como se indica en los siguientes ejemplos. 
Ejemplos: 
1) Desarrollar y simplificar: 
)!1n()!1n(
)!1n(!n
)e
)!1n(
)!3n(
)d
!6
!2!7
)c
!6
!5
)b
!5
!8
)a
−−
+
−
−
 
Desarrollo: 
)1n(n
)!1n)!.(1n(
)!1n.(n).1n)!.(1n.(n
)!1n()!1n(
)!1n(!n
)e
)2n).(1n(
1
)!3n).(2n).(1n(
)!3n(
)!1n(
)!3n(
)d
142.7
!6
1.2!.6.7
!6
!2!7
)c
6
1
!5.6
!5
!6
!5
)b
3366.7.8
!5
!5.6.7.8
!5
!8
)a
2 +=
−−
−+−
=
−−
+
−−
=
−−−
−
=
−
−
===
==
===
 
9 
 
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 MATEMÁTICA I 
2) Verificar la siguiente igualdad: 
Desarrollo: 
 
3.- Arreglos, Permutaciones y Combinaciones 
Introducción Intuitiva de los Conceptos 
A los fines de interpretar intuitivamente los conceptos de arreglos, permutaciones 
y combinaciones, se presentan los siguientes ejemplos: 
1) Un señor concurre a una galería de arte con el propósito de adquirir cuadros. Le 
gustan cinco de los cuadros expuestos pero solo puede adquirir tres de ellos. 
¿De cuántas maneras puede elegir tres de los cinco cuadros?. O dicho de otra forma, 
¿cuántos subconjuntos de 3 cuadros es posible formar con los 5 cuadros? 
Desarrollo: 
 Sea E = { 1, 2, 3, 4, 5} el conjunto de cuadros. 
Algunos de los subconjuntos de E formados por 3 cuadros son, por ejemplo, los 
siguientes: 
 { 1, 2, 3} { 2, 3, 5} {1, 4, 5} y otros. 
Todos ellos son distintos porque difieren por lo menos en un cuadro. 
En cambio: {2, 4, 5} y { 5, 2, 4} es el mismo subconjunto porque está formado 
por los mismos cuadros. 
Cada una de los subconjuntos de 3 elementos que podemos formar con el 
conjunto E de 5 elementos es una combinación de orden 3 de E. 
2) Pero ahora, el señor pose 5 cuadros y tiene 3 habitaciones y desea destinar cada uno 
de los 3 cuadros a una habitación distinta, por ejemplo, uno a la sala, otro al 
comedor y el último al escritorio. Quiere decir que, además de elegir los 3 cuadros, 
debe elegir a que habitación destina cada uno.¿Cuántas posibilidades distintas hay 
ahora? 
Desarrollo: 
( ) ( )!1n
1
!n
1
!1n
n
+
−=
+
( )
( ) )!1n(
n
!n).1n(
1)1n(
!1n
n
!n).1n(
1
!n
1
!1n
n
+
=
+
−+
=
+
+
−=
+
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 MATEMÁTICA I 
Sean E = { 1, 2, 3, 4, 5}el conjunto de cuadros, y A = { s, c, e } el conjunto de 
habitaciones. 
Una posibilidad es, por ejemplo la siguiente: 
 
 s 3 para la sala se elige el cuadro 3 
 c 1 para el comedor se elige el cuadro 1 
 e 4 para el escritorio se elige el cuadro 4 
Esta correspondencia indica que a cada habitación se destina un sólo cuadro, y 
que dos habitaciones no pueden tener el mismo cuadro; y es una de las posibilidades 
que tiene el señor de elegir 3 de los 5 cuadros para distribuirlos en cada una de las 3 
habitaciones. 
Cada uno de los subconjuntos de tres elementos que se pueden formar con el 
conjunto “E” de cinco elementos se denomina variación o arreglo de 5 elementos de 
orden 3. 
3) Finalmente, el señor decide comprar los 5 cuadros y destinar cada uno de ellos a 
cada una de las 5 habitaciones que ha elegido de la casa. 
Entonces el conjunto A es el formado por cada una de las habitaciones en donde se 
van a ubicar los cuadros, es decir: A = { s, c, e, m, h } 
Una posibilidad de distribuir los cuadros es la siguiente: 
s 3 
c 5 
 e 2 
 m 4 
 h 1 
A cada habitación le corresponde un cuadro y a cada cuadro una habitación, ya 
que el número de cuadros y el número de habitaciones es el mismo. 
Cada una de las diferentes posibilidades es una variación de orden 5 de 5 
elementos o sea, 55A . 
 Cuando el número de orden coincide con el número de elementos, se presenta una 
permutación de 5 elementos, es decir: 
5
5A
 = P5 
 
Variaciones o Arreglos de orden h de un conjunto A de n 
elementos (sin repetición) 
Definición: 
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Dado un conjunto A de n elementos: A= {a1 , a2, a3,............an}, y fijado un cierto 
número natural h, tal que h sea menor o igual que n (h  n), se define como variaciones 
o arreglos de n elementos de orden h o clase h , o tomados de h en h, a los diferentes 
subconjuntos del conjunto A que satisfacen las siguientes condiciones: 
1) Cada subconjunto consta de h elementos 
2) Un subconjunto es diferente de otro, si difieren por lo menos en un elemento o en el 
orden de presentación de cada elemento. 
Notación: An,h o 
h
nA o Vn,h 
 A los fines de encontrar una fórmula que permita calcular los arreglos de n 
elementos de orden h, se analizará el siguiente ejemplo: 
Sea A={a,b,c,d} 
Si se consideran estos elementos de a uno, es claro que los grupos a formarse 
serán sólo 4: a, b, c, d o sea 14A = 4 
Si se consideran los grupos ordenados de a dos elementos: 
ab ac ad 
ba bc bd o sea 24A = 12 
ca cb cd 
da db dc 
Si se consideran los grupos ordenados de a tres elementos: 
 
abc abd acd acb adb adc 
bcd bca bda bdc bac bad o sea 34A = 24 
cda cdb cab cad cbd cba 
dab dacdbc dba dca dcb 
 
Finalmente los arreglos de 4 elementos tomados de 4 en 4 también son 24: 
 
4
4A = 24 
Con la finalidad de obtener una ley de formación, que luego permita encontrar la 
fórmula general de los arreglos, se va a considerar lo siguiente: 
• Se ha visto que si los elementos son 4 y se quieren elegir de a uno por vez, hay 4 
posibilidades de hacerlo, por ello se puede escribir: 14A = 4 
 
• El resultado de 24A se relaciona con el resultado de 
1
4A de la siguiente manera: 
1
4A = 4 
2
4A = 12 = 3.4 = (4-1). 
1
4A 
 
 
 
 
12 
 
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• De forma análoga se relaciona 34A con 
2
4A : 
2
4A = 12 
 
 34A = 24 = 2.12 = (4-2). 
2
4A 
 
• Por último: 44A se relaciona con 
3
4A de la siguiente manera: 
 
 34A = 24 
 
 44A = 24 = 24.1 = (4-3). 
3
4A 
 
Por lo tanto generalizando, el procedimiento anterior se encontrará la fórmula 
buscada: 
 
 1nA = n 
 2nA = (n-1) 
1
nA 
 
3
nA = (n-2) 
2
nA 
……………………………………. 
h
nA = [n-(h-1)] 
1h
nA
−
 = (n-h+1) 
1h
nA
− 
 
Multiplicando miembro a miembro las h expresiones escritas y simplificando, se 
obtiene: 
 
 
1
nA .
2
nA .
3
nA .....
1h
nA
− . hnA = n (n-1). 
1
nA . (n-2) .
2
nA ........... (n-h+1) 
1h
nA
− 
 
)1hn)......(2n)(1n(nAhn +−−−= 
 
Es decir los arreglos de n elementos de orden h, sin repetición, es el producto de h 
factores en el orden decreciente comenzando por n. 
Ejemplo: 
Calcular 34A y 
5
8A 
Desarrollo: 
3
4A = 4.3.2 = 24 
5
8A = 8.7.6.5.4 = 6.720 
3 factores decrecientes empezando por 4 5 factores decrecientes empezando por 8 
Observemos que: 
• para encontrar los arreglos de 4 elementos de orden 3: 34A , se comienza en 4, 
que es el número de elementos y se va decreciendo de uno en uno, teniendo 3 
factores, que es lo que indica el orden. 
13 
 
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• para encontrar los arreglos de 8 elementos de orden 5: 58A , se comienza en 8, 
que es el número de elementos y se va decreciendo de uno en uno, teniendo 5 
factores, que es lo que indica el orden. 
 
 Problema: 
¿Cuántos números de 3 cifras distintas pueden formarse con 1, 2, 4, 5, 8 y 9? 
Desarrollo: 
Si se representa el número mediante tres casilleros: 
 
 
Y se considera el número de posibilidades para elegir cada cifra, se puede decir 
que para la primera hay 6 posibilidades, para la segunda hay 5 y para la última solo 
quedan 4 opciones, es decir: 
 
 
 
Por lo tanto la cantidad de números posibles será 6.5.4= 120, que representan los 
Arreglos de 6 elementos de orden 3: 1204.5.6A
3
6 == 
Fórmula de arreglos en términos de factorial 
 Si se considera la fórmula obtenida anteriormente de los arreglos: 
)1hn)......(2n)(1n(nAhn +−−−= , y se la multiplica y divide por la expresión (n-h)! se 
tiene: 
)!hn(
!n
)!hn(
)!hn)(1hn)......(2n)(1n(n
Ahn
−
=
−
−+−−−
= 
Ejemplo: 
 1) Calcular 
3
4A y 
5
8A aplicando la fórmula factorial 
Desarrollo: 
6720
!3
!8
)!58(
!8
A
24!4
)!34(
!4
A
5
8
3
4
==
−
=
==
−
=
 
2) Resolver la siguiente ecuación: 3 4nA = 
4
2nA + 
Desarrollo: 
 
5 
 
6 
 
4 
14 
 
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 MATEMÁTICA I 
)!4n)(3n)(2n(
!n)1n)(2n(
)!4n(
!n
3
)!2n(
)!2n(
)!4n(
!n
3
)!42n(
)!2n(
)!4n(
!n
3
−−−
++
=
−
−
+
=
−
−+
+
=
−
 
016n18n2
2n3n18n15n3
)1n)(2n()3n)(2n(3
2
22
=+−
++=+−
++=−−
 
Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen dos valores diferentes para 
n, 8 y 1, de donde se descarta el valor 1 porque el número de elementos no puede ser 
menor que el orden que es 4. Por lo tanto la solución de la ecuación es n = 8 
Variaciones o Arreglos de orden h de un conjunto A de n 
elementos (con repetición o con reposición) 
Los arreglos estudiados anteriormente, se conocen con el nombre de arreglos o 
variaciones simples, precisamente porque en los grupos no se repite ningún elemento. 
Otra característica que poseen es la que cada arreglo obtenida de un cierto orden, se 
combina sólo con los elementos restantes del conjunto de partida para obtener así los 
arreglos del orden siguiente. 
Puede, sin embargo, suceder que se combine también con todos y cada uno de los 
elementos del conjunto original, en cuyo caso las agrupaciones reciben el nombre de 
arreglos con repetición, porque en los nuevos grupos que se van obteniendo, alguno de 
sus elementos podrá estar repetido, e incluso puede que varias veces. 
Definición: Sea un conjunto formado por n elementos distintos. Recibe el nombre 
de arreglos o variaciones con repetición de orden h, cualquier grupo formado por h 
elementos, no necesariamente distintos, tomados de entre los n del conjunto original. El 
total de esos grupos ordenados se indica por: hn'A 
Ejemplo: 
Si se considerara nuevamente el problema de elegir números de 3 cifras eligiendo 
las mismas de entre 6 posibles, sin la condición de que las mismas sean diferentes, 
entonces el número de arreglos sería mayor, ya que para elegir la primera cifra hay 6 
posibilidades posibles, al igual que para elegir las otras dos restantes, es decir: 
 
O sea la cantidad total de números que pueden formarse será: 6.6.6= 63 
6 6 6 
15 
 
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 MATEMÁTICA I 
Esta cantidad representa el número de Arreglos o Variaciones con repetición de 6 
elementos tomados de a 3, o de orden 3, lo que se simbolizará con: 36'A 
En general, la cantidad total de números de h cifras que pueden formarse con n 
números distintos es: 
hh
n n'A = 
Permutaciones de n elementos 
Se define como permutaciones de orden n y se escribe Pn, a los arreglos de n 
elementos de orden n, es decir: 
n
n
n PA = 
Las permutaciones son un caso particular de arreglos, en las que intervienen todos 
los elementos, en lugar de una parte de ellos. 
Considerando la fórmula factorial de los arreglos y reemplazando n por h se 
obtendrá la siguiente expresión: 
 Pn = n! 
Ejemplo: 
1) Calcular P5 y P8 
Desarrollo: 
P5 = 5! = 120 P8= 8! = 40.320 
2) ¿Cuántos números de “tres” cifras distintas pueden formarse con los dígitos 
1,3, y 5?. Formarlos. 
Desarrollo: 
Se pueden obtener P3= 3!= 6 números, y ellos son: 
135 153 
315 351 
513 531 
Permutaciones con repetición 
Considere el siguiente ejemplo: 
Suponga las distintas palabras que se pueden formar a partir de la palabra 
CAMION. Al tener 6 letras distintas, se podrían determinar 6!= 720 palabras distintas. 
Ahora bien, si la palabra de partida fuera CASACA la cual posee dos letras C, tres letras 
!n
0!
n!
n)!(n
n!
Pn ==
−
=
16 
 
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 MATEMÁTICA I 
A y una S, la situación es diferente. Las tres A diferentes entre sí y diferentes de las 
restantes letras de la palabra determinan 3!=6 posibilidades. Pero como en realidad esas 
letras son la misma A, el total de permutaciones posibles con las seis letras ya no sería 
6!, sino únicamente 6!/3!, ya que existen 3! permutaciones, las formadas con la A, que 
son las mismas. Haciendo el mismo razonamiento con las dos C, el número de 
permutaciones se vería reducido a 6!/(3!.2!). Finalmente, como la S se repite una sola 
vez, realmente podríamos formar sólo un total de 6!/(3!.2!.1!)= 60 permutaciones 
distintas. 
Definición: 
Sea un conjunto de n elementos, entre los que existen h objetos iguales y de un 
mismo tipo, j iguales de otro tipo, y así sucesivamente hasta un grupo de k objetos 
idénticos entre sí. Las permutaciones distintas que pueden formarse en esas condiciones 
reciben el nombre de permutaciones con repetición de n elementos entre los que h son 
iguales,j son también iguales, y así sucesivamente, hasta k iguales. El total de esos 
grupos distintos se indican por: Pn
h,j,k y se pueden obtener mediante la siguiente 
expresión: 
kjhncon
!k!j!h
!n
P k,j,hn ++== 
Ejemplo: 
En una exhibición aeronáutica se presentan 2 helicópteros, 3 monoplanos y 4 
reactores. Para saber el número de formas diferentes en las que es posible colocar todos 
esos aparatos, se aplica la siguiente fórmula: 
 1260
2!.3!.4!
9!
P 4,3,29 == 
(Recordar que la suma de los órdenes debe coincidir con el número de elementos, es decir: 2+3+4=9) 
Combinaciones simples de orden h de un conjunto A de n elementos 
Dado un conjunto A de n elementos: A= {a1, a2, a3,............an}y fijado un cierto 
número natural h, tal que h sea menor o igual que n (h  n), se define como 
combinaciones simple de n elementos de orden h o clase h o tomados de h en h, a 
los diferentes subconjuntos del conjunto A que se pueden formar sin repetir ninguno y 
tal que satisfacen las siguientes condiciones: 
1) Cada subconjunto consta de h elementos 
2) Un subconjunto es diferente de otro, si difieren por lo menos en un elemento. 
Notación: 
17 
 
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 MATEMÁTICA I 
 Cn,h o 
h
nC 
Nota: Las combinaciones no son conjuntos ordenados. 
 
Obtención de la fórmula: 
Se va a suponer que están formadas todas las 
h
nC y si a cada una de ellas se le 
permutan de todas las formas posibles sus elementos, se obtienen los arreglos 
h
nA , es 
decir: 
h
nh
h
n C.PA = 
despejando el valor de las combinaciones, se tiene la siguiente expresión: 
h
h
nh
n
P
A
C = 
La forma factorial es la siguiente: 
!h)!hn(
!n
h!
h)!-(n
n!
Chn
−
== 
Nota: El número de combinaciones simples es menor que el número de arreglos simples. 
 
Ejemplos: 
 
1) Encontrar el valor de 38C 
 Desarrollo: 
Estas combinaciones se pueden obtener de dos formas distintas, mediante la fórmula 
o la regla práctica, es decir: 
• Mediante fórmula: 
56
6!.5
!5.6.7.8
!3!.5
!8
!3)!38(
!8
C38 ===
−
= 
• Mediante regla práctica 
56
1.2.3
6.7.8
P
A
C
3
3
83
8 === 
2) ¿Cuántas sumas de distinto valor se pueden formar con los números 2, 5, 6 y 
8 tomándolos de dos en dos? Formarlas. 
Desarrollo: 
Se pueden formar 24C = 6
1.2
3.4
P
A
2
2
4 == es decir, seis sumas diferentes y ellas son: 
 
18 
 
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 MATEMÁTICA I 
2+5=7, 2+6=8, 2+8=10, 5+6=11, 5+8=13, 6+8=14 
 
3) Calcular n sabiendo que: 
 21CC
1n
3
n
3 =−
−
 
 
Para poder resolver esta ecuación se debe considerar que se deben cumplir dos 
condiciones simultáneamente que son: n>3 y n-1>3, o sea n>4. La condición que 
satisface a las dos anteriores al mismo tiempo es n>4. 
Desarrollo: 
( ) 
 
040n3n
42)2n).(1n(
1263).2n).(1n(
1263nn)2n).(1n(
6.213nn)2n).(1n(
21
6
)3n)(2n).(1n(
6
)2n).(1n.(n
6
)3n)(2n).(1n(
6
)2n).(1n.(n
CC
2
3
1-n
3
n
=−−
=−−
=−−
=+−−−
=−−−−
=
−−−
−
−−
−−−
−
−−
=−
 
Se descarta el número negativo, por lo tanto n = 8 
Números combinatorios 
Definición: Los números combinatorios son otra forma de escribir las 
combinaciones de n elementos de orden h, y su notación es la siguiente: 
h
n
n
h
C=





 
 Nota: En esta nueva notación los valores h y n figuran en orden invertido con 
respecto a las hnC . 
Ejemplo: 
Calcular los números combinatorios 










 9
6
8
4
y 
 
Desarrollo: 
 
84
6!.3!
9!
70
4!.4!
8!
9
6
8
4
==





==





 
 
19 
 
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 MATEMÁTICA I 
Números combinatorios complementarios 
 
Dos números combinatorios son complementarios si tienen el mismo número de 
elementos y la suma de sus órdenes coincide con el número de elementos, es decir: 






−






hn
n
y
h
n
 son dos números combinatorios complementarios. 
 Propiedad: 
 
Dos números combinatorios complementarios son iguales 






−
=





hn
n
h
n
 
Demostración: 
 
  






=
−
=
−
=
−+−
=
−−−
=





− h
n
!h)!hn(
!n
)!hn(!h
!n
)!hn()!hnn(
!n
)!hn(!)hn(n
!n
hn
n
 
 
Con lo que queda demostrado que los dos números combinatorios 
complementarios son iguales. 
Ejemplo: 
Resolver la siguiente ecuación suponiendo que los números combinatorios son 
complementarios: 






=





2
n
15
n
 
Desarrollo: Por ser números combinatorios complementarios tienen el mismo 
número de elementos y este valor coincide con la suma de los órdenes, es decir n=17. 
Combinaciones con repetición 
Una de las características de las combinaciones simples era la de no tener 
elemento alguno repetido. Pero es posible, sin embargo, formar combinaciones con uno 
o varios elementos iguales. 
Definición: 
Sea un conjunto formado por n elementos todos ellos distintos entre sí. Recibe el 
nombre de combinación de n elementos de orden h con repetición, cada grupo formado 
por h elementos, distintos o repetidos, tomados de los n dados, considerando como 
grupos iguales los formados por los mismos objetos repetidos igual número de veces. 
La notación es: h'nC 
La expresión que permite calcular las combinaciones con repetición es: 
20 
 
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 MATEMÁTICA I 
h
1hn
h'
n C
h
1hn
C −+=




 −+
= 
Ejemplo: 
Dado el conjunto A= 1,2,3,4 las combinaciones binarias con repetición serían: 
11, 12, 13, 14 
22, 23, 24 
33, 34 
44 
En total existen 10 grupos. Este resultado se obtiene si se aplica la fórmula: 
10
2
4.5
C
2
5
2
124
C 25
2'
4 ===





=




 −+
= 
4.- Potencia enésima de un binomio: Binomio de Newton 
Una aplicación inmediata de los números combinatorios se presenta en el 
desarrollo de la potencia de un binomio con exponente natural, conocida como fórmula 
del Binomio de Newton. Esta fórmula generaliza los conocidos desarrollos del cuadrado 
y del cubo de un binomio: 
 (a+b)² = a² + 2ab + b² 
 (a+b)3 = a3 + 3 a²b + 3 ab² + b3 
 Para obtener el desarrollo de (a+b)4, se puede multiplicar (a+b)3.(a+b); para 
obtener (a+b) 5 se puede multiplicar (a+b)4 .(a+b), y así sucesivamente. 
El objetivo en este tema es utilizar una expresión que permita encontrar 
directamente el desarrollo de (a+b) n, para un n cualquiera sin necesidad de multiplicar 
repetidamente (a+b) por si mismo. 
Es posible escribir el desarrollo de (a+b)² de la siguiente manera: 
Siendo los coeficientes: 
por ser números combinatorios complementarios 
 
También se puede expresar (a+b) 3 como sigue: 
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 h h 2 2 0 2 2 0 2
h 0 1 2
h 0
a 2ab b a b a b ab a b−
=
+ + = = + +
1
0!2!
2!2
2
2
0
==



=




( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 h h 3 3 0 3 2 3 2 3 0 3
h 0 1 2 3
h 0
a b a b a b ab a b−
=
= + + +
2
1!1!
2!2
1
==




21 
 
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 MATEMÁTICA I 
Donde los coeficientes son: 
 
Generalizando, para cualquier exponente natural n el desarrollo será: 
 
Ejemplo: 
Desarrollar ( )5xy2 − 
Desarrollo: 
 
Observaciones: 
 
• El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio tiene n+1 términos según lo 
indica la variación de h, desde 0 hasta. 
• Cada término del desarrollo tiene como coeficiente un número combinatorio, 
donde el número superior es igual al exponente del binomio y el inferior es variable 
desde 0 hasta n. 
• El exponente de a es la diferencia entre el número superior del número 
combinatorio y el inferior, y el exponente de b coincide con elnúmero inferior. Es 
decir, la suma de ambos exponentes es igual a n, para todos los términos. 
• El término que ocupa el lugar k en el desarrollo es: 
( ) ( ) 1k1knn 1kk baT −−−−= 
• Los términos equidistantes de los extremos tienen iguales coeficientes, por ser 
números combinatorios complementarios. 
Ejemplo: 
 
1) Determinar el sexto término del desarrollo (2a + a2)8 
 
Desarrollo: 
 
33
2
3
1
13
3
3
0
=



=




=



=




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 4 3 2 2 3 1 4 55 5 5 51 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 532y 80y x 80y x 40 y x 10y x x
2y x 2y 2y x 2y x 2y x 2y x x
= − + − + −
− = + − + − + − + − + − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n n n h h n n 0 n n 1 n n 2 2 n 0 n
h 0 1 2 n
h 0
a b a b a b a b a b ......... a b− − −
=
+ = = + + + +
22 
 
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 MATEMÁTICA I 
( ) ( ) ( ) ( ) 1310310352586 a448aa.8.56aa2
!3!5
!8
aa2
5
8
T ==





=





=
−
 
 
2) Hallar el término central del desarrollo 
4
2
x
1
x 





+ con x  0 
 
Desarrollo: 
 
Como este desarrollo tiene cincos términos, el término central será el tercero: 
( ) 2
2
4
2
4
2
22
3 x6
x
1
x6
x
1
x
!2!2
!4
x
1
x
2
4
T =





=











=











= 
 
Regla práctica para obtener los coeficientes de los términos del binomio de Newton 
 
• Los coeficientes del primer y último término son 1. 
• Los coeficientes del segundo y penúltimo término coinciden con n (exponente 
del binomio) 
• Los coeficientes restantes se obtienen mediante una fracción que tiene como 
numerador el producto del coeficiente del término anterior, por el exponente de a 
en el término anterior, y como denominador el exponente de b en el término 
anterior sumado 1. 
• Recordar que los términos equidistantes de los extremos tienen igual 
coeficientes, por ser números combinatorios complementarios. 
Ejemplo: 
Desarrolla el siguiente binomio utilizando las reglas prácticas: 
 
( )
( ) 65423324566
65423324566
b.ba6.ba15.ba20.ba15.b6.aaba
b.ba
5
15.2
.ba
4
20.3
.ba
3
15.4
.ba
2
6.5
.b6.aaba
++++++=+
++++++=+
 
 
Generalización de la fórmula del Binomio de Newton 
 
La fórmula del Binomio de Newton se puede generalizar para exponentes 
negativos o fraccionarios. Para su desarrollo se utilizan las reglas prácticas, como se 
puede observar en los siguientes ejemplos: 
 
a) ( ) ....yx10yx6yx3xyx 3625433 +−+−=+ −−−−− 
 
23 
 
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 MATEMÁTICA I 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...b2a
2048
5
b2a
128
1
b2a
32
1
b2a
4
1
2a...
2
b
-2a
128
5
2
b
-2a
16
1
2
b
-2a
8
1
2
b
2a
2
1
2a
2
b
2a)b
47/2-35/2-23/2-1/21/2
4
7/2-
3
5/2-
2
3/2-1/21/2
1/2
−−−−−=−





−+






+











−+





−+=





−
−
−
 Observación: Estos desarrollos tienen siempre infinitos términos, que fueron 
representados en los ejemplos por los puntos suspensivos.